数学物理方法复习

说明 1. 解析是与区域相对应的； 2. 函数在等点解析是比可导严格得多的条件，两 者并不等价，由定义解析必可导， 反之则未必。
3.若f(z)在点z0不解析，则z0称为f(z)的奇点。
解析函数的主要性质
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析， 则u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线。
若 f ( z ) 在闭单连通区域 B 上解析， l 是 B
内任一分段光滑的闭合曲线，则
∫l f (z) dz = 0
复连通区域的柯西定理：
若 f ( z) 是闭复连通区域上的单值解析函数，则
n
∫l
f
( z)dz + ∑ i =1
∫li
f
( z)dz
=0
其中 l 为区域外境界线，各 li 为区域内境界线，
，l 是圆周 z = 2
.
解: 在圆 z < 2 内,除 z = ±1 外均解析,
以
z
=
±1
为中心,以
y
12为半径作两圆 l1 和
l2
,
l l1
l2
o
x
由柯西定理得: 其中
∫ ∫ ∫ dz = dz + dz
l z2 −1 l1 z2 −1 l2 z2 −1
∫ ∫ ∫ l1
dz z2 −1
=
1 2
(1)在 z < 1内,
y
由于 z < 1, z < 1.有 2
∑ 1
∞
= zk,
1 − z k=0
o +1 +2 x
∑ 1 = 1 ⋅ 1 = 1 ∞ z k
2 − z 2 1− z 2 k=0 2k 2
∑ ∑ ∑ 从而
1. u(x, y), v(x, y)在(x, y)点处可微；
2. 在(x, y)点处满足Cauchy − Riemann条件
⇒
⎧ ∂u
⎪⎪ ∂x
⎨ ⎪
∂v
= =
∂v ∂y − ∂u
⎪⎩∂x ∂y
极坐标形式
3、解析函数的概念，主要性质。
设函数w=f(z)在点z0的某邻域内处处可导，则 称函数f(z)在点z0处解析；又若f(z)在区域B内的 每一点解析，则称f(z)在区域B内是解析函数。
教学提示：
掌握复变函数积分的定义、计算、与实变函 数积分的关系及性质。掌握柯西定理的条件与结 论。掌握柯西公式的条件与结论以及柯西公式的 一些重要推论。
1、重要积分：P35
∫ dz
z−a =ρ (z − a)n
=
⎧2π
⎩⎨0
i
n =1 n ≠1
特点:结果与积分路线的圆周中心及半径无关
2、单、复通区域的柯西定理（Cauchy） ：P30
a，有
∫ ∑ ∫ f (a) = 1 f (z) dz + 1 n f (z) dz
2π i C0 z − a
2π i
j =1
C
− j
z−a
第三章 幂级数展开
幂级数展开教学大纲内容
幂级数是研究解析函数的一个重要工具，把 解析函数表成级数具有理论意义和实用价值。洛 朗展开与下章的留数及留数定理有必然联系。 教学提示：
支
L
n
z
=
n ⋅ 2π i
+
(z
−1)
−
(z
−1)2
+L
2
n = 0, ±1, ±2,L ( z −1 < 1)
对应n=0的单值分支称为lnz的主值；
每一单值分支不能包含支点，所以收敛圆为 z −1 < 1
或
R = lim ak = lim k +1 = 1
a k k→∞ k +1
k →∞
先将主值分支展开 L n z = ln z + n ⋅ 2π i
解： ux = 2x + y uy = −2 y + x 由C-R方程 vy = ux = 2x + y
v = 2xy + 1 y2 + ϕ ( x)
2
vx = 2 y +ϕ′( x) = −uy = 2 y − x
∴ϕ′( x) = −x ϕ ( x) = − 1 x2 + C
2
f
(z)
=
x2
−
vx = 6xy + ϕ′( x) = −uy = 6xy ⇒ϕ′(x) = 0 ϕ (x) = C
v = 3x2 y − y3 + C
( ) ∴ f ( z ) = u + iv = x3 − 3xy2 + i 3x2 y − y3 + C
= ( x + iy)3 + iC
= z3 + iC
5：已知 u ( x, y) = x2 − y2 + xy 求解析函数 f ( z) = u ( x, y) + iv ( x, y)
函数F (z) ，使 F (z) 的解析区域B含有 b，并且在b上 F (z) 等同于 f (z) ，此即为 解析延拓，它扩大了解析函数的定义域。
解析延拓的唯一性：(用不同方法延拓结果一样）
B
.2
1 z0
b
f (z) 在b 上解析，设用两种方法延
拓明到，B上F，1 ( z得)与函数FF2 1((zz))
数学物理方法
复习
第一篇 复变函数论
第一章 复变函数
复变函数教学大纲内容
复变函数及导数的定义、性质，解析函数 的特点与性质以及与平面标量场的联系。 教学提示：
理解复变函数的定义，区域的基本概念，复变 函数与实变函数的区别与联系。理解复变函数导 数的定义，可导的条件以及柯西——黎曼方程。 理解解析函数的定义，掌握解析函数的主要性质。 了解物理中能用复势表示的平面标量场。
y2
+
xy
+
⎛ ⎜⎝
1 2
y2
+
2xy
−
1 2
x2
⎞ ⎟⎠
i
+
iC
又 f (0) = 0 ，则 C = 0
f
(
z)
=
(
x
+
iy
)2
−
1 2
i
(
x
+
iy
)2
=
⎛⎜⎝1 −
1 2
i
⎞ ⎟⎠
z2
第二章 复变函数的积分
复变函数的积分教学大纲内容
复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工 具。解析函数的许多重要性质都和复积分有关。如： 要证明“解析函数的导数连续性”及“解析函数的 各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的 问题一般都要用复变积分加以讨论。柯西定理和柯 西公式是复变函数理论的重要基础。
1、常见初等函数的表达式，注意其中的周期函数，
多值函数。（P7-8）
ez = ex (cos y + i sin y)
⎧⎪⎪sin ⎨
Z
=
1 2i
(eiZ
−
e − iZ
)
⎪ ⎪⎩
cos
Z
=
1 2
(eiZ
+
e−iZ )
⎧具有纯虚数
⎨ ⎩
周期2π i
⎧ 有实周期2π
⎨⎩模可以大于1
⎧⎪⎪s hZ ⎨
=
最后得出
ln 0
(1 +
z)
=
z
−
z2 2
+
z3 3
−L+
( ) −1 n−1
zn n
+L
而 L n (1+ z) 的其他各支应该是
ln k
(1 +
z)
=
2kπ i
+
z
−
z2 2
+
z3 3
−L+
( ) −1 n−1
zn n
+L
k = 0, ±1, ±2,L ; z < 1
【解】我们知道， ln(1+ z) 在支从点−为1 向左沿z =负−实1,轴剪∞开的平面
推论②： 对闭路积分，l 形变，只要不跳过孔，
积分值也不变。
n
∫ f (z)dz = ∑ ∫ f (z)dz
l
j =1 l j
一个解析函数沿闭曲线的积分,不随闭曲线在区 域内作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中， 曲线不经过不解析点,则积分值不变.此称为闭路变 形原理。
3：计算
∫ dz
l z2 −1
展成z的幂级数：
f
′
(
z
)
=
1
1 +
z
,L
f
(
n)
(
z
)
=
(
−1)n
−1
(n −1)! (1+ z)n
,L
泰勒系数为
f (n) (0) = ( ) −1 n−1
n!
n
n=1，2，3，…
因为 f ( z) = ln0 (1+ z) 是主值，在1+z取正实数时，
f ( z) = ln0 (1+ z) 取实数，于是有 f (0) = 0
z内0 是= 解0 不析为的支，点而，−1最是近它支的点一为个z奇=点−1，, 所以它在 z < 1内可以
展开成 z 的幂级数.
∑ 因为[ln(1+ z)]′ =
1
∞
= (−1)n zn , ( z < 1),
1+ z n=0