直线与平面垂直的性质-PPT课件

A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：②、④是真命题．
练习2．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则 这条直线和另一个平面的位置关系是__相__交__、__平__行__、__在__平__面__内__．
例2 如图，已知α∩β=l,EA⊥α于点
A,EB⊥β于点B, a α, a⊥AB.
作业布置:
习题2.3 A组第5题 B组第3题
A1
B1
E
D
C
A
F
B
情景导入
若在两个平面互相垂直的条件下，又会得 出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一 条与地面垂直的直线？
平面与平面垂直的性质定理
两观个察平实面验垂直,则一个平
面观内察垂两垂直直于平交面线中的,一直线 与个另平一面内个的平直面线垂与直另.
l
一符个号平表面示的：有哪些位
b
置关系?
练习3 如图： , l, AB , AB l, BC , DE , BC DE.求证：AC DE
A
B
l
D
C
E
练习4.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都 为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内 找一点，使AE⊥面BCD,并说明理由
解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点 E， 连结AE，则AE为BD的中线 ∴又A∵E面⊥BBCDD∩面ABD=BD,
2.3.3-2.3.4
直线与平面、平面与平面垂直的性质
情景导入
问题：若一条直线与一个平面垂直，则 可得到什么结论？若两条直线与同一个 平面垂直呢？
知识探究：直线与平面垂直的性质定理
如图，长方体ABCD-A‘B’C‘D’中，棱AA‘、BB’、 CC'、DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间 是有什么位置关系？
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证 明线面垂直的方法
2、本题充分地体现了面面垂直与线面垂直 之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
练习2 如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不 同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC。 (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
例3 如图，已知平面、β，⊥β，直线a满足
a⊥β，a，试判断直线a与平面的位置关系.
解：在α内作垂直于α与 β交线的直线b，
∵ α⊥β，∴b⊥β. 又∵a⊥β，∴ a∥ b 又∵ a ，
∴ a .// 即直线a与平面α平行.
如果两个平面互相垂直,那么在第一个平 面外垂直于第二个平面的直线,平行于第一个 平面。
思考 设平面⊥平面β，点P在平面内，
过点P作平面β的垂线a，直线a与平面
具有什么位置关系？
D B aP C
证明：如图，设 I =c，过点P在平面 内作
直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有
b ，因为过一点有且只有一条直线与平面垂
直，所以直线a与直线b垂合因此 a
P
ba
ba
c
cP
如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第 一个平面内.
求证：a∥b．
a b b'
(反证法)
cO
证明：假定b与a不平行，且b∩α=O，b′是经
过点O与直线a平行的直线.直线b与b′确定平 面β ，设α∩β=c，则O∈c，因为a⊥α，b⊥β， 所以a⊥c，b⊥c，又因为b′∥ a ，所以b′⊥c ， 这样在平面内，经过直线c上同一点O就有两 条直线b， b′与c垂直，显然不可能，因此 b∥a.
Ⅱ.概括结论
bb
l
bl
bb 该命题正确吗？
面面垂直
线面垂直
例2 如图，已知PA⊥平面ABC，平面 PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，
垂足为E，
P
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC平面PBC
∴AE⊥BC
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， C是圆周上不同于A，B的任意
P
一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC,
C
BC 平面ABC
平面PAC
∴BC⊥ A
O
B
(2)又∵BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
D' A'
D A
C' B'
C B
例1如图，已知直线a⊥ 、b⊥，那么直线a、
b一定平行吗？我们能否证明这一事实的正确性 呢？
ab
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
ab
O
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
a b b'
O
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
a b b'
O
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证:a∥l.
•
证明：EA ,
EB l
l⊥ll 平EE面BAEAB.
• 又∵a α,EA⊥α,∴a⊥EA.
• 又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. • ∴a∥l.
练习3 如图，正方体 A1B1C1D1 ABCD D1
C1
中，EF与异面直线 AC, A都1D垂直相
交。求证： EF /./ BD1
面ABD⊥面BCD ∴AE⊥面BCD
1、平面与平面垂直的性质定理：
l
b
b
bl
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
“转化思想”
面面关系
面面平行
面面垂直
线面关系
线面平行 线面垂直
线线关系
线线平行 线线垂直
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
练习1 下面四个命题，其中真命题的个数为（ B ）
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这
条直线和这个平面垂直；②过空间一点有且只有一条直线和已
知平面垂直；③一条直线和一个平面不垂直，这条直线和平面
内的所有直线都不垂直；④垂直于同一平面的两条直线平行．