直线与平面垂直性质定理练习题

直线与平面垂直的性质

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α

B ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直

C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行

D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直

2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )

① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭

⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④ ⎭

⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )

A ．PE >PG >PF

B ．PG >PF >PE

C ．PE >PF >PG

D ．PF >P

E >PG

4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )

A ．PA ⊥BC

B ．B

C ⊥平面PAC

C ．AC ⊥PB

D ．PC ⊥BC

5．下列命题：

①垂直于同一直线的两条直线平行；

②垂直于同一直线的两个平面平行；

③垂直于同一平面的两条直线平行；

④垂直于同一平面的两平面平行．

其中正确的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )

A ．垂心

B ．内心

C ．外心

D ．重心

二、填空题

7．线段AB 在平面α的同侧，A 、B 到α的距离分别为3和5，则AB 的中点到α的距离为________．

8．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)

①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．

9．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．

求证：(1)MN∥AD1；

11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．

平面与平面垂直的性质

1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．

用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．

2．两个重要结论：

(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．

图形表示为：

符号表示为：α⊥β，A ∈α，A ∈a ，a ⊥β⇒________．

(2)已知平面α⊥平面β，a ⊄α，a ⊥β，那么________(a 与α的位置关系)．

一、选择题

1．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( )

A ．a ⊥β

B ．a ∥β

C ．a 与β相交

D ．以上都有可能

2．平面α∩平面β＝l ，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )

A ．l ∥γ

B ．l ⊂γ

C ．l 与γ斜交

D ．l ⊥γ

3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )

A ．0条

B ．1条

C ．2条

D ．无数条

4．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )

A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行

B ．a 与b 可能垂直，也可能平行

C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行

D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行

5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )

①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上

④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

6．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6

．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )

A ．2∶1

B ．3∶1

C ．3∶2

D ．4∶3

二、填空题

7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD /∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)

①过P 垂直于l 的平面垂直于β；

②过P 垂直于l 的直线垂直于β；

③过P 垂直于α的直线平行于β；

④过P 垂直于β的直线在α内．

三、解答题

8．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．

求证：BC ⊥AB ．