线代各章小结by华理自强社
线性代数课程小结
向量、向量组与矩阵
0 0 ei 1 0
(i 1,2, , n)
A ( 1 , 2 ,, m )
§4.2 向量间的线性关系
k1 1 + k2 2+ …+km m =0
含有零向量的 n 维向量组必定线性相关
• 分块矩阵的运算与一般矩阵的运算相同。在对分块矩阵 进行运算时，要注意以下几点：
• 1) 计算两个矩阵的加法时，要将两个矩阵进行相同 的划分，以保证对应子块同型；
• 2) 进行乘法运算时，要使对第一个矩阵列的分法与 第二个矩阵行的分法一致，这样才能保证对应子块 能相乘； • 3) 求矩阵转置时，要将子块当作元素将分块矩阵转 置后，再将每个子块转置.
r A T r A ; 若A~B，则r A r B
对矩阵施行初等变换后，矩阵的秩不变. 通过初等行变换把矩阵变成阶梯形矩阵，从而直 接看出矩阵的秩.
§3.4 线性方程组有解的判定定理
线性方程组 Ax b 有解的充分必要条件为： ~ r ( A) r ( A)
A
1
1
A.
T 1
A A1 .
1
1
A 1 B 1 A 1
A
A
1
T
A1 A
1
设方阵A满足方程A2 A 2E 0, 证明 : A, A 2E都可逆, 并求它们的逆矩阵.
§2.4 分块矩阵的运算
• 以子块为元素的矩阵称分块矩阵。
性无关组
r (1 , 2 ,, m )
等价向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价
向量组的秩与矩阵的秩的关系
《线性代数B》各章知识点整理
《线性代数B 》各章知识点整理第一章 行列式§1-1 二阶、三阶行列式的计算（对角线法） P2：例1n 阶行列式的定义（含排列的逆序数）§1-2、1-3 四阶行列式的计算 P11：例8理解余子式、代数余子式和行列式按行或列展开的概念（其中代数余子式在A *和1A -也用到）§1-4 理解P16有关的定理，特别是齐次方程组的定理5和定理6 习题P17: 3、4、7第二章 矩阵§2-1 认识常用矩阵：零矩阵、方阵、单位矩阵、对角阵矩阵的运算1. 矩阵的线性运算（和差、数乘）2. 矩阵的乘法：满足结合律和分配律，不满足交换律3. 矩阵的转置：()TT T AB B A =4. 方阵 ① 方阵的幂 k A②对称阵A ：T A A = P27③方阵的行列式 三条性质P28④方阵的伴随矩阵 A * P29§2-2 逆矩阵 1A -的概念、计算和相关的定理P31例12 （解法二，P46例21）有关n 阶方阵A 概念整理（含后续矩阵的秩和向量组的相关性）： ① 0A ≠⇔方阵A 是可逆矩阵⇔方阵A 是非奇异矩阵⇔方阵A 是满秩矩阵 ()R A n =⇔A 的列向量组 线性无关⇔~r A E① 0A =⇔方阵A 不可逆⇔方阵A 是奇异矩阵⇔方阵A 是降秩矩阵()R A n < ⇔A 的列向量组 线性相关 §2-4 熟练掌握把矩阵初等行变换成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵P42 ~r A 行阶梯形矩阵 ~r行最简形矩阵 P41例19§2-6 矩阵秩的定义及相关的结论 P49例24习题P50：2、10、11、14 、28、30第三章 向量组与线性方程组§3-3 熟练掌握线性方程组有关解的定理（包括非齐次和齐次）P56 定理1 定理3 P58 例2、3、4 P77 定理4、5、6§3-2 1.线性表示的相关定义和定理 (P63定义、 P64定理7 )2.向量组的线性相关、无关的定义P663.讨论向量组的线性相关与无关的定理 P67定理10、定理11 P69 例11）§3-3 向量组的秩P70-71定义、P71例13）P93 例11（书上解法过于繁琐，可简化）§3-4 理解齐次方程组的基础解系的概念、基于基础解系如何表示齐次方程组的通解（P74-75）、P77例15理解非齐次方程组的通解（P78-79）例17、例18习题P82： :7、9、13、14、18、20第四章 相似矩阵及其二次型§4-1 1. 内积的定义与性质P852. 正交的定义及施密特正交化方法P863. 正交阵的概念：P87-88A 是正交阵⇔T AA E =或T A A E =⇔1T A A -=⇔A 的列向量组都是单位向量且满足两两正交⇒21A =（ 即1A =或1- ） §4-2 方阵的特征值与特征向量的概念、性质与计算P88-89有关的概念和性质 P89 例2、例3、例4§4-3 相似矩阵的概念及其对角化的方法P92-93 定义和定理 例6§4-4 了解二次型、其标准形及其二次型的矩阵等概念习题P102： 2、3、7、11、23。
大学线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数 第二章总结
第二章 矩阵及其运算矩阵是线性代数主要研究对象，是求解线性方程组的一个有力工具，它在自然科学、工程技术及经济问题等各个领域中都有广泛的应用。
本章的教学基本要求：理解矩阵概念并掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律；理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件，了解求逆矩阵的伴随矩阵法；熟练掌握利用逆矩阵求解矩阵方程的方法；了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质；了解分块矩阵及其运算。
本章的重点及难点：矩阵的各种运算及其运算规律，尤其矩阵的乘法；逆矩阵存在的条件，利用伴随矩阵法会求逆矩阵，主要是二阶和特殊的三阶矩阵的逆矩阵；用逆矩阵求解矩阵方程。
§ 1 矩阵的概念一、内容提要1．矩阵定义 由n m ⨯个数排成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为一个m ×n 矩阵，其中ij a 表示位于数表中第i 行第j 列的数（m i ,,2,1 =；n j ,2,1=）。
ij a 又称为矩阵的元素。
规定，1×1矩阵 a a =)(。
矩阵也可表示为)(ij a 或n m ij a ⨯)( 。
如果不需要表示出矩阵的元素，通常用大写英文字母表示矩阵，如：A ，B ，...，或n m A ⨯，n m B ⨯，...。
元素都是实数的矩阵称为实矩阵；有复数元素的矩阵称为复矩阵。
若两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。
矩阵A =()n m ij a ⨯，B =()n m ij b ⨯是同型矩阵。
若它们的对应元素相等，即ij ij b a = ()n j m i 2,1;2,1== 那么称矩阵A 与矩阵B 相等，记作：A = B 。
2．特殊矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵称为零矩阵。
如一个n m ⨯的零矩阵为nm ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000记为0n m ⨯。
在不会引起混淆的情形下，也可记为0。
大学线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数四五章知识点总结
线性代数四五章知识点总结第四章：行列式1. 行列式的定义行列式是一个数学工具，它可以用来表示一个线性变换对体积的放大倍数。
对于一个n阶（n行n列）的方阵A，它的行列式记作det(A)，行列式的元素通常用aij表示，其中i代表行号，j代表列号。
2. 行列式的性质（1）行列式中的行（列）互换，则行列式变号。
（2）行列式的某一行（列）乘以一个数k，那么行列式的值也要乘以k。
（3）行列式中的某一行（列）的元素都是两个数的和，那么行列式等于两个行列式的和。
（4）若行列式中有两行（列）完全相同，则行列式的值为0。
3. 行列式的计算（1）余子式和代数余子式对于一个n阶行列式A，如果去掉第i行和第j列的元素后，剩下来的(n-1)阶行列式就是A的余子式，用Mij表示。
而对应的代数余子式就是Mij乘上(-1)^(i+j)。
（2）拉普拉斯（Laplace）展开定理通过代数余子式的计算，可以利用拉普拉斯展开定理来计算n阶行列式的值。
即对于一个n阶行列式A，其中的元素aij乘以对应的代数余子式Mij后相加，即可得到行列式的值。
第五章：特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的概念对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得Ax=λx，那么λ称为A 的特征值，x称为A对应于特征值λ的特征向量。
2. 特征值和特征向量的计算寻找一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解方程组(A-λI)x=0来得到。
其中A是待求矩阵，λ是特征值，x是特征向量，I是单位矩阵。
3. 特征值和特征向量的性质（1）特征值的性质：一个n阶方阵A的n个特征值之和等于它的主对角线元素之和，即Tr(A)=λ1+λ2+...+λn。
（2）特征向量的性质：如果A有n个不同的特征值λ1,λ2,...,λn，那么这n个特征值对应的n个特征向量是线性无关的。
4. 特征值与对角化如果一个n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以将它对角化成对角阵D，即找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=D。
线性代数各章小结 (3)
6.6.1内容框图6.6.2基本要求(1)了解二次型及其矩阵表示，会用正交变换化二次型为标准形。
(2)知道二次型的秩，惯性律，了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别方法。
6.6.3内容概要1）关于二次型(1)二次型()Tf x x Ax =的矩阵A 是对称阵，()r A 也称为二次型f 的秩，当A 是对角阵时，f 为标准形。
(2)对任一二次型()Tf x x Ax =，总可找到满秩线性变换x Py =化二次型为标准型，即 2221122...T T T r r f x Ax y P APy d y d y d y ===+++其中()r r A =(3)正交变换法：对二次型Tf x Ax =，由于A 是对称阵，故按实对称矩阵正交对角化的方法总可找到正交阵Q ，使()12,,...Tn Q AQ diag λλλ=Λ= 所以由正交变换x Qy =可得2221122...T T T T n n f x Ax y Q AQy y y y y y λλλ===Λ=++ 注 重点掌握正交变换法。
在用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A 的特征值。
(4)惯性律对一个二次型T f x Ax =，用不同的满秩线性变换将其化成标准形，标准形的形式可以是不同的，但标准形中平方项前正系数个数p 和负系数个数r-p 都是唯一的。
(5)正定矩阵的判别法设A 是n 阶实对称矩阵。
①若A 的正惯性指数等于n ，则A 正定。
②若A 的特征值全是正的，则A 正定。
③若A 的各阶顺序主子式均大于零，则A 正定。
④用定义，若0,,0n T x x R f x Ax ∀≠∈=>，则A 正定。
注 以上各条均为实对称矩阵A 正定的充要条件。
线性代数(各章小结)
1
1
1
1
1 0
1 0
y 1 0 −y
= xy 2
1− x 1 1 0 1− x 0 0 = x 1 1+ y 1 = x 2 y 2 − xy 2 又Q 0 1 1+ y 1 1 1 1− y 0 1 1 1− y
x
1
1
1
∴ D = xy 2 + x 2 y 2 − xy 2 = x 2 y 2
爪型行列式（箭型行列式） （7 ）爪型行列式（箭型行列式） 例
L L K L
0 0 L n
n!
P14.2.证明（3）
a0 1 1 L 1
1 a1 0 0
1 0 a2 L 0
L L L L
1 0 0 L an
n 1 = a1a2 L an a0 − ∑ i =1 ai
证明：
1 a0 − ∑ 1 i =1 ai r1 − r2 1 a1 D 1 1 r1 − r3 L a2 LL 1 1 r1 − rn an
当S＝1 α ≠ 0 ，
存在不全为零的 k1 , k 2 L k s 使 仅当 k1 = k 2 = L = k s = 0 才能使
当S＝ ，α1, α2对应分量成比例 当S＝2，α1 , α 2 对应分量不成比例 2
一、线性相关性的判断（Rn中） 线性相关性的判断（
α1 , α 2 , L , α s 线性相关
n
解： 按第一列展开
a D=a O O a n −1阶 + (−1)
n +1
0 a
0 L 0 0 L 0
1 0
L L L 0 0 L a 0 n −1
a =a O a n −1 + (−1) n +1
《线性代数B》各章知识点整理
《线性代数B 》各章知识点整理第一章 行列式§1-1 二阶、三阶行列式的计算（对角线法） P2：例1n 阶行列式的定义（含排列的逆序数）§1-2、1-3 四阶行列式的计算 P11：例8理解余子式、代数余子式和行列式按行或列展开的概念（其中代数余子式在A *和1A -也用到）§1-4 理解P16有关的定理，特别是齐次方程组的定理5和定理6 习题P17: 3、4、7第二章 矩阵§2-1 认识常用矩阵：零矩阵、方阵、单位矩阵、对角阵矩阵的运算1. 矩阵的线性运算（和差、数乘）2. 矩阵的乘法：满足结合律和分配律，不满足交换律3. 矩阵的转置：()TT T AB B A =4. 方阵 ① 方阵的幂 k A②对称阵A ：T A A = P27③方阵的行列式 三条性质P28④方阵的伴随矩阵 A * P29§2-2 逆矩阵 1A -的概念、计算和相关的定理P31例12 （解法二，P46例21）有关n 阶方阵A 概念整理（含后续矩阵的秩和向量组的相关性）： ① 0A ≠⇔方阵A 是可逆矩阵⇔方阵A 是非奇异矩阵⇔方阵A 是满秩矩阵 ()R A n =⇔A 的列向量组 线性无关⇔~r A E① 0A =⇔方阵A 不可逆⇔方阵A 是奇异矩阵⇔方阵A 是降秩矩阵()R A n < ⇔A 的列向量组 线性相关 §2-4 熟练掌握把矩阵初等行变换成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵P42 ~r A 行阶梯形矩阵 ~r行最简形矩阵 P41例19§2-6 矩阵秩的定义及相关的结论 P49例24习题P50：2、10、11、14 、28、30第三章 向量组与线性方程组§3-3 熟练掌握线性方程组有关解的定理（包括非齐次和齐次）P56 定理1 定理3 P58 例2、3、4 P77 定理4、5、6§3-2 1.线性表示的相关定义和定理 (P63定义、 P64定理7 )2.向量组的线性相关、无关的定义P663.讨论向量组的线性相关与无关的定理 P67定理10、定理11 P69 例11）§3-3 向量组的秩P70-71定义、P71例13）P93 例11（书上解法过于繁琐，可简化）§3-4 理解齐次方程组的基础解系的概念、基于基础解系如何表示齐次方程组的通解（P74-75）、P77例15理解非齐次方程组的通解（P78-79）例17、例18习题P82： :7、9、13、14、18、20第四章 相似矩阵及其二次型§4-1 1. 内积的定义与性质P852. 正交的定义及施密特正交化方法P863. 正交阵的概念：P87-88A 是正交阵⇔T AA E =或T A A E =⇔1T A A -=⇔A 的列向量组都是单位向量且满足两两正交⇒21A =（ 即1A =或1- ） §4-2 方阵的特征值与特征向量的概念、性质与计算P88-89有关的概念和性质 P89 例2、例3、例4§4-3 相似矩阵的概念及其对角化的方法P92-93 定义和定理 例6§4-4 了解二次型、其标准形及其二次型的矩阵等概念习题P102： 2、3、7、11、23。
(完整版)线性代数知识点总结
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n nn nj j j j j j j j j nija a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线代第五章总结
3
二、例题说明
(一) 求具体矩阵的特征值和特征向量 对具体矩阵A = (aij )n×n , 求A的特征值与特征向量的步骤如下: step 1: 由特征方程|λE − A| = 0求得A的n个特征值, 设λ1 , λ2 , · · · , λt 是A的互异特征值, 其重数分别为r1 , r2 , · · · , rt . 则 r1 + r 2 + · · · + r t = n step 2: 求齐次线性方程组(λi E −A)X = O(i = 1, 2, · · · , t), 得基础解系ηi1 , ηi2 , · · · , ηisi (1 ≤ si ≤ ri , i = 1, 2, · · · , t). 则A的 对 应 特 征 值λi 的 全 部 特 征 向 量 为ki1 ηi1 + ki2 ηi2 + · · · + kisi ηisi (ki1 , ki2 , · · · , kisi 不全为零). 实例省略. (二) 求抽象矩阵的特征值 例1. 设方阵A满足A2 − 3A + 2E = O, 其中E 为单位矩阵. 求A的特征值. 解: 设A的特征值为λ, 则λ2 − 3λ + 2 = (λ − 1)(λ − 2) = 0. 所以, λ1 = 1, λ2 = 2. 即A的 特征值为1或2. 例2. λ为A的特征值, 则aA−1 + bA∗ 的特征值为(A可逆)? 1 |A| 1 解: a · + b · = (a + b|A|) λ λ λ 例3. 设4阶方阵A满足AAT = 3E, |A| < 0. 求方阵A的伴随矩阵A∗ 的两个特征值. 解: 今|A| < 0, |A| = 0, 所以A可逆. |A| λ为A的特征值时, A∗ 的特征值为 . λ T 1 1 1 1 T √ √ i) 由AA = 3E , 得 A A = E , 故 √ A正 交. √ A有 特 征 值1或−1. 3 3 3 3 √ √ 1 1 1 而|A| < 0 =⇒ √ A = |A| < 0. 说明 √ A有特征值1和−1, 故A有两个特征值 3和− 3. 9 3 3 T 2 ii) 由AA = 3E , 有|A| = |A||AT | = |AAT | = |3E | = 34 = 81. 所以, |A| = −9(∵ √ √ |A| < 0). 所以, A∗ 的的两个特征值为3 3, −3 3. 例4. 设4阶方阵A满足|3E + A| = 0, AAT = 2E, |A| < 0. 求方阵A的伴随矩阵A∗ 的所 有特征值.
华东理工大学线性代数习题答案-第三章
第三章 线性方程组一、习题解答3．1解：否，例如121250,()2,363A r A -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦却有12036=-- 3．2（1）解：利用初等行变换化成行阶梯形矩阵来求矩阵的秩。
由12311231015401540154000001540000A--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦知()2r A =，最高阶非零子式可取0112（2）由112112013013013000026000B--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知()2r B =，且最高阶非零子式可取1112-- 3．3（1）解：由()()r A r A T =，故可转化为求()r A T ， 由211211222240112(1)33360112(1)k k A k k k k k k k k k T ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦1120112(1)00(2)(1)0k k k k k k -⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦，知①当 1k =时，()()1;r A r A T== ②当2k =-时，()()2;r A r A T== ③当1k ≠且2k ≠-时，()()3r A r A T==（2）解：由112301123001221012210162100800024400002Ba ab b --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--+⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦知①当8a =-且2b =-时，()2;r B =②当8a =-且2b ≠-，或8a ≠-且2b =-时，()3;r B =③当8a ≠-且2b ≠-时，()4r B = 3．4解：因为[]A β比A 多了一列，但行数相同，假设()r A k =，那么[]A β也有k 阶子式非零，所以()();r Ar A β≥而假如()()1,r A r A β>+那么，删去增广列及某一行后的1k +阶子式中必有某个非零，与()r A k =矛盾。
线代部分完整总结
三大“注重”指导你的考研线代复习复习线性代数要注重知识点的衔接与转换。
由于线性代数各个部分之间的联系非常紧密，而且历年来的考题大多都涉及到几个部分的内容，所以复习线性代数一定要有一个整体意识。
行列式和矩阵是基础知识，还有向量、方程组、特征值等一直是考点。
复习要注意以下几点。
一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。
线性代数的概念很多，重要的有：代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩(矩阵、向量组、二次型)，等价(矩阵、向量组)，线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。
线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：行列式(数字型、字母型)的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。
二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。
线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。
例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n，进而可求矩阵A或B中的一些参数。
凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，大家整理时要注重串联、衔接与转换。
线代知识总结
线性代数知识点总结目录第一章行列式 (2)第一节：二阶与三阶行列式 (2)第二节：全排列及其逆序数 (2)第三节：n阶行列式的定义 (3)第四节：对换 (4)第五节：行列式的性质 (5)第六节行列式按行（列）展开 (6)第七节克拉默法则 (7)第二章矩阵 (8)第一节：矩阵 (8)第二节：矩阵的运算 (8)第三节：逆矩阵 (11)第四节：矩阵分块法 (13)第三章矩阵的初等变换与线性方程组 (15)第一节：矩阵的初等变换 (15)第二节：矩阵的秩 (16)第三节：线性方程组的解 (18)第四章向量组的线性相关性 (19)第一节：向量组及其线性组合 (19)第二节：向量组的线性相关性 (21)第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式1、把表达式a 11a 22-a 12a 21称为a 11a 12a21a22所确定的二阶行列式，并记作a 11a 12a21a12，即D =a 11a 12a21a22=a 11a 22-a 12a 21.结果为一个数。
同理，把表达式a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a31,称为a11由数表a21a12a 22a32a13a31a 11a12a 23所确定的三阶行列式，记作a 21a 22a 31a 32a33a13a 23。
a33a 11a 12即a 21a 22a 31a32a13a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 11a 23a 32-a 12a 21a 33-a 13a 22a 31,a33注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
2、利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组⎨⎧a 11x 1+a 12x 2=b1⎩a 21x 1+a 22x 2=b 2≠0a12，设D =a 11a 12b1a21a22D 1=b 1b2a12a22D 2=a11a 11b1b 1a 21b2.则x 1=b a 22D1=2D a11a 12a 21a22x 2=a b D2=212.a 11a 12Da 21a22注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。
线性代数课程总结
线性代数课程总结第一章行列式§1.1二阶、三阶行列式（一）二阶行列式（二）三阶行列式§1.2 阶行列式（二）阶行列式的定义定义1.2用个元素组成的记号称为阶行列式。
注意：（1）、一阶行列式就是（2）、行列式有时简记为。
第二章矩阵及其运算§2.1 矩阵的概念定义2.1 由个数排列成的一个行列的矩形表，称为一个矩阵,记作其中称为矩阵第行第列的元素。
定义2.2如果两个矩阵有相同的行数与相同的列数，并且对应位置上的元素均相等，则称矩阵与矩阵相等，记为。
即如果且，则。
§2.2 矩阵的运算（—）矩阵的加法和数乘矩阵定义2.3 两个行列矩阵对应位置元素相加得到的行列矩阵，称为矩阵与矩阵的和，记。
定义2.4 以数乘矩阵的每一个元素得到的矩阵，称为数与矩阵的积，记作。
由上面定义的矩阵加法、数与矩阵的乘法，不难得到下面的运算律。
设都是矩阵，是数，则(1)(3)(5)(7)（二）矩阵的乘法定义2.5 设矩阵的列数与矩阵的行数相同，则由元素构成的行列矩阵称为矩阵与矩阵的积，记为或。
可看出：1、两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。
2、矩阵不满足交换律。
3、一般矩阵用大写字母表示，但1行列或行1列矩阵，有时也用小写字母表示。
矩阵的乘法有下列性质：(1)(2)(3)(4)（三）矩阵的转置定义2.6将矩阵的行与列互换，得到的矩阵，称为矩阵的转置矩阵，记为或。
转置矩阵有下列性质：(1)(2)(3)(4)§2.3逆矩阵定义2.7 对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得那么矩阵称为可逆矩阵，而称为的逆矩阵。
如果可逆，的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的性质：（1）可逆矩阵的逆矩阵是可逆矩阵，且。
（2）两个同阶可逆矩阵的乘积是可逆矩阵，且。
（3）可逆矩阵的转置矩阵是可逆矩阵，且第三章矩阵的初等变换与线性方程组§3.1 矩阵的初等变换定义3.1 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的初等变换。
（1）交换矩阵的两行（列）；（2）以一个非零的数乘矩阵的某一行（列）；（3）把矩阵的某一行（列）的倍加于另一行（列）上。
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第一章1.6.1 内容框图1.6.2 基本要求（1） 理解矩阵的概念，掌握常用的特殊矩阵及性质。
（2） 熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置运算及其运算规律。
（3） 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及求逆矩阵的方法。
（4） 了解分块矩阵及其运算。
（5） 熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质及其与初等变换的关系，知道矩阵的标准分解。
1.6.3 内容概要1） 矩阵的概念矩阵是一个由m ⨯n 个元素构成的元素表，常用方括号或圆括号记为A=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211......或 A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a212222111211...... 本书中的矩阵一般都是指实数矩阵。
2） 特殊矩阵特殊矩阵包括方阵、对称阵，反对称阵，上三角阵，下三角阵，对角阵，数量阵，单位阵，列矩阵，行矩阵，零矩阵等。
他们之间具有如下的从属关系矩阵方阵下三角阵上三角阵对角阵数量阵单位阵→→⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→→3） 矩阵的运算 （1） 加法：设()nm ija A ⨯= ，=B ()nm ijb ⨯();n m ij ij b a B A ⨯+=+则（2） 数乘：设()()n m ij nm ij ka kA k a A ⨯⨯==为数，则,；（3） 乘法：设()nm ija A ⨯=，=B ()nm ijb ⨯，则=AB ()nm ij c ⨯，其中),2,1;,2,1(22111n j m i b a b a b a b a c sj is j i j i sk kj ik ij ==+++==∑=注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。
（4） 转置：设 A=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211......，则 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n n m a a a a a a a a a 212221212111......称为A 的转置阵，记为'A A T 或。
（5） 运算规律：()()();,A A A A A μλμλμλλμ+=+=矩阵的定义矩阵的逆 矩阵的分块 矩阵的初等变换矩阵的运算A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C);B A B A λλλ+=+)(. (AB)C=A(BC); )()()(B A B A AB λλλ==; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA;n n m n m n m m I A A A I ⨯⨯⨯==()()()()T T TT TT T TTT A B AB A A B A B A A A ==+=+=;;;λλ()kl lk l k l k A A A A A ==+; (k,l 为正整数)以上所有运算必须关于加法，乘法可行。
注1 矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下AB ≠BA,由此得到式子()()()()22222222;;2B A AB B A B A B A B AB A B A =+-=-+±=±都未必成立，但上述三个式子在AB=BA 的条件下都成立，例如：()()()I A I A I A I A A I A +-=-++=+2222;2注2 矩阵乘法不满足消去律，即一般情况下，若AB=AC 不能得到B=C.由此可知若 不A A =2能得到A=O,或A=I, 若O A =2也不能得到A=O ，但在A 可逆的条件下，由AB=AC 必成立B=C 思考：当A 可逆时，若AB=CA 能推出B=C 吗？ 4) 可逆矩阵 （1）概念：设矩阵A,B 满足AB=BA=I ，则称A 为可逆矩阵，称B 为A 的逆矩阵，记为B A =-1. 注1 可逆矩阵必为方阵。
注2 若A 可逆，其逆必唯一，故A 的逆矩阵记作1-A ，即有A 1-A =1-A A=I （2）性质：若A 可逆，则TA ,1-A 均可逆，且()()()TTA A A A 1111,----==;若A 可逆，数0≠k ，则kA 可逆，且111)(--=A kkA ;若A,B 是同阶可逆阵，则AB 可逆, 1)(-AB =11--A B .注 若A,B 为同阶的可逆矩阵，A+B 不一定可逆 （3）判别方法①利用定义: 若AB=BA=I,则必有A 可逆,且B A=-1;②利用初等矩阵:若A 可分解为有限个初等矩阵,则A 可逆.(4)求法①利用初等变换()()1A I ~- 行I A 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A I ~I A 列注 对 ()()1A I ~- I A 只能用行初等变换.对 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1AI ~I A 只能用列初等变换。
②利用分块矩阵③凑法:当条件中只有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出I AB =的形式,从而可得1A -=B,这一方法适用于抽象矩阵求逆. 5)矩阵的分块（1）概念:对矩阵A 用若干条横线和若干条纵线分割成的矩阵称为分块矩阵,其中每个元素是以小矩阵构成的块. （2） 特殊分块法及其作用:①将A 按列分块[]n21mn m2m12n 22211n 1211,,a a a a a a a a a A ααα =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=,其中j α是A 的第j 列(j=1,2,…n)，则j j Ae α=(j=1,2,…n)其中j e 为单位阵n I 的第j 列。
②将A 按行分块⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T T 2T 1m A βββ ，其中T i β为A 的第i 行，则T i e A=Ti β,(i=1,2,…,m)其中i e 为单位阵m I 的第i 列. 注 由①② 可得到ij j Ti a Ae e = ③ 将1A - 列分块[]n 211,,Aααα =-，则1A - 的计算也可转化为方程组i i e A =α（i=1,2,…,n ）的求解问题。
④ 将A 分成块对角阵则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----112111n A A A A则 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----112111nB B B B其中假设)...,2,1(,n i B A i i = 都可逆。
6） 初等变换与初等矩阵（1） 矩阵A 的初等变换有如下三类：第一类：将A 的第i 行（列）与第j 行（列）对换，记作)(ij ij c r 第二类：以非零常数乘A 的第i 行（列），记作()()()λλi i c r第三类：将A 的第i 行（列）的k 倍加到第j 行（列）上去，记作()()()k c k r ij ij （２）初等矩阵是单位阵I 经过一次初等变换后得到的矩阵；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=An A A A 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12B B B B n()()()()()()()()k C I C I C I k R I R I R I ij k c i c ij r ij k r i r ij r ij i ijij i ij~,~,~;~,~,~λλλλ其中()()()()k C k R C R C R ij ij i i ij ij ===,,λλ（３）初等变换与初等矩阵之间的关系：初等矩阵左（右）乘A,相当于对A 进行一次相应的初等行（列）变换，例如:B AC B A B A R B A ij c ij r ijij =⇔=⇔~,~注１:若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ，则称A 与B 等价，此时必成立等式B C AC R R t s =......11 ，其中s R R ...1与t C C ...1均为初等矩阵。
注2:对矩阵A 进行第二类初等变换时，乘上的数必须为零；对矩阵A 进行第三类初等变换()k r ij 时，只有原矩阵A中的第j 行变化了，为A 的第j 行加上A 的第i 行的k 倍，其余行不变，如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110011222A ,则 ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-110011200~221B A r ，而不是 ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-110200222~221B A r 。
注3:初等矩阵都是可逆阵，且成立()()λλ1;,111i iij ij ij ijR R C C R R ===---()()()()()()k C k C k R k R C C ij ij ij ij i i-=-==---111,;1λλ第二章2.6.1 内容框图2.6.2 基本要求（1） 会用对角线法则计算二阶和三阶行列式。
（2） 了解n 阶行列式的定义。
（3） 知道行列式的性质。
（4） 掌握计算行列式的方法。
（5） 掌握克莱姆法则。
2.6.3内容提要1） 行列式的定义一阶行列式1111A a a ==，设n-1阶行列式已经定义，则n 阶行列式定义为()111212122211111n nni jn ij ij ij ij i i n n nna a a a a a A a M a A a a a +====-=∑∑其中ij M 为ij a 的余子式，()1i jij ij A M +=-为ij a 的代数余行列式的定义行列式的性质 行列式的计算 行列式的应用子式。
注1 一阶行列式55-=-。
注2 行列式是方阵A 对应的一个数，用A 记，不同阶行列式可能不同，如10207506314123=-= 但不同阶矩阵必不相同。
2） 特殊行列式的值 (1)上三角行列式：(2)下三角行列式：112122112212nn n n nna a a a a a a a a =(3)对角行列式：11221122nn nna a a a a a =(4)11,212)1(11,221111)1(n n n n n n n na a a a a a a a----=(5)()()112,12212,111,11...n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a ----=-(6)()()112,1212,1111...nn n n n n n n a a a a a a ---=-(7) 范德蒙行列式：111212221122n n nnnna a a a a a a a a =)(1111112112222121j i ni j n nn n nnx x x x x x x x x x x -∏=≤<≤---其中∏为连乘积的符号。
3） 行列式的性质（1） 方阵A 的行列式与其转置的行列式相同，即T A A =注 所有队列成立的行列式性质，对行也成立。
（2）互换行列式中两列（或行）的位置，行列式变号 推论 如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零。