材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
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材料力学刘鸿文第六版全部整合教案整编能量方法
1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
求自由端B的挠度。
F
A
材料力学(刘鸿文)第十三章 能量方法
P 1 P1 Q1 Q1
若 P1 Q1 ，则有
1 Q 1 P
位移互等定理
例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁， 如图，试用互等定理求解。
A
B
a
P
L
A
R a L δ δ2 X=1
P
B
第一组力： P、R
a2 1 (3l a) 6 EI
l3 2 3EI
——莫尔积分法又称单位载荷法。 M(x) ：实际载荷引起的弯矩；
M ( x ) ： 单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
V1 W1 W2 W12
V2 W1 W2 W21
W12 W21
P 1 P 2 P 2 P m Pm Q1 Q
功的互等定理
位移互等定理
设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，
B
P=1
B
C：yB(a)=yC(b) D：yC(a)=θB(b)
(a) A
C
C
A
(b)
4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所 在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用 下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向 逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以 不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？
P
千分尺
2 N
2
M 2 ( x )dx 2 EI
注意 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、 在小变形下的应变能的计算
2 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加 原理在同种应变能计算中 不能使用。
3 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上 不做功时，才可应用。 4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关； 在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。
若 P1 Q1 ，则有
1 Q 1 P
位移互等定理
例题：装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁， 如图，试用互等定理求解。
A
B
a
P
L
A
R a L δ δ2 X=1
P
B
第一组力： P、R
a2 1 (3l a) 6 EI
l3 2 3EI
——莫尔积分法又称单位载荷法。 M(x) ：实际载荷引起的弯矩；
M ( x ) ： 单位载荷引起的弯矩。
求转角的莫尔积分
V1 W1 W2 W12
V2 W1 W2 W21
W12 W21
P 1 P 2 P 2 P m Pm Q1 Q
功的互等定理
位移互等定理
设两组力Pi、Qj只有一个力P1、Q1作用于物体，
B
P=1
B
C：yB(a)=yC(b) D：yC(a)=θB(b)
(a) A
C
C
A
(b)
4、将千分尺安装在梁上，可以测出安置点所 在位置处的挠度。为了测出图示梁在力P作用 下的挠曲线，就必须将千分尺沿梁的长度方向 逐点安置并测定该点的挠度。用什麽办法可以 不移动千分尺就能够测出该梁的挠曲线？
P
千分尺
2 N
2
M 2 ( x )dx 2 EI
注意 1 以上计算公式仅适用于线弹性材料、 在小变形下的应变能的计算
2 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加 原理在同种应变能计算中 不能使用。
3 只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上 不做功时，才可应用。 4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关； 在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。
材料力学中的能量法
记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理 （1）刚体 虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。 虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2
材料力学(刘鸿文主编)
第1章 绪 论§1.1 材料力学的任务与研究对象·材料对人类文明产生过重大影响，历史划分为旧石器，新石器，青铜，铁器，和现在有人称为的合成材料时代，21世纪将发展成智能材料时代。
·材料的力学行为是工程材料研究的重要方面。
直至50～60年代，力学是科学技术发展的主导学科，汽车、火车、飞机、火箭、卫星，力学家功居首位，伽利略、牛顿、卡门、铁摩辛柯、钱学森、钱伟长、钱令希、周培源这些众人熟知的科学家都为力学家。
·信息时代，材料是科学技术发展的物质基础，材料力学是一门不可缺少的技术基础课。
构件：组成机械与结构的零构件。
理力：刚体假设，研究构件外力与约束反力。
材力：变形体力学，研究内力与变形1. 材料力学任务（1）构件设计基本要求能力）（保持原有平衡形式的（抵抗变形能力）（抵抗破坏能力）稳定性刚度强度经济矛盾安全合理设计⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧)( （2）任务：研究构件在外力作用下受力、变形和破坏的规律，为合理设计提供有关强度、刚度和稳定性分析的基本理论和方法。
2. 研究对象(1) 构件按几何特征分类体（三维同量级） 板（壳）（一维（厚度）很小） 杆（一维（长度）很大）(2) 构件按受力分类材料力学主要研究杆。
杆常常是决定结构强度关键部件。
（房屋承载：梁、柱；飞机：主梁，框架+蒙皮；人体：骨骼；栋梁，中流砥柱---），“一根细杆打天下，学好压弯扭就不怕”（顺口溜，工作体会）。
材料力学----------工程师知识结构的梁和柱。
§1.2 变形固体的基本假设从几何尺度，科学研究可分为宇观、宏观、微观；宇观和微观自然属前沿研究领域，从事的人不多，宇观力学研究天体和宇宙运动，发生和发展行为，它告诉我们宇宙、太阳系、地球的现在的状态、从哪来到哪去；微观力学如量子力学则研究构成物质的粒子力学行为。
但我们肉眼所观测到的宏观尺度是科技主战场。
1.连续性假设：无空隙，力学量是坐标连续函数。
材料力学(刘鸿文版)全套课件 PPT
850 750 650 550
104
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N
从图可以得出三点结论：
(1)对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅 。
(2)材料的疲劳寿命N 随应力幅 的增大而减小。
(3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅
称为疲劳极限，记为 -1 。
目录
对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的水平部分，一般规定
Δ
max
m in
O t
目录
通常用以下参数描述循环应力的特征
(1)应力比 r
r min max
r = -1 ：对称循环 ； r = 0 ：脉动循环 。
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅
max min
(3)平均应力 m
B L
解： ⑴ 弯矩方程
F
A
M (x) M e Fx
Me
⑵ 变形能
V
L
M 2 (x) dx 2EI
L
1 2EI
(M
e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和M0分别作用时
A M0
V 1
MeL 2EI
F 2 L3 V 2 6EI
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功
能原理求自由端B的挠度。
F
解：
l
x
M (x) F x
V
材料力学(能量法)
弹性变形阶段
01
外力作用下，材料发生弹性变形，此时外力所做的功全部转化
为应变能储存于材料内部。
塑性变形阶段
02
当外力继续增加，材料进入塑性变形阶段，部分应变能转化为
热能散失到环境中。
断裂破坏阶段
03
当材料达到强度极限时发生断裂破坏，此时储存的应变能迅速
释放并转化为断裂表面的新表面能和其他形式的能量。
非圆截面扭转时的能量可以通过实验或数值模拟等方法进 行计算，以获得准确的能量值。
扭转变形过程中能量转化
弹性变形能
在扭转变形过程中，部分能量以弹性变形能的形式储存在材料中。 当外力去除后，这部分能量可以释放并使材料恢复原状。
塑性变形能
当扭转变形超过材料的弹性极限时，部分能量会以塑性变形能的形 式消耗在材料中。这部分能量不可逆转，导致材料产生永久变形。
压缩过程中能量变化
外力做功
在压缩过程中，外力对杆件做 功，使其产生压缩变形和位移 。外力做功的大小与外力的大 小和杆件的位移成正比。
内力耗能
杆件在压缩过程中，材料内部 会产生应力和应变，从而消耗 能量。内力耗能的大小与材料 的应力-应变关系有关。
弹性势能
杆件在压缩过程中，由于材料 的弹性变形，会储存一定的弹 性势能。弹性势能的大小与材 料的弹性模量和变形量有关。
结构稳定性分析方法
能量准则
通过比较结构失稳前后的能量变 化，判断结构的稳定性。若失稳 后能量降低，则结构不稳定。
平衡路径跟踪法
通过逐步增加荷载或位移，跟踪 结构的平衡路径，观察结构从稳 定到不稳定的转变过程。
特征值分析法
基于结构刚度矩阵和质量矩阵， 求解特征值和特征向量，分析结 构的振动特性和稳定性。
工科教材—材料力学完整成套课件第13章- 能量法
G
E
T0()cos, M 0()sin
2(1 )
B 0T (G )T Ip 0()R d 0M ()E M I0()R d 0mG coIsp 2Rd0msE inI2Rd
mR mR
GIp 2 EI 2
R
Rm 1
2 GIp
1
EI
32(2 )Rm
Ed4
例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内, 在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直 位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角。已知 GIp、 EI为常量
P0作功：
U0
P 1、 P2作 功 ： U
共做功
W1
U0
U
1
P 0在 上 又 作 功 ： 1
P1
P2
P0 1
C
W1 U1
U 0U1[(M (x)2 EM I0(x)]2dx l
M 2(x)d x[M 0(x)]2d xM (x)M 0(x)d x
l 2 E I l 2 E I
X 8a(l a)
(2)
ql2 / 8
CE 1IX 2 al2 3X2 a21q 1l232 1
0 X ql3
4a(2l 3a)
例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的 铅垂位移。
解：
vC
3 EI
Pa2 2
2a
3
Pa3 EI
例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两 截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的 相对线位移 ΔAB 。
N 2(x)
T2(x)
M 2(x)
Ul2EA (x)dxl2G Ip(x)dxl2EI(x)dx
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。
E
T0()cos, M 0()sin
2(1 )
B 0T (G )T Ip 0()R d 0M ()E M I0()R d 0mG coIsp 2Rd0msE inI2Rd
mR mR
GIp 2 EI 2
R
Rm 1
2 GIp
1
EI
32(2 )Rm
Ed4
例：轴线为半圆形的平面曲杆,位于水平面内, 在自由端受垂直力P作用。试求自由端A的垂直 位移、绕x轴的转角和绕y轴的转角。已知 GIp、 EI为常量
P0作功：
U0
P 1、 P2作 功 ： U
共做功
W1
U0
U
1
P 0在 上 又 作 功 ： 1
P1
P2
P0 1
C
W1 U1
U 0U1[(M (x)2 EM I0(x)]2dx l
M 2(x)d x[M 0(x)]2d xM (x)M 0(x)d x
l 2 E I l 2 E I
X 8a(l a)
(2)
ql2 / 8
CE 1IX 2 al2 3X2 a21q 1l232 1
0 X ql3
4a(2l 3a)
例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的 铅垂位移。
解：
vC
3 EI
Pa2 2
2a
3
Pa3 EI
例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两 截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的 相对线位移 ΔAB 。
N 2(x)
T2(x)
M 2(x)
Ul2EA (x)dxl2G Ip(x)dxl2EI(x)dx
例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功 能原理求自由端B的挠度。
材料力学课件(刘鸿文)
2 1
(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。 若先在C截面加P 然后B截面加P 在C截面加P2 后， P2 作功 截面加P
A B
a
P (a + b) 2EA
2 2
P1
C
b
在B截面加P1后， P1作功 截面加P
P2
Pa 2EA
2 1
加 P1引起 C 截面的位移
A
P1a EA 在加P 过程中P 作功（常力作功） 在加P1 过程中P2作功（常力作功）
a
B
P1
C
b
P1P2 a EA
P2
1 1 Vε =W = P1δB1 + P2δc2 + P1δB2 2 2
a P2(a + b) P1P2 a P = + 2 + 2EA 2EA EA
2 1
注意： 注意：
(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 计算外力作功时，
区别。 区别。 (2) 应变能 Vε只与外力的最终值有关，而与加载过 只与外力的最终值有关， 程和加载次序无关。 程和加载次序无关。
能量方法
§13—1 概述 13—
一、能量方法：
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 来求解可变形固体的位移、 力等的方法。 力等的方法。 二、外力功 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功。 外力因此而做功，则成为外力功。
l 2
P A C
l 2
m
δ1
δ2
B
梁中点的挠度为 梁右端的转角为
= Pl + ml δ1 48EI 16EI =θ = Pl + ml δ2 16EI 3EI
(2) 若先在C截面加P2 ，然后B截面加P1。 若先在C截面加P 然后B截面加P 在C截面加P2 后， P2 作功 截面加P
A B
a
P (a + b) 2EA
2 2
P1
C
b
在B截面加P1后， P1作功 截面加P
P2
Pa 2EA
2 1
加 P1引起 C 截面的位移
A
P1a EA 在加P 过程中P 作功（常力作功） 在加P1 过程中P2作功（常力作功）
a
B
P1
C
b
P1P2 a EA
P2
1 1 Vε =W = P1δB1 + P2δc2 + P1δB2 2 2
a P2(a + b) P1P2 a P = + 2 + 2EA 2EA EA
2 1
注意： 注意：
(1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 计算外力作功时，
区别。 区别。 (2) 应变能 Vε只与外力的最终值有关，而与加载过 只与外力的最终值有关， 程和加载次序无关。 程和加载次序无关。
能量方法
§13—1 概述 13—
一、能量方法：
利用功能原理 Vε = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 来求解可变形固体的位移、 力等的方法。 力等的方法。 二、外力功 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功。 外力因此而做功，则成为外力功。
l 2
P A C
l 2
m
δ1
δ2
B
梁中点的挠度为 梁右端的转角为
= Pl + ml δ1 48EI 16EI =θ = Pl + ml δ2 16EI 3EI
《材料力学》11-1能量法
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积
F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
例题
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
—应变曲线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
例题
xy平面内，由k根杆组成的杆系，在结点A处用铰链结 在一起，受到水平荷载和铅垂荷载作用，截面分别 为 A1,A2,Ai,Ak ，试用卡氏第一定理求各杆的轴力。
1
2
i
k
F1 A
F2
这种以位移为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为位移法
本章作业
(II)3－2，
(II)3－4，
(II)3－10，
例题
图示在线弹性范围内工作的一端固定、另一端自由的圆轴，在自由端截面
上承受扭转力偶矩M1。材料的切变模量G和轴的长度 l 以及直径 d 均已知。 试计算轴两端的相对扭转角。
M1
d
A
B
l
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
V cvc2Al2A nK lnn1 cF 1 o sn1
卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
材料力学(配浙大 刘鸿文第五版)13 能量法
C
F1
b
F2
P21
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
F3
C
B
F1
1
A
2
C1,C2,C3 是比例常数.
在比例加载时 F1/F2 和 F3/F2 也是常数
2 与 F2 之间的关系是线性的.
同理,1 与 F1, 3 与F3 之间的关系也是线性的.
P16
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
第十三章
能量方法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
第十三章
能量方法
1 u ε ηγ 2
y
G 2 2 uε γ 2 2G
等直圆杆扭转时应变能的计算
a
d
Vε u εdV u εdAdx
V l A
x
G 2 uε γ 2 2G
2
P13
b z dx
dx
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
P22
F1
C
b
F22 (a b) 1 W2 F2 C 2 2 2 EA
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
F1
b
F2
P21
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
（1）先在 B 截面加 F1,然后在 C 截面加 F2
第十三章
能量方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（a）在 B 截面加 F1, B截面的位移为
B1
外力作功为
F1a EA
2 1
A
B
a
1 F a W1 F1δB1 2 2 EA
（b）再在C上加 F2 C截面的位移为 C 2 F2 作功为
F3
C
B
F1
1
A
2
C1,C2,C3 是比例常数.
在比例加载时 F1/F2 和 F3/F2 也是常数
2 与 F2 之间的关系是线性的.
同理,1 与 F1, 3 与F3 之间的关系也是线性的.
P16
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
第十三章
能量方法
3
F2
B B'
Fi
F3
C Fi
第十三章
能量方法
1 u ε ηγ 2
y
G 2 2 uε γ 2 2G
等直圆杆扭转时应变能的计算
a
d
Vε u εdV u εdAdx
V l A
x
G 2 uε γ 2 2G
2
P13
b z dx
dx
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学
P22
F1
C
b
F22 (a b) 1 W2 F2 C 2 2 2 EA
杭州电子科技大学机械设计与车辆工程研究所
材料力学：ch13 能量法
第十三章 能量法13-2 图示变宽度平板，承受轴向载荷F 作用。
已知板件厚度为δ，长度为l ，左、右端的截面宽度分别为b 1与b 2，材料的弹性模量为E ，试用能量法计算板件的轴向变形。
题13-2图解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为x x b E F x x EA F V lld )(2d )(202N02N⎰⎰==δε (a)由图可知，截面x 的宽度为x lb b b x b 121)(-+= 代入式（a ）,并考虑到,于是得F F =N 121221212 0 ln )(2d 21b b b b E δlF x x l b b b δF E V lε-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰设板的轴向变形为∆l ，则根据能量守恒定律可知，12122ln )(22Δb b b b E δlF l F -= 由此得1212ln )(Δb b b b E δFll -=13-4图示结构，承受铅垂载荷F 作用。
已知杆BC 与DG 为刚性杆，杆1与2为弹性杆，且各横截面的拉压刚度均为EA ，试用能量法计算节点D 的铅垂位移。
题13-4图解： 1. 轴力计算未知支反力四个，未知轴力两个，即未知力共六个，而独立或有效平衡方程也为六个，故为一静定问题。
设杆1与杆2均受拉，则刚性杆BC 与DG 的受力如图b 所示。
由平衡方程 02 ,0N2N1=⋅+⋅=∑a F a F M B022 ,0N2N1=⋅-⋅-⋅=∑a F a F a F M G 得34N1F F =， 32N2FF -= 2. 铅垂位移计算 结构的应变能为EA l F EA l F EA l F EA l F V ε9103234222222222N 21N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= 设节点D 的铅垂位移∆Dy 与载荷F 同向，因此，载荷F 所作的功为2DyF ΔW =根据能量守恒定律，于是有EA l F F ΔDy 91022= 由此得节点D 的铅垂位移为()↓=920EAFlΔDy 13-5 图a 所示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F 作用。
材料力学第十三章 能量法
1 W F wC 2
由Vε=W 得
Fa 2b 2 wC 3 EIl
例题
试求图示四分之一圆曲杆的变形能,并利用功能原理求B截
B
面的垂直位移. 已知EI为常量.
解： M ( ) FRsin
F
R
θ
M ( ) Vε Rd l 2 EI π ( FRsin )2 πF 2 R 3 2 Rd A 0 2 EI 8 EI 1 W F y 2 πFR 3 由Vε=W 得 y 4 EI
1 1 1 1 W P1 1 P2 2 P3 3 Pn n 2 2 2 2
All forces are applied slowly from zero to the final value. All deformations are within the proportional limit. Conclusion: (1) U is not related to the order in which the forces are applied. (2) U = W
q
A B
F=qa
C x A x B x 2a a
C
1
x
FRA
2a
a
1/2a
（2）求C 截面的转角（在C处加一单位力偶）
qa qx 2 x AB: M ( x) x M ( x) 2 2 2a BC: M ( x ) qa x M ( x) 1 2 2 a qa a 1 qx x C [ ( x )( )dx ( qax )(1)dx ] 0 EI 0 2 2 2a 5qa 3 6 EI （ ）
例题 图示外伸梁,其抗弯刚度为 EI. 用单位载荷法求C点的挠 度和转角.
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题及考研真题详解(13-15章)【圣才出品】
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一组力 F1、F2 引起的位移上所作的功，可表示为 F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4
2．位移的互等定理 若只有 F1 和 F3 作用且 F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起的位移，可表示为 δ′1＝δ′3
结构也可使用虚功原理。
单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位移，在该点作用一单位力，在单位力单独作
＿
＿
＿
用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为FN（x）、M（x）和T（x），并将已知外力作
用下的位移作为虚位移，利用虚功原理求解。
若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：
（1）对于抗弯为主的杆件，点的位移：
=
2
F
2
3 8
l
2E
2d 2
2
+
F
2
1 4
l
2E
d 2
2
=
7F 2l 8 Ed
2
13.2 图 13-2-2 所示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在 F 力作用下，桁架
7 / 209
的各根杆都是二力杆，只承受轴向力的作用，由静力学平衡条件可得各杆轴力
＿
＿
其中，MC 为M（x）图中与 M（x）图的形心 C 对应的坐标。
5 / 209
对于计算过程中常用图形的面积和形心 C 位置的计算公式如图 13-1-3 所示。
图 13-1-3 13.2 课后习题详解 说明：在以下习题中，如无特别说明，都假定材料是线弹性的。 13.1 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图 13-2-1 所示，其中一根为等截面杆，另 一根为变截面杆。试比较两根杆件的应变能。
一组力 F1、F2 引起的位移上所作的功，可表示为 F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4
2．位移的互等定理 若只有 F1 和 F3 作用且 F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位移，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起的位移，可表示为 δ′1＝δ′3
结构也可使用虚功原理。
单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位移，在该点作用一单位力，在单位力单独作
＿
＿
＿
用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为FN（x）、M（x）和T（x），并将已知外力作
用下的位移作为虚位移，利用虚功原理求解。
若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：
（1）对于抗弯为主的杆件，点的位移：
=
2
F
2
3 8
l
2E
2d 2
2
+
F
2
1 4
l
2E
d 2
2
=
7F 2l 8 Ed
2
13.2 图 13-2-2 所示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在 F 力作用下，桁架
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的各根杆都是二力杆，只承受轴向力的作用，由静力学平衡条件可得各杆轴力
＿
＿
其中，MC 为M（x）图中与 M（x）图的形心 C 对应的坐标。
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对于计算过程中常用图形的面积和形心 C 位置的计算公式如图 13-1-3 所示。
图 13-1-3 13.2 课后习题详解 说明：在以下习题中，如无特别说明，都假定材料是线弹性的。 13.1 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图 13-2-1 所示，其中一根为等截面杆，另 一根为变截面杆。试比较两根杆件的应变能。
材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法
由此得：wC1
Ml2 16E I
Fk
123
A
B
(a)
Ak
(b) k
1 2 3
F1
F2 F3
B
例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm,
3 0.5mm, 若（b）中1、2、3点作用
荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN，
求k点的挠度？
加载的次序无关；
P1
P2
先施加P1
V1
P12l1 2EA
AB
C
l1
l2
再施加P2
AB又伸长
Dl AB
P2l1 EA
P1保持不变，作功为
V 2
P1
P2l1 EA
P2作功为
V 3
P22( l
P1
P2l1 EA
P22 (l1 l2 ) 2EA
先施加P2
V1
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
F2
F3
采用比例加载
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
FN2 ( x )dx 2EA
FN ( x ) FN ( x ) dx EA Fi
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13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
所以：DV DFi i
DV DFi
i
DFi 0
V Fi
i
变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于定理
举例
F
A
L wA=？
B
功能原理
1:
V
L (Fx)2 dx F 2L3 0 2EI 6EI
W
1 2
FwA
FL3 V W wA 3EI
卡式定理
V F
FL3 3EI
1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( x )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx
l 2GIp (x)
M 2(x) dx
l 2EI (x)
kFs2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
求自由端B的挠度。
F
A
B
l
x
W
1 2
F
wB
解： M (x) -F x
V
l
M 2 (x) dx 2EI
F 2l3 6EI
由V W，得
wB
Fl 3 3EI
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。
B L
解： ⑴ 弯矩方程
F
A
M (x) Me Fx
应用 叠加原理 的条件
（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有 刚体位移。 即：位移是由变形引起。
讨论对象：线弹性体。
§13-2 杆件应变能计算
1、拉压
P=FN 静载P P
l
Dl
q(x)
P
加载过程中始终有 P
P Dl FN l
EA
外力功 W 1 PDl
2
Dl Dl
应变能
V
1 PDl 2
1.能量法定义：
在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移 的方法叫能量法。
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以 求结构任一指定点的任意方向的位移。
能量法的特点
能量法是求位移的普遍方法
1．解题简单、适用性广；
2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性 问题；（只讨论线弹性问题）
3．可求解静定与超静定问题；
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
若F1 = F2 ，则得 12 21
位移互等定理
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
（反力互等定理， 反力位移互等定理）
说明：
(1) 互等定理只适用于线弹性结构；
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相 应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的 力为数值相同，位移相同也仅代表数值相同（量 纲对应）。 （3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下, 只是由变形引起的位移.
变形能的增加量：
DV
1 2
DFi
D
i
F1D1
F2D 2
Fi Di
DV
1 2
DFi
D
i
F1D1
F2D 2
Fi Di
略去二阶小量，则：
DV F1D1 F2D 2 Fi Di
如果把原有诸力看成第一组力，把 DFi 看作第二组力，根据互等
定理：
DFii F1D1 F2D 2 Fi Di
内力2 l 2刚度
F-广义力泛指力或力偶矩；
-广义位移为线位移或角位移；
（2）应变能的数值恒为正值；
（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不能 简单叠加。
同种类型荷载的变形能不能简单叠加。
1） F1, F2 共同作用下：
V
(F1 F2 )2 L 2EA
F12 L 2EA
F2 2 L 2EA
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
FN2 ( x )dx 2EA
FN ( x ) FN ( x ) dx EA Fi
（b） 扭转
δi
Vε Fi
Fi
T 2( x)dx 2GIp
T ( x) T ( x)dx GIp Fi
GI p
me 静载
外力功
1 W 2 me
应变能
1
1
V
2
me
T 2
T 2l 2GI P
当扭矩随截面位置变化时
T 2( x )dx
V l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲 M=m
l
m
加载过程中始终有 m
m 静载 外力功 应变能
Ml
EI
W 1 M
2
1 V 2 M
M 2l
2EI
横力弯曲 M=M(x)
F1F2 L EA
2） F1单独作用下：
V1
F12 L 2EA
3）F2 单独作用下：
V 2
F22 L 2EA
V1 V 2 V 证毕。
L
F1 F2
L F1
L F2
（4）线弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与
加载的次序无关；
P1
P2
先施加P1
V1
P12l1 2EA
AB
C
l1
l2
再施加P2
AB又伸长
M e L2 2EI
A
( A ) F
( A ) Me
FL2 2EI
MeL EI
V
W
1 2
FwA
1 2
M
e A
F 2L3 6EI
MeF2 2EI
M
2 e
L
2EI
§13-4 互等定理
功能原理求图示悬臂梁中点B处的转角θB 。
思考：求上图悬臂梁中点C处的铅垂位移 DC。
基本概念
12
F1
11
21
F2
12
22
i j
荷载作用点
•位移发生点
F1
F2
F1
F2
11
21
12
22
先作用F1，后作用F2，外力所作的功：
V
1 2
F111
1 2
F2 22
F112
先作用F2，后作用F1，外力所作的功：
V
1 2
F2 22