材料力学刘鸿文第六版最新课件第十三章 能量方法

Fi l 2 EA
l 2GIp
l 2EI
FN ( x) FN ( x) dx T ( x) T ( x) dx M ( x) M ( x) dx
EA Fi
GIp Fi
EI Fi
例 外伸梁受力如图所示,已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.
求梁 C 截面的挠度和 A 截面的转角.
Me
一对力偶
一个线位移
一个角位移
相对线位移 相对角位移
（3）卡氏第二定理的应用
（a） 轴向拉伸与压缩
δi
Vε Fi
Fi
FN2 ( x )dx 2EA
FN ( x ) FN ( x ) dx EA Fi
（b） 扭转
δi
Vε Fi
Fi
T 2( x)dx 2GIp
T ( x) T ( x)dx GIp Fi
1.能量法定义：
在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移 的方法叫能量法。
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以 求结构任一指定点的任意方向的位移。
能量法的特点
能量法是求位移的普遍方法
1．解题简单、适用性广；
2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性 问题；（只讨论线弹性问题）
3．可求解静定与超静定问题；
1 2 FN Dl
FN 2l 2EA
x dx q(x)·dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
dV
1 2
FN
(
x
)d
Dl
FN 2( x )dx 2EA
FN(x)
FN(x)＋dFN (x)
dx
V
l dV
FN 2( x )dx l 2EA
2、扭转
T=me
l
加载过程中始终有
me me
Tl
若F1 = F2 ，则得 12 21
位移互等定理
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
（反力互等定理， 反力位移互等定理）
说明：
(1) 互等定理只适用于线弹性结构；
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相 应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的 力为数值相同，位移相同也仅代表数值相同（量 纲对应）。 （3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下, 只是由变形引起的位移.
V 2
P2
P1l1 EA
P1作功为
V 3
P12l1 2EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水) 总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例 利用能量法求解时，所列
例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
a
P
b
解： 1)求反力
b
a
RA l P RB l P
A x1
RA
C l
B x2
Dl AB
P2l1 EA
P1保持不变，作功为
V 2
P1
P2l1 EA
P2作功为
V 3
P22( l1 l2 2EA
)
总功为：
V
P12l1 2EA
P1
P2l1 EA
P22 (l1 l2 ) 2EA
先施加P2
V1
P22( l1 l2 2EA
)
再施加P1
AB又伸长
Dl AB
P1l1 EA
P2保持不变，作功为
解： 由功的互等定理
Fkk Fiik
即 10k 501 40 0.8 20 0.5 k 9.2mm
13-5 卡氏定理
F1
1
F2
2 3
i
F3
V
W
1 2
F11
1 2
F2
2
1 2
F3
3
DFi
若只给 Fi 以增量 DFi ，其余不变，在 DFi 作用下，原各力作用
点将产生位移 D1 , D 2 ,, Di ,
Me
⑵ 应变能
V
L
M 2 (x) dx
2EI
L
1 2EI
(M e
Fx)2 dx
M
2 e
L
M e FL2
F 2 L2
2EI 2EI 6EI
B L
F
⑶ 当F和Me分别作用时
A Me
V 1
MeL 2EI
V 2
F 2 L3 6EI
V1 V 2 V
⑷ 求载荷所作的功
wA
(wA)F
(wA)Me
FL3 3EI
F1F2 L EA
2） F1单独作用下：
V1
F12 L 2EA
3）F2 单独作用下：
V 2
F22 L 2EA
V1 V 2 V 证毕。
L
F1 F2
L F1
L F2
（4）线弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与
加载的次序无关；
P1
P2
先施加P1
V1
P12l1 2EA
AB
C
l1
l2
再施加P2
AB又伸长
所以：DV DFi i
DV DFi
i
DFi 0
V Fi
i
变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于Fi作用点
沿Fi方向的位移
卡氏第二定理
举例
F
A
L wA=？
B
功能原理
1:
V
L (Fx)2 dx F 2L3 0 2EI 6EI
W
1 2
FwA
FL3 V W wA 3EI
卡式定理
V F
FL3 3EI
求自由端B的挠度。
F
A
B
l
x
W
1 2
F
wB
解： M (x) -F x
V
l
M 2 (x) dx 2EI
F 2l3 6EI
由V W，得
wB
Fl 3 3EI
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。
B L
解： ⑴ 弯矩方程
F
A
M (x) Me Fx
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。
比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
F1
1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
此可采用便于计算的方式计算应变能。
2)
弯矩方程
AC段：M(x1
)
=
RA
x1
=
b l
Px1
RB
( 0 ≤x1 ≤ a)
3) 由功能原理
CB段： M(x2
)
=
RB x2
=
a l
Px2
1
2 PyC
M 2( x)dx l 2EI
=
1 2EI
ab 0 l
Px1
2
dx1
+
b 0
a l
Px2
2
dx2
(
0
≤x2≤
b)
只分适析用：yC于VV结P3构aEW2l上IbMl2有22(12结E一xPI果)y个dCx大6载EP于I荷2l2零，b，求2a说3载明荷a2作位b3 用移点的P6沿2方Ea载2I向bl 2荷与方力向的的方位向移一。致。
内力2 l 2刚度
F-广义力泛指力或力偶矩；
-广义位移为线位移或角位移；
（2）应变能的数值恒为正值；
（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不能 简单叠加。
同种类型荷载的变形能不能简单叠加。
1） F1, F2 共同作用下：
V
(F1 F2 )2 L 2EA
F12 L 2EA
F2 2 L 2EA
T (x)Fs(x)
Vε
FN2 (x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx
l 2GIp (x)
M 2(x) dx
l 2EI (x)
kFs2 (x) dx l 2GA(x)
对若k于是杆双用件向来及弯修杆曲正系，横的弯力变矩弯形沿曲是形时以心切弯主应曲轴力变分不形解沿为, 截主面的均，匀因分轴布力的和修剪正力系远数小，
P1
P2
1 dV 2 M( x )d
一般情况下： 剪力对变形的影响很小，剪切 应变能远远小于弯曲应变能。
M 2( x )dx dV 2EI
w = M(x) = dθ EI dx
d M( x) dx
EI
M 2( x )dx
V l 2EI
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
1
V
W
F 2
应用 叠加原理 的条件
（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有 刚体位移。 即：位移是由变形引起。
讨论对象：线弹性体。
§13-2 杆件应变能计算
1、拉压
P=FN 静载P P
l
Dl
q(x)
P
加载过程中始终有 P
P Dl FN l
EA
外力功 W 1 PDl
2
Dl Dl
应变能
V
1 PDl 2
2、功能原理
物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位 移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。
外力功W＝物体所储存的应变能Vε 。
应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能
量称为弹性应变能，也称变形能。
3、线弹性体（线弹性结构）
（1）材料服从胡克定律。 （2）变形微小，各力的作用互不影响。 （3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。
M e L2 2EI
A
( A ) F
( A ) Me
FL2 2EI
MeL EI
V
W
1 2
FwA
1 2
M
e A
F 2L3 6EI
MeF2 2EI
M
2 e
L
2EI
§13-4 互等定理
功能原理求图示悬臂梁中点B处的转角θB 。
思考：求上图悬臂梁中点C处的铅垂位移 DC。
基本概念
12
F1
11
21
F2
F2
F3
采用比例加载
2 3
外力
比例
0
位移
比例
F1、F2、F3
1、 2、 3
0
V
W
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
n i1
1 2
Fii
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M (x)
Fs(x)
FN (x)
T (x)
M (x)
FN (x)
A l
F
B
C
a
解:
FRA
Me l
-
Fa l
Me
B
FRB
F(l + l
a)
-
Me l
A x1
FRA
l
AB:
M1( x1 )
(Me l
-
Fa l ) x1
-
Me
FRB
M1( x1 F
)
-
a l
x1
M1( x1 ) x1 - 1
例：互等定理求上图悬臂梁中点C处的铅垂位
移DC 。
wC1
B2
F
解：由功的互等定理F wC1 M B2
F
l
2
得：F wC1 M
2 2EI
由此得：
wC1
Ml 2 8EI
例：互等定理求图示简支梁C截面的挠度。
F
B2
wC1
解：由功的互等定理F wC1 M B2
得：F
wC1
M
Fl 2 16E I
wA
F
C A L/2 L/2
wC=？
2 :
V
2
L 2 0
( F x)2 2 2EI
dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F 2L3 96EI
W
1 2
FwC
V
W
wC
FL3 48EI
B
卡式定理
V F
FL3 48EI
wC
说明：
（1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体
δi
Vε Fi
（2）Fi 为广义力，i为相应的位移
一个力
一个力偶
一对力
（c） 弯曲
δi
Vε Fi
Fi
M 2( x)dx 2EI
M ( x) M ( x)dx EI Fi
（4） 平面桁架
δi
Vε Fi
n FNjl j FNj j1 EA Fi
（5） 组合变形
δi
Vε Fi
[ FN2 ( x )dx T 2 ( x )dx M 2 ( x )dx ]
它于和的弯剪数矩力值对的和变影截形响面的。形影l M状响2E2有，Ix关故 d。在x 矩计形算换这k=成类6/杆5；件l圆M的2形Ey2变Ikxy形=1d时0x/，9。l通M2常Ez2 I不xz 计dx轴力
变形能的应用
1.计算变形能
2.利用功能原理计算变形（位移）
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理
变形能的增加量：
DV
1 2
DFi
D
i
F1D1
F2D 2
Fi Di
DV
1 2
DFi
D
i
F1D1
F2D 2
Fi Di
略去二阶小量，则：
DV F1D1 F2D 2 Fi Di
如果把原有诸力看成第一组力，把 DFi 看作第二组力，根据互等
定理：
DFii F1D1 F2D 2 Fi Di
GI p
me 静载
外力功
1 W 2 me
应变能
1
1
V
2
me
T 2
T 2l 2GI P
当扭矩随截面位置变化时
T 2( x )dx
V l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲 M=m
l
m
加载过程中始终有 m
m 静载 外力功 应变能
Ml
EI
W 1 M
2
1 V 2 M
M 2l
2EI
横力弯曲 M=M(x)
第十三章 能量方法
§13.1 概述 §13.2 杆件应变能的计算 §13.3 应变能的普通表达式 §13.4 互等定理 §13.5 卡式定理 §13.6 虚功原理 §13.5 单位载荷法 莫尔积分 §13.6 计算莫尔积分的图乘法
§13.1 概述
回顾：前面学习了哪些求变形（位移）的方法？ 拉压变形 ——作图法 弯曲变形 ——积分法、叠加法
12
22
i j
荷载作用点
•位移发生点
F1
F2
F1
F2
11
21
12
22
先作用F1，后作用F2，外力所作的功：
V
1 2
F111
1 2
F2 22
F112
先作用F2，后作用F1，外力所作的功：
V
1 2
F2 22
1 2
F111
F2 21
功的互等定理（最基本的定理）:
F112 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的虚功，等于 F2力在由F1力引起的位移上所作的虚功。
由此得：wC1
Ml2 16E I
Fk
123
A
B
(a)
Ak
(b) k
1 2 3
F1
F2 F3
B
例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm,
3 0.5mm, 若（b）中1、2、3点作用
荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN，
求k点的挠度？