相似三角形基本类型证明题

发现、构造相似三角形的基本图形证题

支其韶 吴复

相似三角形主要有四种基本类型。 一、平行线型 如图1，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC 。

例1. 已知，如图2所示，AD 为△ABC 的中线，任一直线CF 交AD 、AB 于E 、F 。

求证：FB AF

2ED

AE =

。

例2. 已知，如图3所示，BE 、CF 分别为△ABC 的两中线，交点为G 。

求证：2GF GC

GE GB ==。

例3. 已知，如图4所示，在△ABC 中，直线MN 交AB 、AC 和BC 的延长线于X 、Y 、Z 。

求证：

AY CY

CZ BZ BX AX ⋅⋅=1。

二、相交线型

如图5，若∠1=∠B ，则可由公共角或对顶角得△ADE ∽△ABC 。

例4. 已知，如图6所示，△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 上的点，E 为AB 延长线上的点，

且AE AD AB 2

⋅=。 求证：BC 平分∠DCE 。

例5. 已知，如图7所示，CD 为Rt △ABC 的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，FG ⊥AB 于G 。

求证：FB FC FG 2

⋅=。 三、旋转型 如图8，若∠BAD=∠CAE ，则△ADE 绕点A 旋转一定角度后与△ABC 构成平行线型的相似三角形。

如图9，直角三角形中的相似三角形，若∠ACB=︒90，AB ⊥CD ，则△ACD ∽△CBD ∽△

ABC 。

例6. 已知，如图10所示，D 为△ABC 内的一点，E 为△ABC 外的一点，且∠EBC=∠DBA ，∠ECB=∠DAB 。

例7. 已知，如图11所示，F 为正方形ABCD 的边AB 的中点，E 为AD 上的一点，AE=41

AD ，

FG ⊥CE 于G 。

求证：CG EG FG 2

⋅=。

例8. 已知，如图12所示，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 上的点，过O 作直线分别交DC 、AB 于M 、N ，交AD 的延长线于E ，交CB 的延长线于F 。 求证：OE ·ON=OM ·OF 。