多元函数的概念
高等数学中的多元函数的基础概念详解
高等数学中的多元函数的基础概念详解在高等数学中，多元函数是一种非常重要的概念。
它是研究多变量之间关系的数学工具，广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
本文将从多元函数的定义、连续性、导数、微分、偏导数和泰勒展开等方面进行详细的讲解。
一、多元函数的定义多元函数是指在数学上，将多个自变量与一个或多个因变量联系起来的一种函数。
通常表示为$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=y$，表示存在一种从输入向输出的映射关系。
例如，$f(x,y)=x^2+y^2$就是一个简单的多元函数，它将平面上的点$(x,y)$映射到一个实数值$z=x^2+y^2$上。
多元函数的定义域和值域分别是自变量的取值范围和因变量的取值范围。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指当自变量发生微小变化时，函数值的变化也应该非常微小。
具体来说，如果在多元函数$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$的某一点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$附近，对于任意的$\epsilon>0$，都存在一个$\delta>0$，使得当$(x_1,x_2,\dots,x_n)$满足$|x_i-a_i|<\delta$时，有$|f(x_1,x_2,\dots,x_n)-f(a_1,a_2,\dots,a_n)|<\epsilon$，那么就称$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$在点$(a_1,a_2,\dots,a_n)$处连续。
这与一元函数的连续性概念是类似的。
三、多元函数的导数多元函数的导数在概念上和一元函数的导数是类似的，它描述的是函数在某一点上的变化率。
但是多元函数的导数有一些特殊的性质，如方向导数、梯度等。
在二元函数的情况下，如果函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可导，则有：$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$这两个导数称为函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数。
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
多元函数的概念
x x0 x，y y0 y ，定义3中的等式
x x0 y y0
lim f ( x, y ) f ( x0 , y0 ),
就相当于
x0 y 0
lim [ f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 )] 0,
即
x 0 y 0
lim f ( x,0) 0.
x 0
当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时， 即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0)，
lim f (0, y ) 0.
y 0
当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，
即f(x,y)=f(x,kx)=
k (x≠0)， 2 1 k
二元初等函数的定义： 由变量x，y的基本初等函数及常数经过有限次四 则运算或复合步骤而构成的，且用一数学式子表示的 函数称为二元初等函数. 二元初等函数在其定义区域(是指包含在定义域
内的区域)内是连续.
1 3y 2x 5 , 2 如函数 sin x y , ln 2 等， 2 2 x y x y 都是二元初等函数，在它们有定义的区域内都是连
即 a x a， b y b
其图形是矩形内部(包括边界).
1 例6 求函数 z 2 2 的定义域. 1 x y
解 函数的定义域为 1 ( x 2 y 2 ) 0,
即
x 2 y 2 1.
它的图形是单位圆
内部(不包括边界)，
如图所示.
二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是 一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的 一些点. 全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为 平面开区域，简称平面区域.这三个条件是： (1) 其边界是由一条或几条曲线所组成,
8-1 多元函数的基本概念
其中：D称为定义域 f ( D)称为值域 ,
w 类似地可定义三元函数． f ( x , y , z )
n元函数 y f ( x ) f ( x1 , x2 ,, xn )
多元函数两点说明：
（1）多元函数uf(x)定义域指自然定义域
arcsin( 3 x 2 y 2 ) f ( x, y) 例1 求定义域 x y2 的． 3 x2 y2 1 解 x y2 0 2 x 2 y 2 4 2 x y
n U n维空间邻域： ( P0 , ) P | PP0 | , P R
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
1.4 二元函数的定义
定义：设区域 R 2 D 映射f : D R称为二元函数 记为：z f ( P ) f ( x, y ) P ( x , y ) D
lim
x3 y4
xy 1 x y
2 2
2
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值D
使得：f(P1) max{f(P )|PD }
f(P2) min{f(P )|PD } ．
（2）介值定理
有界闭区域D上的多元连续函数，必取得介于最大值 和最小值之间的任何值
2 2
去心邻域：( P , ) { P | 0 | PP0 | } U
不需要考虑邻域半径时 简记为： (P ) U
0
P
1.2 区域
E
P
P
(1)设 E 是平面 点集，点 E P 如果存 在U ( P ) E , 则称 P 为 E 的内点 . ( 2)设 E 是平面点集，点 E P 如果存在U ( P ) E , 则称 P 为 E 的外点 . ( 3)如 果 U ( P ) E 且U ( P ) E E 称P 为 E 的 边 界 点 .
多元函数的基本概念
x3 + y3 , ( x , y ) ≠ (0,0) 2 2 例5 讨论函数 f ( x , y ) = x + y 0, ( x , y ) = (0,0)
处的连续性． 在(0,0)处的连续性． 处的连续性 解 取 y ) − f ( 0, 0 )
= ρ (sin 3 θ + cos 3 θ ) < 2 ρ
∀ ε > 0, ∃ δ = , 当 0 < 2
ε
x2 + y2 < δ 时
f ( x , y ) − f (0,0) < 2 ρ < ε
（5）二元函数的定义 ）
是平面上的一个点集， 设 D 是平面上的一个点集 ， 如果对于每个点 P ( x , y ) ∈ D ， 变量 z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应， 的二元函数， 值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z = f ( x , y ) （或记为 z = f (P ) ）.
便为数轴、平面、 特殊地当 n = 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、 空间两点间的距离． 空间两点间的距离． n维空间中邻域、区域等概念 维空间中邻域、 维空间中邻域 邻域： 邻域： U ( P0 , δ ) = P | PP0 |< δ , P ∈ R n
{
}
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
U ( P0 , δ ) = {P | PP0 |< δ }
= ( x , y ) | ( x − x 0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ .
δ
•
{
}
P0
（2）区域 ）
多元函数的概念讲解
多元函数的概念讲解多元函数是指在数学中，有多个变量同时作为自变量的函数。
一元函数是只有一个自变量的函数，例如y=f(x)；而多元函数是两个或多个自变量共同决定一个因变量的函数，例如z=f(x, y)或者w=f(x, y, z)。
在实际应用中，多元函数经常用来描述多个因素对某个结果的影响，是数学模型中的重要表达方式。
多元函数的变量通常分为自变量和因变量两类。
自变量是函数中的独立变量，其取值可以独立地由外部确定；而因变量是函数中的依赖变量，其取值由自变量所决定。
在多元函数中，自变量可以有任意多个，并且可以是连续或离散的变量。
多元函数可以描述现实世界中的各种现象和关系。
例如，在经济学中，生产函数可以看作是一个以生产投入（如劳动力、资本）为自变量，以产出（如产品或服务）为因变量的多元函数。
在自然科学中，例如物理学中的力学方程、电磁方程等，都可以看作是多元函数，其中的自变量和因变量代表不同的物理量。
对于多元函数，我们可以通过图像、方程、表格等多种方式进行表示和理解。
其中最常用的是图像表示法，通过绘制自变量和因变量之间的关系图来展示多元函数的性质。
例如，二元函数f(x, y)可以用三维坐标系上的曲面图来表示，其中自变量x和y分别对应平面的两个坐标轴，而z=f(x, y)对应曲面上的高度。
多元函数的性质也可以通过微积分来进行研究。
例如求函数的导数就是通过刻画函数在某一点的变化率来描述它的性质。
对于多元函数，我们可以求偏导数来研究函数在每个自变量上的变化率，进而推导出函数在整个定义域上的性质。
多元函数的极值问题、最优化问题等也可以通过微积分的方法来求解。
多元函数的概念对于理解和研究现实问题具有重要意义。
它能够帮助我们建立数学模型，解释和预测各种现象和关系。
通过对多元函数的研究，我们可以找到问题的最优解、最大值和最小值，提高生产效率，优化资源配置等。
总之，多元函数是数学中的重要概念，它能够描述多个自变量对因变量的影响关系。
多元函数的概念与应用
多元函数的概念与应用多元函数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的概念以及其在实际问题中的应用。
一、多元函数的概念多元函数是指自变量有两个或更多的函数。
具体来说，如果有n个自变量x1，x2，...，xn，一个因变量y以及一个函数关系f，那么我们可以将其表示为y = f(x1, x2, ..., xn)。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
与一元函数不同的是，多元函数的图像无法用一个二维平面来表示，而是需要用高维空间来展示。
二、多元函数的应用多元函数在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用。
1. 物理学中的应用在物理学中，多元函数用于描述物体的运动和力学性质。
例如，牛顿的万有引力定律中就包含了一个多元函数。
通过多元函数可以描述天体之间的引力关系，并预测它们的运动轨迹。
2. 经济学中的应用经济学中的需求函数和供给函数都是多元函数的例子。
需求函数描述了消费者对商品的需求与价格之间的关系，而供给函数描述了生产者供给商品的数量与价格之间的关系。
通过分析这些多元函数，可以帮助我们理解市场的运行规律，进行经济预测和政策制定。
3. 工程学中的应用工程学中的多元函数应用广泛，如电路设计、材料强度分析、车辆运行特性等方面。
通过建立多元函数模型，可以优化工程设计，提高产品质量和性能，降低成本和风险。
三、多元函数的分析方法要研究多元函数的性质和应用，需要使用多元微积分的方法。
这些方法包括偏导数、多元极值、方向导数、梯度等。
1. 偏导数偏导数用于衡量多元函数在某个变量上的变化率，其定义与一元函数的导数类似。
通过求取偏导数，可以判断函数在某个点上的增减性以及各个方向上的变化程度。
2. 多元极值多元极值是指多元函数在某个区域内取得最大或最小值的点。
通过求取偏导数，并令其等于零，可以求得多元函数的极值点。
3. 方向导数与梯度方向导数用于描述多元函数在某个方向上的变化率，而梯度则是一个向量，它的方向与多元函数在某点上的变化最快的方向一致。
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
多元函数
z f x, y 在点 y y0
M 0 x0 , y0 , f x0 , y0 偏导数 f xx0 , y0 就是曲面 y y0 上曲线
二元函数 z f x, y 是区域D上的一个曲面， P0 x0 , y0 D，所以曲面上有相应的一点
称为函数 z f x, y 的图像。 所以二元函数 z f x, y 的几何意义是定义在 平面区域D上的三维空间中的一个曲面。
例4 讨论二元函数 z 1 x 2 y 2 的图像。
解：定义域为 x, y x 2 y 2 1 ，并且函数
z 0 。对 z 1 x 2 y 2 两边平方整理后，得
（2，3）点。
z (1)把y看作常数，有 x 2 xy
所以
f x2 2 （2）把x看作常数，有 x
所以
z x
2,3
2 2 3 12
f x
2,3
2 2 2
2
例3 求二元函数
ze
y sin x
的偏导数。
解：（1）把y看作常数，有
z e x
1 解：与一元函数的计算相仿，把 x , y 3 2
代入到二元函数的表达式，得
1 1 1 2 315 f ,3 3 3 2 6 3 2 2
把 x 1, y 1 代入二元函数的表达式，得：
1 f 1,1 1 1 2 1
其中
D是函数 y f x1 , x2 ,, xn 的定义域
x1 , x2 ,, xn 称为自变量，y是因变量，
二元和二元以上的函数统称为多元函数
定义7.3 设D是n维空间 R n 的非空子集，如果 对D中的任意点 Px1 , x2 , xn ，按照对应法则f，
大一高数多元函数知识点总结
大一高数多元函数知识点总结大一的高等数学是大学学习的一门基础课程，其中多元函数是其中比较重要的一部分。
在学习多元函数时，我们需要了解一些基本的概念、性质和计算方法。
本文将对大一高数多元函数的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、多元函数的概念和性质1.1 多元函数的定义多元函数是指含有两个或两个以上自变量的函数，在平面上表示为f(x,y)，在空间中表示为f(x,y,z)。
而自变量的取值范围可以是实数集合或者某个区间，函数的值可以是实数或者向量。
1.2 驻点和极值对于多元函数，我们可以通过求偏导数的方法找到其驻点和极值。
具体来说，对于一个二元函数f(x,y)，求偏导数f’x(x,y)和f’’y(x,y)，令其等于零，可以得到驻点的坐标。
然后，通过计算二阶偏导数f’’xx(x,y)、f’’xy(x,y)和f’’yy(x,y)的值，可以判断驻点是否是极值点。
1.3 偏导数与全微分对于多元函数，我们可以通过对其中某一个自变量求偏导数的方法来求得偏导数，而偏导数可以理解为函数对于某一自变量的变化率。
而全微分则是对多元函数进行全面的微分，表示其在各个自变量方向上的变化率之和。
1.4 隐函数和参数方程在一些情况下，多元函数的表达式并不明显，而是通过一些隐含的条件进行表示。
这时要借助隐函数的概念，将多元函数用隐函数的形式表示出来。
而参数方程则是将多元函数在某个平面上表示为参数的函数形式。
二、多元函数的计算方法2.1 多元函数的线性逼近对于一个二元函数f(x,y)，我们可以通过求得其一阶偏导数和二阶偏导数，来进行函数的线性逼近。
而通过线性逼近，我们可以计算函数在某一点的近似值，以及该点处的切线和法线。
2.2 多元函数的积分多元函数的积分与一元函数的积分类似，只是需要在计算过程中考虑到多个自变量。
可以通过对其中一个自变量进行积分，将多元函数转化为一元函数的形式，然后再进行计算。
2.3 向量场的散度和旋度对于一个二维向量场和三维向量场，我们可以通过计算其散度和旋度来了解向量场的性质。
多元函数的概念
多元函数的概念多元函数是一个多项式表达式，它有若干未知数和若干常量组成，这些未知数是函数所有自变量的函数。
它是对函数中多个变量的定义，也是自变量与因变量之间的关系，例如给定f(x,y)=aｘ+bｙ+c，其中ａ，ｂ，ｃ是常数，而ｘ，ｙ是未知数，则函数f(x,y)为二元多变量函数。
一、定义多元函数是指根据自变量相互之间的关系，把一个或多个未知的实数坐标（称为自变量）替换到实数的定义域使之成为另一个实数坐标（称为因变量）的函数。
二、分类1、一元函数：只有一个未知变量的函数。
其函数式为：y = f(x)，其中，x 是一个未知变量，而 y 是随之变化的量。
2、二元函数：含有两个未知变量的函数，如：f(x, y) = x2 + y23、三元函数：含有三个未知变量的函数，如：f(x,y,z) = x3 + y3 + z34、多元函数：含有三个以上未知变量的函数。
三、性质1、多元函数的性质取决于定义域及其关于所有自变量的函数关系。
2、当自变量取不同的值时，多元函数的结果也会有所不同。
3、多元函数一般都不具有可视化概念，因为它往往有多余于三个自变量，而我们只能通过特定条件来求解。
4、看似相似的多元函数有可能不具有相同的数学性质，要根据自变量的关系，分析其函数的特性以确定其定义域和值域。
四、用途1、多元函数用于研究多维空间概念，工程中描述物理系统中状态变化、解决非线性规划问题等。
2、可以用来描述参数之间的关系，用于求解在工业运筹学和统计学中复杂环境下的数学问题。
3、多元函数可用于预测数据，作为模型量化把客观现象变成形式，并可以计算出函数及其局部极值的原因。
4、多元函数也可以用来解决科学问题，如流体动力学的物理问题、地质作用的地质问题、提高经济效率的经济问题等。
高等数学中的多元函数
高等数学中的多元函数在高等数学中，多元函数是指拥有多个自变量的函数。
与一元函数不同，多元函数的自变量可以是两个或更多个。
1. 多元函数的定义多元函数可以理解为一个函数，它的输入可以是多个变量，输出为一个变量。
如f(x, y) = x² + y²，其中x和y都是自变量，而f(x, y)则是因变量。
多元函数的定义域是自变量的取值范围，其值域是函数的所有可能输出。
2. 多元函数的图像和一元函数一样，多元函数也可以通过绘制图像来直观地展示。
对于二元函数f(x, y)，可以在三维坐标系中绘制出其图像。
图像上的每一个点(x, y, z)代表了函数在对应自变量取值下的输出值。
通过观察图像的形状和特征，我们可以对多元函数的性质有更深入的理解。
3. 多元函数的极限多元函数也存在极限的概念。
对于二元函数f(x, y)，当自变量(x, y)趋近于某一点(x₀, y₀)时，函数值f(x, y)可能趋近于一个有限的值L，我们称L为函数f(x, y)当(x, y)趋近于(x₀, y₀)时的极限。
多元函数的极限性质和一元函数类似，我们可以通过定义和极限的性质来推导多元函数的极限。
4. 多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指函数在某一点处对某个自变量的导数。
对于二元函数f(x, y)，其偏导数可以分别求关于x和y的导数。
偏导数可以帮助我们研究多元函数在某一点的变化率和方向。
通过求解偏导数为零的点，我们可以找到多元函数的极值点。
5. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开公式是将一个多元函数在某一点附近用多项式来逼近的方法。
泰勒展开可以帮助我们更好地理解多元函数的性质和行为。
通过泰勒展开，我们可以将复杂的多元函数近似为简单的多项式，从而简化问题的求解过程。
6. 多元函数的积分多元函数的积分是对多元函数在某个区域上的求和操作。
与一元函数积分类似，多元函数的积分可以分为定积分和不定积分。
通过对多元函数的积分，我们可以求解多元函数在某个区域上的总量、平均值等问题。
多元函数单调性知识点总结
多元函数单调性知识点总结一、多元函数的定义及基本概念1. 多元函数的定义多元函数是指在n维欧式空间中的定义域为n维的实数向量空间，值域为实数的函数。
多元函数的自变量和因变量都是n维向量。
一般地，设D⊂R^n, f: D→R为n个实变量的函数，那么称f为n元函数，记作f(x_1,x_2, …, x_n)，其中x_i(i=1,2,…,n)称为自变量，函数值y=f(x_1, x_2, …, x_n)称为因变量。
2. 多元函数的单调性多元函数的单调性是指当自变量变化时，函数值的变化趋势。
当函数值随着自变量的增加而增加，称函数在该区间上是单调递增的；当函数值随着自变量的增加而减小，称函数在该区间上是单调递减的。
二、多元函数的偏导数及一阶导数1. 多元函数的偏导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，如果在(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数，那么对于每一个自变量x_i，在其它自变量不变的情况下，可以对f关于x_i求导，得到f关于x_i的偏导数，记作∂f/∂x_i。
偏导数的定义如下：●当f在点(x_1, x_2, …, x_n)处存在偏导数∂f/∂x_i时，即该函数在该点沿着第i个自变量的方向有导数。
这个导数叫做偏导数，记作∂f/∂x_i，也可简称为偏导。
其计算公式为：∂f/∂x_i = lim(h→0) (f(x_1, x_2, …, x_i+h, …, x_n) - f(x_1, x_2, …, x_i, …, x_n)) / h●如果在点(x_1, x_2, …, x_n)的邻域内,各个偏导数∂f/∂x_i都存在,则称多元函数f(x_1,x_2, …, x_n)在该点可偏导。
2. 多元函数的一阶导数对于n元函数f(x_1, x_2, …, x_n)，当其在点(x_1, x_2, …, x_n)处的各个偏导数∂f/∂x_i都存在时，称f在该点可偏导。
此时，函数f的一阶导数是一个n维向量，称为梯度，记作∇f(x_1, x_2, …, x_n) = (∂f/∂x_1, ∂f/∂x_2, …, ∂f/∂x_n)。
多元函数的基本概念
在其他领域中的应用
化学反应动力学
在化学反应动力学中， 多元函数可以用来描述 反应速率与反应物浓度 之间的关系。
生物种群动态
在生物种群动态中，多 元函数可以用来描述种 群数量随时间的变化趋 势，如Logistic增长模 型。
图像卷 积操作和滤波器设计。
THANKS
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可微性
总结词
可微性是指函数在某一点或某一方向上 的导数存在。
VS
详细描述
在多元函数中，如果一个函数在某一点或 某一方向上的导数存在，则称该函数在该 点或该方向上可微。可微性是多元函数的 重要性质之一，它揭示了函数在某一点或 某一方向上的局部变化率。
偏导数
总结词
详细描述
偏导数是指在多元函数的某个自变量固定时， 该函数对其他自变量的导数。
在经济中的应用
供需模型
多元函数可以用来描述商品价格与供需量之 间的关系，通过求导数来分析价格变动对供 需量的影响。
投资组合优化
多元函数可以用来描述投资组合的预期收益与风险 之间的关系，通过优化算法来找到最优的投资组合 。
生产成本分析
在生产成本分析中，多元函数可以用来描述 不同生产要素之间的成本关系，帮助企业进 行成本控制和优化。
多元函数的基本概念
• 引言 • 多元函数的定义与表示 • 多元函数的性质 • 多元函数的极限 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01
引言
多元函数的概念
多元函数是数学中的一个概念，它是 一个函数，其自变量和因变量都是多 个。在多元函数中，因变量的值依赖 于多个自变量的取值。
多元函数的定义域是一个点的集合， 这些点在各个自变量的取值范围内。 而函数的值域则是一组因变量的值， 这些值由各个自变量的取值确定。
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2.二元函数的定义
定义1 设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变 量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z 为x，y的二元函数，记作
z=f(x,y) 或 z=z(x,y)， 其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义 域.
例3 求出二元函数
的定义域.
解 自变量x，y必须满足不等式
即函数定义域，如图中所示.
例4 求函数z=ln(x+y)的定义域.
解 函数的定义域为 x+y>0，
其图形如图所示.
例5 求函数
的定义域(a>0,b>0).
解 函数的定义域由不等式组
其图形是矩形内部(包括边界).
例6 求函数
的定义域.
解 函数的定义域为
它的图形是单位圆内部(不包括 边界)，如图所示.
二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面 的一部分，或者是零星的一些点.
全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域. 这三个条件是：
(1) 其边界是由一条或几条曲线所组成, (2) 点集内不包含边界上的点, (3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.
一、多元函数的概念
1.引例
例1 矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系 S=xy (x>0,y>0)，
其中长x和宽y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y的值取定后，矩形面积 S有一个确定值之对应.
例2 理想气体的压强P与容积V，绝对温度T之间有下列依赖关系
其中V，T是独立取值的两个变量，在它们的变化范围内，对V，T的每一组值， 压强P有一个确定值与之对应.
则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.
如果在点P0(x0,y0)处，自变量x，y各取增量△x，△y，函数随之取得增量△z， 即
这个增量称为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)上的全增量.现在用函数的全增量来表述函数 在一点处连续的定义.记
，定义3中的等式
就相当于
即 于是与定义3等价的另一个定义是： 定义4 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，在点P0处的增量为△z，如果
函数z=f(x,y)的几何图形是一张曲面.这就是二元函数的几何意义.如图所示.而 定义域D正是这曲面在Oxy平面上的投影.
例7 作二元函数z=1–x–y的图形.
解 由空间解析几何可知它的图形是一张平面.在三个坐标轴上的截距均为1，它的 图形在第一卦限的部分，如图所示.
例8 作二元函数
的图形.
解 这是一张开口向上的旋转抛物面，定义域为全平面，图中为该曲面在 的图形.
当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时，
即f(x,y)=f(x,kx)=
(x≠0)，
其极限值随直线斜率k的不同而不同.因此 在.
不存
一元函数极限的有些运算法则(如四则运算法则，夹逼定理等) 可以相应地推 广到二元函数.
三、二元函数的连续性
定义3 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果当点P(x,y)趋于定点 P0(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的极限等于f(x,y)在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，即
当P(x,y)以不同路径趋于P(x0,y0)点时，函数趋于不同的值，则可以断定函数 在P0(x0,y0)点的极限不存在.
例10 讨论二元函数
当P(x,y)→O(0,0)时，极限是否存在. 解 当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)时，
即y=0，f(x,y)=f(x,0)=0 (x≠0)，
当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时， 即x=0，f(x,y)=f(0,y)=0(y≠0)，
则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.
如果函数z=f(x,y)在开区域D上各点都连续，则 称函数z=f(x,y)在开区域D上连续.连续的二元函数 z=f(x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.
例11 证明函数
在整个Oxy平面上连续.
证 在Oxy平面上任取一点(x,y)，分别给x，y以增量△x,△y，得函数z的全增量
部分
例9 作二元函数
的图形.
解 函数的定义域
，它的图形是单位圆的内部及其边界.函数图形是球心
在原点，半径为１的上半球面，如图所示.
二、二元函数的极限
邻域 以点P0(x0,y0,z0)为圆心，δ>0为半径的开圆域，称为点P0的δ邻域.该邻域的点 P(x,y)，满足不等式
点P0的去心δ邻域(即不含圆心的 邻域)可表示为
定义2 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有 定义，如果动点P(x,y)在该邻域内以任意方式趋于定点
P0(x0,y0)时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数A，则
称A为函数z=f(x,y)，当
时的极限，记作
或 或
对于二元函数的极限存在，是指当P(x,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)以任意方式趋于定点P0(x0, y0)，函数 都无限接近于A.
当自变量x，y分别取x0，y0时，函数z的对应值z0，记作z0=f(x0,y0)，称为二元函数 z=f(x,y) 当x=x0，y=y0，时的函数值.
类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上 的函数统称为多元函数.
函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.建立函数，一般是根据实际问 题确定函数的定义域. 对于由数学式子表示但未说明具体范围的函数z=f(x,y)，定义域 为使函数z有意义的自变量取值的全体.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所 有自变量的取值范围.
根据二元函数极限的运算法则，有
即函数
在整个Oxy平面内连续.
如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点， 或称间断点.
如果上述条件(1)，(3)不变，将(2)改为 ： 点集内包含边界上所有的点.
这种平面点集称为平面闭区域. 如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内，则称此区域为有
界区域，否则称其为无界区域.
例3，例5的定义域为有界闭区域.例4的定义域为无界区域.例6的定义域为有界 区域.
3.二元函数的几何意义