旋转的基本性质_平面图形的旋转
2024年秋季新冀教版七年级上册数学教学课件2.8 平面图形的旋转
(1)如图,连接CP; (2)以BC为一边作∠BCN,使∠BCN=∠ACP; (3)在射线CN上截取CM=CB; (4)连接PM. 三角形PMC就是三角形ABC绕点C按顺时针 方向旋转后得到的图形.
1.图1的方格纸上有一面“小旗点B按顺时针方向旋转60°后的图形.
如图， 线段AB绕点O旋转后成为线段CD. 点A与点C叫做对应点， 点B与点D也是对应点， 线段AB与CD 叫做对应线段
旋转的三要素：旋转中心，旋转角，旋转方向．
学生活动二【探究旋转的性质】
1.如图，已知A，B是射线OM上的两点，且OA=1cm，
OB=2.5cm.
(1)当OM旋转到ON 位置时，点A，B分别旋
图1
图2
1. 如图1所示，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经 过旋转后到达△AEF的位置，则旋转中心是_点__A__，旋 转方向是_逆__时__针__方__向___，旋转角度是_4_5_°_，点B的对应 点是_点__E__.
图1
2.如图2，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转
到△P′BA，则∠PBP′的度数是 ( B )
旋转的性质： 在平面内，一个图形旋转后得到的图形与原来的图形之间： 对应线段相等，对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等； 每对对应点与旋转中心的连线所成的角都是相等的，它们都等 于旋转角．
学生活动三【利用旋转性质画图】
如图,三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转后,顶点A的对 应点为点P.试确定顶点B的对应点的位置,并画出旋转后的 三角形.
N
转到点A'，B'的位置，请画出点A'，B'.
(2)OA和OA'，OB和OB' 分别有怎样的数量 O A B M 关系?
九年级数学旋转知识点总结
九年级数学旋转知识点总结数学中的旋转，是指图形在平面内绕某一点或者某一直线旋转成相似的图形。
在九年级的数学学习中，旋转是一个重要的知识点，它有着广泛的应用。
下面是对九年级数学旋转知识点的总结。
一、旋转的基本概念在数学中，旋转就是将一个点或一个图形绕某一点或某一直线旋转一定角度，得到与原图形形状相似的新图形。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
二、旋转的基本性质1. 旋转不改变图形的大小和形状。
2. 旋转保持图形的对称性。
3. 旋转可以使得图形在平面上任意位置进行变换。
三、旋转的表示方法1. 点的旋转：对于给定一个点P(x,y)，绕原点旋转θ度，旋转后的点为P'(x', y')。
根据旋转的性质，我们可以得到点的旋转公式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ2. 图形的旋转：对于给定一个图形，绕某一点O旋转θ度，旋转后的图形与原图形相似。
在平面直角坐标系中，可以通过点的旋转来实现对图形的旋转。
四、旋转的应用场景1. 图形的变换：通过旋转，可以实现图形的转动，可以用于制作动画、机械运动等领域。
例如，风电机组的叶片通过旋转来转动风车。
2. 几何问题的解决：旋转在解决几何问题时可以起到关键作用。
例如，在解决平行四边形相关问题时，可以通过旋转把问题转化成熟悉的几何形状进行求解。
3. 数学建模：旋转可以应用于数学建模中，来解决与旋转相关的实际问题。
例如，在建筑设计中，通过数学方法模拟旋转来计算建筑物的结构和力学性能。
五、旋转相关定理1. 旋转定理：旋转不改变图形的面积和周长。
2. 旋转对称性：旋转图形保持图形对称特点不变。
3. 点的旋转定理：若直角坐标系中有点P(x,y)绕原点顺时针旋转θ度得到点Q(x',y')，则有：x' = x*cosθ + y*sinθy' = -x*sinθ + y*cosθ六、旋转的练习题请你计算以下图形绕指定点或直线旋转后的新图形坐标：1. 将点A(3,4)绕原点逆时针旋转90度。
初中数学旋转的知识点
《初中数学旋转知识点全解析》在初中数学的学习中，旋转是一个重要的几何变换概念。
它不仅在数学知识体系中占据着关键地位，也为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。
一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
如果图形上的点 P 经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
例如，时钟的指针围绕时钟的中心旋转，风车的叶片绕着中心轴旋转等，都是生活中常见的旋转现象。
二、旋转的性质1. 对应点到旋转中心的距离相等。
即旋转前后，图形上任意一点到旋转中心的距离始终保持不变。
例如，在一个正三角形绕其中心旋转的过程中，三角形的三个顶点到旋转中心的距离始终相等。
2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转过程中，对应点与旋转中心连接形成的线段之间的夹角大小与旋转角相等。
比如，一个矩形绕其对角线的交点旋转一定角度，任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。
3. 旋转前后的图形全等。
经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变。
无论旋转角度是多少，旋转后的图形与旋转前的图形完全相同。
例如，一个圆绕其圆心旋转任意角度，得到的图形仍然是与原来一样的圆。
三、旋转的三要素1. 旋转中心旋转中心是图形旋转时所围绕的那个定点。
它决定了图形旋转的位置。
不同的旋转中心会导致图形的旋转结果不同。
2. 旋转方向旋转方向分为顺时针和逆时针两种。
明确旋转方向对于准确描述和进行旋转操作至关重要。
3. 旋转角度旋转角度是指图形绕旋转中心转动的角度大小。
旋转角度的不同会使图形的位置发生不同程度的变化。
四、旋转的应用1. 解决几何问题在证明三角形全等、相似等问题时，常常可以通过旋转图形，使分散的条件集中起来，从而找到解题的思路。
例如，对于两个有公共顶点的等腰三角形，可以通过旋转其中一个三角形，使它们的对应边重合，进而证明全等。
2. 设计图案利用旋转可以设计出各种美丽的图案。
数学旋转的知识点
数学旋转的知识点数学中的旋转是一种基本的几何变换，它可以使我们更好地理解和解决各种问题。
在这篇文章中，我将为您介绍数学旋转的几个重要知识点，帮助您更好地理解和应用它们。
一、旋转的基本概念在数学中，旋转是指围绕一个中心点按照一定的角度将物体或坐标系转动。
旋转可以是顺时针或逆时针方向，角度可以是正数或负数。
二、旋转矩阵旋转可以用一个矩阵来表示，这个矩阵被称为旋转矩阵。
一个二维平面上的旋转矩阵可以写成如下形式：cosθ -sinθsinθ cosθ其中，θ表示旋转的角度。
对于三维空间中的旋转，旋转矩阵会稍有不同。
三、旋转的性质旋转具有一些重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解和应用旋转。
1.旋转是保角的：旋转不改变物体之间的角度关系，两个物体的夹角在旋转前后保持不变。
2.旋转是保距的：旋转不改变物体上两点之间的距离，两点间的距离在旋转前后保持不变。
3.旋转是可逆的：旋转可以通过逆向旋转来恢复到原来的状态。
四、旋转的应用旋转在数学和其他科学领域有着广泛的应用。
1.几何学：旋转可以用来解决各种几何问题，如求解物体的位置和姿态，计算点、直线和曲线的旋转等。
2.物理学：旋转在物理学中也有着重要的应用，如刚体转动、天体运动等。
3.计算机图形学：旋转是计算机图形学中的基本操作之一，用于实现物体的旋转、变形和动画效果。
4.人工智能：旋转在人工智能领域也有着广泛的应用，如图像处理、模式识别和机器人导航等。
五、旋转的实例下面给出一个简单的旋转实例，以帮助读者更好地理解旋转的应用。
假设有一个平面上的点A(2, 3)，我们要将这个点绕原点逆时针旋转60度。
根据旋转矩阵的公式，我们可以得到旋转后的坐标B(x, y)，计算过程如下：x = 2 * cos60° - 3 * sin60° = 1y = 2 * sin60° + 3 * cos60° = 4.196所以，点A(2, 3)绕原点逆时针旋转60度后的坐标为B(1, 4.196)。
旋转的性质有哪些
旋转的性质有哪些
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转。
本文整理了旋转相关性质，欢迎阅读。
旋转性质
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，
①对应点到旋转中心的距离相等。
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
③旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变。
④旋转中心是唯一不动的点。
⑤一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度。
旋转三要素
①定点—旋转中心；
②旋转方向；
③旋转角。
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样。
旋转角定义
旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线这两条线的夹角。
旋转角性质
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
旋转的三要素
DB 旋转的三要素山东 老杨出品1、旋转的定义：把一个平面图形绕平面内 某一点O 转动 一个角度 就叫做图形的旋转. 旋转的三要素：旋转 中心 ；旋转 方向 ；旋转 角旋转的基本性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等.（2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于 旋转角（3）旋转前后的两个图形是全等的2、 旋转作图基本步骤：○1明确旋转三要素：_旋转中心_、__旋转方向__、___旋转角___ ○2找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置. ○3按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形. 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，如果它能够与 另一个图形 重合，那么就说这两个图形 关于这个点对称或中心对称.这个点叫做对称中心.性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 .（2）中心对称的两个图形是 图形.4、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，如果旋转后的图形能够与 完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形.中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系.区别：中心对称是针对两个图形而言的，而中心对称图形指是一个图形.联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为中心对称图形.把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则它们中心对称.5、 利用尺规作关于中心对称的图形：○1明确对称中心的位置 ○2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点 ○3按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来6、点（x，y）关于x轴对称后是（ x ,-y ）点（ x , y ）关于y轴对称后是（-x，y）点（x，y）关于原点对称后是（ -x ，-y ）第二部分：例题剖析例题1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）．（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180 ，画出旋转后对应的△A1B1C；（2）平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后的△A2B2C2；（3）若将△A2B2C2绕某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．【详解】（1）△A1B1C如图所示；（2）△A2B2C2如图所示；（3）如图所示，旋转中心为（﹣1，0）．．评析：本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换．例题2、如图，在ΔABC 中，ACB 90∠=，点P 为ΔABC 内一点，连接PA ，PB ，PC ，求PA+PB+PC 的最小值，小华的解题思路，以点A 为旋转中心，将ΔAPB 顺时针旋转60得到ΔAMN ，那么就将求PA+PB+PC 的值转化为求PM+MN+PC 的值，连接CN ，当点P ，M 落在CN 上时，此题可解．（1）请判断ΔAPM 的形状，并说明理由；（2）请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC ；（3）当2AC BC ==，求PA+PB+PC 的最小值．【详解】（1）等边三角形；PA 绕A 点顺时针旋转60得到MA ，PAM 60PA MA ∠∴==，，ΔAPM ∴是等边三角形.（2）ΔABP 绕点A 顺时针旋转60得到ΔANM ，PB MN ∴=，由（1）可知PA PM =，PA PB PC PM MN PC ∴++=++.（3）由（2）知PA PB PC PM MN PC ++=++，当C 、P 、M 、N 四点共线时，PA+PB+PC 取到最小．连接BN ，由旋转的性质可得：AB=AN ，∠BAM=60°∴ΔABN 是等边三角形；NB NA ∴=，AC BC 2==，NC ∴是AB 的垂直平分线，垂足为点Q ，ACB 90∠=，AB 22∴=，CN CQ NQ 2sin45sin602226∴=+=⨯+⨯=+， 即PA PB PC ++的最小值为26+.点评：本题为旋转综合题，掌握旋转的性质、等边三角形的判定及性质及理解小华的思路是关键． 第三部分：变式训练1．平面内两个正六边形有一边AB 重合在一起，将左侧的正六边形绕平面内的某一点，旋转一定的角度后能与右侧的正六边形完全重合，平面内这样的旋转中心有（ ）个．A ．1B ．3C ．5D ．无数2．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=20°．在同一平面内，将△ABC 绕点C 旋转到△A′B′C 的位置，设旋转角为（0°<<180°）.若△A′B′C 中恰有一条边与△ABC 中的一条边平行，则旋转角的可能的度数为 ．3．如图，以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF．（1）试探索BE和CF的数量关系？并说明理由；（2）找出图中可以通过旋转而相互得到两个图形，并说出旋转过程．变式训练解析、、、、五个旋转中心.故选C.1．C【详解】由图可知：共有A B O M N2．20°；70°；110°；160°【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=20°，∴∠A=70°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵△A′B′C是由△ABC绕点C旋转α得到的，∴∠A′=∠A=70°，∠B′=∠B=20°；①如①所示，当AB∥A′C时，∠A=∠ACA′=α=20°；②如②所示，当BC∥A′B′时，∠B=∠B′CB=α=70°；③如③所示，当AB∥B′C时，∠A=∠ACA′=20°，则α=∠ACB+∠ACA′=90°+20°=110°，即α=110°；④如④所示，当AC∥A′B′时，∠B′=∠ACA′=70°，则α=∠ACB+∠ACA′=90°+70°=160°，即α=160°；综上所述，旋转角α的可能的度数为20°，70°，110°或160°；故答案是：20°，70°，110°或160°．3．（1）BE=CF ，见解析；（2）△FAC 和△BAE 可以通过旋转而相互得到，△FAC 以点A 为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BAE【详解】（1）BE=CF ，理由如下：∵四边形ABGF 和四边形ACDE 是正方形，∴AF=AB ，AC=AE ，∵∠BAF=∠CAE=90°，∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC即∠FAC=∠BAE ，∵在△FAC 和△BAE 中，AF AB FAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAC ≌△BAE （SAS ），∴BE=CF ；（2）△FAC 和△BAE 可以通过旋转而相互得到，△FAC 以点A 为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BAE ．。
旋转知识点总结
旋转知识点总结旋转知识点归纳知识点1：旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
如果图形上的点P经过旋转到点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
如图1，线段AB绕点O顺时针转动90度得到AB'，这就是旋转，点O就是旋转中心，∠BOB'和∠AOA'都是旋转角。
说明：旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略。
决定旋转的因素有三个：一是旋转中心；二是旋转角；三是旋转方向。
知识点2：旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的。
由此得到如下性质：⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同。
⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角。
⑶对应点到旋转中心的距离相等。
⑷对应线段相等，对应角相等。
例1：如图2，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ADB绕点A逆时针方向旋转到△ADC的位置，则∠ADD'的度数是（）。
分析：抓住旋转前后两个三角形的对应边相等、对应角相等等性质，本题就很容易解决。
由△ADC是由△ADB旋转所得，可知△ADB≌△ADC，∴AD=AD'，∠DAB=∠D'AC，∵∠DAB+∠___，∴∠D'AC+∠___，∴∠ADD'=45，故选D。
评注：旋转不改变图形的大小与形状，旋转前后的两个图形是全等的，紧紧抓住旋转前后图形之间的全等关系，是解决与旋转有关问题的关键。
知识点3：旋转作图1.明确作图的条件：（1）已知旋转中心；（2）已知旋转方向与旋转角。
2.理解作图的依据：（1）旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转；（2）旋转的性质：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
【课件一】2.8平面图形的旋转
体会到……
我有哪
数学来源于生活，又服务于生活。
些收获？
明白了……
旋转的概念以及基本性质。 学会了……
旋转图形的基本构成。
懂得了…… 合作交。流得重要性，敢于动手实验、
探究，并勇于表达自己得思想。
课后作业：习题AB
A
四边形AOBC
E
与四边形DOEF,有
什么关系？
AC=DFO BC=EF OA=OD OB=OE
• ∠ A= ∠D ∠C= ∠F ＡＯＤ• ＝∠85B°= ∠ E ∠AOB= ∠DOE
图形上的每一个点
转中心沿相同的方向 相同的角度．（旋转
• 应用新知(1)
• △ABO绕点O旋转得到△CDO，则：CABOD
这样不仅让学生对旋转充满兴趣，而且让学生从
生活中感受数学，应用数学。
感受新知
• 在生活中，转动的现象很多，欣赏并观察： （1）以上这些现象有什么共同特点？ （2）其形状、大小、位置是否发生改变？ （3）若变化，在怎样改变？ • 根据自己的理解，该如何描述旋转呢？
旋转 定 义
在平面内，将一个图形绕一个定点 沿某个方 向 转动一个角度 ，这样的图形运动称为旋转。
趣味互 动
引入新知
八个名气不小的大演员应邀到一个剧场演出, 他们向剧场经理提出了同一个要求:在剧场门口的 海报上必须把自己的名字排在第一位,否则不仅将 退出演出,而且剧场还需要赔偿他们的损失。八位 名演员同台献技的消息不胫而走，剧场门票一售 而空，生意特别红火。可八位演员的要求却令剧 场经理大伤脑筋，你说这是不是一个头疼的问题？ 你要是经理，该怎么办
• 方案1、遵从“女士优先”原则。 • 方案2、按姓氏笔画从少到多的顺序。 • 方案3、取消演唱会。
(完整版)第二十三章旋转知识点
第二十三章旋转23.1 图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．注意：①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。
2.旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．3.旋转对称图形如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．23.2 中心对称图形1.中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．2.中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．3.关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．4.坐标与图形变化--旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x，y）⇒P（-x，-y）（2）旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．23.3课题学习图案设计1.利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．2.利用平移设计图案确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．3.作图--旋转变换（1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．4.利用旋转设计图案由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．5.几何变换的类型（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．。
旋转的性质及应用
解： 将△BAE绕B点逆时针旋转90°，
得△BCE′ ∴ △BAE ≌ △BCE
B
E′
∵ ∠ABC=∠CDA=90°，∴∠A+∠BCD=180°
C
即∠BCE′+∠BCD=180° ∴D、C、E′三点共线
∵BE⊥AD ∴∠BED=∠BEA=90°
又∠CDA=90° ∠E′=90° BE=BE′ A
E
D
∴四边形BEDE′是正方形
(法二)
在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°， BE⊥AD于点E，四边形ABCD的面积为4，求BE的长
解：过作DF∥BC
B
又 BE⊥AD ∠CDA=90°
∴ 四边形BFDC是平行四边形
C
∴ BC=DF
F
∵BC∥DF ∴ ∠DFE= ∠ CBE
∵ ∠A+ ∠ABE=90° ∠ABE+ ∠CBE =90°
旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内一点O转动一个
角度，就叫做图形的旋转 旋转中心
旋转的三要素： 旋转角
旋转方向
旋转的性质：
➢对应点到旋转中心的距离相等。 ➢对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角 ➢旋转前、后的图形全等
1、如图：P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点 B顺时针旋转，能与△CBP′重合，若BP=3，
∵ △AEC是等边三角形，
D
∴ AE=AC，∠EAC=60°
同理 AB=AD，∠BAD=60°.
∴ 以点A为旋转中心将△EAB
顺时针旋转60°就得到△CAD。 B ∴ △EAB≌△CAD。
∴ BE=DC
A E
C
例2、在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°， BE⊥AD于点E，四边形ABCD的面积为4，求BE的长
图形旋转的概念性质及应用
图形旋转的概念性质及应用图形旋转是指在平面内围绕一个中心点旋转一定角度，使图形相对于原来的位置发生改变的运动过程。
它是几何学中的一个重要概念，具有以下几个性质和应用。
1. 基本性质：(1) 保持图形内部每个点到中心点的距离不变；(2) 保持图形内部每条线段的长度不变；(3) 保持图形内部每个角的度数不变。
图形旋转的基本性质决定了旋转后的图形与原图形之间存在着密切的联系，可以通过观察原图形和旋转后的图形之间的关系来进行旋转的分析。
2. 旋转的类型：(1) 顺时针旋转：指图形相对于中心点逆时针方向旋转。
顺时针旋转的角度为负数。
(2) 逆时针旋转：指图形相对于中心点顺时针方向旋转。
逆时针旋转的角度为正数。
旋转的类型可以根据指定的旋转方向来确定，顺时针旋转和逆时针旋转分别具有不同的性质和应用。
3. 应用：(1) 建筑设计：在建筑设计中，图形旋转可以用来设计建筑物的立面、平面布局等，通过旋转不同的图形来实现建筑物的各种形状和风格。
(2) 工程制图：在工程制图中，图形旋转可以用来绘制机械零件、建筑结构等，通过旋转图形可以实现不同角度的绘制，以便于制定具体的制造方案。
(3) 游戏开发：在游戏开发中，图形旋转可以用来实现人物、道具、场景的动画效果，使游戏更加生动和有趣。
(4) 图像处理：在图像处理中，图形旋转可以用来实现图像的旋转、镜像等操作，方便进行图像处理和编辑。
图形旋转在实际应用中具有广泛的用途，不仅可以用于艺术设计、工程制图等领域，还可以用于计算机图形学、计算机视觉等领域，为实现各种功能和效果提供了基础操作和方法。
总之，图形旋转是指在平面内围绕一个中心点旋转一定角度的运动过程，具有保持距离、保持长度和保持角度的基本性质。
它在建筑设计、工程制图、游戏开发、图像处理等领域有着广泛的应用，为实现各种功能和效果提供了基础操作和方法。
旋转的定义与性质
02
03
2D图形旋转
在计算机图形学中，2D图 形可以通过旋转矩阵进行 旋转，以实现图形的转动 效果。
3D模型旋转
在3D图形中，模型可以通 过旋转轴心进行旋转，以 实现3D模型的动态展示和 交互。
动画中的旋转
在动画制作中，物体可以 通过连续旋转来创建动态 效果，如旋转的球体或飞 旋的车轮等。
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CATALOGUE
旋翼机
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旋翼机是一种利用旋转翼产生升力的飞行器，其旋翼的旋转使
机体升空。
陀螺仪
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陀螺仪是航空航天领域中常用的惯性导航和姿态稳定设备，它
利用高速旋转的陀螺来保持方向和位置的稳定。
火箭发动机
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火箭发动机中的燃料燃烧产生的高温高压气体通过喷嘴产生反
作用力，推动火箭旋转发射。
计算机图形学中的旋转
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VS
详细描述
角动量是质量、速度和转动半径的函数， 表示物体绕某点旋转的动量。对于刚体， 其角动量等于刚体绕某点旋转的动量与该 点到旋转轴的距离的乘积。
旋转与万有引力的关系
总结词
万有引力是描述物体之间相互吸引的力，与物体的质量和距离有关。
详细描述
当两个物体之间存在万有引力时，它们可能会发生旋转运动。这种旋转运动受到万有引力的影响，特别是当物体 之间的距离较小时，万有引力可能导致它们发生相对旋转。
旋转的角度是连续变化的
当物体进行旋转时，其与旋转轴之间的角度会连续变化，而不是跳跃或突变。
旋转的速度是连续变化的
由于旋转的角度是连续变化的，因此旋转的速度也是连续变化的。这意味着在旋转过程 中，物体上的每一点的线速度和角速度都是连续变化的。
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CATALOGUE
人教版九年级数学上册图形旋转的性质-老师版
1．根据旋转的性质找相等的线段或角【例1】如图，若把△ABC绕点A旋转一定角度就得到△ADE，那么AB=______，BC=______，∠CAB=______，∠B=_______．总结：1. 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等，所以对应边相等，对应角相等。
2. 图形的旋转不改变图形的大小和形状。
练1如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕点O旋转180°，可以与△____重合，这说明△AOB≌△_____.这两个三角形的对应边是AO与_____，OB与_____，BA与____；对应角是∠AOB与_______，∠OBA与________，∠BAO与________．2．根据旋转的性质求角的度数【例2】（2015•天津）如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130° B．150° C．160° D．170°总结：1.当图形中出现图形旋转时，要利用旋转的性质解题.2.注意：（1）旋转前后图形全等，所以对应边相等，对应角相等；（2）旋转角都相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等.练2（2010春•姜堰市校级期中）如图，已知△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°.（1）请说明∠EAB=∠FAC的理由；（2）△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；（3）求∠AMB的度数．3．已知一个图形和旋转中心，画旋转图形【例3】在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′．总结：旋转作图的基本步骤:（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接各关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到这些关键点的对应点，并标上相应的字母；（4）按原图形依次连接这些对应点，得到旋转后的图形。
图形的旋转和翻转操作技巧
图形的旋转和翻转操作技巧一、图形的旋转1.旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。
2.旋转的性质：a.旋转不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。
b.旋转前后的图形全等。
c.旋转中心即为图形的对称中心。
3.旋转的公式：若将一个图形绕着点O旋转θ度，得到的新图形为O’，则有：O’ = O + (O -> O’) * θ4.旋转的应用：a.在实际生活中，如风扇、汽车方向盘等的转动都是旋转的应用。
b.在计算机图形学中，旋转用于实现图形的变换和动画效果。
二、图形的翻转1.翻转的概念：在平面内，将一个图形沿着某一条直线翻转一定角度，使得翻转后的图形与原图形关于这条直线对称，这种图形变换叫做翻转。
2.翻转的类型：a.水平翻转：将图形沿着x轴翻转。
b.垂直翻转：将图形沿着y轴翻转。
c.对称翻转：将图形沿着任意直线翻转，使得翻转后的图形与原图形关于这条直线对称。
3.翻转的性质：a.翻转不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。
b.翻转前后的图形全等。
c.翻转的中心线即为图形的对称轴。
4.翻转的应用：a.在实际生活中，如镜子、穿衣镜等的翻转都是翻转的应用。
b.在计算机图形学中，翻转用于实现图形的变换和动画效果。
三、操作技巧1.旋转操作技巧：a.确定旋转中心：通常选择图形的某个顶点或重心作为旋转中心。
b.确定旋转方向：顺时针或逆时针旋转。
c.确定旋转角度：根据实际需求确定旋转的角度。
d.画出旋转后的图形：以旋转中心为中心，按照旋转方向和角度，画出旋转后的图形。
2.翻转操作技巧：a.确定翻转中心线：通常选择图形的中心线作为翻转中心线。
b.确定翻转方向：沿中心线翻转，使得翻转后的图形与原图形关于中心线对称。
c.画出翻转后的图形：按照翻转方向，将原图形关于中心线翻转，得到翻转后的图形。
通过以上知识点的学习和操作技巧的掌握，学生可以更好地理解和运用图形的旋转和翻转，提高他们在几何学习和实际应用中的能力。
2.8 平面图形的旋转(课件)冀教版(2024)数学七年级上册
新知探究 知识点2 旋转的性质 问题2 如图，三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转后得到三角形COD，E 是线段BA上一点． (3)画出点E的对应点F.
方法一：用圆规以C点为圆心，以线段AE长 为半径画弧，与CD交于点F.
方法二：用圆规以D为圆心，以线段BE长为 半径画弧，与CD交于点F.
方法三：根据旋转角，通过射线旋转作出点F.
随堂练习
3.如图，P是正三角形ABC内的一点，若将三角形PBC绕点B旋转 到三角形P′BA，则∠PBP′的度数是 ( B ) A.45° B.60° C.90° D.120°
随堂练习
4.如图，把三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一定角度后成为三角形 A′B′C′，则下列各式：①AB＝A′B′；②OB＝OB′；③∠AOA′＝∠COC′； ④∠COB＝∠A′OC′；⑤∠COA′＝∠BOC′.其中，成立的有（ B ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
新知探究 知识点2 旋转的性质
旋转的性质 在平面内，旋转前后的两个图形有如下的性质： 对应点到旋转中心的距离相等； 两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等，它们都 等于旋转角.
新知探究 知识点3 旋转作图
已知线段AB，请利用三角板、刻度尺或量角器等工具，
画出线段AB绕点A逆时针旋转90°后的图形AB′.
确定一次图形的旋转时, 旋转中心
必须明确 旋转角 旋转方向
旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向、旋转角”称之 为旋转的三要素.
新知探究 知识点2 旋转的性质
问题1 如图，已知A，B是射线OM上的两点，且OA=1cm，OB=2.5cm.
B′ A′
(1)当OM旋转到ON位置时，点A，B分别旋转到点 A′，B′，的位置，请画
旋转知识点总结和题型总结
旋转知识点总结和题型总结一、旋转知识点总结旋转是几何学中的一个重要概念，它涉及到图形围绕某个中心点进行转动的运动。
在高中数学中，旋转通常是指平面图形绕坐标原点或其他指定点进行旋转。
旋转的性质和相关定理在解决几何问题和证明几何定理中起着重要的作用。
下面我们来总结一下旋转的相关知识点。
1. 旋转的基本概念旋转是指一个平面图形绕着一个固定的中心点旋转。
通常我们用一个角度来表示旋转的大小，这个角度可以是正数也可以是负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。
旋转后的图形与原图形相似，它们的对应部分保持着等长和等角关系。
2. 旋转的公式当平面图形沿着坐标原点以逆时针旋转θ度时，点（x，y）绕原点旋转后得到的新点的坐标为（x'，y'）可以由以下公式得到：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθ3. 旋转的性质a. 图形绕原点旋转180°后的性质：如果一个平面图形绕坐标原点旋转180°之后得到的图形恰好与原图形重合，那么这个图形就是轴对称的。
b. 图形绕原点旋转360°之后的性质：如果一个平面图形绕坐标原点旋转360°之后得到的图形与原图形完全相同，那么这个图形就是旋转对称的。
c. 图形绕原点旋转90°或270°之后的性质：如果一个平面图形绕坐标原点逆时针旋转90°或顺时针旋转270°得到的图形与原图形重合，那么这个图形就是垂直对称的。
4. 旋转的应用旋转在几何学中有着广泛的应用，例如在解析几何中，我们可以利用旋转的公式来求解相关的几何问题；在立体几何中，旋转可以帮助我们解决求体积、曲面积等问题；在实际生活中，旋转也被广泛应用在工程、建筑、航空航天等领域。
5. 旋转的相关定理a. 复合旋转定理：两次旋转可合成一次旋转。
b. 示例旋转定理：一个图形旋转180°之后，再旋转180°后得到了与原图形相同的图形。