投针试验教学设计 (优质)

第六章频率与概率２．投针试验河南省第二试验中学胡亚丽一、学生知识状况分析通过第6.1节的学习，学生已认识到当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率，已会用树状图或列表计算两步试验的事件的概率. 本节课讨论的问题, 虽然存在理论概率,但其理论计算已经超出了义务教育阶段学生的认知水平,学生将借助试验模拟获得其估计值。

二、教学任务分析本节选取了一个历史上较为著名的投针试验为题材．力图让学生通过亲身的试验、统计过程获得用试验的方法估计复杂事件发生的概率的体验．教学目标1. 知识与技能目标借助大量重复试验去感悟试验频率稳定于理论概率．能用试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率；2.方法与过程目标①结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的关系。

②经历试验、统计等活动过程，在活动中在活动中促进他们对知识的学习,进一步发展学生合作交流的意识和能力.3．情感态度价值观培养学生实事求是的科学态度，提高自身的数学交流水平，增强与人合作的精神和解决实际问题的能力，激发学生学习数学的兴趣.发展辩证思维能力.教学重点:能用试验方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.教学难点:借助大量的重复试验去感悟试验频率稳定于理论概率.三、教学过程分析本节设计五个教学环节第一环节创设问题情境，引入新课；第二环节小组活动探究;第三环节阅读拓展第四环节课堂小结；第五环节布置作业．第一环节创设问题情境，引入新课教具准备:大头针，图钉，多媒体演示通过问题串的形式引入新课：问题：（1）抛图钉时，图钉落地有两种情况，一种是针尖向下（如图一所示）一种是钉帽向下（如图二所示），能借助书状图或列表分别算出它们的概率吗？（2）掷一枚图钉，有几种结果?它们是等可能的吗?（3）怎样求这一事件的概率呢?通过问题的形式向学生明晰：（1）用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．要求试验出现的各种结果是等可能的，并且试验出现的结果必须是有限个．（2）图钉落地有“朝天”和“倾斜”两个可能结果，但这两个可能的结果不是等可能的，也无法知道它们的可能性各是多少.（3）一个试验，虽然结果有有限个，但各个结果出现的可能性不相等，也无法知道它们的可能性各是多少，所以不能用树状图或列表格的方法计算随机事件的概率．只能用用试验的方法求出其频率估计其概率.．因为我们知道：当试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率．第二环节：小组活动探究活动内容1：从一定高度落下的图钉，落地后可能钉尖着地，也可能钉帽着地．你估计哪种事件发生的概率大?活动目的：利用“当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率”来估计某一随机事件发生的概率．活动方式：小组合作交流，全班汇总试验数据，交流研讨．活动工具：形状、大小完全相同的图钉．活动步骤：1．分组：每组4人．2．每组每人做20次试验，根据试验结果，填写下表的表格：3．根据上表你认为哪种情况的频率较大?4．分别汇总本小组其中两人、三人、四人、五人的试验数据，相应得到试验40次、60次、80次、100次时钉帽着地的频率，填写下表，并绘制折线统计图．5．汇总全班各小组其中一个组．两个组、三个组、四个组……的试验数据，相应得到试验100次、200次、300次、400次……时钉帽着地的频率，并绘制折线统计图．6．由折线统计图，估计钉帽着地的概率．7.将图钉掷200次，每掷20次，统计一下两个组同学“钉帽着地”这一结果出现的次数，并算出相应的频率，如下表．将统计数据(“钉帽着地”的频率)画成折线统计图，看起来更直观．（用Excel统计并绘制折线统计图）从图中可发现，“顶帽着地”的频率开始“摆动”得很厉害，随着试验次数的增加，这个频率就开始比较稳定了。

不同的试验情况（图钉的型号、离地的高度等）可能会影响试验的数据，因此可能在不同的地区、不同的学生，做这个试验会得到不同的“稳定值”。

笔者曾在教学活动中完成这个过程，得到频率在56.5％左右摆动．活动效果及注意事项：1.注意学生的安全.2.①图钉必须从同一个高度自由落下，保证着地时的随机性和试验的可重复操作性；②组内同学合作时要进行适当的分工；③体现学生的自主性，试验活动以及试验数据的汇总等都可以由学生白行组织完成；④教师认真评价学生合作交流的意识和能力，学生的思维水平，学生的动手能力等)第三环节：阅读拓宽活动内容：阅读相关文章，做投针式验.活动目的：1.通过学读使学生感受任何一个发现都凝聚着辛勤的劳动和汗水，培养学生吃苦耐劳精神；给学生一定的拓展空间，让学生体会到有些高深的数学中蕴涵的思想极其朴素，从而激发学生的数学学习兴趣．2.利用“当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率”，并据此估计针与平行线相交的概率．活动方式：小组交流，全班研讨的方法．活动过程：利用数学史上著名的投针试验引入问题：平面上画着一些平行线，相邻的两条平行线之间的距离为a，向此平面任投一长度为l(l<a)的针，该针可能与其中某一条平行线相交，也可能与它们都不相交．能通过列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率吗?通过“图钉试验”，学生可以初步得到，生] 由于相交和不相交的可能性不相同，因此这个事件的概率也不能列表或画树状图求出该针与平行线相交的概率．但可以利用试验，依据“当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率”来估计该针与平行线相交的概率．学生活动，步骤如下：1．分组，三人一组．（一人统计）2.取一张白纸，在上面画一组平行线．它们之间的距离为2厘米，另外准备一根1厘米长的针．在纸下面垫一层柔软的东西，使针落在纸面上时不会弹跳起来．通过试验，得到数据后，请学生利用计算器计算试验总次数除以直线与平行线相交的次数，学生会将发现商好像是π的一个近似值．而且投掷次数越多，所得到的商与π越接近．有了这一感性认识后，给学生提供一些关于该试验的历史数据。

请同学们打开书阅读“读一读”——投针试验．这篇短文介绍了关于投针试验的一些历史资料，以及其概率与π之间的关系，据此获得一种估计π的值的方法．并将其引申为现在广泛使用的蒙特卡洛方法，旨在给学生一定的拓展空间，让学生体会到有些高深的数学中蕴涵的思想极其朴素，从而激发学生的数学学习兴趣．如果班级学生整体情况比较好，可能会有学生提问：“把总的次数(即相交的与不相交的次数之和)除以相交的次数，得到的商是圆周率的近似值，投掷次数越多，得到π的近似值越精确，为什么会这样呢?”教师可以有选择性的讲解以下内容：（讲解的方式不一定在课堂，不一定是面向全体同学，也可以仅向有需要的学生提供以下的阅读资料或“拓展资源”中的《有关的投针试验的阅读文章》）当针与直线相交时，必有其上的某1毫米处相交．而每1毫米最可能与直线相交的机会是相等的，它的次数应为全针与直线相交的最可能次数k 的101．如果针上某一段长n 毫米，那么这一段与直线最可能相交的次数应为10nk ，即最可能的相交次数和针的长度成正比． 需要指出的是，这个最可能的相交次数只与针的长度成正比，而与针的形状无关．例如，我们将10毫米的针弯成两段，一段长x 毫米，另一段长为(10-x)毫米，那么这两段的最可能与直线相交的次数分别为10xk 和10)10(k x -.这样，全针的最可能相交次数仍为20)20(20k x xk -+＝k ，即这个最可能相交次数与针的形状无关．当然，将针的形状弯成某种形状后，有时可能在针的某儿处都和直线相交，这时应把每一个交点都记作相交一次．现在将针弯曲成一个圆形．假定这时的针的粗细仍是均匀的，且圆的直径等于20毫米，那么每投一次圆环总能和直线相交于两点(正好和两条直线相切也记作两个交点)．投掷n 次，相交次数为2n 次．对于10毫米的针，它的最可能相交次数是k 次．由于圆环的长是π·20毫米，等于针长的2π倍，所以圆环相交次数应是针的最可能的相交次数的2π倍，即2n=2π·k ，由此可得π=相交次数投掷总次数 k n 活动效果及注意事项：学生好奇心强,但是目的性不强,教师注意引导学生考虑试验的目的是什么,使试验处在探究的氛围中.注意:1.每组学生都确定相同的L 和a ，保证试验结果统计数据可以汇总．2.在试验过程中，有时针与线是否相交较难判断，学生可能为此发生一些争执，教师可以适当地加以指导，如建议学生忽略这次试验或者认为相交、不相交各计半次，等等．避免学生过多地停留于此.3．每组至少完成100次试验，分别记录下其中相交和不相交的次数．4．统计全班的试验数据，估计针与平行线相交的概率．第四环节：课堂小结这节课我们学会了用试验的方法估计一些复杂随机事件发生的概率，并亲自体验到了“当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率，并可据此估计某一事件发生的概率”．经历试验、统计等活动过程．第五环节：布置作业1．习题6．42．继续投针试验，加大投针试验次数估算π的值．3.课外活动与探究随便说出3个正数，以这3个数为边长一定能围成一个三角形吗?一定能围成一个钝角三角形(其中最大边的平方大于另两边的平方和)吗?估计能围成一个钝角三角形的概率．本题仍是利用试验的方法估计随机事件发生的概率，选择该题材的原因是其概率与π有关，并与“读一读”中内容相呼应．具体操作时，可以几个学生组成合作小组，每人写一个数在纸上，然后同时公布各自的数进行判断．随便说出三个正数，以这三个正数为边不一定能组成一个三角形，如不能以1，3，5三个数为边长组成三角形；当然也不一定能组成一个钝角三角形；能围成一个钝角三角形的概率的估计值因人而异，因试验次数而异．事实上，不妨设所取三数为(a ，b ，c(0<a ≤b ≤c)，若能构成钝角三角形，则a ，b ，c应满足：a+b>c ，a 2+b 2<c 2．即c b c a +>1，2222c b c a + <1． [结果]其理论概率为42-π.四、教学反思投针试验是一节活动课,因而要注意学生的自主性，试验活动和数据的汇总都可以交给给学生去做,力图让学生通过亲身的试验,统计过程获得用试验的方法估计复杂事件发生的概率的体验.。