初中数学知识点精讲精析 比例
初中数学比率与比例知识点总结
初中数学比率与比例知识点总结数学中的比率与比例是初中阶段学习数学的重要内容之一。
它们是数学中最基本的概念，贯穿于各个学习阶段，对于学生理解和应用数学知识具有重要的作用。
本文将对初中数学中的比率与比例进行全面总结，包括定义、简单运算、应用等方面的内容。
一、比率与比例的基本定义1. 比率：比率是指两个数之间的比值关系。
在数学中，使用“：”表示比例，比如a:b表示a与b的比率。
2. 比例：比例是指两个或多个比率之间的等量关系。
如果两个比率相等，可以表示为a:b = c:d，也可以表示为a:b :: c:d。
二、比率与比例的简单运算1. 比率的简单运算：比率的简单运算主要包括比率的化简和比率的扩大缩小。
化简比率的方法是找到相同的单位进行约分，使得两者之间的比值最简。
例如：6千米: 3小时可以化简为2千米: 1小时。
扩大缩小比率的方法是乘以或除以同一个非零数，使得比率的数值发生相应的变化，而比例关系不变。
例如：2:3可以扩大为4:6，缩小为1:1.5。
2. 比例的简单运算：比例的简单运算包括比例的加减乘除。
加法运算：若有两个比例a:b和c:d，可以先找到相同的单位，然后将两个比率相加得到新的比率。
例如：1:2和3:4可以先化为相同单位，得到2:4和3:4，然后相加得到5:8。
减法运算：减法运算与加法运算类似，只需做减法运算即可。
乘法运算：若有两个比例a:b和c:d，可以将两个比率相乘得到新的比率。
例如：2:3和3:4相乘得到6:12。
除法运算：若有两个比例a:b和c:d，可以将两个比率相除得到新的比率。
例如：2:3和3:4相除得到8:9。
三、比率与比例的应用1. 比率的应用：比率广泛应用于实际生活中的各种计量关系中，如长度与时间的速度、体积与质量的密度等。
学生可以通过比率的比较，找出事物之间的关系，并进行实际问题的解决。
2. 比例的应用：比例广泛应用于商业领域中，如商品的定价、折扣计算等。
学生可以通过比例的运算，解决实际生活和商业中的各类问题。
初中数学中的比例知识有哪些
初中数学中的比例知识有哪些比例是数学中常见的概念之一，广泛应用于各个领域。
在初中数学学习中，比例是一个重要的内容，它包括了比例的定义、比例的性质、比例的运算等多个方面。
本文将介绍初中数学中的比例知识，并对每个知识点进行简要的说明。
一、比例的基本概念比例是指两个或多个相同类型的量之间的关系。
它是通过两个量之间的比值来表达的。
比例的定义：如果两个量a、b之间的比值等于另外两个量c、d之间的比值，即a:b=c:d，那么我们就说a、b和c、d成比例。
比例的符号表示：比例通常用冒号(:)表示，即a:b表示a与b成比例。
二、比例的性质比例具有一些特殊的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和运用比例。
1. 比例的交换性：若a:b=c:d，则有b:a=d:c。
比例中的两个比值可以互换位置，而仍保持比例关系。
2. 比例的比例性质：若a:b=c:d，且b≠0，d≠0，则有a/c=b/d。
比例中的两个比值的商等于另外两个比值的商。
3. 比例的倍数性质：若a:b=c:d，且m为非零常数，则有ma:mb=mc:md。
比例中的两个比值的乘积在乘以一个非零常数后，仍保持比例关系。
三、比例的应用在初中数学中，比例广泛应用于实际问题的解决过程中。
1. 比例的简便计算：根据比例的性质，我们可以利用已知比例关系中的一组数值，计算另外一组数值。
通过较少的计算步骤，得到所需的结果。
2. 比例的单位换算：在实际问题中，常常需要进行不同单位之间的换算。
通过比例关系，可以简化单位换算的计算过程，准确地得到结果。
3. 比例的图形表示：比例可以通过图形进行表示，如比例尺、折线图等。
这些图形能够直观地呈现比例关系，帮助我们更好地理解和分析问题。
四、比例的运算比例具有一些运算法则，可以通过比例的加减、乘除等运算得到新的比例关系。
1. 比例的加减运算：对于两个成比例的比例关系a:b和c:d，可以进行加减运算，即(a±c):(b±d)，得到一个新的比例关系。
初中数学比例知识点
初中数学比例知识点
以下是 6 条关于初中数学比例知识点：
1. 哎呀呀，你知道什么是比例吗？就像切蛋糕一样，给几个人分蛋糕，每个人分到的大小要有一个合适的比例呀！比如有 10 块蛋糕要分给 2 个人和 3 个人，那分给 2 个人的应该是 4 块，分给 3 个人的应该是 6 块，这就是按比例分配嘛！
2. 嘿，比例中还有一种叫正比例呢！就如同你跑步的速度和你跑的路程，你跑的速度越快，那路程不就越远嘛！比如汽车速度一定，行驶时间越长，行驶的路程不也就越长啦！
3. 哇哦，还有反比例呢！想想看，你完成一项任务的效率和花费的时间，效率越高，完成所需时间不是就越少吗？就好像工作总量一定，工作效率越高，完工时间就越短啊！
4. 你难道没发现比例在生活中到处都是吗？像买东西的时候，价格和质量有时候就有一定比例关系呀！比如说同样的价钱，能买到更好质量的东西，这不就是个很好的例子吗？
5. 嘿呀，比例还能这样理解，它就像不同颜色的颜料调配，不同比例调出来的颜色可不一样呢！比如红色颜料和蓝色颜料按一定比例混合，就能得到新的颜色哟！
6. 注意啦注意啦！比例可是很重要的哦，它能帮助我们解决好多问题呢！就像搭积木，找对了比例，才能搭得又稳又好呀，不是吗？
我的观点结论：比例在初中数学中太重要啦，它和我们生活紧密相关，一定要好好掌握呀！。
九年级数学比例知识点梳理
九年级数学比例知识点梳理比例是数学中的一个重要概念，广泛应用于各类实际问题中。
在九年级数学学习中，比例相关的知识点非常重要。
本文将对九年级数学比例知识点进行梳理和总结，包括比例的定义、性质以及相关的应用问题。
1. 比例的定义比例是用来比较两个或多个数量之间的大小关系的一种数学工具。
两个相等的比例称为全比例，常用符号表示为“：”或“=”。
例如，a：b表示a与b成比例。
比例也可用分数形式来表示，例如a/b。
2. 比例的性质比例具有以下性质：- 交叉乘积相等性质：若a：b = c：d，则ad = bc。
这个性质常用于解比例问题中，可通过交叉乘积相等来确定未知量的值。
- 三比例中值性质：若a：b = b：c，则a：b：c为等比例。
在等比例的问题中，我们可以利用这个性质求解未知量的值。
3. 比例的变化与比例因子比例的变化可分为等比变化和非等比变化。
等比变化指的是比例保持恒定，即原比例与变化后的比例相等；非等比变化指的是比例不保持恒定，即变化后的比例与原比例不等。
比例因子是指由原比例变化到新比例所需的倍数。
4. 比例的应用比例在实际问题中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：- 比例尺：地图上的比例尺是比例的一种应用，用来表示地图上的距离与实际距离之间的比例关系。
- 百分数：百分数是通过比例关系表示的，表示数值相对于100的比例。
- 比例投影：在几何学中，比例投影是一种用于确定两个平行线之间的比例关系的方法。
- 全比例问题：全比例问题是指给定一组比例关系，然后通过已知比例来求解未知比例的问题。
可以使用交叉乘积相等性质来解决。
总结：九年级数学中比例是一个重要的知识点，涵盖了比例的定义、性质以及应用。
比例的性质可以通过交叉乘积相等性质和三比例中值性质进行运算和求解。
比例在实际问题中也有广泛的应用，如比例尺、百分数和比例投影等。
掌握比例的相关知识和应用，对于解决实际问题和提高数学运算能力都具有重要意义。
本文只是针对九年级数学比例知识点进行了梳理和总结，更为详尽的讲解和示例请参考相应数学教材。
初中数学知识点总结比例
初中数学知识点总结比例初中数学中的比例知识点是数学学习的基础内容之一，它涉及到了比例的概念、性质、计算以及应用等方面。
以下是初中数学比例知识点的详细总结：# 比例的基本概念比例表示两个比（也就是两个分数）相等的关系。
如果a/b = c/d，那么我们就说a、b、c、d四个量构成一个比例。
其中，a和d称为比例的外项，b和c称为比例的内项。
比是指两个数相除的结果，通常用冒号或斜线表示，如3:4或3/4。
比可以表示两个相同单位量的相对大小关系。
比的基本性质是指比的前项和后项同时乘以或除以同一个非零数，比值不变。
例如，2/3 = (2×4)/(3×4) = 8/12。
# 比例的性质1. 反比例性质：如果两个量的乘积是一个常数，那么这两个量就成反比例关系。
例如，速度和时间成反比，因为速度×时间=路程（常数）。
2. 合比性质：在比例 a/b = c/d 中，如果有另一个比例 e/f，那么(a×e)/(b×f) 仍然等于 a/b = c/d。
3. 分比性质：如果 a/b = c/d，那么 (a+b)/b = (c+d)/d。
4. 合分比性质：在比例 a/b = c/d 中，如果有另一个比例 e/f，那么 (a+b)/a = (c+d)/c。
5. 倒数比例性质：如果 a/b = c/d，那么 b/a = d/c。
# 比例的计算1. 比例的求解：给定一个比例式 a/b = c/d，可以通过交叉相乘求解未知数。
例如，如果已知 a = 2, b = 3, c = 4，要求解 d，则 d =a×d / b = 2×4 / 3 = 8/3。
2. 比例的简化：比例可以通过约分简化为最简形式。
例如，3/4 和9/12 可以简化为相同的比例形式。
3. 比例的应用：比例在实际问题中应用广泛，如计算图形的放大缩小、速度与时间的关系等。
# 比例的应用实例1. 图形的放大与缩小：如果一个图形的尺寸按照一定的比例放大或缩小，那么图形的每个部分都会按照这个比例变化。
七年级数学比例问题北师大版(大庆)知识精讲
七年级数学比例问题北师大版（某某）【本讲教育信息】一. 教学内容：比例问题二. 重点、难点：会各种比例关系的使用三. 具体内容：遇到各数量成比例时，通常的方法是设一份为x来解决【典型例题】例1 红药水是红汞与蒸馏水按1：50配制而成的，要配制千克的红药水，需要红汞与蒸馏水各多少千克?解：设一份为x，则红汞为x，蒸馏水50x，红汞与蒸馏水各千克和3千克例2. 学校买来红、蓝、黑3种墨水共165瓶，它们的比是6：5：4。
红、蓝、黑3种墨水各买了多少瓶?解：设红、蓝、黑3种墨水分别为6x，5x，4x6x+5x+4x=165 x=11 6x=66；5x=55；4x=44例3. 菜场运来3种蔬菜共8500千克，其中青菜4300千克，芹菜的重量与菠菜的比是9：6。
芹菜和菠菜各运来多少千克?解：芹菜和菠菜各运来9x，6x千克，9x+6x+4300=8500 x=280芹菜和菠菜分别是：2520千克；1680千克例4. 一个三角形三个内角度数的比是1：3：5，求这个三角形各个内角的度数，并说明它是什么三角形。
解：设一个三角形三个内角度数分别为x，3x，5xx+3x+5x=180 x=20例5. 1到100所有自然数中与100互质的各数之和是多少？解：100可以分解成2的平方和5的平方的乘积，所以与100可约的数都是2和5的倍数，那么凡末位数为0、2、4、5、6、8的数都不与100互质，反过来就是末位数为1、3、7、9的数都与100互质。
(1+3+7+9)+ (11+13+17+19)+ (21+23+27+29)+……+(81+83+87+89)+ (91+93+97+99)= 20+(10×4+20) +(20×4+20)+……+(80×4+20)+ (90×4+20)=20×10+(10+20+……+80+90)×4=200+1800=2000故1到100所有自然数中与100互质的各数之和是2000 .例6. 歌德巴赫猜想是说：“任何不小于4的偶数都可以表示为两个质数之和”。
初三数学圆中比例线段知识精讲
初三数学圆中比例线段【本讲主要内容】圆中比例线段包括圆中相似三角形，得出成比例线段。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。
3. 过切点的半径垂直于切线。
4. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
【解题方法指导】例1. 已知：如图，AB 是圆O 直径，C 是圆O 上一点，CD ⊥AB 于D 。
求证：（1）AB AD AC 2⋅=； （2）BD BC 2=（3）AD CD 2=分析：由AB 图形”欲证AD AC 2=CD AB BD BC 2⋅=，证明：（1）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90°又CD ⊥AB∴∠ADC ＝90° ∴∠ACB ＝∠ADC ∵∠CAD ＝∠CAB ∴△ABC ∽△ACDADACAC AB =∴AB AD AC AC ⋅=⋅∴即AB AD AC 2⋅= （2）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90° 又CD ⊥AB ， ∴∠CDB ＝90° ∴∠ACB ＝∠CDB 又∠CBD ＝∠CBA ∴△ABC ∽△CBDAB BD BC BC BDBCBC AB ⋅=⋅∴=∴即AB BD BC 2⋅= （3）∵AB 是圆O 直径 ∴∠ACB ＝90° ∵CD ⊥AB∴∠ADC ＝∠CDB ＝90° ∠ACD ＝∠CBD ∴△ACD ∽△CBDCDADBD CD =∴DB AD CD CD ⋅=⋅∴ 即DB AD CD 2⋅=评析：当题目中给出等积式时，通常的办法先改写成比例式，再找出它们所在的两个三角形，通过证它们相似加以解决。
初中数学知识点精讲精析 线段的比
4·1线段的比1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这注意点：（1）两线段的比值总是正数.（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.3. 比例线段四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.（a 、d 叫做比例线段的外项，b 、c 叫做比例线段的内项） 4. 比例的基本性质. （比例线段中两个外项的积等于两个内项的积）反之也成立。
即如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么5. 合比性质.6. 等比性质7.线段的比和比例线段的区别和联系两条线段的比：＝：或写成，其中，线段、分别叫做AB CD m n AB CD mn AB CD =这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么或。
m n k ABCDk AB k CD ==⋅2. 比例尺＝图上距离实际距离四条线段、、、中，如果与的比等于与的比，即，那么，这a b c d a b c d a b cd=如果，那么。
a b cdad bc ==a b cd =如果，那么。
a b c d a b b c dd =±=±如果，那么。
a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++≠++++++= ()0鹏翔教图1BCA 线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段. 线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.8. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a =1. 已知A 、B 两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ，则该地图的比例尺为_____________，现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则将两地实际距离用科学记数法表示为____________千米.（保留两个有效数字） 【解析】∴图上距离与实际距离之比为1：8000000∴太原到北京的实际距离＝6.4×8000000＝51200000（cm ）＝512千米 点评：注意单位要统一.2.在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 、10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【解析】（1）根据题意，得808000000千米＝cm太原到北京的图上距离太原到北京的实际距离＝1800000090001=新安大街的实际长谎新安大街的图上长度90001=光华大街的实际长度光华大街的图上长度因此，新安大街的实际长度是 16×9000=144000（cm ）, 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 10×9000=90000（cm ） 90000 cm=900 m.（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5 新安大街的实际长度与光华大街的实 际长度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的结果可以发现：光华大街的图上长度新安大街的图上长度光华大街的实际长度新安大街的实际长度= 3.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少？ 【解析】根据题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000 因此，矩形运动场的长是 2×8000=16000（cm ）=160（m ） 矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm ）=80（m ）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m4.为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a （其中a ＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a 的值. 【解析】方案（1）：∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）∴1311a a = 解得：a =3图4－1方案（2）： 由（*）得axa 112111-==∴x =a1,a =2 方案（3）： 由（*）得211ya = ∴y =a21 且11z a = ∴z =a 1 由aa 211+=a 得a =621图4－2方案（4）： 由（*）得an ab a 11111-==m a a a 11-= ∴b =a1 n =1－21am =a 2－1∵m +n =1 ∴1－21a+a 2－1=1∴a =2522+（负值舍去）55.（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d dc +; （2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 【解析】（1）由dcb a ==3,得 a =3b ,c =3d .因此，bbb b b a +=+3=4 ddd d d c +=+3=4 （2）d d c b b a +=+成立. 因为有dcb a ==k ,得a =bk ,c =dk .所以b bbk b b a +=+=k +1, dddk d d c +=+=k +1. 因此：ddc b b a +=+. 6. 在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，求AC 与BD 的比值.【解析】设AO ＝x7．下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O ，A ，B ，C ，D ，B ，E ，O 用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.AB O DCAC BD ABO B AB AO x ⊥∠=∠===，，则123022又菱形中 ABCD AC x =2BO AB AO x x x=-=-=222223()∴==BD BO x 223∴===AC BD x x 2231333图4－4（1）线段CD 与HL ，OA 与OF ，BE 与GM 的长度分别是多少？（2）线段CD 与HL 的比，OA 与OF 的比，BE 与GM 的比分别是多少？它们相等吗？ （3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ 【解析】（1）CD =2，HL =4，OA =415422=+, OF =41281022=+ BE =52122=+, GM =524222=+（2）2141412,2142====OF OA HL CD , 21525==GM BE . 所以，21===GM BE OF OA HL CD . （3）其他比相等的线段还有21====GL BD GH BC FG AB OM OE 8. 已知四条线段a ＝8cm ，b ＝4cm ，c ＝2.5cm ，d ＝5cm ，试判断它们是否成比例（若a ＝8cm ，b ＝0.05m ，c ＝0.6dm ，d ＝10cm 呢）？ 【解析】分析先按从小到大或从大到小的顺序排列，然后比较最大和最小两线段长度的乘积与中间两条线段长度的乘积是否相等.（1）从小到大排列为c 、b 、d 、a ac ＝8×2.5＝20，bd ＝4×5＝20 ac ＝bd ∴成比例（2）先化成同一单位，并从小到大排列为b 、c 、a 、d b ＝5cm ，c ＝6cm ，a ＝8cm ，d ＝10cm bd ＝5×10＝50，ac ＝6×8＝48 bd ≠ac ∴不成比例9.（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. （4）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b an d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.【解析】（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-. ∵d cb a = ∴d cb a =-1－1 ∴dd c b b a -=-. （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++ 设fe d c b a ===k ∴a =bk ,c =dk ,e =fk ∴bak f d b f d b k f d b fk dk bk f d b e c a ==++++=++++=++++)(（3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±∵d c b a = ∴d c b a =+1+1 ∴dd c b b a +=+ 由（1）得ddc b b a -=- ∴dd c b b a ±=±. （4）如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）那么b a n d b m c a =++++++设d c b a ==…=nm =k ∴a =bk ,c =dk ,…,m =nk ∴bak n d b m d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(10.已知：d c b a ==fe=2（b +d +f ≠0） 求：（1）f d b e c a ++++;（2）f d b ec a +-+-;（3）f d b e c a 3232+-+-;（4）fb e a 55--.【解析】∵d c b a ==f3=2 ∴a =2b ,c =2d ,e =2f∴（1）f d b f d b f d b f d b f d b e c a ++++=++++=++++)(2222=2（2）fd b f d b f d b f d b f d be c a +-+-=+-+-=+-+-)(2222=2（3）f d b f d b f d b f d b f d b e c a 32)32(2326423232+-+-=+-+-=+-+-=2（4）f b f b f b e a 510255--=--=fb f b 5)5(2--=211.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14. （1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值. 【解析】（1）设a =4k ,b =3k ,c =2k ∵a +3b －3c =14 ∴4k +9k －6k =14 ∴7k =14 ∴k =2 ∴a =8,b =6,c =4（2）4a －3b +c =32－18+4=1812的面积.精析：根据比例的性质及已知条件求出a 、b 、c 的值，然后由三角形的面积公式求解.【解析】解之得：k ＝5∴△ABC 是以a ＝15cm ，b ＝20cm 为两条直角边，以c ＝25cm 为斜边的直角三角形.点评：比例实际上是比例性质的应用问题。
初中数学知识点精讲精析 一次函数与正比例函数
4.2 一次函数与正比例函数学习目标1.理解一次函数和正比例函数的概念。
2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力。
知识详解1．一次函数的定义若两个变量x，y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量）．一次函数的条件：函数是一次函数必须符合下列两个条件：（1）关于两个变量x，y的次数是1；（2）必须是关于两个变量的整式．2．正比例函数的定义对于一次函数y＝kx＋b，当b＝0，即y＝kx（k为常数，且k≠0）时，我们称y是x 的正比例函数．一次函数与正比例函数的关系：需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b＝0，且k≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数．正比例函数的判断：要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b（k≠0）的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx（k≠0）的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式．如何列函数关系式：列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数，特别地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限，但一次函数一般不经过原点，通常情况下要经过三个象限．联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关，生活中的许多问题可以通过函数得以解决，如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．写解析式，定自变量的范围：通常确定一个函数，不仅要确定这个函数的解析式，还要确定这个函数的自变量的取值范围．【典型例题】例1. 鲁老师乘车从学校到省城去参加会议，学校距省城200千米，车行驶的平均速度为80千米/时．x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之间的函数关系式为（）A．y=80x-200B．y=-80x-200C．y=80x+200D．y=-80x+200【答案】D【解析】依题意有y=200-80x=-80x+200．例2. 十堰市五堰商场为了增加销售额，推出“五月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡五月份在该商场一次性购物超过50元以上者，超过50元的部分按9折优惠”．在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为30元的办公用品x件（x＞2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（）A．y=27x（x＞2）B．y=27x+5（x＞2）C．y=27x+50（x＞2）D．y=27x+45（x＞2）【答案】B【解析】∵x＞2，∴销售价超过50元，超过部分为30x-50，∴y=50+（30x-50）×0.9=27x+5（x＞2）例3. 等腰三角形顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式及x的取值范围是（）A．y=100-2x（0＜x≤90）B．y=180-x（0＜x＜90）C．y=180-2x（0＜x＜90）D．y=180-x（0＜x≤90）【答案】C【解析】因为三角形内角和为180°，两底角相等，所以可知顶角的度数y与底角的度数x 之间的函数关系式为：y=-2x+180；x取值范围是：0＜x＜90．【误区警示】易错点1：根据条件列一次函数关系式1.小明每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的速度行走完剩下的路程，设该天小明上学行走t分时行走的路程为S米，则当l5＜t≤25时，s与t之间的函数关系是（）A．s=30tB．s=900-30tC．S=45t-225D．s=45t-675【答案】C【解析】当l5＜t ≤25时，小明的速度为每分45米，从而可得出s 与t 的关系式 易错点2：结合实际理解自变量2. 一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油9 L ，行驶了1 h 后发现已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)如果摩托车以60 km/h 的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L 时，老王行驶了多少千米？【答案】(1)Q ＝9－1.5t ，由9－1.5t ＝0，得到t ＝6，故t 的取值范围为0≤t≤6.(2)由3＝9－1.5t ，得t ＝4.于是s ＝vt ＝60×4＝240(km)．故老王行驶了240 km.【解析】根据油箱中原有油9 L,1 h 耗油1.5 L ，则t h 耗油1.5t L ，得到行驶t h 后油箱中剩余油量为(9－1.5t)L ，由此可得出函数关系式．【综合提升】针对训练1. 从A 地向B 地打长途电话，通话3分以内收费2.4元，3分后每增加通话时间1分加收1元，若通话时间为x （单位：分，x ≥3且x 为整数），则通话费用y （单位：元）与通话时间x （分）函数关系式是（ ）A ．y=0.8x （x ≥3且x 为整数）B ．y=2.4+x （x ≥3且x 为整数）C ．y=x-0.6（x ≥3且x 为整数）D ．y=x （x ≥3且x 为整数）2. 如果y 是x 的正比例函数，x 是z 的一次函数，那么y 是z 的（ ）A ．正比例函数B ．一次函数C ．正比例函数或一次函数D ．不构成函数关系3. 下列问题中，变量y 与x 成一次函数关系的是（ ）A ．路程一定时，时间y 和速度x 的关系B ．长10米的铁丝折成长为y ，宽为x 的长方形C ．圆的面积y 与它的半径xD ．斜边长为5的直角三角形的直角边y 和x1.【答案】C【解析】由题意得，通话时间不超过3分钟收费均为2.4元，超过3分钟后，每分钟收取1元，x ≥3且x 为整数，故可得函数关系式为：y=2.4+（x-3）=x-0.6（x ≥3且x 为整数）．2.【答案】C【解析】根据正比例函数的定义，得y=kx ，根据一次函数的定义，得x= 1k z+b ，代入即可得出y 与z 的函数关系．3.【答案】B【解析】一次函数y=kx+b 的定义条件是：k 、b 为常数，k ≠0，自变量次数为1．课外拓展巴霍姆之死19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰在《一个人需要很多土地吗？》这本小册子中叙述了这样一个故事。
七年级数学正比例和反比例北师大版大庆知识精讲
七年级数学正比例和反比例北师大版（某某【本讲教育信息】一. 教学内容：正比例和反比例：1. 变化的量2. 正比例3. 画一画二. 重点、难点：1. 初步认识正比例的意义、掌握正比例意义的变化规律．2. 会判断成正比例关系的量．3. 进一步培养观察、分析、概括的能力．理解正比例的意义，掌握正比例变化的规律．例1 一列火车行驶的时间和所行的路程如下表．表中有几种量？是什么？表中有两种量，时间和路程．路程是怎样随着时间变化的？时间1小时，路程是60千米；2小时，路程为120千米；3小时，路程为180千米……像这样：一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量就叫做两种相关联的量．它们之间是怎样变化的？时间由1小时变2小时，路程由60千米变为120千米……时间扩大了，路程也随着扩大，路程随着时间的变化而变化．现在我们从后往前看，时间由8小时变为7小时、6小时、4小时……路程又是如何变化的？路程由480千米变为420千米、360千米……从上面变化的情况，你发现了什么样的规律？时间从小到大，路程也随着从小到大变化；时间从大到小，路程也随着从大到小变化．时间扩大了，所行的路程也随着扩大；时间缩小了，所行的路程也随着缩短了．我们对这种变化规律简称为“同扩同缩”．根据时间和路程可以求出什么？可以求出速度．这个速度是谁与谁的比？它们的结果又叫什么？这个速度是路程和时间的比，它们的结果是比值．这个60实际是什么？变化了吗？路程和时间的比值，也是路程和时间的商，速度不变．行驶多少千米，速度都是60千米，这个速度是一定的，是固定不变的量，我们简称为定量．谁是定量时，两种相关联的量同扩同缩？速度一定时，时间和路程同扩同缩． 时间和路程是两种相关联的量，路程是随着时间的变化而变化的：时间扩大，路程也随着扩大；时间缩小，路程也随着缩小．扩大和缩小的规律是：路程和时间的比的比值总是一样的．例2 某种花布的米数和总价如下表：按题目要求回答下列问题 （1）表中有哪两种量？（2）谁和谁是相关联的量？关系式是什么？ （3）总价是怎样随着米数变化的？ （4）相对应的总价和米数的比各是多少？ （5）谁是定量？（6）它们的变化规律是什么？比较一下两个例题，它们有什么共同点？都有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果表中第一种量用x 表示，第二种量用y 表示，定量用k 表示，用字母表示成正比例的两种相关联的量与定量的关系生：k xy（一定）． 日常生活和生产中有很多相关联的量，有的成正比例关系，有的是相关联，但不成比例关系．所以判断两种相关联的量是否成正比例关系，要抓住相对应的两个量是否商（比值）一定，只有商（比值）一定时，才能成正比例关系．（1）苹果的单价一定，买苹果的数量和总价（ ）． （2）每小时织布米数一定，织布总米数和时间（ ）． （3）小明的年龄和体重（ ）．什么叫正比例关系解两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．判断两种关联的量成正比例时，必须强调两种相关联的量中相对应的两个数的商应该一定．单价和总价成正比例．（）解（×）单价和总价成正比例必须是在数量一定的情况下．三角形的高一定，底和面积成正比例．（）解（√）三. 具体内容：1. 说出下列每组数量之间的关系．（1）速度时间路程（2）单价数量总价（3）工作效率工作时间工作总量下列题里有哪两种相关联的量?这两种量成不成正比例?为什么?一种苹果，买5千克要10元．照这样计算，买15千克要30元．正比例的意义判断下面每题中的两种量是成正比例还是成反比例．1. 单价一定，数量和总价．2. 路程一定，速度和时间．3. 正方形的边长和它的面积．4. 时间一定，工效和工作总量．在学习了正比例的意义后，练习中有这样一道题：身高和年龄成正比例吗？根据正比例的意义很容易地判断出：身高和年龄不成正比例．因为人到了一定年龄就不长高啦．但有同学会提出：为什么有的同学长的高高的，而有的总长不高啊？老师为大家正确理解了正比例的意义并能灵活运用感到高兴，但老师更为这位同学敢于提问高兴，是啊，虽然身高和年龄不成正比例，但有怎样的关系呢？讨论一下：爸爸妈妈长的高，孩子也长的高；小时侯营养好，所以长的高；有的说我喜欢运动，所以长的高．课外补充：资料一：一般来讲，个子高的父母生的孩子也是高个，个子矮的父母生的孩子也是矮个，但是遗传对身高的影响不超过80%，据统计，孩子的身高，从父亲那里遗传35%，从母亲那里遗传35%，剩下的30%决定于环境，与这个数字相应，高个子的父母生下的孩子70%的概率是高个，相反，矮个子的父母生下的孩子70%的概率是矮个．还有一种说法是孩子长的高还是矮，比较而言与母亲的身高关系更密切一些．资料二：利用儿童生长发育的规律性，结合遗传和环境多方面的影响，可以通过各种公式来对儿童成年后的身高进行预测．人体身高的生长具有很大的稳定性，在相同的环境情况下，身高的遗传度可高达0.75，就是说身高75%取决于遗传，仅25%取决于后天的努力．不过，遗传只能决定身高生长的潜力，但此种潜力能否得到正确发挥则有赖于各种外界环境条件如营养、锻炼、疾病防治、生活规律、心理，目前较成熟的预测公式有：儿子成年身高（cm）等于：[（父身高＋母身高）/2]×1.08女儿成年身高（cm）等于：（父身高×0.923＋母身高）/2决定身高的因素很多啊，你们还有30%的努力机会啊！【典型例题】比和比例，学习更多数学知识的重要基础．有了“比”这个概念和表达方式，处理倍数、分数等问题，要方便灵活得多．三个内容：一、比和比的分配；二、倍数的变化；三、有比例关系的其他问题．一、比和比的分配最基本的比例问题是求比或比值.从已知一些比或者其他数量关系，求出新的比．．解：设甲的周长是1．甲与乙的面积之比是答：甲与乙的面积之比是864∶875.作为答数，求出的比最好都写成整数.例2如图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7.求上底AB与下底CD的长度之比.解：因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等.三角形ADC与三角形ABC的高相等，它们的底边的比AB∶CD＝三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积＝（10－7）∶（7×2）＝3∶14.答：AB∶CD＝3∶14.两数之比，可以看作一个分数，处理时与分数计算几乎一样.三数之比，却与分数不一样，因此是这一节讲述的重点.例3大、中、小三种杯子，2大杯相当于5中杯，3中杯相当于4小杯.求2大杯、3中杯、4小杯容量之和与5大杯、4中杯、3小杯容量之和的比.解：大杯与中杯容量之比是5∶2＝10∶4，中杯与小杯容量之比是4∶3，大杯、中杯与小杯容量之比是10∶4∶3＝（10×2＋4×3＋3×4）∶（10×5＋4×4＋3×3）＝44∶75.答：两者容量之比是44∶75.把5∶2与4∶3这两个比合在一起，成为三样东西之比10∶4∶3，称为连比.例3中已告诉你求连比的方法，再举一个更一般的例子.甲∶乙＝3∶5，乙∶丙＝7∶4，3∶5＝3×7∶5×7＝21∶35，7∶4＝7×5∶4×5＝35∶20，甲∶乙∶丙＝21∶35∶20.花了多少钱？解：根据比例与乘法的关系，连比后是甲∶乙∶丙＝2×16∶3×16∶3×2＝32∶48∶63.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 解：设甲的长度是6份.那么甲在墙外的部分是2)321(6＝-⨯∶x ＝5∶4.516x =乙与丙的长度之比是而甲与乙的长度之比是 6∶5＝30∶25. 甲∶乙∶丙＝30∶25∶26.答：甲、乙、丙的长度之比是30∶25∶26.于利用已知条件6∶5，使大部分计算都整数化.这是解比例和分数问题的常用手段.例6 一辆汽车2小时行驶140千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时. 甲乙两地之间的公路长多少千米？1. 学生利用以前的方法独立解答. 140÷2×5＝70×5＝350（千米）2. 利用比例的知识解答.（1）思考：涉及三种量，哪种量是一定的？ 行驶的路程和时间成什么比例关系？ 速度一定，路程和时间成正比例 解：设甲乙两地间的公路长x 千米.2140＝5x2x ＝140×5 x ＝350答：甲乙两地之间的公路长350千米. 变式练习一辆汽车2小时行驶140千米，甲乙两地之间的公路长350千米，照这样的速度，从甲地到乙地需要行驶多少小时？解：设：从甲地到乙地需要行y 小时 y 3502140y ＝5【模拟试题】（答题时间：20分钟）1.甲、乙、丙三种糖果每千克售价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？2. 一个分数，分子与分母之和是100.如果分子加23，分母加32，新的分数约分后是32，原来的分数是多少？3. 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟，现有1825个零件要加工，为尽早完成任务，甲、乙、丙应各加工多少个？所需时间是多少？4. 某团体有100名会员，男会员与女会员的人数之比是14∶11，会员分成三个组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多.各组男会员与女会员人数之比是： 甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1， 那么丙组有多少名男会员？5. 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1∶2∶∶5∶6.已知他上坡时速度为每小时3千米，路程全长50千米.问小龙走完全程用了多少时间？【试题答案】1. 解一：设每种糖果所花钱数为1，因此平均价是答：这些糖果每千克的平均价是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易.最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有：事实上，有稍简捷的解题思路.解二：先求出这三种糖果所买数量之比.不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙＝15∶11∶10.平均数是（15＋11＋10）÷3＝12.单价33元的可买10份，要买12份，单价是下面我们转向求比的另一问题，即“比的分配”问题，当一个数量被分成若干个数量，如果知道这些数量之比，我们就能求出这些数量.2. 解：新的分数，分子与分母之和是（10＋23＋32），而分子与分母之比2∶3. 解：三人同时加工，并且同一时间完成任务，所用时间最少，要同时完成，应根据工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他们分别需要完成的工作量是所需时间是：700×3＝2100分钟＝35小时 .答：甲、乙、丙分别完成700个，600个，525个零件，需要35小时. 这是三个数量按比例分配的典型例题. 4. 解：甲组的人数是100÷2＝50（人）.乙、丙两组男会员人数是 56－24＝32 （人）.答：丙组有12名男会员.上面解题的最后一段，实质上与“鸡兔同笼”解法一致，可以设想，“兔的脚数”是32，5. 解一：通常我们要求出小龙走平路与下坡的速度，先求出走各段路程的速度比. 上坡、平路、下坡的速度之比是走完全程所用时间答：小龙走完全程用了10小时25分.∶2∶3计算中用了两次，似乎重复计算，最后算式也颇费事.事实上，灵活运用比例有简捷解法.解二：全程长是上坡这一段长的（1＋2＋3）＝6（倍）.如果上坡用的时间是4份，全x ：350＝（4＋5＋6）：24。
初三数学比例的知识点归纳总结
初三数学比例的知识点归纳总结数学比例在初三阶段是一个非常重要的内容，它是数学学科中的基础概念之一。
掌握好比例的相关知识点，不仅可以帮助我们解决实际生活中的问题，还能够提升我们在数学学科上的理解和应用能力。
下面将对初三数学比例的知识点进行归纳总结。
一、比例的定义1. 比例：比例是指两个或多个量之间的等量关系。
当两个量之间存在等量关系时，我们可以用比例来表示它们之间的关系，用字母表示为a:b，读作"a与b的比例"或者"a比b"。
2. 比例的性质：比例具有自反性、对称性和传递性。
即如果a:b，那么b:a；如果a:b，b:c，那么a:c。
二、比例的表示和求解1. 比例的两种表示方法(1) 用分号表示：如a:b，表示a与b之间的比例。
(2) 用冒号表示：如a∶b，表示a与b之间的比例。
2. 比例的求解方法(1) 已知比例和其中一个量，求另一个量：根据已知的比例关系，利用等量关系，设置等式求解。
(2) 已知两个比例，求其中一个未知数：通过对已知比例的等量关系进行列式等式的转化，再进行求解。
三、比例的应用1. 比例解决实际问题：(1) 长度比例问题：例如，城市A到城市B的距离是120公里，城市A到城市C的距离是150公里，求城市B到城市C的距离。
(2) 面积比例问题：例如，一张矩形纸片的宽度是10厘米，长为15厘米，若改变宽度，使得长宽成为原来的2倍，则新的长是多少？(3) 质量比例问题：例如，两种商品的单价比是2:3，现在第一种商品的单价上涨了20%，第二种商品的单价下降了10%，那么现在两种商品的单价比是多少？2. 比例和图形的应用：(1) 相似图形：相似图形之间的边长比例相等，面积比例为边长比例的平方。
(2) 比例尺：比例尺是用来表示地图上距离与实际距离之间的比例关系。
四、反比例的知识点1. 反比例的定义和表示：如果两个量的乘积是一个常数k，那么我们称它们之间存在反比关系，用字母表示为x·y=k。
初中数学比例知识点归纳
初中数学比例知识点归纳比例是初中数学中的重要概念之一，广泛应用于实际生活和解决问题的过程中。
在初中数学学习中，学生需要掌握比例的基本概念和性质，了解比例的运算法则以及应用比例解决实际问题的方法。
本文将对初中数学比例知识点进行归纳，帮助学生更好地掌握比例知识。
一、比例的基本概念和性质1. 比例的定义：比例是指两个或多个量之间的大小关系。
如果两个量a和b之间的比值等于两个量c和d之间的比值，就称a与b成比例，记作a:b=c:d。
2. 比例的延伸：当比例中有多个量时，可以使用“扩比”表示。
例如，给定比例a:b=c:d，可以将其扩展为a:b:c=d:x:y。
3. 比例的性质：- 比例中的真分数属性：在比例中，每个量与整体的比值都是小于1的分数。
- 比例的反比属性：如果两个量a和b成比例，则互为倒数的两个量1/a和1/b也成比例。
- 比例的乘除性质：如果两个量a和b成比例，并且某个常数k不等于0，则ka和kb也成比例；如果两个量a和b成比例，并且b不等于0，则a/b和c/b的比例也成立。
二、比例的运算法则1. 比例的等比性：对于比例a:b=c:d来说，如果a/b=c/d，则称这两个比例等比。
2. 比例的乘法运算：对于比例a:b=c:d和e:f=g:h来说，可以进行比例的乘法运算，即(a/e):(b/f)=(c/g):(d/h)。
3. 比例的除法运算：对于比例a:b=c:d和e:f=g:h来说，可以进行比例的除法运算，即(a/e):(b/f)=(c/g):(d/h)的倒数。
4. 比例的加法运算：对于比例a:b=c:d和e:f=g:h来说，可以进行比例的加法运算，即(a+e):(b+f)=(c+g):(d+h)。
5. 比例的减法运算：对于比例a:b=c:d和e:f=g:h来说，可以进行比例的减法运算，即(a-e):(b-f)=(c-g):(d-h)。
三、比例的实际应用1. 比例解决实际问题的步骤：- 理解问题：阅读问题，找出问题中涉及的比例关系。
比例的知识归纳总结初中
比例的知识归纳总结初中比例是数学中一个重要的概念，它在初中阶段的数学学习中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将对初中阶段的比例知识进行归纳总结，包括比例的定义、比例的性质、比例的应用以及解决比例相关问题的方法。
一、比例的定义比例是指两个或者多个具有一定关系的量之间的比较关系。
在数学上，我们通常用冒号（:）或者分数形式表示比例。
例如，a:b或者a/b都表示a与b之间的比例关系。
二、比例的性质1. 比例的交换性：如果a:b的比例关系成立，则b:a的比例关系也同样成立。
2. 比例的比值性：在一个比例关系中，比例的两个比值相等，即a:b=c:d，则a/c=b/d。
3. 比例的比例性：在一个比例关系中，如果一个比例与另一个比例成比例，则它们分别与第三个比例成比例。
4. 比例的倍数性：如果a:b的比例关系成立，则ka:kb的比例关系同样成立，其中k是任意非零数。
三、比例的应用比例在生活中有广泛的应用，常见的应用包括：1. 尺寸比例：在绘画、模型制作等方面，常常需要维持物体的比例关系。
2. 价格比例：在购物时，我们经常需要比较不同商品的价格，从而选择性价比最高的商品。
3. 时间比例：在制定计划和安排时间时，我们需要合理地分配时间比例来完成各项任务。
4. 图形比例：在地图、图表等信息图形中，比例常常用来表示实际距离和比例尺之间的关系。
四、解决比例相关问题的方法解决比例相关问题常用的方法包括：1. 乘法方法：对于已知比例关系a:b，如果需要求解新的比例关系c:d，可以采用乘法方法，即找到一个数k，使得a乘以k等于c，b乘以k等于d。
2. 分配方法：对于已知比例关系a:b和c，如果需要求解未知量x，可以采用分配方法，即将a与c分配到x上，将b与1分配到x上，再求解x的值。
3. 综合应用方法：有时候，解决比例相关问题需要综合运用已知的比例关系和其他数学知识，如代数方程、图形知识等。
综上所述，比例是初中数学中的重要概念，它具有交换性、比值性、比例性和倍数性等性质。
初中数学知识点精讲精析 成比例线段
23.1 成比例线段学习目标1. 理解比例线段的概念。
2. 掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例。
知识详解1.在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似图形。
2.成比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a cb d =（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。
3. 比例的基本性质如果a cb d=，那么ad＝bc。
如果ad＝bc（a、b、c、d都不等于0），那么a cb d =4.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
（简称“平行线分线段成比例”）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
【典型例题】例1：在中国地理图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（）A．3858千米B．3456千米C．2400千米D．3800千米【答案】A【解析】∵3：3.6：5.4=1：1.2：1.8，∴1286×1.2+1286×1.8=1543.2+2314.8=3858千米．例2：如图，线段AB：BC=1：2，那么AC：BC等于（）A．1：3B．2：3C．3：1D．3：2【答案】D【解析】设AB=k，BC=2k，∴AC=3k，∴AC：BC=3k：2k=3：2 例3：下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）A．1、2、3、4B．1、2、2、4C．3、5、9、13D．1、2、2、3【答案】B【解析】A、1×4≠2×3，故选项错误；B、1×4=2×2，故选项正确；C、3×13≠5×9，故选项错误；D、1×3≠2×2，故选项错误【误区警示】易错点1：比例线段1. 下列长度的各组线段中，能构成比例的是（）A．2，5，6，8B．3，6，9，18C．1，2，3，4D．3，6，7，9【答案】B【解析】A、2×8≠5×6，故错误；B、3×18=6×9，故正确．C、1×4≠2×3，故错误；D、3×9≠6×7，故错误易错点2：比例的性质2. 下列各组中的四条线段成比例的是（）A．1cm，2cm，20cm，40cmB．1cm，2cm，3cm，4cmC．4cm，2cm，1cm，3cmD．5cm，10cm，15cm，20cm【答案】A【解析】根据两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有A中，1×40=2×20【综合提升】针对训练1. 已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d= cm．2. 下面四条线段成比例的是（）A．a=1 b=2 c=3 d=4B．a=1 b=2 c=3 d=5C．a=1 b=2 c=3 d=6D．a=1 b=2 c=5 d=63. 如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8B．3：8C．3：5D．2：51.【答案】1.2【解析】∵a：b=c：d，∴ad=bc，∴2d=4×0.6，∴d=1.2cm2.【答案】C【解析】A、由于2×3≠4×1，所以不成比例，不符合题意；B、由于2×3≠1×5，所以不成比例，不符合题意；C、由于2×3=1×6，所以成比例，符合题意；D、由于2×5≠1×6，所以不成比例，不符合题意。
初中数学知识点精讲精析 反比例函数知识讲解
17·1 反比例函数要点精讲17．1．1反比例函数的意义反比例函数是具有xk y =的形式的函数，其中k 是常数。
典型例题例1．下列等式中，哪些是反比例函数（1）3x y =（2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=xy （7）y ＝x －4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成xk y =（k 为常数，k ≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含x ，（6）改写后是x x y 31+=，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式例2．当m 取什么值时，函数23)2(m xm y --=是反比例函数？ 分析：反比例函数xk y =（k ≠0）的另一种表达式是1-=kx y （k ≠0），后一种写法中x 的次数是－1，因此m 的取值必须满足两个条件，即m －2≠0且3－m 2＝－1，特别注意不要遗漏k ≠0这一条件，也要防止出现3－m 2＝1的错误。
解得m ＝－2例3．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5（1） 求y 与x 的函数关系式（2） 当x ＝－2时，求函数y 的值分析：此题函数y 是由y 1和y 2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y 1、 y 2与x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。
这里要注意y 1与x 和y 2与x 的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k ，要用不同的字母表示。
略解：设y 1＝k 1x （k 1≠0），x k y 22=（k 2≠0），则x k x k y 21+=，代入数值求得k 1＝2， k 2＝2，则xx y 22+=，当x ＝－2时，y ＝－5例4. 已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6（1）写出y 与x 的函数关系式：（2）求当x=4时，y 的值。
初中数学比例与类比知识点归纳
初中数学比例与类比知识点归纳比例与类比是初中数学中一个重要的基础知识点，它们在解决实际问题中起着至关重要的作用。
在学习比例与类比时，首先要理解其概念，然后学会如何运用比例和类比进行计算和解决问题。
1.比例的概念比例是指两个量之间的相等关系。
通常用a:b或a/b来表示比例。
在比例中，a称为第一项，b称为第二项，两个比例的比值是一个常数k，即a/b=c/d=k。
比例中常见的问题有找出未知量、求比例的实际值等。
2.比例的性质(1)比例的倒数仍然成比例。
(2)两比例相等，则分子与分母成比例。
(3)如果a:b=c:d，那么a+b:a-b=c+d:c-d。
3.比例的运用(1)求未知量：通过已知比例关系可以求得未知量。
(2)增减比例：根据已知比例可以计算出增减后的比例。
(3)复合比例：若多个比例关系同时存在，可以通过联立方程的方法求解。
4.类比的概念类比是指两个或多个物体之间的相似关系。
在类比中，存在比例关系，即相似物体的对应部分成比例。
类比常用于解决找出未知数量、推导规律等问题。
5.类比的性质(1)对应角相等：相似三角形中的对应角相等。
(2)对应边成比例：相似三角形中的对应边成比例。
(3)类比性：相似物体的属性、形状等具有相似性。
6.类比的运用(1)求未知量：通过已知类比关系可以求得未知量。
(2)推导规律：通过类比关系可以推导出规律并应用于其他问题。
(3)几何问题：在几何问题中，类比常用于推导出结论，求解未知量。
在解决实际问题中，比例与类比常常结合应用。
例如，在解决物体放大缩小的问题中，可以通过比例关系和类比关系求解。
又如在解决时间问题中，可以通过比例关系和类比关系计算速度、时间等关联参数。
总之，比例与类比是数学中一种重要的关系形式，它在解决各种问题中具有广泛的应用。
通过理解比例与类比的概念、性质和运用，可以帮助我们更好地应对各种实际问题，并提升数学解题的能力。
希望同学们在学习比例与类比知识点时，能够认真理解掌握，灵活运用，不断提高解题能力。
初中数学知识归纳比例与比例的性质
初中数学知识归纳比例与比例的性质比例在数学中是一个重要的概念，它常常与实际生活中的数量关系有关。
比例的理解和运用在初中数学中是非常基础且重要的知识点之一。
本文将对初中数学中的比例与比例的性质进行归纳总结与分析。
一、比例的定义与表示方式比例是指两个具有数量关系的数或量之间的比较关系。
常用的比例表示方式有三种：比例式、比例分数和百分数。
1. 比例式：比例式是将两个具有数量关系的数或量用等号链接，通常以冒号（:）或双斜杠（//）表示。
比如A:B=3:4或A//B=3//4。
2. 比例分数：比例分数是将两个具有数量关系的数或量用分数的形式表示。
比如3/4。
3. 百分数：百分数是将比的分子除以分母再乘以100，用百分号表示。
比如75%。
二、比例的性质比例具有以下几个重要的性质，它们对于解决实际问题非常有用。
1. 前项比相等原则：如果两个比例的前项比相等，那么这两个比例成比例。
例如，如果A:B=3:4，C:D=3:4，那么A:B和C:D就是成比例的。
2. 后项比相等原则：如果两个比例的后项比相等，那么这两个比例成比例。
例如，如果A:B=3:4，C:D=6:8，那么A:B和C:D就是成比例的。
3. 中项比相等原则：如果两个比例的中项比相等，那么这两个比例成比例。
例如，如果A:B=3:4，B:C=6:8，那么A:B和B:C就是成比例的。
4. 等比例原理：如果两个比例成比例，那么它们的前项比、后项比和中项比都相等。
例如，如果A:B=3:4，C:D=6:8，那么A:B:C:D就是等比例的，且A/B=C/D=3/4。
5. 反比例与正比例：如果两个比例成比例，且一个比例的前项比与后项比之积等于另一个比例的前项比与后项比之积的倒数，那么这两个比例分别为反比例和正比例。
例如，如果A:B=3:4，C:D=8:6，那么A:B和C:D就是反比例；如果A:B=3:4，C:D=4:3，那么A:B和C:D就是正比例。
三、比例的应用举例比例的应用非常广泛且实用，在我们的日常生活和各个领域中都能够找到它的身影。
初中数学比例知识点总结
初中数学比例知识点总结一、比例的概念比例是两个或两个以上量的比较关系。
比例可以用等比式表示，例如：a:b=c:d。
其中，a、b、c、d分别是比例中的四个数量，并且b和c不为零。
在比例中，a称为第一比例项，b称为第二比例项，c称为第三比例项，d称为第四比例项。
比例可以用不等式表示，例如：a:b<c:d。
此外，比例还可以用图形、表格、文字等方式进行描述。
二、比例的性质1. 比例中的四个数中，第一比例项和第四比例项是比例的“对角线”，称为比例的“对角线性质”。
2. 倒数的倒数还是原数。
例如：若a∶b=c∶d，则b∶a=d∶c。
3. 等式两边同时乘（除）同一个数，仍得一比例。
例如：若a∶b=c∶d，则ka∶kb=kc∶kd。
4. 等式两边同时加上（或减去）同一个数，仍得一比例。
例如：若a∶b=c∶d，则a±1∶b±1=c±1∶d±1。
三、比例的应用1. 比例在日常生活中有许多应用，例如：食谱中的配料比例、地图中的比例尺、物体的放大或缩小比例等。
2. 比例在实际问题中有广泛的应用，例如：商品打折优惠、地图的绘制、食物的配比、药物的配方等。
3. 比例也在数学中的其他知识点有着重要的作用，例如：百分数、倍数、分数等。
四、比例的解题方法1. 等量关系法：当比例中的两个量相差倍数关系时，可以通过等量关系的方法求解比例。
2. 等价关系法：当比例中不存在等量关系时，可以通过等价关系的方法求解比例。
例如通过分子、分母之间的等比变换来解题。
3. 结合实际问题来求解比例：有时候可以将实际问题转换成比例问题来求解，这需要根据问题的实际情况进行灵活应用。
五、比例的综合运用在解题过程中常常会遇到比例的复杂运用，下面主要介绍两种复杂的情况：混合比例和商比例。
混合比例是指含有两种或两种以上的比例关系的复合比例，通常需要综合运用等量关系法、等价关系法等方法求解。
商比例是指两个比例的商为另一个比例的情况，通常需要通过等式的变形和等价关系的运用来求解。
九年级数学 平行线分线段成比例 知识点精讲 教案 课件
九年级数学平行线分线段成比例知识点精讲平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。
1简介编辑平行线分线段成比例亦称平行截割定理，平面几何术语，指三条平行线截两条直线，所得的四条线段对应成比例，如图1，，则平行截割定理是研究相似形最常用的一个性质，它的重要特例：在一直线上截得相等线段的一组平行线，也把其他直线截成相等的线段，称其为平行线等分线段。
[1]图12定理证明编辑设三条平行线与直线m 交于A、B、C 三点，与直线n 交于D、E、F 三点。
连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF，∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF。
由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。
3定理推论编辑过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
01平行线分线段成比例的基本事实1.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.符号表示：如图02平行线分线段成比例的基本事实的推论1.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
第19章《 课时精讲1 正比例函数的概念》名师优秀教案
第19章第2单元正比例函数课时精讲一正比例函数的概念内容分析正比例函数是继“变量与函数〞单元之后学习的第一种函数，学生已经对变量、常量、函数等根本概念，函数的三种表示方法及函数图象的画法有了根本的认识正比例函数是初中数学中最根底、最简单的函数，这节课不仅要探究正比例函数的概念，还要向学生渗透研究函数的一般流程此外，正比例函数作为一次函数的特殊情况，是学习一次函数的根底，本课时教学过程的设置，符合学生的认知规律也充分表达了知识螺旋上升的特点，因此本节课起到承上启下的作用正比例函数是刻画现实世界变化规律的一个重要模型，表达了从常量数学向变量数学的转变；正比例函数也是代数中的“纽带〞，因为方程、不等式等都与函数知识有直接的联系；同时正比例函数在物理、化学等自然科学中也有着广泛的应用，因此本课时内容在初中数学中有着非常重要的地位学生分析学生在小学已经学习了比例的意义与性质，在这个根底上，学生很容易接受正比例的概念，接着从正比例关系过渡到正比例函数的学习然而，对于初次接触函数的学生而言，理解函数的意义是个难点，因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量，及变量之间的对应关系，使学生对函数的定义有进一步的理解目标确定1理解正比例及正比例函数的意义2能根据正比例的意义判断两个变量之间是否成正比例关系3能识别正比例函数，根据条件求正比例函数解析式或比例系数重点难点重点：理解正比例和正比例函数的意义难点：判定两个变量之间是否存在正比例的关系评价设计“正比例函数的概念〞学习评价量表活动设计环节1 创设情境教师活动1 学生活动1引言：本节课开始，我们开始研究具体函数，初中阶段我们主要研究三类函数，分别是一次函数、二次函数、反比例函数在研究一个具体函数之前，我们先学习一下研究一般函数的流程研究一个函数，首先要研究它的定义，包括解析式中各字母的含义及自变量的取值范围、定义的结构特征、如何求一个函数的解析式；其次研究函数的图象及性质：函数的图象是什么？它分布在哪几个象限？函数图象特征由什么决定？再结合图象特征研究函数的性质，初中阶段主要研究函数的单调性、对称性〔关于轴对称、关于点对称〕及一些图象特学生思考，结合所学，先组内讨论交流，再由小组代表答复以下问题征〔如最值、渐近线、图象开口方向、大小、图象倾斜程度等〕本节课我们按照此流程研究正比例函数，首先请大家看下面这个实例结合生活实际，教师提出四个问题问题1：考虑以下问题：〔1〕乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时〔结果保存小数点后一位〕？〔2〕如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程〔单位：m〕和运行时间t〔单位：h〕之间有什么关系？〔3〕如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程〔单位：m〕是运行时间t〔单位：h〕的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？〔4〕乘京沪高铁列车从北京南站出发后，是否已经过了距始发站1100m的南京南站？活动意图说明从生活实际出发，以列车的行驶问题为背景，用4个小问题，逐步深入，不仅复习了小学时学过的比例关系，也复习了前一单元的函数关系，为进一步引出正比例函数做铺垫问题中的变量在数量关系上具有典型性，且是学生喜闻乐见的，比拟容易理解，通过从数学的角度研究这类问题让学生思考，可以激发学生的探究热情环节2 问题再现教师活动2 学生活动2问题2：以下问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式学生思考：学生根据题目中的数量关系列出表达式，结合之前学的函数的定义，即“对〔1〕圆的周长ι随半径r的变化而变化；〔2〕铁的密度为cm3，铁块的质量m〔单位：g〕随它的体积V〔单位：cm3〕的变化而变化；〔3〕每个练习本的厚度为，一些练习本摞在一起的总厚度h〔单位：cm〕随练习本的数量n〔单位：本〕的变化而变化；〔4〕冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T〔单位：℃〕随冷冻时间t 〔单位：min〕的变化而变化问题探究：借助函数解析式：ι＝2πr，m＝，h＝，T＝－2t，探究以下问题〔1〕以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数〔2〕认真观察自变量和常量是运用什么运算符号连接起来的这些常量可以取哪些值？〔3〕这4个函数表达式与问题1的函数表达式＝ 300t有何共同特征？请你用语言加以归纳〔4〕函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？学生讨论时，教师巡视并进行指导，学生答复完问题之后，教师要及时点评，多用一些鼓励性的语言任一自变量，有唯一确定函数值与之对应〞，判断是否满足函数关系（1）ι＝2πr；〔2〕m＝；〔3〕h＝；〔4〕T＝－2t学生探究：学生列出函数关系式之后，以小组为单位谈论，总结归纳，得出结论结论：〔1〕含有2个变量；〔2〕自变量的次数为1；〔3〕函数的次数为1；〔4〕等号的左边只有一个字母〔变量〕；〔5〕等号的右边是常数与自变量的乘积函数值与对应的自变量的值的比是一个常数活动意图说明环节3 形成概念教师活动3学生活动3教师设计问题串，引发学生思考 ，你能用数学式子表达吗？ 有何要求呢？为什么？3你能尝试给这类特殊函数下个定义吗？ 4这个函数表达式在形式上是一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？＝的自变量的取值范围是什么？这与问题1和问题2中的函数自变量的取值范围有何不同？与工成正比例函数？反之，＝〔为常数，≠0〕表示什么意义？＝中，关键是确定哪个量？比例系数一经确定，正比例函数确定了吗？怎样确定呢？待定系数法求比例系数：设、列、求、写1〔1〕ι＝r ；〔2〕m ＝V ； 〔3〕h ＝n ； 〔4〕T ＝t不能为0，如果为0，对于任意自变量，相应的函数值都是0，它代表的是轴，是常值函数，而不是正比例函数 3正比例函数的定义：一般地，形如＝〔 是常数，≠0〕的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数 4结构特征：等式右边是一次单项式形式，系数是，次数为1的取值范围是全体实数不同之处在于前面问题中自变量的取值范围要符合实际情境6成正比例：正比例函数的函数值与对应的自变量的值的比值是一个非零常数＝中，关键是确定比例系数，通过给定一组满足条件的，的值，代人解析式＝〔为常数，≠0〕中，即可求出比例系数的值活动意图说明1思考栏目给出更多的实际问题，通过这些实际问题使学生逐步加深对函数概念的理解，也为导出正比例函数概念做好铺垫2有效的提问对于提高数学课堂教学效率非常重要，问题探究环节，通过4个问题的设置，引导学生通过观察、分析和归纳，发现正比例函数的特征，理解其解析式的特点从而为水到渠成地得到正比例函数的概念打根底，同时培养学生的观察、总结归纳能力3安排小组合作，一方面加强学生间的互动，活泼课堂气氛，另一方面突破教学重点教师通过设计一系列问题串，引导学生通过观察式子的结构特征，猜测出正比例函数的定义，并且通过追问，深入剖析正比例函数的意义，易于帮助学生突破难点环节4 辨析概念教师活动4 学生活动4的正比例函数吗？如果是，请你指出比例系数的值〔1〕＝－；〔2〕＝22；〔3〕2＝4；〔4〕＝－4＋3；〔5〕＝2〔－2〕＋22分析：判断是否是正比例函数，要根据函数的结构特征，－－次项系数不为0，次数为1注意要根据化简之后的结果判断之间的函数关系，并指出哪些是正比例函数〔1〕正方形的边长为 cm，周长为 cm；〔2〕某人一年内的月平均收入为工元，他这年〔12 个月〕的总收人为元；〔3〕－－个长方体的长为2 cm，宽为 cm，高为cm，体积为 cm33判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞〔1〕假设＝，那么是的正比例函数〔〕〔2〕假设＝22，那么是的正比例函数〔〕〔3〕假设＝2〔－1〕＋2，那么是的正比例函数〔〕〔4〕假设＝2〔－1〕，那么是－1的正比1根据正比例函数的概念，判断第1题，并写出比例系数〔1〕是，比例系数是－；〔5〕是，比例系数是22根据等量关系列式：〔1〕＝4，是正比例函数；〔2〕＝12，是正比例函数；〔3〕＝3，是正比例函数3〔1〕×〔2〕×〔3〕√〔4〕√例函数〔〕分析：第3题中，判断是不是正比例函数时，要强调在化简之后判断，比方〔3〕；而且要关注谁是自变量，即关于谁的函数，注意整体思想的应用，比方〔4〕活动意图说明及时的练习有利于学生稳固新知，反应学习效果，设计的题目由易到难，层层递进，易于学生接受，符合学生的认知水平，第1题，根据正比例函数的结构特征判断，排除不是正比例函数的选项，让学生正确认识怎样的函数是正比例函数，并会写出具体函数的比例系数第2题，通过建模列出式子，并判断是否是正比例函数，加深对正比例函数概念的认识第3题，定义变形，难度加大环节5 稳固练习活动意图说明通过练习，深化学生对正比例函数意义的理解，练习一方面考查学生根据定义求满足条件的参数的值；另一方面考查学生对待定系数法求解析式的应用，并标准解题过程环节6 课堂小结教师活动6 学生活动61教师和学生一起回忆本节课所学主要内容，并请学生答复以下问题你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？2思考：学习了正比例函数的定义后，接下来我们要研究什么？1在教师的引导下，回忆反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法师生共同总结：〔1〕从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积〔2〕从结构特征看：①一般情况下＝〔常数≠0〕；②在特定条件下自变量可能不单独是了，要注意问题中自变量的变化〔3〕从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认是否为正比例函数〔4〕从函数关系看：比例系数一确定，正比例函数就确定了；只需知道两个变量，的一对对应值即可确定（5）从方程角度看：如果三个量，，中其中两个量，那么一定可以求出第三个量2图象、性质、应用等活动意图说明引导学生把握研究问题的根本策略和方法，从不同角度理解同一问题，深入剖析正比例函数的概念，培养学生发散思维，加深学生理解通过思考题，引出研究函数的一般流程：实例一定义一图象一性质一应用，激发学生的学习兴趣和探究热情，为下一－课时研究正比例函数的图象和性质做铺垫板书设计正比例函数的概念1正比例函数定义：2结构特征：3典型例题：4归纳总结：5函数研究一般流程：练习诊断A级1以下函数中哪些是正比例函数？〔1〕；〔2〕〔3〕＝＋1；〔4〕＝2；〔5〕＝〔a2＋1〕〔a为常数〕；〔6〕＝2－〔－3〕2以下问题中，与成正比例函数关系的是〔〕，面积为B某地月租费为10元，通话收费标准为元/min，某月通话时间为min，该月通话费用为元C把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入本，第二个抽屉放入本D长方形的一边长为4，另一边长为，面积为3关于，以下说法正确的选项是〔〕是关于的正比例函数，比例系数为－2是关于的正比例函数，比例系数为－是关于＋3的正比例函数，比例系数为－2是关于＋3的正比例函数，比例系数为－B级1假设为正比例函数，那么m为＋2与－2成正比例，且当＝5时，＝之间的函数关系式＝〔m＋2〕＋|m|－2，当m为何值时，是的正比例函数？的正比例函数，当＝3时，＝－9，那么与之间的函数关系式为的正比例函数，试求的值，并指出正比例系数－2的正比例函数，当＝3时，＝－的函数关系式反思与改良本节课教学的主要任务是：理解正比例函数及正比例的意义；能根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；会识别正比例函数，并能根据条件求正比例函数的解析式或比例系数由于本节课内容概念性强，所以教师借助学生熟悉的行程问题导入正比例函数的概念，学生易于接受教学环节设计，采取“创设情境一观察思考—形成概念一辨析概念一深化应用概念一归纳小结〞这样循序渐进的流程在教学设计时，注重了学生的模拟和尝试，同时重视教师的引导、指导和示范，如在概念形成时进行必要的板书，对关键之处的启发、点拨和讲解，有利于学生对概念的理解。
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3.3 比例
学习目标
1.理解比例的意义和比例的有关概念，掌握比例的性质。
2.会根据比例的基本性质正确地进行比例的有关运算，渗透化归的思想方法和方程的思想方法。
知识详解
1. 如果::a b c d =，那么就说a 、b 、c 、d 成比例，a 、b 、c 、d 依次叫做第一，二、三，四比例项，第一，四叫做比例外项，第二三叫做比例内项。
如果两个比例内项相同即::a b c d =，那么把b 叫做a 和c 的比例中项。
2. 比例的基本性质：如果::a b c d =或者a c b d
=，那么ad=bc 。
反之，如果a 、b 、c 、d 都不为零，且ad=bc ，那么::a b c d =或者
a c
b d
=。
3. 比与比例的对比
4. 求比值与化简比
5. 化简比的方法
6. 判断两个量是否成正比例、反比例或不成比例
（1）根据数量间的关系或公式，写出数量关系式。
（2）写出的数量关系式，其中的一边（左边）只能有这两个相关联的量，不能有多余的量和数字。
（3）还有些数量之间是无法写关系式的。
（4）看是否相关联：也就是一个量变化了，另一个量是否也会随着变化。
（5）看是否能变化：也就是这两个量都是能变化的，不是固定的。
（6）看是否商（积）一定：也就是这两个量相除（或相乘）的结果是否固定不变的。
（7）列出几组数据，然后看这两个量是否相关联，比值或积是否一定。
（如果上面两种方法能够准确判断，可不必用这种方法。
不好写关系式、无法写关系式、不好判断的最好用这种方法。
）
【典型例题】
例1：一个最简分数13
27
的分母减去一个数，分子加上同一个数，所得的新分数可以约简为
3
5
，
这个数是【答案】2
【解析】若设这个数为x，则13
27
的分母减去一个数，分子加上同一个数后，新分数的分子
与分母的比是3
5
，据此就可以列比例求解。
例2：判断对错：三角形的面积一定，它的底和高成反比例。
【答案】正确
【解析】三角形的面积等于底与高的积的一半，也就是底与高的积等于三角形的面积的2倍，三角形的面积一定，它的2倍也是一定的，也就是三角形的底与高的积一定，符合反比例的意义，所以三角形的底与高成反比例。
例3：在如图中，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲、乙、丙三个三角形的面积比
是
【答案】5：2：3
【解析】甲三角形的面积=（2+3）×4÷2 =20÷2 =10
2cm ，乙三角形的面积=2×4÷2 =8÷2 =42cm ，丙三角形的面积=3×4÷2 =12÷2 =62cm ，则甲：乙：丙=10：4：6 =（10÷2）：（4÷2）：（6÷2） =5：2：3
【误区警示】
易错点1：辨识成正比例的量与成反比例的量
1.判断对错：因为
45y x =所以x 和y 成反比例 【答案】正确。
【解析】因为45
y x =，根据比例的基本性质可得：xy=4×5=20（一定）， 所以x 和y 成反比例。
易错点2：正比例和反比例的意义
2.判断对错：比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例
【答案】正确
【解析】因为图上距离：实际距离=比例尺（一定），所以比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例。
【综合提升】
针对训练
1. 在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项是
2.5，另一个外项是
2. 把一根木料锯成4段要用12分钟，照这样，如果要锯成6段，一共需要 分钟。
3. 王师傅用同一台机床生产一批零件，前4天生产完1400个零件，照这样计算，剩下的任务两天生产完，这批零件共多少个？（用比例方法解答）
1.【答案】25
【解析】根据比例的性质可知两个内项互为倒数，那么两个外项也互为倒数， 2.5的倒数是：1÷2.5=15225
÷= 2.【答案】20
【解析】设一共需要x 分钟，
则有12：（4﹣1）=x ：（6﹣1），
3x=12×5，
3x=60，
x=20
3.【答案】解：设这批零件共ⅹ个．
1400：ⅹ=4：（4+2）4ⅹ=1400×6 ⅹ=2100；
答：这批零件共2100个．
【解析】根据题意知道，工作效率一定，工作量和工作时间成正比例，由此列式解答即可课外拓展
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重，用于反映总体的构成或者结构。
比例分为比例尺和比例两种.表示两个比相等的式子叫做比例。
判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等。
组成比例的四个数，叫做比例的项。