线代各章小结by华理自强社

第一章

1.6.1 内容框图

1.6.2 基本要求

（1） 理解矩阵的概念，掌握常用的特殊矩阵及性质。

（2） 熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置运算及其运算规律。 （3） 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及求逆矩阵的方法。 （4） 了解分块矩阵及其运算。

（5） 熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质及其与初等变换的关系，知道矩阵的标准分解。 1.6.3 内容概要

1） 矩阵的概念

矩阵是一个由m ⨯n 个元素构成的元素表，常用方括号或圆括号记为

A=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2122221

11211......或 A=⎪

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a

212222111211...... 本书中的矩阵一般都是指实数矩阵。

2） 特殊矩阵

特殊矩阵包括方阵、对称阵，反对称阵，上三角阵，下三角阵，对角阵，数量阵，单位阵，列矩阵，行矩阵，零矩阵等。他们之间具有如下的从属关系

矩阵

方阵下三角阵上三角阵对角阵数量阵单位阵→→⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧→→→

3） 矩阵的运算 （1） 加法：设()n

m ij

a A ⨯= ，=B ()

n

m ij

b ⨯();n m ij ij b a B A ⨯+=+则

（2） 数乘：设()

()n m ij n

m ij ka kA k a A ⨯⨯==为数，则,；

（3） 乘法：设()

n

m ij

a A ⨯=，=B ()

n

m ij

b ⨯，则=

AB ()

n

m ij c ⨯，其中

),2,1;,2,1(22111

n j m i b a b a b a b a c sj is j i j i s

k kj ik ij ==+++==∑=

注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。

（4） 转置：设 A=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2122221

11211......，则 ⎥

⎥

⎥

⎥⎥

⎦⎤

⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡mn n n n m a a a a a a a a a 212221212111

......称为A 的转置阵，记为'

A A T 或。

（5） 运算规律：()()();,A A A A A μλμλμλλμ+=+=

矩阵的定义

矩阵的逆 矩阵的分块 矩阵的初等变换

矩阵的运算

A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C);B A B A λλλ+=+)(. (AB)C=A(BC); )()()(B A B A AB λλλ==; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA;

n n m n m n m m I A A A I ⨯⨯⨯==

()

()()()T T T

T T

T T T

T

T A B AB A A B A B A A A ==+=+=;;;λλ

()

kl l

k l k l k A A A A A ==+; (k,l 为正整数)以上所有运算必须关于加法，乘法可行。

注1 矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下AB ≠BA,由此得到式子

()

()()()

222

22222

;;2B A AB B A B A B A B AB A B A =+-=

-+±=±

都未必成立，但上述三个式子在AB=BA 的条件下都成立，例如：()()()I A I A I A I A A I A +-=-++=+2

222

;2

注2 矩阵乘法不满足消去律，即一般情况下，若AB=AC 不能得到B=C.由此可知若 不A A =2

能得到A=O,或A=I, 若O A =2

也不能得到A=O ，但在A 可逆的条件下，由AB=AC 必成立B=C 思考：当A 可逆时，若AB=CA 能推出B=C 吗？ 4) 可逆矩阵 （1）概念：

设矩阵A,B 满足AB=BA=I ，则称A 为可逆矩阵，称B 为A 的逆矩阵，记为B A =-1

. 注1 可逆矩阵必为方阵。

注2 若A 可逆，其逆必唯一，故A 的逆矩阵记作1

-A ，即有A 1

-A =1

-A A=I （2）性质：

若A 可逆，则T

A ,1

-A 均可逆，且()

()()T

T

A A A A 11

1

1

,----==;

若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且11

1)

(--=A k

kA ;

若A,B 是同阶可逆阵，则AB 可逆, 1

)(-AB =1

1--A B .

注 若A,B 为同阶的可逆矩阵，A+B 不一定可逆 （3）判别方法

①利用定义: 若AB=BA=I,则必有A 可逆,且B A

=-1

;

②利用初等矩阵:若A 可分解为有限个初等矩阵,则A 可逆.

(4)求法①利用初等变换()()1

A I ~- 行

I A 或⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A I ~I A 列

注 对 ()(

)1

A I ~- I A 只能用行初等变换.对 ⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A

I ~I A 只能用列初等变换。 ②利用分块矩阵

③凑法:当条件中只有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出I AB =的形式,从而可得1

A -=B,这一方法适