质数和合数,分解质因数

学科：数学

教学内容：质数和合数，分解质因数

呈现目标

【知识要点归纳】

1.质数和合数

（1）一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。如7和11都是质数。

（2）一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，如：9和12都是合数。

①1既不是质数，也不是合数。

②自然数除了1，其他的数不是质数就是合数。

③自然数是无限的，因此质数和合数也都是无限的。

（3）判断一个数是合数还是质数的方法。

先找各数的约数，再根据质数和合数的意义去判断。判断一个数是不是质数，还可以查质数表，凡是质数表中有的数就是质数。

2.分解质因数

（1）质因数的意义。

每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

（2）分解质因数的意义。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如：6=2×3，24=2×2×2×3。

（3）分解质因数的方法。

①分解质因数时，通常用短除法。短除法是除法的简化。如：

②用短除法分解质因数，除数一定要用质数，应按照质数从小到大的顺序，看被除数能被哪个质数整除，就用这个质数去除，直到除得的商也是质数为止。如：用短除法把180分解质因数：

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【典型范例剖析】

例1 一个正方形的面积是1225平方厘米，这个正方形的边长是多少厘米？

分析：因为正方形的面积是“边长乘以边长”，将1225分解质因数，再把质因数分成相同的两组，就可以求出这个正方形的边长。

解：把1225分解质因数：

1225＝5×5×7×7

变形为：1225＝(5×7)×(5×7)＝35×35

因此，这个正方形的边长为：35厘米。

答：这个正方形的边长为35厘米。

例2 在10—150中找出两个自然数，使它们的积等于77与195的积。这两个数是多少？

分析：根据题意，先把77与195分解质因数，再分别找出其中几个质因数相乘的积在100—150之间的两个自然数。

解：把77与195的积分解质因数：

77×195＝3×5×7×11×13

＝(3×5×7)×(11×13)

＝105×143

答：这两个数分别是105和143。

【解题技巧指点】

1.在质数和合数的问题上，容易出现如下错误判断。

（1）所有的奇数都是质数。这个说法显然是错误的。因为象9、5、21等都是奇数，但它们却是合数，因此，奇数不一定是质数。

（2）所有的偶数都是合数。这种说法也不对。因为2这个数是偶数，但它就不是合数而是质数。

（3）自然数中除了质数都是合数。这种说法也不对，因为自然数中，1既不是质数，也不是合数。正确的说法是：自然数中，除0.1以外，不是质数就是合数。

2.分解质因数时要注意以下几点：

（1）连乘式中不能出现合数，因数必须都是质数。如：

错误：36=2×3×6(6是合数)

正确：36=2×2×3×3

（2）连乘式中不能出现1，因为1不是质数。如：

错误：12＝2×2×3×1

正确：12＝2×2×3

（3）合数用质数连乘的形式表示，不能写成乘法算式。如：

2×2×2×3＝24是错误的写法。

【课本难题解答】

练习十三第17题

分析：用1、5、6在三个数字可以组6个三位数。判断哪些数含有质因数3，又含有质因数5和哪些数含有质因数2又含有质因数3时，要先把每个数分解质因数。

解：用1、5、6可以排列成下面6个三位数：

156、165、516、561、615、651。

其中165和615既含有质因数3，又含有质因数5；156和516既含有质因数2，又含有质因数3。

练习十三第18题

分析：因为3、5、7三个质数相乘就超过100了，所以三个不同的质数不能都大于3。这样100以内是3个不同质数的乘积的数有：2×3×5＝30，2×3×7＝42，2×3×11＝66，2×5×7＝70，即30、42、66、70这四个数。

解：有30、42、66、70这四个数。

能力拓展

【发散思维导训】

导一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，写出这样的两位数。

分析：两位质数有11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，显然，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数的有9个数。

解：这样的两位数有11、13、17、31、37、71、73、79、97。

训1 A是小于10的一个质数，A＋40是质数，A＋80也是质数人是多少？

训2 A和 B都是质数，A＋B小于100且是 7的倍数，如果 A＋B又是奇数，那么A×B是多少？

【作业优化设计】

1.填空。

（1）一个数（），这样的数叫做质数。

（2）一个数（），这样的数叫做合数。

（3）20以内的质数有（）。

（4）把一个合数（），叫做分解质因数。

（5）一个数既是18的约数，又是18的倍数，把它写成两个质数相加的形式是( )或（）。

（6）最小的合数是（），最小的质数是（），既是偶数又是质数的数（），即是奇数又是合数的数最小是（）。

（7）10以内所有质数的积减去最小的三位数，差是（）。

（8）20以内差为1的两个合数有( )和( )，( )和( )，( )和( )，( )和( )四对。

（9）一个两位数质数，它个位上的数与十位上的数交换位置后，仍是一个质数。这样的数有（）。

（10）把下面两个数写成几个质数和的形式：

15＝( )＋( )

20＝( )十( )＝( )＋( )

2.判断。(对的打“√”，错的打“×”)

（1）自然数不是质数就是合数。( )

（2）所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。( )

（3）把24分解质因数可以写成 24＝1×2×2×2×3。( )

（4）两个数的全部质因数相同，这两个数一定相同。( )

（5）只有两个约数的数，一定是质数。( )

（6）两个自然数的和一定是合数，两个质数的和一定是偶数。( )

（7）2和5都是质因数。( )

（8）1是自然数，但它不是质数，也不是合数。( )

（9）合数有3个约数。( )

（10）质数只有两个约数。( )

3.按要求写数。

（1）一个四位数，个位上的数既不是质数也不是合数，十位上的数既是质数又是偶数，百位上的数是最小的合数，千位上的数既是奇数又是合数，这个四位数是（）。

（2）能同时被3、5整除的最小的三位数是（）。

（3）两个质数和为18，积是65，这两个质数是( )和（）。

4.选择题。

（1）把36分解质因数可以写成（）。

①36＝4×9 ②36＝1×2×3×2×3

③36＝2×3×2×3

(2)因为210＝2×3×5×7，所以说( )。

①210有四个不同的约数