6-2平面简谐波的波函数
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简谐波的波函数 波长PPT课件
T
2
u 1 200 100(m / s)
T2
向右传播
（2）求绳上质元振动的最大速度并与波速相比较
dy 2102 2 200cos2 (200t 2.0x)
dt
max 2 10 2 2 200 25m / s u
10
三、波函数的物理意义(1）
y(x,t) Acos(t x )
2u
9
P239 18.3
一横波沿绳传播，其波函数为
y 2102 sin 2 (200t 2.0x)
y 2102 cos[2 (200t 2.0x) ]
y Acos[2 ( t x ) ] 2 T
（1）求此横波的波长，频率，速度，和传播方向
T 1 (s) 200Biblioteka 1 200(Hz) 1 (m)
u
yx0 Acos(t )
y
x0
A
cos(t
x
－
2
π(
x
x0
)
)
Acos(t － 2 π(xλ x0 ))
uT
A cos(t － (x x0 ))
y Acos (t x )
u
7
u
二、简谐波波函数的几种形式
y A cos (t x )
u
y A cos(t x )
u 2 2 k u Tu
1.简谐波：简谐振动
传播
u
t t t x0
x
t
x
x0
x
假设 yx0 A cos(t ) (t x x0 )
yx (t) yx0 (t t)
u
yx (t)
A cos[ (t
x
x0 u
)
6_2 平面简谐波的波函数讲解
波线上各点的简谐运动图
7
6-2 平面简谐波的波函数
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的位移, 即 t 时刻的波形（y — x 的关系） y
2πx y A cos t 2 t 一定 x 变化 （定值） t1 C 令 2πx y A cos 则
解 (1) 写出波动方程的标准式
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
11
6-2 平面简谐波的波函数 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
在t=0时坐标原点处的质点在平衡 位置沿 oy 轴正向运动.
O
A
y
π t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2 2.0 2.0 2
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
5
6-2 平面简谐波的波函数
二 1 波函数的物理含义
可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T 2 πx A cos t
4
6-2 平面简谐波的波函数
12
6-2 平面简谐波的波函数
(2)求 t 1.0s 波形图
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 π y (1.0) cos[ π x] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程
y/m
7
6-2 平面简谐波的波函数
该方程表示t 时刻波传播方向上各质点的位移, 即 t 时刻的波形（y — x 的关系） y
2πx y A cos t 2 t 一定 x 变化 （定值） t1 C 令 2πx y A cos 则
解 (1) 写出波动方程的标准式
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
11
6-2 平面简谐波的波函数 t x y A cos[ 2π ( ) ] T
在t=0时坐标原点处的质点在平衡 位置沿 oy 轴正向运动.
O
A
y
π t x π y cos[ 2 π ( ) ] (m) 2 2.0 2.0 2
波函数
x y A cos[ (t ) ] u
质点的振动速度，加速度
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
5
6-2 平面简谐波的波函数
二 1 波函数的物理含义
可得波动方程的几种不同形式：
x y A cos t u t x A cos 2 π T 2 πx A cos t
4
6-2 平面简谐波的波函数
12
6-2 平面简谐波的波函数
(2)求 t 1.0s 波形图
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 π y (1.0) cos[ π x] 2 t 1.0 s sin πx (m) 波形方程
y/m
平面简谐波的波函数
也可以通过相位差来进行推导，则P点的振动在相位上比O点落后，故P点的振动为
不
难验证，以上两个方程实际上是同一个振动的两个不同的表述。它们都表示的是波线上(坐标为x)的任一点处质点的振动方程，这正是我们希望得到的沿x轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
或
这是波动方程常用的形式。
3、振动曲线与波形曲线
为了弄清楚波动方程的物理意义，我们作进一步的分析。在波动方程中含有x和t两个自变量，如果x给定(即考察该处的质点)，那么位移y就只是t的周期函数，这时这个方程表示x处质点在各不同时刻的位移，也就是该质点的振动方程，方程的曲线就是该质点的振动曲线。下图(a)中描出的即一列简谐波在x=0处质点的振动曲线。如果波动方程中的t给定，那么位移y将只是x的周期函数，这时方程给出的是t时刻波线上各个不同质点的位移。波动中某一时刻不同质点的位移曲线称为该时刻波的波形曲线，因而t给定时，方程就是该时刻的波形方程。下图(b)中描出的即是t=0时一列沿x方向传播的简谐波的波形曲线。无论是横波还是纵波，它们的波形曲线在形式上没有区别，不过横波的位移指的是横向位移，表现的是峰谷相间的图形；纵波的位移指的是纵向位移，表现的是疏密相间的图形。在一般情况下，波动方程中的x和t都是变量。这时波动方程具有它最完整的含义，表示波动中任一质点的振动规律：波动中任一质点的相位随时间变化，每过一个周期T相位增加，任一时刻各质点的相位随空间变化，距离波源每远一个
三、平面简谐波的波动方程
下面我们通过对相位的分析给出平面简谐波的波动方程。如下图所示，设有一列平面简谐波沿x轴的正方向传播，波速为u。取任意一条波线为x轴，设O为x轴的原点。假定O点处(即x=0处)质点的振动方程为
推导波动方程用图
现在考察波线上任意一点P的振动，设该点的坐标为x。如上所述，P点和O点振动的振幅和频率相同，而P点振动的相位比O点落后。O点到P点的波程为x，则P点的振动在时间上比O点落后，故P点的振动为
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
大学物理 平面简谐波的波函数
此刻的波形.
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
大学物理平面简谐波的波函数精选精品文档
u
1m 0
λ10m 8 m 5 m 9 m
C
B oA
Dx
第十章 波动
21
物理学
第五版
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本章目录
6-1 机械波的几个概念
6-2 平面简谐波的波函数
6-3 波的能量 能流密度 6-4 惠更斯原理 波的衍射和干涉
6-5 驻波
6-6 多普勒效应
第十章 波动
22
x
A cos
t
2πx
第十章 波动
4
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
波函数
yAcos(t[x)]
u
质点的振动速度，加速度
v y A si n (t [x)]
t
u
a 2 t2 y 2A co (ts[u x)]
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
(3) x0.5m处质点的振动规律并作图
y1.0co2π s([t x)π] 2.0 2.0 2
x0.5m处质点的振动方程
ycoπst[π](m)
y
y/m
3
3
1.0
*
4O
2
0 2* 1.0 *4 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x0.5m处质点的振动曲线
第十章 波动
15
物理学
第五版
6-2 平面简谐波的波函数
例2 一平面简谐波以速度u20ms-1
沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA31 0 2co4π st)(; ( y, t单位分别为m，s).
6-2 平面简谐波的波动方程
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
1
(t
x1 ) u
2π
(t T
x1 )
波程差
2
(t
x2 u
)
2π
(t T
x2
)
x21 x2 x1
2
y cos[2π( t x ) π ] (m) 2.0 2.0 2
O
y
A
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第 6 章 机械波
15
南通大学
Nantong University
6-2 平面简谐波的波动方程
(2)求 t 1.0s 波形图
y 1.0 cos[2π( t x ) π ]
2.0 2.0 2
第 6 章 机械波
4
南通大学
Nantong University
6-2 平面简谐波的波动方程
波动方程 y Acos[(t x) ]
u
质点的振动速度，加速度
v y Asin[(t x) ]
t
u
a
2 y t 2
2
A cos[ (t
x) u
返回 ]
6-2 平面简谐波的波动方程
例1 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，
已知振幅A 1.0 m，T 2.0 s，λ 2.0 m. 在 t 0
时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向
运动. 求：(1)波动方程；(2)t 1.0 s波形图；
平面简谐波的波函数
课堂练习 图示为 t = 1s 时的波形曲线，求波动方程。
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
平面简谐波的波函数
TC
2π d dC
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数
物理学教程 （第二版）
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
t2 13
π AC
π)m
)m
点 D 的y相D位落33后110于0点22ccoAos(s4(4ππt t952ππ)mAD)m
5
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数
物理学教程 （第二版）
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA 310 2 cos(4 π t)m
例1. 有一横波沿弦线传播，其方程为 y 0.3cos 0.5x 50t。
式中 y、x的单位是 m，t 的单位是 s 。试求：（1）波的振幅、
波长、频率、周期及波速；（2）弦线中任一质点的最大振动
速度；（3）x 2m 处质点的初相。
解 : （1）把波动方程改写为
y 0.3cos 0.5x 50t 0.3cos 2 25t x
x
b 0
c
π 2
1、波形沿 X方向传播的波动方程
根据 u , 2 2
T
T
y
A cost
2
x
相位滞后式
Acos
t
x u
时间滞后式 (x点振动滞后O点振动，滞后时间x/u)
2π d dC
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数
物理学教程 （第二版）
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
t2 13
π AC
π)m
)m
点 D 的y相D位落33后110于0点22ccoAos(s4(4ππt t952ππ)mAD)m
5
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数
物理学教程 （第二版）
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
yA 310 2 cos(4 π t)m
例1. 有一横波沿弦线传播，其方程为 y 0.3cos 0.5x 50t。
式中 y、x的单位是 m，t 的单位是 s 。试求：（1）波的振幅、
波长、频率、周期及波速；（2）弦线中任一质点的最大振动
速度；（3）x 2m 处质点的初相。
解 : （1）把波动方程改写为
y 0.3cos 0.5x 50t 0.3cos 2 25t x
x
b 0
c
π 2
1、波形沿 X方向传播的波动方程
根据 u , 2 2
T
T
y
A cost
2
x
相位滞后式
Acos
t
x u
时间滞后式 (x点振动滞后O点振动，滞后时间x/u)
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
大学物理 平面简谐波的波函数
17
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
8m
y A 310 cos( 4 π t )m 10m 5m 9m
B
2
oA
D
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
cos( 4 π t 2 π )m 13 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 y D 3 10 cos( 4 π t 2 π )m 9 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5
4
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
质点的振动速度，加速度 角波数 k 2 π
(wave number)
y x v A sin[ (t ) ] t u
分析：
2 3 ( D) 2
( B)
,
由波形图可判定O点在该时刻的振动方向竖直向 上（如图示）
A x
3 由旋转矢量图可知此时的相位为 2
23
3.在下面几种说法中,正确的说法是: （C）
(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数 值上是不同的。 (B)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相超前。 (C)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相滞后。 (D) 波源的振动速度与波速相同。
在t＝1／v时刻：
1 v | x x2 2A sin 2 (1 ) 2A 4
即速度比为-1。
3 v | x x1 2A sin 2 (1 ) 2A 4
平面简谐波
dx
dt k
2 / T 2 / T
p
• 波传播过程中，波的等相位面是以速率
p / T 沿波传播方向推进的。
• 对于平面简谐波，波相速等于波速。
三、平面简谐波的波动方程
以最简形式的正向波为例，波函数为：
y( x, t) Acos( t－kx) Acos[(t x )]
u
2 y x 2
y( x, t) Acos( t kx)
(2) 给定 t = t0 时
y( x, t0 ) Acos( t0－kx)
——表示 t0 时刻的波形
y
u
y1
o
x1
t0时刻的波形曲线
x
二、平面简谐波的物理意义
y( x, t) Acos( t kx)
(3) 在 x 与 t 都变化时
y(x x, t t) Acos[(t t k(x x)]
1 u2
2 y t 2
(对正、负向波均成立)
三、平面简谐波的波动方程
一般平面波均可表示为平面简谐波的线性叠加。
y C1 y1 C2 y2
2y 1 2y x2 u2 t 2
平面波方程
意
对坐标x和时间t 的关系满足平面波方程的任 何物理量，必以平面波的形式沿x轴传播，
义 且传播速度为u.
三、平面简谐波的波动方程
u P
x
随堂练习
3、简谐波沿x轴正向传播，频率为=0.5Hz， 波速为u=18ms-1, t=0.5s时刻的波形如图，求 波函数。
y 0.1
x 0.05
y(x,t) Acos(t kx 0)
欢迎网上答疑
(1) 若某物理量（设为 ）在三维空间中以平面波形式
平面简谐波的波函数
知 识 回 顾 一、 波长 波的周期和频率 波速 二、 波线 波面 波前 三、 平面简谐波的波函数
x y ( x , t ) A cos t - u x y ( x , t ) A cos t u
P点振动与O点相比： 时间滞后：
x u
A
y
O
u
P
x
x 相位滞后： u x P - - u
-A
x
x P - u
x y P A cos t - u
平面简谐波的波函数
x y P A cos t - u 考虑到P点选取的任意性，此即沿x轴正向传播的 平面简谐波的波函数 x y ( x , t ) A cos t - u
x
o
l
（C）
（D）
l y A cos[ (t ) 0 ] u
练习
平面简谐波的波函数
一沿x轴负方向传播的平面简谐波在 t 2 秒 时的波形曲线如图所示，则原点o的振动 方程为[ ]
（A） y 0.50 cos( t 2 ) （B）
y ( m)
0 .5
u 1m / s
平面简谐波的波函数
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿 传播方向的运动情况（行波）.
y y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
x ut
平面简谐波的波函数
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s )t - (0.01cm ) x].
6_2 平面简谐波的波函数
2
4）
8 2π 1.6π B C 2π 10 x x 22 C D 2π C D 2π 4.4π 10
y A cos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播 T x y A cos ( t ) (向x 轴负向传播 u
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
距离原点O为x1和x2的两质点的相位分别为
x1 t x ) 2π ( 1) u T x t x 2 (t 2 ) 2 π ( 2 ) u T
1 (t
π t 1.0s波形方程 y 1.0 cos( 2 π x) 1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m
处质点的振动方程
y 1.0 cos(π t π)
y
3 1.0 2 0
y/m
3 * 2 * 4 *
4
O
1
y A x轴负向 u
t x y(x,t) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π 2 π , T
y ( x, t ) A cos(t kx )
角波数
u
T
k
2π
沿 x 轴正向传播的平面简谐波，已知距O点x0的Q点的振动规律为
1.0
x 0.5 m
-1.0 *1
* t /s 2.0 *
处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 谐运动方程
u 20m / s 沿直线传播,波线上点 A 的简 y A (3102 ) cos(4 π t ) .
4）
8 2π 1.6π B C 2π 10 x x 22 C D 2π C D 2π 4.4π 10
y A cos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播 T x y A cos ( t ) (向x 轴负向传播 u
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
距离原点O为x1和x2的两质点的相位分别为
x1 t x ) 2π ( 1) u T x t x 2 (t 2 ) 2 π ( 2 ) u T
1 (t
π t 1.0s波形方程 y 1.0 cos( 2 π x) 1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m
处质点的振动方程
y 1.0 cos(π t π)
y
3 1.0 2 0
y/m
3 * 2 * 4 *
4
O
1
y A x轴负向 u
t x y(x,t) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π 2 π , T
y ( x, t ) A cos(t kx )
角波数
u
T
k
2π
沿 x 轴正向传播的平面简谐波，已知距O点x0的Q点的振动规律为
1.0
x 0.5 m
-1.0 *1
* t /s 2.0 *
处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 谐运动方程
u 20m / s 沿直线传播,波线上点 A 的简 y A (3102 ) cos(4 π t ) .
6-02 平面简谐波的波函数
写出波动式
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] (m) 2.0 2.0 2
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2）求 t 1.0s 波形图.
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2
t 1.0s
2
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方 x 程 2 2 y 3 10 cos 4 π( t ) y A 3 10 cos4 π t 20
u
C
8m
5m
9m
10m
D
B
oA
2
x
把点 C 的坐标代入
13 yc 3 10 cos[ 4 π t π] 5
把点 D 的坐标代入
例1 已知波函数如下，求波长、周期和波速. y 5 cos π[2.50t 0.01x](cm).
解：（比较系数法）. 把波动方程改写成
t x y A cos 2π ( ) T
比较得
2.50 0.01 y 5 cos 2 π[ t x] 2 2
2 T s 0.8 s 2.5 2cm 200 cm 0.01
y
u
x
x0
已知 x0点振动方程
O
x
y x0 A cos( t )
x x0 时间落后 u
x x0
任一点
x 比 x0
相位落后 2
任一点 x 振动方程——波函数
x x0 y A cos[ ( t ) ] u x x0 y A cos[ t 2 ]
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
平面简谐波的波函数
方向传播。
若O点的振动方程为
y0 A cos( t 0 )
时间推迟方法
y A
u
P
x
O
A x
点O 的振动状态
y0 A cos( t 0 )
t x u
t ux 时刻点O 的运动
点P t 时刻点 P 的运动
P点在t时刻的位移为
y
A cos[ (t
x) u
0]
平面简谐波的波动方程
*若波以速度u 沿x轴负方向传 播， 则波函数为
能否写出波动表达式?形 式如何?
y
u
．P. x
x
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
y A
u
P
x
O
A x
波函数的其它形式
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
y
Acos[2 ( t
T
x
)
0 ]
y
A
cos[2
(
t
x
)
0 ]
y Acos(t kx 0 )
2 2 / T
u / T
k
2
角波数，为2π长度内所 包含的完整波形的个数
二、波函数的物理含义：
y
y
A
cos[(t0
x u
)
]
o
x
t t0
(3) 若x和t 都是变量，波函数表示波线上不同质点、不同时刻
的位移 （行波）
y Acos[(t x) ]
u
A:
(t
x u
)
ห้องสมุดไป่ตู้
0
B:
(t
t
x
《物理学教程(第三版)》上册 电子课件 6-2 平面简谐波的波函数
T
x
)
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数 二 波函数的物理意义
物理学教程 （第三版）
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点处质元的简谐振
动方程，并给出该点处质元与点 O处质元振动的相位差.
sin(πx) 1
o*
1*.0 2*.0 3*.0 x / m x (2k 0.5)m
-1.0
*
t 1.0 s 时刻波形图
sin(πx) 1 x (2k 1.5)m k 0,1,2,
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数
物理学教程 （第三版）
3） x 0.5m 处质元的振动规律并作图 . y 1.0 cos[ 2π( t x ) π ]m 2.0 2.0 2
y Acos 2π ( t x )
T
(向x 轴正向传播,
y Acos(t x)
u
(向x 轴负向传播 ,
π) π)
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 d
y Acos(Bt
的 C两x点) 处质y元间A的co相s 2位π差( t.
上点 A处质元的简谐振动方程 yA 3102 cos(4 πt)m
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
A 3102 m T 0.5s 0 uT 10m
y Acos[ 2π ( t x ) ] T
x
)
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数 二 波函数的物理意义
物理学教程 （第三版）
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点处质元的简谐振
动方程，并给出该点处质元与点 O处质元振动的相位差.
sin(πx) 1
o*
1*.0 2*.0 3*.0 x / m x (2k 0.5)m
-1.0
*
t 1.0 s 时刻波形图
sin(πx) 1 x (2k 1.5)m k 0,1,2,
第六章 机械波
6 – 2 平面简谐波的波函数
物理学教程 （第三版）
3） x 0.5m 处质元的振动规律并作图 . y 1.0 cos[ 2π( t x ) π ]m 2.0 2.0 2
y Acos 2π ( t x )
T
(向x 轴正向传播,
y Acos(t x)
u
(向x 轴负向传播 ,
π) π)
2）平面简谐波的波函数为 y Acos(Bt Cx)
式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方
向上相距为 d
y Acos(Bt
的 C两x点) 处质y元间A的co相s 2位π差( t.
上点 A处质元的简谐振动方程 yA 3102 cos(4 πt)m
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
A 3102 m T 0.5s 0 uT 10m
y Acos[ 2π ( t x ) ] T
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各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置
1
各种不同的简谐波
合成 分解
复杂波
简谐波 1 简谐波 2
合成
复杂波
2
波源的振动方程
y A cos( t ) o 0
距波源为 x 处质点 P 的振动方程
x P 点的振动比振源落后一段时间 t u A cos[ ( t t ) ] P点的振动方程 y p 0
波函数的物理意义:
1. 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程.
d A cos t 例 x＝d（常数）时 y d 0 u
波函数变为距离波源为 d 处的质点的振动方程。
（波具有时间的周期性） y ( x , t ) y ( x , t T )
x t 0 u
在 x 处的质点在时刻 t 的相位
( u 0) x ut
即给定的相的位置随时间而改变，它的移动速度为
dx u dt
说明，波速 u也是相的传 播速度－又称为相速度.
7
波函数 二
x y A cos t W 0 u
波数等于在2π的长度内 含有“完整波”的数目。
y x v A sin[ ( t ) ] 0 t u 2 y x 2 a 2 A cos[ ( t ) ] 0 t u
6
波函数
相速度
x y A cos t W 0 u
y A cos( t )
——振动方程是时间 t 的函 数，描写一个质元的位移。
y
o
y f (t)
t
12
振动曲线： y-t曲线（反映
某一质元的位移 y 随 t 的 变化）。 （用摄像机为某质元拍一 段特写镜头）。
y
o
y f (t)
t
注：利用波动曲线求某质元的振动曲线时，应标明是 哪个质元的振动曲线。
波函数
y
x y A cos t W 0 u
· · o · · · · · · · ··
x
P · · ·
· · · · · · · · · · · · · x · · · ·· ·
3
u
波函数
x 沿 x 轴正向 y A cos t 1
3. 当t 和 x 都变化时，波函数表达了所有质点位移随时 间变化的整体情况（行波）
y
o
t 时刻的波形
t＋Δt时刻的波形
u
x
x
x
x u t
当波形在Δt 时间内传播了Δx 距离，也就是波在 t 时 刻于 x 处的相位，经过Δt 时间传至 x＋Δx处了。 即：波的传播是相位的传播，是振动形式的传播，是整 11 个波形的传播，波速 u 就是相位或波形传播的速度。
4.波函数与振动方程的区别:
x yA cos t o 0 u
y
y f ( x , t )
x
——波函数是波程 x 和时间 t 的函数，描写某一时刻 任意位置处质元的位移。 波形曲线： y-x曲线（所有质元在振动在某一时刻的 状态－拍照）；
8
波线上各点的简谐运动图
9
2. 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其 平衡位置的位移，即某时刻的波形（波形图）.（拍照）
（波具有空间的周期性） y ( x , t ) y ( x , t )
波程差
x x x 21 2 1
u
y
· · · · · · · · · · · · o · · · · · · · x · · x · · x 1 · · · · 2 · ·· · ··
y
u
14
· · · · · · · · · · · · o · · · · · · · x · · x · · x 1 · · · · 2 · ·· · ··
三 相位差： 两点之间的相位之差。
②
t x y A cos 2 W 0 T
③
5
t x y A cos 2 W 0 T
y A cos( t kx ) W 0
④
2π 波数 k 质点的振动速度，加速度
一 平面简谐波的波函数: 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐 运动时，在介质中所形成的波.
平面简谐波：波面为平面的简谐波——理想化的模 型. 波函数：介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即y=（ x, t） 称为波函数.
y y ( x ,t )
沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数—波动方程 沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数
y
x y A cos t W 0 u
· · o · · · · · · · ··
x
P · · ·
· · · · · · · · · · · · · x · · · ·· ·
13
三 相位差： 两点之间的相位之差。
t x 由 y A cos 2 W 0 T t x 1 2 π ( ) 得x1点相位 1 0 T t x 2 2 π ( ) 得x2点相位 2 0 T
4
u
波函数
x y A cos t W 0 u
u
①
x 2 , y cos 2 t W A 0
2 , Tu T t x y A cos 2 W 0 T Tu