线性代数第六章客观例题
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则C=
0 a2 0
0 a3 0 , B 0 0 a3
0 a2 0
0 0 a1
，满足CTAC=B，即A与B合同。
0 0 1 【解】取初等矩阵 C 0 1 0 ，则C为所求。 1 0 0
答案
6、设矩阵
2 1 1 1 0 0 A 1 2 1，B 0 1 0 1 1 2 0 0 0
)。
(D) 若存在实矩阵P，使得A=PTP，则A正定。
12、设实二次型f=XTAX，则f为正定的充要条件是( )。 (A) f的负惯性指数为0； (B) 存在正交矩阵Q，使QTAQ=E； (C) f的秩为n； (D) 存在实可逆矩阵C，使A=CTC。 答案 D
13、设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2-5A=O， 已知r(A)=2， (i)则A的全部特征值为 (ii)当k取 ； 答案 5, 5, 0
(C) A, B有相同的正惯性指数，相同的负惯性指数； (D) A, B有相同的特征多项式。
1 1 A 1 , B 1 【解】设 ，则A合同于B， 1 3
但特征多项式 E-A E-B。
a1 5、设 A 0 0
1 A 1 又设 ， A为可逆对称矩阵， 2
)。
答案 C
但A=-2，A的正惯性指数为2，所以 A即不相似也不合同于E。
4、设A, B是n阶实对称矩阵，则A, B是合同矩阵的 充要条件是( )。 答案 C
(A) A, B均为可逆矩阵； (B) A, B有相同的秩；
则实二次型f(x1, x2, x3)=XTAX的规范形为 【解】由题设，A与B有相同的秩与正(负)惯性指数， 1 0 0 。
E-B 0
2 ( 1)( 2)( 2)
0 2 可知A的秩及正惯性指数分别为3, 2，所以
二次型的规范形为z12+z22-z32。 答案
1 1 1 a 1 1 a 3 1 0 a 1 0 1 1 1 0 3 a 1 a
则a=
。
答案 1
所以a=1。
19、设二次型f(x1, x2, x3)的标准形为 2y12-y22+4y32 则二次型的秩 ，正惯性指数 。 答案 3, 2
第六单元 客观例题
0 0 1 1、设二次型f(x1, x2, x3)的矩阵为 A 0 1 0 1 0 0
则二次型f(x1, x2, x3)= 【解】 f(x1, x2, x3)=2x1x3+x22。 答案 。
2、设二次型f(x1, x2, x3)=x1x2+6x22，则 二次型矩阵A为 。
f ( x1 , x2 , x3 ) x 3 x x 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
则f的正惯性指数为
。
答案 2
【解】由题设，二次型经配方法化为标准形为
2 f ( y1 , y2 , y3 ) y12 2 y2
所以f的正惯性指数为2。
20、二次型f (x1, x2, x3) =2x1x2+3x32，则其正惯性指数s 及负惯性指数t分别为( )。 答案 C
(A)s=1, t=2； (B) s=2, t=0； (C) s=2, t=1； (D) s=1, t=1。
【解】经配方法，f的标准形为2y12-2y22+3y32。
21、设二次型
0 1 【解】 A 2 0
1 0 2 6 0 0 0
答案
3、任一n阶可逆对称矩阵必定与n阶单位矩阵( (A)合同；(B)相似；(C)等价；(D)以上都不对。 【解】 n阶可逆矩阵等价于n阶单位矩阵E。 n阶单位矩阵E=1，且正惯性指数为3，
0 0 0 16、设实对称矩阵A与 B 0 2 1 0 1 2
合同，则实二次型XTAX的规范形为
Байду номын сангаас答案
y12+y22
。
【解】因为B的特征值为1, 3, 0, 所以B的正惯性指数 指数为2，秩为2，又因为AB，所以A的正 惯性指数和秩均为2。
17、设实二次型f (x1, x2, x3)=XTAX的秩为1，A的行元 素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为 答案 2y12 【解】由题设，A为实对称矩阵，3, 0, 0为A的特征值， 则f在正交变换X=QY下的标准形为3y12。 。
则( )。 (A) A~C，且A, B, C合同； (B) A~B，但A不与C合同； (C) A~C，但A不与B合同； (D) B~C，且A, B, C等价。 答案 A
1 1 1 1 , B= , 8、设矩阵 A= 1 1 1 1 则下列结论正确的是( )。
t >0 时，A为正定矩阵； t =0 时，A与B等价； t =5 时，A与C相似； t <0 时，A与D合同。 【解】因实对称矩阵A的特征值为1, 3, t， 答案
t为实数，
1+ 2, 2 实对称矩阵D的特征值为 1- 2，
11、设A是n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是( (A) 若A的主对角线上元素皆大于0，则A正定； (B) 若A>0，则A正定； (C) 若A-1存在且正定，则A正定； 答案 C
(A)A与B等价； (B)A与B相似； (C)A与B在实数域上合同； (D)以上都不对。 【解】因为B的特征值为-1, -1, 1, 1。 答案 A
9、已知矩阵
1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 1 0 , B= 0 1 1 , C 0 1 0 , D 0 2 0 0 0 3 0 1 3 0 0 0 0 0 3
B, C, D中与A等价的矩阵为 C, D ； B, C, D中与A相似的矩阵为 D ； 答案 B, C, D中与A合同的矩阵为 C, D 。 【解】因为实对称阵A的特征值为0, 2, 3，A的正惯性指数 为2=r(A)，与C, D同，但r(B)=3r(A)。
10、已知实矩阵
2 1 0 1 2 3 1 2 3 2 0 0 A= 1 2 0 , B= 4 5 6 , C 0 3 5 , D 0 2 1 0 0 t 3 3 3 0 0 5 0 1 0
则A与B( )。 (B) 合同但不相似； (A) 合同且相似； (C) 不合同但相似； 答案 B
(D) 既不合同也不相似。
【解】因为实对称矩阵A的特征值为3, 3, 0。
7、已知矩阵
1 1 1 1 0 0 3 0 0 A= 1 1 1 , B= 0 0 0 , C 0 0 0 , 1 1 1 0 0 0 0 0 0
值时，矩阵A+kE为正定矩阵。 答案 >0
14、设二次型f(x1, x2, x3)=XTAX经正交替换化为标准形 3y12+5y22，则A的特征值为 【解】 A的特征值为3, 5, 0, A=0 答案 ，A= 。
1 0 0 15、若实对称矩阵A与 B 0 0 2 合同， 0 2 0
18、设实二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x2 x3 2ax1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
在正交变换X=QY下化为标准形
f ( y1 , y2 , y3 ) y 2y
2 1
2 2
1 a 1 【解】由题设，二次型所对应的矩阵 a 3 1 1 1 1 其秩应为2，经初等变换，
0 a2 0
0 a3 0 , B 0 0 a3
0 a2 0
0 0 a1
，满足CTAC=B，即A与B合同。
0 0 1 【解】取初等矩阵 C 0 1 0 ，则C为所求。 1 0 0
答案
6、设矩阵
2 1 1 1 0 0 A 1 2 1，B 0 1 0 1 1 2 0 0 0
)。
(D) 若存在实矩阵P，使得A=PTP，则A正定。
12、设实二次型f=XTAX，则f为正定的充要条件是( )。 (A) f的负惯性指数为0； (B) 存在正交矩阵Q，使QTAQ=E； (C) f的秩为n； (D) 存在实可逆矩阵C，使A=CTC。 答案 D
13、设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2-5A=O， 已知r(A)=2， (i)则A的全部特征值为 (ii)当k取 ； 答案 5, 5, 0
(C) A, B有相同的正惯性指数，相同的负惯性指数； (D) A, B有相同的特征多项式。
1 1 A 1 , B 1 【解】设 ，则A合同于B， 1 3
但特征多项式 E-A E-B。
a1 5、设 A 0 0
1 A 1 又设 ， A为可逆对称矩阵， 2
)。
答案 C
但A=-2，A的正惯性指数为2，所以 A即不相似也不合同于E。
4、设A, B是n阶实对称矩阵，则A, B是合同矩阵的 充要条件是( )。 答案 C
(A) A, B均为可逆矩阵； (B) A, B有相同的秩；
则实二次型f(x1, x2, x3)=XTAX的规范形为 【解】由题设，A与B有相同的秩与正(负)惯性指数， 1 0 0 。
E-B 0
2 ( 1)( 2)( 2)
0 2 可知A的秩及正惯性指数分别为3, 2，所以
二次型的规范形为z12+z22-z32。 答案
1 1 1 a 1 1 a 3 1 0 a 1 0 1 1 1 0 3 a 1 a
则a=
。
答案 1
所以a=1。
19、设二次型f(x1, x2, x3)的标准形为 2y12-y22+4y32 则二次型的秩 ，正惯性指数 。 答案 3, 2
第六单元 客观例题
0 0 1 1、设二次型f(x1, x2, x3)的矩阵为 A 0 1 0 1 0 0
则二次型f(x1, x2, x3)= 【解】 f(x1, x2, x3)=2x1x3+x22。 答案 。
2、设二次型f(x1, x2, x3)=x1x2+6x22，则 二次型矩阵A为 。
f ( x1 , x2 , x3 ) x 3 x x 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
则f的正惯性指数为
。
答案 2
【解】由题设，二次型经配方法化为标准形为
2 f ( y1 , y2 , y3 ) y12 2 y2
所以f的正惯性指数为2。
20、二次型f (x1, x2, x3) =2x1x2+3x32，则其正惯性指数s 及负惯性指数t分别为( )。 答案 C
(A)s=1, t=2； (B) s=2, t=0； (C) s=2, t=1； (D) s=1, t=1。
【解】经配方法，f的标准形为2y12-2y22+3y32。
21、设二次型
0 1 【解】 A 2 0
1 0 2 6 0 0 0
答案
3、任一n阶可逆对称矩阵必定与n阶单位矩阵( (A)合同；(B)相似；(C)等价；(D)以上都不对。 【解】 n阶可逆矩阵等价于n阶单位矩阵E。 n阶单位矩阵E=1，且正惯性指数为3，
0 0 0 16、设实对称矩阵A与 B 0 2 1 0 1 2
合同，则实二次型XTAX的规范形为
Байду номын сангаас答案
y12+y22
。
【解】因为B的特征值为1, 3, 0, 所以B的正惯性指数 指数为2，秩为2，又因为AB，所以A的正 惯性指数和秩均为2。
17、设实二次型f (x1, x2, x3)=XTAX的秩为1，A的行元 素之和为3，则f在正交变换X=QY下的标准形为 答案 2y12 【解】由题设，A为实对称矩阵，3, 0, 0为A的特征值， 则f在正交变换X=QY下的标准形为3y12。 。
则( )。 (A) A~C，且A, B, C合同； (B) A~B，但A不与C合同； (C) A~C，但A不与B合同； (D) B~C，且A, B, C等价。 答案 A
1 1 1 1 , B= , 8、设矩阵 A= 1 1 1 1 则下列结论正确的是( )。
t >0 时，A为正定矩阵； t =0 时，A与B等价； t =5 时，A与C相似； t <0 时，A与D合同。 【解】因实对称矩阵A的特征值为1, 3, t， 答案
t为实数，
1+ 2, 2 实对称矩阵D的特征值为 1- 2，
11、设A是n阶实对称矩阵，则下列结论正确的是( (A) 若A的主对角线上元素皆大于0，则A正定； (B) 若A>0，则A正定； (C) 若A-1存在且正定，则A正定； 答案 C
(A)A与B等价； (B)A与B相似； (C)A与B在实数域上合同； (D)以上都不对。 【解】因为B的特征值为-1, -1, 1, 1。 答案 A
9、已知矩阵
1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 A= 1 1 0 , B= 0 1 1 , C 0 1 0 , D 0 2 0 0 0 3 0 1 3 0 0 0 0 0 3
B, C, D中与A等价的矩阵为 C, D ； B, C, D中与A相似的矩阵为 D ； 答案 B, C, D中与A合同的矩阵为 C, D 。 【解】因为实对称阵A的特征值为0, 2, 3，A的正惯性指数 为2=r(A)，与C, D同，但r(B)=3r(A)。
10、已知实矩阵
2 1 0 1 2 3 1 2 3 2 0 0 A= 1 2 0 , B= 4 5 6 , C 0 3 5 , D 0 2 1 0 0 t 3 3 3 0 0 5 0 1 0
则A与B( )。 (B) 合同但不相似； (A) 合同且相似； (C) 不合同但相似； 答案 B
(D) 既不合同也不相似。
【解】因为实对称矩阵A的特征值为3, 3, 0。
7、已知矩阵
1 1 1 1 0 0 3 0 0 A= 1 1 1 , B= 0 0 0 , C 0 0 0 , 1 1 1 0 0 0 0 0 0
值时，矩阵A+kE为正定矩阵。 答案 >0
14、设二次型f(x1, x2, x3)=XTAX经正交替换化为标准形 3y12+5y22，则A的特征值为 【解】 A的特征值为3, 5, 0, A=0 答案 ，A= 。
1 0 0 15、若实对称矩阵A与 B 0 0 2 合同， 0 2 0
18、设实二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x2 x3 2ax1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
在正交变换X=QY下化为标准形
f ( y1 , y2 , y3 ) y 2y
2 1
2 2
1 a 1 【解】由题设，二次型所对应的矩阵 a 3 1 1 1 1 其秩应为2，经初等变换，