平面简谐波的波函数

3.要求掌握 1)由t 时刻的波形曲线,画出另一时刻的波形曲线； 已知t = 0时刻的波形曲线,求
画出t -(T/4)， t +(T/2)u各时刻的波形曲线。
o
2) 由t时刻的波形曲线,确定某质元的振动方向, 写出 该质元的振动方程； 在题图上用小箭头示出a、b、c、d各质元的振动 趋势，并分别画出它们的振动曲线。
y 5cos π(2.50t 0.01x)(cm)
波长是指同一时刻 ,t波线上相位差为
间的距离.
的2π两点
π(2.50t 0.01x1) π(2.50t 0.01x2 ) 2 π
x2
x1
2 0.01
200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间
π(2.50t1 0.01x1) π(2.50t2 0.01x2 )
u
a
d b
c
3) 由某质元的振动曲线,画出某时刻的波形曲线。
已知x=0处质元的振动曲线如图，画出
t = 0时刻的波形曲线(设波沿 +x方向传播)。
y
x= 0
T
O
t
由振动曲线看出: x=0处质元在零时刻的振动 状态为
y 0, v 0
t = 0时刻的波形曲线
y
u
O
x
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y
Acos[2π( t T
x
)
0
]
0
π 2
y 1.0 cos[2π( t x ) ](m)
2.0 2.0 2
2）求t 1.波0s形图. y 1.0 cos[2 π( t x ) π ] 2.0 2.0 2 t 1.0s 时的波形方程
y 1.0 cos[ π π x] 2
y(m)
y 5cos π(2.50t 0.01x)(cm)
解： y Acos2π ( t x )
T
把题中波动方程改写成
y 5cos 2π( 2.50 t 0.01 x)s 0.8 s 2.5
2cm 200 cm
0.01
u 250 cms1
T
解：方法二（由各物理量的定义解之）.
1.0
o 0.5
-1.0
2.0
x(m)
3） x 0.处5m质点的振动规律并做图 .
y 1.0cos[2 π( t x ) π] 2.0 2.0 2
x 0.处5m质点的振动方程
y 1.0cos[πt π]
y
y/m
3
1.0
3*
4O
2
0
2*
1.0
4 * 2.0
*
t /s
1 -1.0*1
*
例3 一平面简谐波沿轴正向传播，其振幅为A，
y(x,t0 ) y(x ,t0 )
不同时刻对应有不同的波形曲线
yu
t0
t0 + t
O
x
波形曲线能反映横波(或纵波)的位移情况。 注意:区别波形曲线和振动曲线.
3. 若 x均, t 变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况（行波）.
y
u
t1 时刻
t1 t 时刻
O
x
x
y(t1， x) y(t1 t， x x)
O
A
x
*
A c os (t
2
x
o )
2
T
y
Acos[2 ( t
T
x)
0 ]
二、波函数的物理意义
1.如果 x = x0
波函数变为
y ( x0 ,t )
A cos[2
π( t T
x0 λ
)
0
]
表示x0点的简谐振动规律。
如果以y为纵轴，以t为横轴，画出的曲线是x0 处质元的振动曲线。
质点的振动速度
x yp (t) y0 (t u )
O点的振动方程
y0 (t) Acos(t 0 )
任意质元p 振动方程
t x u
y
A c os [ (t
x u
)
0
]
-------平面简谐波的波函数
方法之二: 相位落后法
点P 比点O 落后的相位
p
2π
x
0
A
p
y
O
u
2π
x
点 P 振动方程
P
x
y p (t) Acos(t p )
y(t1， x) y(t1 t， x x)
A cos[ (t1
x u
)
0]
A cos[ (t1
t
x
x u
)
0]
即 t x 0 u
x ut
x点的振动状态(振动相位)是以速度u向前传播的，
经过t时间向前传播了x=ut 的距离。整个波形
也就以速度u向前传播。可见，波速就是振动状态 的传播速度，也就是波形的传播速度。
2
（2）该波的波动方程
该波的波动方程为
y
A
cos[2
(t
t
x
u)
2
]
例4 一平面简谐波以速度 u 2沿0m直/线s 传播,波线
上点 A 的简谐运动方程为
频率为 ,波速为u，设 时t′刻的波形曲线如图。
求：（1）原点处质点振动方程
y(m)
u
A
o
x(m)
-A
解 （1）设o点振动方程
由图：在 t=t´时刻，o点位移为零，振动速度小于
零，所以在t=t´时刻o点的相位等于/2
t 0
2
0
2
t
y/m
u
A
A
o
x/m
O
y
-A
x=0处振动方程为
y Acos[2 (t t) ]
1）两点振动振幅相同 2）两点振动圆频率相同 3）两点振动时间和振动相位不同，但存在一定 关系。
时间推迟法和相位推迟法讨论。
方法一：时间推迟方法
在x轴上任取一点p，p点的振动在时间上落后于
o点，即o点的振动传到p点需用时间x/u
t x u
A y u
P
x
O
A
x
*
t t t 时刻点 P 的相位
？时刻点o 的相位
v y Asin[ (t x) ]
t
u
振动加速度
a
2 y t 2
2 A cos[ (t
x) u
]
注意：波的传播速度与质点振动速度是完全不 同的两个概念。
2. 如果 t=t0
y(x
,t0 )
A cos[2
π(t0 T
x λ
)
0
]
表示t0时刻波线上各个质点位移情况，即表 示某一瞬时的波形。
如果以y为纵轴，以x为横轴，画出的曲线是t0 时刻的波形曲线。
设媒质对波无吸收，沿x轴正方向传播，波速u，
质元的振动振幅A，振动圆频率为，
求平面简谐波的波函数
y y(x,t)
若已知参考点o点的振动方程为
y0 (t) Acos(t 0 )
求波函数即求出
任意质元p的振动方程 y p (t) ?
思路 通过比较p点和o点的振动相位关系和振动时
间关系，由o点的振动方程得到p点的振动方程。
x2 x1 200 cm T t2 t1 0.8 s
u x2 x1 250 cm s1 t2 t1
例2 一平面简谐波沿ox轴正方向传播，已知振
幅 A 1.0m T 2.0.s在 2时.0坐m标原点t处的0 质点位
于平衡位置沿oy轴正方向运动 .求 1）波动方程
解:写出波动方程的标准式