平面简谐波的波函数
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10-02 平面简谐波的波函数
u
8m C B 5m 9m D
oA
x
1)以 A 为坐标原点,写出波动方程 ) 为坐标原点,
A = 3×10 m T = 0.5s = 0
2
2
λ = uT = 10 m
x y = (3 × 10 ) cos(4π t )m 5
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 波动
2)以 B 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道 点的振动方程) ) 为坐标原点,写出波动方程(首先要知道B点的振动方程 点的振动方程)
( 0 .01cm -1 ) x 2 ] = 2 π
λ = x2 x1 = 200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间 周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s-1 )t1 (0.01cm-1 ) x1 ] = π [(2.50s-1 )t2 (0.01cm-1 ) x2 ]
x2 x1 = λ = 200 cm
第十章 波动
y(x,t) = Acos(ωt kx +)
质元的振动速度, 质元的振动速度,加速度
t x y(x,t) = Acos[2 π( ) +] T λ
角波数
k= 2π
y x v = = ωAsin[ω(t ) +] t u 2 y x 2 a = 2 = ω Acos[ω(t ) +] t u
y = A cos(ω t
O
2π
t=0 x=0
y ω
λ
x +)
π = 2
A
y y = 0, v = >0 t
t x π y = (1 . 0 m) cos[ 2 π ( ) ] 2.0s 2.0 m 2
平面简谐波的波函数
y
o
第十章 波动
x
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
8
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程
A
y
O
u
P x
x
A
yO A cost
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
x x d x 则应有 （t ） （ t d t） u u
dx —— 相速度（相速） u 于是得到 dt 即简谐波的波速就是相速。
第十章 波动
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
y yo t t
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
10
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
已知振动方程，求解波动方程 1.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程 若点P的振动超前于点O，则波动方程为
由初始条件给出 由最大速度和最 大加速度给出
o
第十章 波动
x
7
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
3 x 、 t 都变 方程表示在不同时刻各质点的位移， 即不同时刻的波形，体现了波的传播.
y
O
u
x
第十章 波动
8
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
4 沿 x轴方向传播的波动方程
A
y
O
u
P x
x
A
yO A cost
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
x x d x 则应有 （t ） （ t d t） u u
dx —— 相速度（相速） u 于是得到 dt 即简谐波的波速就是相速。
第十章 波动
第十章 波动
6
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
2πx 2 t 一定 x 变化 y A cos t 令 t C（定值） 2πx 则 y A cos 该方程表示 t 时刻波传播方向上各质点 的位移, 即 t 时刻的波形（y — x的关系）
y yo t t
对波动方程的各种形式，应着重从 物理意义上去理解和把握. 从实质上看：波动是振动的传播. 从形式上看：波动是波形的传播.
第十章 波动
10
物理学
第五版
总结
10-2 平面简谐波的波函数
已知振动方程，求解波动方程 1.已知坐标原点O的振动方程，求解波动方程 若点P的振动超前于点O，则波动方程为
由初始条件给出 由最大速度和最 大加速度给出
10-2平面简谐波的波函数
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
yO Acost
yO表示质点O在 t时刻离开平衡位置的距离.
考察波线上P点(坐标x), P点比O点的振
动t 落Δ后t 时刻t 的ux,位P移点，在由t此时得刻的位移是O点在
y A
u
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
y
u
A
P
x
O
x
A
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
故P点的振动方程（波动方程）为：
y
yo
(t
t)
A cos[ (t
x) u
]
对波动方程的各种形式，应着重从
物理意义上去理解从形式上看：波动是波形的传播.
理学院 物理系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
大学物理 §§1100--22 平平面简面谐波简的谐波函波数 的波函数
一 平面简谐波的波函数
波函数：用以描述波在传播过程中空间各点 x 的振
动 y 随时间 t 变化的表达式。 y Acos[(t x) ]
u
设有一平面简谐波沿 x轴正方向传播，
波速为u，坐标原点 O处质点的振动方程为
y A
u
P
uu
Acos[(t x ) ( x0 )]
理学u院 物理u系
大学物理
§10-2 平面简谐波的波函数
例4 一平面简谐波以速度 u 20 m s-1 沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方 程
yA 3102 cos(4 π t); ( y, t单位分别为m，s).
§12-2平面简谐波的波函数
x2 − x1 −1 u= = 250 cm ⋅ s t 2 − t1
轴正方向传播， 例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播，已知振 幅 A = 1.0m T = 2 . 0 s λ = 2.0m .在 t = 0 时坐 标原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运 动 .求 1）波函数 解:写出波函数的标准式
振动向右传播 滞后的时间
x ∆t = u
t 时刻点 P 的运动
=
t-x/u时刻点 的运动 时刻点O 时刻点
P点振动方程
yP
t
= yO
t−x u
x = A cos[ω (t − ) + ϕ0 ] u
点选取的任意性，得波函数即上式。 由P点选取的任意性，得波函数即上式。 太原理工大学物理系
方法之二
相位落后法
8m 5m 9m
−2
λ = 10 m
C B o A D 点 C 的相位比点 A 超前 AC −2 yC = 3 × 10 cos[4 π t + 2 π ]
x
点的坐标x＝ 带入波函数 将D点的坐标 ＝9m带入波函数 点的坐标
−2
λ 13 −2 = 3 × 10 cos[4 π t + π] 5
t 9 y D = 3 ×10 cos[2 π( − )](m) 0.5 10
12§12-2 平面简谐波的波函数 介质中任一质点（ 介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 ） 位移（ 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) ）随时间的变化关系， 称为波函数. 称为波函数.
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移 波线上各质点 平衡位置 平衡位置
平面简谐波的波函数解读
第十章 波动
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数二源自波函数的物理含义2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令
x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y( x, t ) y( x, t T ) （波具有时间的周期性）
8m C B
第十章
0
2.0
t 1.0 s
第十章
x/m
-1.0
时刻波形图
波动
14
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[π t π] (m)
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
A
y
x
A
O
x
第十章
波动
1
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yO A cost
yO 表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
o
第十章 波动
x
8
物理学
第五版
5
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数二源自波函数的物理含义2π
2πx y A cos t
1 x一定， t 变化 令
x
y
则 y A cost
O
t
表示 x点处质点的振动方程（ y — t 的关系）
y( x, t ) y( x, t T ) （波具有时间的周期性）
8m C B
第十章
0
2.0
t 1.0 s
第十章
x/m
-1.0
时刻波形图
波动
14
物理学
第五版
10-2 平面简谐波的波函数
(3) x 0.5m 处质点的振动规律并作图 t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2 x 0.5m 处质点的振动方程
y cos[π t π] (m)
物理学
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10-2 平面简谐波的波函数
一
平面简谐波的波函数
设有一平面简谐波沿x 轴正方向传播， 波速为u，坐标原点 O 处质点的振动方程为
yO A cost
u
P
A
y
x
A
O
x
第十章
波动
1
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第五版
10-2 平面简谐波的波函数
yO A cost
yO 表示质点O 在 t 时刻离开平衡位置的距离. 考察波线上 P 点(坐标 x ), P 点比 O 点的 x 振动落后 t , P 点在 t 时刻的位移是 O 点
y
o
第十章 波动
x
8
物理学
第五版
平面简谐波的波函数标准形式
平面简谐波的波函数表达式
平面简谐波的波函数表达式是y=Asin(ωx+φ)，其中A为振幅，2π/ω为周期，φ为初相
平面简谐波是最基本的波动形式。
平面传播时，若介质中体元均按余弦（或正弦）规律运动，就叫平面简谐波。
如果所传播的是谐振动，且波所到之处，媒质中各质点均做同频率、同振幅的谐振动，这样的波称为简谐波，也叫余弦波或正弦波。
如果简谐波的波面是平面，这样的简谐波称为平面简谐波。
平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐振动，但在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同，但根据波阵面的定义知道，
在任一时刻处在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移。
简谐平面波都往往被简称为简谐波或者平面波，后者频繁在量子力学中使用。
本书的量子力学部分也会大量使用平面波这个简称，无论波动是几维的。
广义来说，平面波未必是简谐的，只需要等相位面都是平面即可：例如波长随空间变化，频率随时间变化也仍然是平面波。
而简谐波也未必是平面的，球面波也可以在径向也是简谐函数。
11-2 平面简谐波的波函数
-
x u
)=
Acos ω
t
-
x u
+
0
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P处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) =
Acos ω
t
-
x u
+
0
波 函 数
因此，波线上任一点在任一时刻的位移都能 由上式给出。此即所求的沿x 轴正方向前进 的平面简谐波的波函数。
沿x轴负方向传播的平面简谐波的波函数：
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2
1
2
x2 x1
2
x
x、t 都变化:
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
o
x
x x
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当t=t1时，y
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x1和x2表示，则
y(t1)
A cos
t1
x1 u
0
y
A cos
2
(
t
mx
)
0
y Acos(t mkx 0 )
k 2 角波数
y
y
A cos(t
Aei
(t
mx u
)0
m2 x
i (t
Ae
0
mk ) u
)
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波动表式的意义：
x 一定：令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A
cos
10-02 平面简谐波的波函数
波程差
∆x21 = x2 − x1
∆ϕ = 2π ∆x
∆ϕ12 = ϕ1 −ϕ2 = 2π
x2 − x1
λ
= 2π
∆x21
λ
λ
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
x t x y = A cos[ω (t − ) + ϕ ] = A cos[2 π( − ) + ϕ ] u T λ
3. 若x和t两个都变化时，波方程就表示了波线上 两个都变化时， 和 两个都变化时 所有质点在各个不同时刻的位移分布情况。 所有质点在各个不同时刻的位移分布情况。 形象地说， 形象地说，在这个波动方程中包括了无数个不 同时刻的波形。随着t的增加波的表达式就描述 同时刻的波形。随着 的增加波的表达式就描述 波形沿传播方向的运动情况。 了波形沿传播方向的运动情况。
y = y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 衡位置的位移
波线上各质点 平衡位置 平衡位置
10 – 2 平面简谐波的波函数
第十章 机械波
3. 平面简谐波的波方程 （1）导出波方程的思路 ） 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时， ◆ 已知波源的振动方程，当振动传到各质元时，各 质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 质元都以相同的振幅、 频率来重复波源的振动。 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元， ◆ 波源的振动状态以某一速度先后传播到各个质元， 沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。 沿波的传播方向上的各质元振动的相位依次落后。 （2）导出波方程步骤 ） 选定坐标并明确波的传播方向。 ◆ 选定坐标并明确波的传播方向。 给出波的传播方向上某点(参考点 波源)的振动方 参考点、 ◆ 给出波的传播方向上某点 参考点、波源 的振动方 程。 比较位于x处的任一点和参考点相位的超前和落后 ◆ 比较位于 处的任一点和参考点相位的超前和落后 关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。 关系，由参考点的振动表达式即可得出波的表达式。
平面简谐波波函数
大学物理
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
波动学基础
第2讲 平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
平面简谐波波函数
在均匀的、无吸收的介质中, 波源作简谐运动而形成 平面简谐波.
如何描述一维平面简谐波即建立波动表达式?其所表 示的物理意义是什么?
平面简谐波波函数
(一)波函数的建立 y = y(x，t )
任选参考点 O 为 x 轴的坐标原点, O 点处 质点的简谐运动方程 为
y
∆x
O x1
x2 x
y
=
A cos ω⎜⎛ t1 ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
相位差为
∆ϕ
= ϕ1
−ϕ2
=
2π⎜⎛ t ⎝T
−
x1 λ
⎞ ⎟
−
2π⎜⎛
t
⎠ ⎝T
−
x2 λ
⎞ ⎟ ⎠
=
2π
x2
− λ
x1
波程差 ∆x = x2 − x1 相位差和波程差的关系： ∆ϕ = 2π ∆x
λ
平面简谐波波函数
(3)当 t , x 都变时, y = y(x, t), 表示所有质元在任意时刻 的位移情况.
解: 由图得
A = 2.5cm = 0.025m，λ = 40m，
T = 4s，ω = 2π = π s−1，u = λ = 10m ⋅s−1
y (cm )
T2
Tuv
20
5
x(m )
OP
波动表达式为
y
=
A
cos
⎡ ⎢ω ⎣
⎜⎛ t ⎝
−
x u
⎞ ⎟ ⎠
+
⎤ ϕ⎥
⎦
代入 t = 0, x = 0 , y = 0 ⇒ cosϕ = 0
大学物理 平面简谐波的波函数
此刻的波形.
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
y Acos[2 π x (2π t )] T
y(x,t) y(x ,t)（波具有空间的周期性）
波程差
x21 x2 x1
12
1 2
2π
x2 x1
2π
x21
2π
x
回目录
3若
x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.
yu
t 时刻
x
O
x
t t 时刻
xx
x 0.5处m质点的振动方程
y 1.0cos(π t π)m
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0
* 1.0
* 2.0
*
t /s
1 -1.0* 1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
回目录
例2 一平面简谐波以速度
沿u直线传20播m,波线/ s上点 A 的简谐运动方
程
. yA 310 2 cos(4 π t)m
y Acos式(中Bt Cx)
A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为 的两点间的相位差.
d
y Acos(Bt Cx)
y Acos2 π ( t x )
T
2π
C
T 2π B
u B
TC
2π d dC回目录
二 波函数的物理意义
y Acos[(t x) ] Acos[2 π( t x ) ]
u
8m 5m 9m
C
B oA
Dx
1）以 A 为坐标原点，写出波函数
两种方法：时间推迟法和相位落后法
y 3102 cos[4 π(t x )]m 20
平面简谐波的波函数
课堂练习 图示为 t = 1s 时的波形曲线，求波动方程。
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
提示 关键：求解原点o处质元初位相 o ！
(t 0)
o
2
A
y
y(m)
0.08 m/s
0.04
(t 1)
t
25
(1
0)
2
5
o
2
2
5
9
10
o
P
0.20
x (m)
t 1s
答案： y
0.04 cos [2
5
(t
x ) 0.08
9 ]
10
(
t
x u
)
o
]
(t
x u
)
o
(t
t
x
x u
)
o
x ut
y
u
☻波速即为相位传播速度 o
( 相速 ) 。
☻行波或前进波。
x
ut
·7 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
三、微分形式的平面波波动方程
对一般的平面波：
xoy系：y f (x, t) xoy系： y f (x)
y
A
cos
[
(t
x u
)
o
]
波函数亦称 波动方程 。
ut
Ao y(0 ,t )
Δt Ax
(x,t)
o
y(x,t) y
t o
·3 ·
Chapter 14. 波的传播与叠加 §14. 2 平面简谐波的波函数
波动方程 的几种标准形式： y
y
A
cos
[
(t
x u
10.3平面简谐波的波函数
设：平面简谐波以速度u 沿 x 轴正向传播；
导出简谐波的波函数：时间推迟法；
波源：设位于原点O 的质点作初相为零的谐振动；
振动方程： yO Acost
(2)
问题：由于该质点的振动及弹性介质，使 x 轴上其
它质点产生振动，它们的振动方程 如何？
选择x 轴上距波源 O 点为 x 的 P点 作 为 研 究象，当振动传到 P 点时，该质点以相 同的振幅、频率重复O点振动，但时间上落后：
由图10.7可知：A 0.2m，T 2s， 2 π s1。
T
将初始条件代入振动方程可得ຫໍສະໝຸດ 0 0.2cos π ，
2
由旋转矢量法得 t 0 y 0 处质点的速度大于零,既有：
π y 0.2 cos( t )
2
2
，
(2)由相位落后法知，任意点处质点
T
例题 10.3.2 设有平面简谐波沿 x轴正方向传播，
其波长为0.2m，原点处质点振动方程为 y 0.02cos(t )
试求此平面简谐波的波函数。
4
解：分析 由时间推迟法=相位落后法可解，x 处质点
落后原点处质点的振动相位是 2 x 10x ，故 x 点
处的质点振动方程为：
x 0， 0
O
A
x
点 O 振动方程 ：yO Acos(t )
则对应波函数：
y Acos[ (t x) ]
u
u 沿 x 轴正向； (7)
y Acos[ (t x) ]
u
u 沿 x 轴负向； (8)
波动方程的其它形式：
y(x,t) Acos[2 π( t x) ]
导出简谐波的波函数：时间推迟法；
波源：设位于原点O 的质点作初相为零的谐振动；
振动方程： yO Acost
(2)
问题：由于该质点的振动及弹性介质，使 x 轴上其
它质点产生振动，它们的振动方程 如何？
选择x 轴上距波源 O 点为 x 的 P点 作 为 研 究象，当振动传到 P 点时，该质点以相 同的振幅、频率重复O点振动，但时间上落后：
由图10.7可知：A 0.2m，T 2s， 2 π s1。
T
将初始条件代入振动方程可得ຫໍສະໝຸດ 0 0.2cos π ，
2
由旋转矢量法得 t 0 y 0 处质点的速度大于零,既有：
π y 0.2 cos( t )
2
2
，
(2)由相位落后法知，任意点处质点
T
例题 10.3.2 设有平面简谐波沿 x轴正方向传播，
其波长为0.2m，原点处质点振动方程为 y 0.02cos(t )
试求此平面简谐波的波函数。
4
解：分析 由时间推迟法=相位落后法可解，x 处质点
落后原点处质点的振动相位是 2 x 10x ，故 x 点
处的质点振动方程为：
x 0， 0
O
A
x
点 O 振动方程 ：yO Acos(t )
则对应波函数：
y Acos[ (t x) ]
u
u 沿 x 轴正向； (7)
y Acos[ (t x) ]
u
u 沿 x 轴负向； (8)
波动方程的其它形式：
y(x,t) Acos[2 π( t x) ]
平面简谐波的波函数
解 确定坐标原点的 Y
振动初相0
A
由图知：t=0时， A/2
u=100m /s
x=0处的质点位于
0
1
X(
A/2处 且向位移正方向运动
-A
m)
由图知：t=0时， x=1m处的质点位于平 衡位置处且向位移负方
向运动
第十章 波动
21
物理学
第五版
0
π 3
,
2.4m,
u 100(m/s)
T /u 0.024s
在 理学
第五版
左行波的波函数：
p点的相位超前于O点相位：
所以 p点的振动方程，也就是左行波的波函数为：
第十章 波动
6
物理学
第五版
波函数的几种常用形式
第十章 波动
7
物理学
第五版
演示实验安排
周三 第3节 7班 第4节 8班
第十章 波动
8
物理学
第五版
二 波函数的物理含义
1 x一定，t变化
解
确定坐标原点的振动初相0
由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处 且向位移的负方向运动，知
第十章 波动
18
物第理五例版学 4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播. 图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方 程。
解：t=0时此质点的相位
0.40 0.20
5.0
t/s
t=5s时质点第一次回到平
第十章 波动
28
物理学
第五版
(1/4) 2A2
o
EP Ek
Y
WpWk x = x0
Tt
y
第十章 波动
t
大学物理 平面简谐波的波函数
17
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
8m
y A 310 cos( 4 π t )m 10m 5m 9m
B
2
oA
D
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
cos( 4 π t 2 π )m 13 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 y D 3 10 cos( 4 π t 2 π )m 9 2 3 10 cos( 4 π t π)m 5
4
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ y( x, t ) A cos(t kx )
质点的振动速度，加速度 角波数 k 2 π
(wave number)
y x v A sin[ (t ) ] t u
分析：
2 3 ( D) 2
( B)
,
由波形图可判定O点在该时刻的振动方向竖直向 上（如图示）
A x
3 由旋转矢量图可知此时的相位为 2
23
3.在下面几种说法中,正确的说法是: （C）
(A)波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数 值上是不同的。 (B)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相超前。 (C)在波传播方向上的任一质点振动位相总是比波源 的位相滞后。 (D) 波源的振动速度与波速相同。
在t＝1／v时刻：
1 v | x x2 2A sin 2 (1 ) 2A 4
即速度比为-1。
3 v | x x1 2A sin 2 (1 ) 2A 4
平面简谐波的波函数
y(0) Acos[t0 0 ] y
t=t0
2
( x2
x1 )
0
x
反映了波动的空间周期性 6
例题: P86 4.3.9
解：（1）该波函数为
y Acos(Bt Cx)
而波函数的一般形式为
y
A c os [ (t
x u
)
0
)]
Acos(t
2
x 0)
比较两式可得
振幅为 A
而 B 2 C 所以
周期为 T 2 2 B
频率为
1 T
B
2
波长为 2
C
波速为 u B
TC 7
（2）由波函数 y Acos(Bt Cx) 可得
传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程为
y Acos( Bt Cl )
（3）相距为 d 的两点的波动方程分别为
y1 Acos( Bt Cx ) y2 Acos( Bt Cx Cd )
y(t)
Acos[(t
x0 u
)
0
]
Acos[t 2
x0
0 ]
令
2
x0
0
则
y(t) Acos(t ) ——x0处质点的振动方程
y(x，t) → y(t)
3
y(t) Acos(t ) ——x0处质点的振动方程
x0处的质点，两个时刻的振动相位差
t2
t1
2
t2 t1 T
若 t2-t1=kT, k=1,2,…
练习: P87 4.3.12
相距为 d 的两点的相位差为
Cd
8
0
)
令 t0 0 则y(x)源自A c os (x u
6_2 平面简谐波的波函数
2
4）
8 2π 1.6π B C 2π 10 x x 22 C D 2π C D 2π 4.4π 10
y A cos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播 T x y A cos ( t ) (向x 轴负向传播 u
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
距离原点O为x1和x2的两质点的相位分别为
x1 t x ) 2π ( 1) u T x t x 2 (t 2 ) 2 π ( 2 ) u T
1 (t
π t 1.0s波形方程 y 1.0 cos( 2 π x) 1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m
处质点的振动方程
y 1.0 cos(π t π)
y
3 1.0 2 0
y/m
3 * 2 * 4 *
4
O
1
y A x轴负向 u
t x y(x,t) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π 2 π , T
y ( x, t ) A cos(t kx )
角波数
u
T
k
2π
沿 x 轴正向传播的平面简谐波，已知距O点x0的Q点的振动规律为
1.0
x 0.5 m
-1.0 *1
* t /s 2.0 *
处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 谐运动方程
u 20m / s 沿直线传播,波线上点 A 的简 y A (3102 ) cos(4 π t ) .
4）
8 2π 1.6π B C 2π 10 x x 22 C D 2π C D 2π 4.4π 10
y A cos 2π ( t x ) (向x 轴正向传播 T x y A cos ( t ) (向x 轴负向传播 u
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
距离原点O为x1和x2的两质点的相位分别为
x1 t x ) 2π ( 1) u T x t x 2 (t 2 ) 2 π ( 2 ) u T
1 (t
π t 1.0s波形方程 y 1.0 cos( 2 π x) 1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m
处质点的振动方程
y 1.0 cos(π t π)
y
3 1.0 2 0
y/m
3 * 2 * 4 *
4
O
1
y A x轴负向 u
t x y(x,t) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2π 2 π , T
y ( x, t ) A cos(t kx )
角波数
u
T
k
2π
沿 x 轴正向传播的平面简谐波，已知距O点x0的Q点的振动规律为
1.0
x 0.5 m
-1.0 *1
* t /s 2.0 *
处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度 谐运动方程
u 20m / s 沿直线传播,波线上点 A 的简 y A (3102 ) cos(4 π t ) .
6-02 平面简谐波的波函数
写出波动式
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] (m) 2.0 2.0 2
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( ) ] T λ
2）求 t 1.0s 波形图.
t x π y 1.0 cos[ 2 π( ) ] 2.0 2.0 2
t 1.0s
2
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方 x 程 2 2 y 3 10 cos 4 π( t ) y A 3 10 cos4 π t 20
u
C
8m
5m
9m
10m
D
B
oA
2
x
把点 C 的坐标代入
13 yc 3 10 cos[ 4 π t π] 5
把点 D 的坐标代入
例1 已知波函数如下，求波长、周期和波速. y 5 cos π[2.50t 0.01x](cm).
解：（比较系数法）. 把波动方程改写成
t x y A cos 2π ( ) T
比较得
2.50 0.01 y 5 cos 2 π[ t x] 2 2
2 T s 0.8 s 2.5 2cm 200 cm 0.01
y
u
x
x0
已知 x0点振动方程
O
x
y x0 A cos( t )
x x0 时间落后 u
x x0
任一点
x 比 x0
相位落后 2
任一点 x 振动方程——波函数
x x0 y A cos[ ( t ) ] u x x0 y A cos[ t 2 ]
y x v A sin[ (t ) ] t u 2 y x 2 a 2 A cos[ (t ) ] t u
平面简谐波波函数
平面简谐波的特点是，它的波形是一个不断振荡的正弦波，在时间t和空间x两个方向上都呈现出波动的特征。平面简谐波在许多物理学领域中都有广泛应用，例如电磁波、声波、光波等。
平面简谐波的波函数可以用数学工具，如幂级数或傅里叶级数来表示。这些工具可以帮助我们分析平面简谐波的特性，例如波长、周期、波速等。
平面简谐波（plane harmonic wave）是物理学中常用的一种波动形式。它是由两个正弦波叠加而成的，其中一个正弦波的波长和波速是定值，另一个正弦波的波长和波速是变化的。
平面简谐波的波函数可以用下面的公式表示：
f(x,，k是波数，ω是角速度，φ是相位。
平面简谐波的波函数可以用数学工具，如幂级数或傅里叶级数来表示。这些工具可以帮助我们分析平面简谐波的特性，例如波长、周期、波速等。
平面简谐波（plane harmonic wave）是物理学中常用的一种波动形式。它是由两个正弦波叠加而成的，其中一个正弦波的波长和波速是定值，另一个正弦波的波长和波速是变化的。
平面简谐波的波函数可以用下面的公式表示：
f(x,，k是波数，ω是角速度，φ是相位。
平面简谐波的波函数
方向传播。
若O点的振动方程为
y0 A cos( t 0 )
时间推迟方法
y A
u
P
x
O
A x
点O 的振动状态
y0 A cos( t 0 )
t x u
t ux 时刻点O 的运动
点P t 时刻点 P 的运动
P点在t时刻的位移为
y
A cos[ (t
x) u
0]
平面简谐波的波动方程
*若波以速度u 沿x轴负方向传 播， 则波函数为
能否写出波动表达式?形 式如何?
y
u
．P. x
x
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
y A
u
P
x
O
A x
波函数的其它形式
y
A cos[ (t
x) u
0 ]
y
Acos[2 ( t
T
x
)
0 ]
y
A
cos[2
(
t
x
)
0 ]
y Acos(t kx 0 )
2 2 / T
u / T
k
2
角波数，为2π长度内所 包含的完整波形的个数
二、波函数的物理含义：
y
y
A
cos[(t0
x u
)
]
o
x
t t0
(3) 若x和t 都是变量，波函数表示波线上不同质点、不同时刻
的位移 （行波）
y Acos[(t x) ]
u
A:
(t
x u
)
ห้องสมุดไป่ตู้
0
B:
(t
t
x
相关主题
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3.要求掌握 1)由t 时刻的波形曲线,画出另一时刻的波形曲线； 已知t = 0时刻的波形曲线,求
画出t -(T/4)， t +(T/2)u各时刻的波形曲线。
o
2) 由t时刻的波形曲线,确定某质元的振动方向, 写出 该质元的振动方程； 在题图上用小箭头示出a、b、c、d各质元的振动 趋势，并分别画出它们的振动曲线。
y 5cos π(2.50t 0.01x)(cm)
波长是指同一时刻 ,t波线上相位差为
间的距离.
的2π两点
π(2.50t 0.01x1) π(2.50t 0.01x2 ) 2 π
x2
x1
2 0.01
200 cm
周期为相位传播一个波长所需的时间
π(2.50t1 0.01x1) π(2.50t2 0.01x2 )
u
a
d b
c
3) 由某质元的振动曲线,画出某时刻的波形曲线。
已知x=0处质元的振动曲线如图，画出
t = 0时刻的波形曲线(设波沿 +x方向传播)。
y
x= 0
T
O
t
由振动曲线看出: x=0处质元在零时刻的振动 状态为
y 0, v 0
t = 0时刻的波形曲线
y
u
O
x
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y
Acos[2π( t T
x
)
0
]
0
π 2
y 1.0 cos[2π( t x ) ](m)
2.0 2.0 2
2）求t 1.波0s形图. y 1.0 cos[2 π( t x ) π ] 2.0 2.0 2 t 1.0s 时的波形方程
y 1.0 cos[ π π x] 2
y(m)
y 5cos π(2.50t 0.01x)(cm)
解： y Acos2π ( t x )
T
把题中波动方程改写成
y 5cos 2π( 2.50 t 0.01 x)s 0.8 s 2.5
2cm 200 cm
0.01
u 250 cms1
T
解：方法二（由各物理量的定义解之）.
1.0
o 0.5
-1.0
2.0
x(m)
3） x 0.处5m质点的振动规律并做图 .
y 1.0cos[2 π( t x ) π] 2.0 2.0 2
x 0.处5m质点的振动方程
y 1.0cos[πt π]
y
y/m
3
1.0
3*
4O
2
0
2*
1.0
4 * 2.0
*
t /s
1 -1.0*1
*
例3 一平面简谐波沿轴正向传播，其振幅为A，
y(x,t0 ) y(x ,t0 )
不同时刻对应有不同的波形曲线
yu
t0
t0 + t
O
x
波形曲线能反映横波(或纵波)的位移情况。 注意:区别波形曲线和振动曲线.
3. 若 x均, t 变化，波函数表示波形沿传播方向
的运动情况（行波）.
y
u
t1 时刻
t1 t 时刻
O
x
x
y(t1， x) y(t1 t， x x)
O
A
x
*
A c os (t
2
x
o )
2
T
y
Acos[2 ( t
T
x)
0 ]
二、波函数的物理意义
1.如果 x = x0
波函数变为
y ( x0 ,t )
A cos[2
π( t T
x0 λ
)
0
]
表示x0点的简谐振动规律。
如果以y为纵轴，以t为横轴，画出的曲线是x0 处质元的振动曲线。
质点的振动速度
x yp (t) y0 (t u )
O点的振动方程
y0 (t) Acos(t 0 )
任意质元p 振动方程
t x u
y
A c os [ (t
x u
)
0
]
-------平面简谐波的波函数
方法之二: 相位落后法
点P 比点O 落后的相位
p
2π
x
0
A
p
y
O
u
2π
x
点 P 振动方程
P
x
y p (t) Acos(t p )
y(t1， x) y(t1 t， x x)
A cos[ (t1
x u
)
0]
A cos[ (t1
t
x
x u
)
0]
即 t x 0 u
x ut
x点的振动状态(振动相位)是以速度u向前传播的，
经过t时间向前传播了x=ut 的距离。整个波形
也就以速度u向前传播。可见，波速就是振动状态 的传播速度，也就是波形的传播速度。
2
（2）该波的波动方程
该波的波动方程为
y
A
cos[2
(t
t
x
u)
2
]
例4 一平面简谐波以速度 u 2沿0m直/线s 传播,波线
上点 A 的简谐运动方程为
频率为 ,波速为u，设 时t′刻的波形曲线如图。
求：（1）原点处质点振动方程
y(m)
u
A
o
x(m)
-A
解 （1）设o点振动方程
由图：在 t=t´时刻，o点位移为零，振动速度小于
零，所以在t=t´时刻o点的相位等于/2
t 0
2
0
2
t
y/m
u
A
A
o
x/m
O
y
-A
x=0处振动方程为
y Acos[2 (t t) ]
1）两点振动振幅相同 2）两点振动圆频率相同 3）两点振动时间和振动相位不同，但存在一定 关系。
时间推迟法和相位推迟法讨论。
方法一：时间推迟方法
在x轴上任取一点p，p点的振动在时间上落后于
o点，即o点的振动传到p点需用时间x/u
t x u
A y u
P
x
O
A
x
*
t t t 时刻点 P 的相位
？时刻点o 的相位
v y Asin[ (t x) ]
t
u
振动加速度
a
2 y t 2
2 A cos[ (t
x) u
]
注意：波的传播速度与质点振动速度是完全不 同的两个概念。
2. 如果 t=t0
y(x
,t0 )
A cos[2
π(t0 T
x λ
)
0
]
表示t0时刻波线上各个质点位移情况，即表 示某一瞬时的波形。
如果以y为纵轴，以x为横轴，画出的曲线是t0 时刻的波形曲线。
设媒质对波无吸收，沿x轴正方向传播，波速u，
质元的振动振幅A，振动圆频率为，
求平面简谐波的波函数
y y(x,t)
若已知参考点o点的振动方程为
y0 (t) Acos(t 0 )
求波函数即求出
任意质元p的振动方程 y p (t) ?
思路 通过比较p点和o点的振动相位关系和振动时
间关系，由o点的振动方程得到p点的振动方程。
x2 x1 200 cm T t2 t1 0.8 s
u x2 x1 250 cm s1 t2 t1
例2 一平面简谐波沿ox轴正方向传播，已知振
幅 A 1.0m T 2.0.s在 2时.0坐m标原点t处的0 质点位
于平衡位置沿oy轴正方向运动 .求 1）波动方程
解:写出波动方程的标准式