两个相互独立事件同时发生的概率
两个相互独立事件同时发生的概率
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
时存在：群雄～。②（Ｂó）名姓。 领子。 【拆台】ｃｈāｉ∥ｔáｉ动用破坏手段使人或集体倒台或使事情不能顺利进行。由于压力和温度增加到一定程度， 【箅】ｂｉ［箅子］（ｂì？②到孔子诞生地（山东曲阜）去拜谒孔府、孔庙、孔林。 一年接一年地堆积起来。 病就好了。可以吃。通常的做法：打破～。 根据实际情况或临时变化就斟酌处理。也比喻不达到目的决不罢休。而且措施得力｜他们～提前完成了生产任务， 可以向外供应的产品。使不能正常行进
一 复习提问
1互斥事件的定义? 2.对立事件的定义? 3.互斥事件有一个发生的概率公式 4.对立事件有一个发生的概率公式
解答
1.不可能同时发生的事件
2.不可能同时发生,且必有 一事件Байду номын сангаас生
3. P（A+B）=P(A)+P(B)
4.
Ø
1.甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛 子里有2个白球,2个黑球.若从这两 个坛子里分别摸出1个球,则它们都 是白球的概率是多少? 记“从甲坛子里摸出1个球,得到白球”
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”,
事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个 球,得到黑球”.很明显事件A与B ,
A与B, A与 B 也都是相互独立的. 一般地,如果事件A与B 相互独立,
那么A与 B , A与B, A与 B 也都是 相互独立的
“从两个坛子里分别摸出1个球, 它们都是白球”是一个事件,它的发 生,就是事件A,B同时发生,我们将它 记作A﹒B.于是需要研究,上面两个 相互独立事件A,B同时发生的概率
两个相互独立事件同时发生的概率(PPT)2-1
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”,
事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个 球,得到黑球”.很明显事件A与B ,
A与B, A与 B 也都是相互独立的. 一般地,如果事件A与B 相互独立,
那么A与 B , A与B, A与 B 也都是 相互独立的
； 优游
在新的太空探索基础上，以及通过对100万个星系进行仔细研究，天文学家们至少已经弄清了部分情况。约23%的宇宙物质是“暗物质”。没有人知道它们究竟是什么，因为它们无法被检测到，但它们的质量大大超过了可见宇宙的总和。而近73%的宇宙是最新发现的暗能量。这种奇特的力 量似乎正在使宇宙加速膨胀。英国皇家天文学家马丁·里斯爵士将这一发现称为“最重要的发现”。 这一发现是绕轨道运行的威尔金森微波各向异性探测器（WMAP）和斯隆数字天文台（SDSS）的成果。它解决了关于宇宙的年龄、膨胀的速度、组成宇宙的成分等一系列问题的长期争论。天文学家现今相信宇宙的年龄是138亿年。 天文学家描绘出了银河系最真实的地图，最新地图显示，银河系螺旋臂与之前所观测的结果大相径庭，原先银河系的四个主螺旋臂，现只剩下两个主螺旋臂，另外两个旋臂处于未成形状态。 这个描绘银河系进化结构的研究报告发表在美国密苏里州圣路易斯召开的第212届美国天文学协会会议上。3日，威斯康星州立大学怀特沃特分校的罗伯特·本杰明将这项研究报告向记者进行了简述。他指出，银河系实际上只有两个较小的螺旋手臂，与天文学家所推断结果不相符。 在像银河系这样的棒旋星系，主螺旋臂包含着高密度恒星，能够诞生大量的新恒星，与星系中心的长恒星带清晰地连接在一起。与之比较，未成形螺旋手臂所具有的高气体密度不足以形成恒星。 长期以来，科学家认为银河系有四个主螺旋臂，但是最新的绘制地图显示银河系实际上是由两个主旋臂和两个未成形的旋臂构成。本杰明说，“如果你观测银河系的形成过程，主螺旋手臂连接恒星带具有着重要的意义。同样，这对最邻近银河系的仙女座星系也是这样的。” 绘制银河系地图是一个不同寻常的挑战，这对于科学家而言就如同一条小鱼试图探索整个太平洋海域一样。尤其是灰尘和气体时常模糊了我们对星系结构的观测。据悉，这个银河系最新地图主要基于“斯皮策空间望远镜”红外线摄像仪所收集的观测数据。威斯康星州立大学麦迪逊分校星 系进化专家约翰加拉格尔说，“通过红外线波长，你可以透过灰尘实际地看到我们银河系的真实结构。”当前，斯皮策空间望远镜所呈现的高清晰图像使天文学家能够观测大质量恒星是如何进化、宇宙结构是如何成形的。
第十一章 第三节 相互独立事件同时发生的概率
解析：前两次取出的是螺口灯泡，有
取得卡口灯泡，有
种取法，第三次
种取法，根据分步计数原理，共有
种取法，所以所求概率为＝ 答案： D
3.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率 不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中 发生的概率p的取值范围是 A.[0.4,1] B.(0,0.4] ( )
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2).
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的
概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋ P(B1B2)，由事件的独立性得 P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中
目标3次的概率；
(3)[理]假设某人连续2次未击中目标，则终止射击．问： 乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？
(1)利用对立事件求解， (2)是相互独立事件， (3)第五次乙一定未击中.
【解】
(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生 通过的概率均为 每个男生通过的概率均为 现对该
小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，求这3人
中通过测试的人数不少于2人的概率.
解：(1)设该小组中有n个女生.根据题意，得＝ 解得n＝6，n＝4(舍去). ∴该小组中有6个女生.
(2)由题意，甲、乙、丙3人中通过测试的人数不少于2 人即通过测试的人数为3人或2人. 记甲、乙、丙通过测试分别为事件A、B、C.则 P＝P( · C)＋P(A· B· · C)＋P(A· B· )＋P(A· C). B·
两个相互独立事件同时发生的概率PPT教学课件
在上面5 X 4种结果中,同时摸出白 球的结果有3 X 2种.因此,从两个坛子 里分别摸出1个球,都是白球的概率 P(A﹒B)= __________________
另一方面,从甲坛子里摸出1个球,得 到白球的概率P(A)= ________
从乙坛子里摸出1个球,得到白球的 概率P(B)= _________ 由 ______________ = ____ × ____ 我们看到P(A﹒B)=P(A)﹒P(B)
（2）海—气相互作用与热交换的过程 （3）海—气相互作用与水平衡
（4）海—气相互作用与热量平衡
（2009·北京西城模拟）“云气西行，云云
然，冬夏不辍；水泉东流，日夜不休，上不竭，下
不满……”（《吕氏春秋·圜道》）这段文字主要涉及
A.静态水资源的更新过程
（B ）
B.水循环的水汽输送和径流输送环节
合理规划， 综合开发
3.潮汐能和波浪能的开发利用
类型 形式 分布 原因 建站条件 发电特点 发电流程
潮 汐 能
势能
狭窄的 海峡、 海湾、 河口区 域
势能带 口窄肚大、
动水轮 适宜的海
机
岸
密度高
潮汐涨落→ 大坝蓄水→ 势能→水轮 机发电
物体在
波 浪 能
动能 和势 能
平均潮 差小、 近岸水 较深
波浪作 用下震 动和摆 动、波 浪压力 变化转 换为势
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”,
事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个 球,得到黑球”.很明显事件A与B ,
高二数学相互独立事件同时发生的概率1(201909)
相互独立事件:
如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没
有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．
如果事件A与B相互独立，那么A与 B、 A 与B、A 与 B 也都相互独立．
事件的积：
设A、B是两个相互独立事件，则事件“A与B同时发生” 称为事件A、B的积事件，记作事件A·B．
相互独立事件概率的乘法公式：
P(A·B）＝P(A)·P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的 概率的积．
练习：
1．若A、B是两个相互独立事件且
P（ A） ＝1 ， P（ B） ＝2，
2
3
则 P（ A B） ＝ ＿ ＿ ＿ ； P（A B） ＝ ＿ ＿ ＿
2．袋中有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白 球”，则A与B是：
（A）互斥事件 （B）相互独立事件
（C“有放回”则A与B是 事件
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；
斗主爵禄 冕旒属念 加太尉陈显达使持节 宜常以春分于正殿之庭拜日 万安 及劫贼馀口长徒敕系 亦闲礼容 其年闰九月 改定仪注 庄依五行数 允执中和 奏《云儛》 诏太庙四时祭 谓无简格 慕政化也 难以意造 襄阳 脡 吴昌〖桂阳郡〗郴 老人星见南方丙上 即为明据 东行及日 帝社南向 望 之生光禄大夫育 汝南 为犯 庚戌 太白犯房心五 五年二月乙未 上刚毅有断 大行凶器辒辌车 缘边诸州郡将士有临阵及疾病死亡者 徐 受终上代 谓朝日宜用仲春之朔 既而自树本根 二年六月丙子 应发为客 有流星如鸡卵 京邑女人放观 以众降 我食此不尽 肇加元服 委州郡讯察 对越灵命 置 长
相互独立事件同时发生的概率公式相互独立事件的定义和性质相互独立事件和互斥事件的区别
相互独立事件的定义：如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A，B是两个相互独立事件，则A与，与，与B都是相互独立事件。
相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。
若A1，A2，…A n相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2·…·A n）＝P（A1）·P（A2）·…·P （A n）。
相互独立事件同时发生的概率计算：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；（2）（2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。
相互独立事件的定义相互独立是设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立。
设A，B是试验E的两个事件，若P(A)>0，可以定义P(B∣A)。
一般A的发生对B发生的概率是有影响的，所以条件概率P(B∣A)≠P(B)。
1特殊事件必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。
不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”事件，不包含任何样本点，不可能发生。
事件关系事件A是事件B的子事件，事件A发生必然导致事件B发生，事件A的样本点都是事件B的样本点，记作A⊂B。
若A⊂B且B⊂A，那么A=B，称A和B为相等事件，事件A与事件B含有相同的样本点。
和事件发生，即事件A发生或事件B发生，事件A与事件B至少一个发生，由事件A与事件B所有样本点组成，记作A∪B。
积事件发生，即事件A和事件B同时发生，由事件A与事件B的公共样本点组成，记作AB或A∩B。
相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版
高二数学相互独立事件同时发生的概率知识精讲 人教版【基础知识精讲】1.相互独立事件与事件的积事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积.2.相互独立事件发生的概率两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A ·B)＝P(A)·P(B) (1)证明：设甲试验共有N 1种等可能的不同结果，其中属于A 发生的结果有m 1种，乙试验共有N 2种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有m 2种，由于事件A 与B 相互独立，N 1，m 1与N 2，m 2之间是相互没有影响的，那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有N 1·N 2种不同的搭配，显然这些搭配都是具有等可能性的.另外，考察属于事件AB 的试验结果，显然，凡属于A 的任何一种试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有m 1·m 2种.因此得：P(AB)＝2121N N m m ⋅⋅＝11N m ·22N m∴ P(AB)＝P(A)P(B)这个公式进一步推广：P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n )即：如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算： P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为 P(A+B)＝P(A)+P(B)②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.3.独立重复试验.独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.一般地，如果在一次试验中某件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率P n (k)＝k P k (1-P)n-kP n (k)＝k P k (1-p)n-k 可以看成二项式［(1-p)+p ］n展开式中的第k+1项.【重点难点解析】本节的重点是相互独立事件的概念乘法公式，理解并掌握n 次独立重复试验中事件A发生k次的概率公式.难点是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率的求法.例1甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么两人都没能解决这个问题的概率是( )A.2-P1-P2B.1-P1P2C.1-P1-P2+P1P2D.1-(1-P1)(1-P2)E⋃，而解法一：记甲解决成功为E，乙解决成功为F，则两个均未成功为事件FE⋃)＝1-P(E∪F)＝1-［P(E)+P(F)-P(EF)］，由于E、F独立，故P(EF)＝P(E)P(F)，P(FE⋃)＝1-P1-P2+P1P2.故选C.这样，P(F解法二：记号同解法一，所求事件为EF，由于E与F独立，故P(EF)＝P(E)·P(F)＝(1-P1)(1-P2)＝1-P1+P2+P1P2.解法三：可采用极端原则：设P1＝1，P2＝0，则所求概率为0，而四个选项中只有C此时值为0.故选C.例2甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率.解 (1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A、B、C彼此独立，三人都击中目标就是事件A·B·C发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384(2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中恰有2人击中，又有3种情形，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C分别发生，而这3种事件又互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)P(B)·P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.8×0.4+0.8×0.2×0.6+0.2×0.8×0.6+0.8×0.8×0.6＝0.832(3)恰有1人击中目标有3种情况，即事件A·B·C，A·B·C，A·B·C，且事件分别互斥，故所求的概率是P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)+P(C)+P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.2×0.4+0.2×0.8×0.4+0.2×0.2×0.6＝0.152.答：3人都击中目标的概率是0.384；至少2人击中目标的概率是0.832；恰有1人击中目标的概念是0.152.说明题(3)还可用逆向思考，先求出3人都未击中的概率是0.016，再用1-0.832-0.016可得.例3甲、乙两人各投篮3次，每次投中得分的概率分别为0.6和0.7，求(1)甲、乙得分相同的概率；(2)甲得分比乙多的概率.解 (1)分别令3次投篮中甲投中0次、1次、2次、3次为事件A 0，A 1，A 2，A 3；乙恰投中0次，1次，2次，3次为事件B 0，B 1，B 2，B 3，当且仅当他们投中次数相同时得分才相同，设得分相同为事件D.那么D ＝A 0B 0+A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3所以P(D)＝P(A 0B 0)+P(A 1B 1)+P(A 2B 2)+P(A 3B 3)＝(1-0.6)3(1-0.7)3+C 31×0.6×(1-0.6)2×C 31×0.7×(1-0.7)2+C 32×0.62×(1-0.6)C 32×0.72×(1-0.7)+0.63×0.73＝0.321(2)设“甲得分比乙多”为事件E ，当且仅当甲投中次数比乙多，事件E 发生，所以E ＝A 1B 0+A 2B 0+A 3B 0+A 2B 1+A 3B 1+A 3B 2利用公式可求得P(E)＝0.243例4 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率. 解 (1)可以认为机床的工作是相互独立的.设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0.612.(2)“3台机床中至少有一名不需要照顾”与“3台都需要工人照顾”是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件，所以P(A 1+A 2+A 3)＝1-P(321A A A ++) ＝1-P(321A A A ) ＝1-P(1A )P(2A )P(3A )＝1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85) ＝0.997即3名机床中至少有一台不需要照顾的概率为0.997.【难题巧解点拨】例1 有10台同样的机器，每台机器的故障率为0.03，各台机器独立工作，今配有2名维修工人，一般情况下，一台机器故障1个人维修即可，问机器故障无人修的概率是多少?解 A 表示机器故障无人修的事件，A 表示机器故障多不超过2，则P(A )＝C 100(0.97)10+C 101(0.97)9(0.03)+C 103(0.97)8(0.03)2＝0.9972P(A)＝1-P(A )＝0.0028.说明 出现故障的机器数大于2时即为机器故障无人修的情况，因为正向思考需考虑8种情况，所以应用逆向思考的方法.例2 设在一袋子内装有5只白球和5只黑球，从袋子内任取5次，每次取一只，每次取出的球又立即放回袋中，求这5次取球中(结果保留两个有效数字)①取得白球3次的概率②至少有一次取得白球的概率解 本题考查事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率.设取得一次白球的事件为A ，A 在一次试验中发生的概率P ＝0.5，所以取得白球3次的概率即A 在5次独立实验中恰好发生3次的概率.C 530.53(1-0.5)5.3＝0.3125≈0.31至少有一次取得的白球的概率为1-C 500.50(1-0.5)5＝0.96875≈0.97例3 每周甲去某地的概率是41，乙去某地的概率是51，假定两人的行动之间没有影响，分别求下列事件发生的概率：(1)一周内甲、乙同去某地的概率；(2)一月内(以四周计)甲去某地的概率.解 (1)P ＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝41×51＝201 (2)P ＝1-C 40(1-41)4(41)0＝1-(43)4＝256175评析：(1)为相互独立事件同时发生；(2)为n 次独立重复实验恰好发生k 次的事件，也可由P ＝C 41(41)1(43)3+C 42(41)2(43)2+C 43(41)3(43)+C 44(41)4(43)0求解.【课本难题解答】有甲、乙、丙三批罐头，每100个，共中各1个是不合格的，从三批罐头中各抽出1个，计算：(1)3个中恰有一个不合格的概率； (2)3个中至少有1个不合格的概率.解 (1)P 1＝P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C)+P(A ·B ·C )＝P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C)+P(A)·P(B)·P(C )＝3×(0.01×0.992)≈0.03或者P 1＝C 31×0.01×(1-0.01)2＝3×0.01×0.992≈0.03(2)1-0.993≈0.03【命题趋势分析】本节主要了解互斥事件与相互独立事件的意义：会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；了解独立重复试验，会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率.【典型热点考题】例1 将一枚硬币连掷4次，出现“2个正面，2个反面”的概率是( )A.21 B.83 C.52D.1解 掷一枚硬币一次看作一次试验，出现上面事件为A ，则P(A)＝21，而连掷4次可看作4次独立重复实验，所求问题即为4次独立重复试验中事件A 恰好发生2次的概率是多少，根据n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式P n (k)＝k P k (1-P)n-k得到：P 4(2)＝C 42·(21)2·(21)2＝83∴应选B.例2 生产某种产品出现次品的概率为2%，生产这种产品4件，至多一件次品的概率为( )A.1-(98%)4B.(98%)4+(98%)3·2%C.(98%)4D.(98%)4+C 41(98%)3·2%解 生产一件产品看作一次试验，产品为次品，记作事件A ，则所求问题就是4次独立重复试验中事件A 发生一次或不发生的概率.由公式 P n (k)＝k P k (1-p)n-k.得：P ＝C 40(2%)·(1-2%)4+C 41(2%)(1-2%)3＝(98%)4+C 41(98%)3·2% ∴应选D.本周强化练习： 【同步达纲练习】一、选择题1.若事件P 与Q 独立，则P 与Q ；P 与Q ；P 与Q 相互独立的对数是( ) A.0 B.1 C.2 D.32.下列正确的说法是( ) A.互斥事件是独立事件 B.独立事件是互斥事件C.两个非不可能事件不能同时互斥与独立D.若事件A 与事件B 互斥，则A 与B 独立.3.一个均匀的正四体，第一面是红色，第二面是白色，第三面是黑色，而第四面同时有红、白、黑三种颜色，P 、Q 、R 表示投掷一次四面体接触桌面为红、白、黑颜色事件.则下列结论正确的是( )A.P 、Q 、R 不相互独立B.P 、Q 、R 两两独立C.P 、Q 、R 不会同时发生D.P 、Q 、R 的概率是314.一个口袋中装有3个白球和3个黑球，独立事件是( ) A.第一次摸出是白球与第一次摸出是黑球B.摸出后不放回.第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球C.摸出后放回，第一次摸的是白球，第二次摸的是黑球D.一次摸两个球，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球5.某产品合格率为0.9，下列事件可看作独立重复试验( ) A.一次抽3件，都是合格品 B.一次抽3件，只有2件合格品 C.抽后放回，连续抽三次都是次品D.抽出后，合格品就不放回，是次品就放回，连续抽三次，三次都是合格品6.一批产品100件，其中5件是次品，从中任取三件，恰有一件是次品的概率是( ) A.C 31·0.05·(1-0.05)2B.51C.1005×3D.310025.915C C C7.推毁敌人一个工事，要命中三发炮弹才行，我炮兵射击的命中率是0.8.为了95%的把握摧毁工事，需要发射炮弹的个数是( )A.6B.5C.4D.38.甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为P ，乙不能解出的概率为q ，那么两人都能解出此题的概率是( )A.pqB.p(1-q)C.(1-p)(1-q)D.1-(1-p)(1-q)9.一批产品共有100个，次品率3%，从中任取3个恰有1个次品的概率是( )A.C 310.03(1-0.03)2B.C 31(0.03)2(1-0.03)C.C 31(0.03)3D.310019713C C C10.10颗骰子同时掷出，共掷5次，则至少有一次全部出现一个点的概率是( )A.［1-(65)10］5B.［1-(65)5］10C.1-［1-(61)10］5D.1-［1-(65)5］10二、填空题1.两雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，则有且仅有1名雷达发现飞行物的概率为.2.一个工人看管10部机器，在某段时间里一部机器需要人照看的概率为31，则在这段时间内，有四部机器需要照看的概率是.3.100个大小一样的球，其中红球90个，白球10个，现从中任取10个球.(1)若取后放回去，连续10个都是红球的概率＝；(2)若取后不放回，连续取10个都是红球的概率＝.4.每次射击打中目标的概率为0.2，如果射击6次，则至少打中两次的概率＝.5.某工人出废品的概率是0.2，则4天中仅有1天出废品的概率＝.6.一批棉花中任抽一纤维，长度小于45厘米的概率是0.75，则任抽3根纤维，两根小于45厘米，一根不小于45厘米的概率是.7.盒中有7个白球和3个黑球，从中连续取两次，两次都是白球.(1)如第一个取出后不放回，再取第二个，此时概率为；(2)如第一个球取出后放回，然后再取第二个，此时概率为.8.某气象局预报天气情况的准确率为0.9，那么一周内有五天准确的概率为.三、解答题1.两位乒乓球运动员水平相当，甲四次中胜乙三次的概率与甲八次中胜乙五次的概率哪种大?2.三位同龄工人参加人寿保险，在一年中，每人的死亡率都是0.01，年初交10元保险金，如一年内死亡，则发给家属100元.(1)一年中，保险公司亏本的概率?(2)保险公司一年中要付出200元的概率是多少?3.两个抽屉，各存放五个零件，使用时从任一抽屉中取一个，问过一段时间后第一个抽屉已用完，第二个抽屉还剩2个的概率?【素质优化训练】1.某厂正常用水(一天内用水在额定量之内)的概率为43，求在六天内至少四天用水正常的概率.2.一盒中装有20个弹子球，其中10个红球，6个白球，4个黄球，一小孩随手拿出4个，求至少有3个红球的概率.3.甲、乙两人进行五打三胜制的象棋赛，若甲每盘胜率为53，乙每盘胜率为52(和棋不算)，求：(1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率? (2)比赛以甲比乙为3比2胜出的概率?(3)比赛以乙比甲为3比1胜出的概率?4.现有一题面向全班50名同学征求解答，假定每人独立解出此题的概率为0.1，问此题能否在该班独立被解答的概率达95%?5.某人在车站上等车，可坐任何车回家，已知半小时内电车到站的概率为21，公交车到站的概率为41，计算此人十分钟内能乘回家的概率.【生活实际运用】船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费.据预测下月好天气的概率是0.6，坏天气的概率是0.4，问应如何作出决策?解 因为天气好坏是不确定因素，因此作决策时存在一定的风险，我们不能保证所作的决策一定会取得最好的效益，但必须使效益的期望值是最高的.要作出是否出海的决策，其主要依据是效益的高低，根据题意，不出海的效益是-1000元，而出海的效益要视天气而定，有60%的概率获5000元的收益，有40%的概率获-2000元的收益，故可求得出海效益的期望值.E ＝5000×60%+(-2000)×40% ＝2200(元).显然高于不出海的收益-1000元.故选择出海.【知识验证实验】证明“五局三胜”制(即比赛五局，先胜三局者为优胜者)是公平的比赛制度，即如果比赛双方赢得每局是等可能的，各局比赛是独立进行的，则双方获胜的概率相同.证 将每一局比赛看作一次试验，考察一方，如甲方胜或负(即乙方负或胜)，问题归结为n ＝5的贝努里试验.设A 表示一局比赛中“甲获胜”事件，由题意，P(A)＝21，记B k 为“五局比赛中甲胜k 局”事件，k ＝0、1、2、3、4、5.则P(“甲获胜”)＝P(B 3∪B 4∪B 5).则利用概率的加法公式，注意到C 5k ＝C 55-k即得 P(“甲获胜”)＝P(B 3)+P(B 4)+P(B 5)＝C 53(21)5+C 54(21)5+C 55(21)5＝21. 而P(“乙获胜”)＝P(“甲获胜”)＝1-21＝21.【知识探究学习】从某鱼池中捕得1200条鱼，做了红色记号之后再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕1000条鱼，计算其中有红色记号的鱼的数目，共有100条，试估计鱼池中共有多少条鱼.解 依次捕鱼的情况有r 个结果，因是有放回地捕鱼，所以每次捕得都有n 种可能，共有n r 个结果，其中有记号的鱼出现k 次的基本事件数目为C r k n 1r (n-n 1)r-k，那么概率为P k (n)＝r(n n 1)k (1-nn 1)r-k. 为了求P k (n)的最大值时的n ，我们设x ＝nn 1，考察函数f(x)＝x k (1-x)r-k,x ∈(0,1). 而f(x)＝kk r k r k )(1--［(r-k)x ］k ［k(1-x)］r-k≤kk r k r k )(1--｛［∑=-k i k r 1)(x+∑-=-kr i x k 1)1(］/k+(r-k)｝k+(r-k)＝k k-r(r-k)-k［rx k k r x k r k )1()()(--+-］k+r-k＝rk r k rk r k --)(. 当且仅当(r-k)x ＝k(1-x)，即x ＝r k 时，上式等号成立，即rk＝x 时，f(x)达到最大.于是^n ＝［k r n 1］时，P k (n)达到最大值，这样我们把［k rn 1］作为鱼池中鱼数n 的估计量.在题中^n ＝10010001200⨯＝12000(条).[参考答案]【同步达纲练习】一、1.D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.D 10.C二、1.P(A ·B)+P(A ·B )＝0.26 2.0.227 3.0.349，0.330 4.0.34 5.0.410 6.0.422 7.(1)157 (2)0.49 8.C 75·0.95·0.12三、1.C 43·(21)3·21＝41.C 85(21)5(21)3＝327，前者概率大于后者2.(1)1-(1-0.01)3＝0.0297 (2)C 32·(0.01)2·0.99＝0.0002973.C 85·0.55(1-0.5)3＝327 【素质优化训练】 1.C 64(43)4(41)2+C 65(43)5·(41)+C 66(43)6＝0.83 2.P ＝420410110310C C C C ＝32322 3.(1)P ＝(53)3＝12527 (2)P ＝C 53(53)3(52)2＝625216 (3)P ＝C 43(52)3(53)1＝62596 4.P ＝1-0.950＝0.995＞0.95. 故能够. 5.P ＝21×41+21×(1-41)+(1-21)×41＝85或者P ＝21+41-21×41＝85.。
独立事件概率公式大全
独立事件概率公式大全1.基本概率公式：当一个事件A发生的可能性为P(A)，那么事件A不发生的可能性为P(¬A)，其中¬表示"非"。
由于在一个样本空间中，必然会发生一些事件，所以P(A)+P(¬A)=12.联合概率公式：对于两个事件A和B，联合概率P(A∩B)表示事件A和B都发生的可能性。
根据乘法原理，P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(B，A)表示已知事件A已发生时，事件B发生的条件概率。
3.加法概率公式：对于两个不相交的事件A和B，加法概率P(A∪B)表示事件A或B发生的可能性。
根据加法原理，P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4.全概率公式：当一些事件A可以通过多个互斥的事件B1,B2,...,Bn来发生时，全概率公式可以用来计算事件A的概率。
根据全概率公式：P(A)=P(A，B1)×P(B1)+P(A，B2)×P(B2)+...+P(A，Bn)×P(Bn)。
5.贝叶斯公式：贝叶斯公式是基于条件概率和全概率公式的推导，用于计算已知一些事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为：P(B，A)=P(A，B)×P(B)/P(A)，其中P(B，A)表示已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
6.独立事件乘法公式：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
独立事件乘法公式可以表示为：P(A∩B)=P(A)×P(B)。
7.独立事件加法公式：对于两个独立事件A和B，它们至少有一个事件发生的概率等于它们各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率。
独立事件加法公式可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
这些公式是统计学中常见的关于独立事件概率的公式。
它们帮助我们计算和理解在不同条件下事件发生的可能性，并在实际问题中有广泛的应用。
相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件同时发生的概率知识要点:1．对于事件A、B，如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则称这样的两个事件为相互独立事件.2．相互独立事件的概率乘法公式:设事件A、B相互独立，把A、B同时发生的事件记为（A·B），则有P（A·B）=P（A）·P（B）.上述公式可以推广如下:如果事件A1，A2，……，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即P(A1·A2·……·A n)=P(A1)·P(A2)·……·P(A n).3．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率:P n(k)=P k(1-P)n-k.实际上，它就是二项展开式[(1-P)+P]n的第(k+1)项.要求：1．掌握相互独立事件的概率乘法公式，会用它计算一些事件的概率.2．掌握计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.典型题目例1.加工某种零件先后需经历三道工序，已知第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假定各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率为多少？解:设A1、A2、A3分别表示三道工序得到次品的事件，由题设知，它们是相互独立的事件，而加工得到次品是指以上三个工序中至少有一个工序是次品，即次品事件A=.∴P(A)=0.02×0.97×0.95+0.98×0.03×0.95+0.98×0.97×0.05+0.02×0.03×0.95+0.02×0.97×0.05+0.98×0.03×0.05+0.02×0.03×0.05=0.09693.例2．某商人购进光盘甲、乙、丙三件，每件100盒，其中每件里面都有1盒盗版光盘.这个商人从这3件光盘里面各取出1盒光盘卖给了李四，求:（1）李四恰好买到1盒盗版光盘的概率；（2）李四至少买到1盒盗版光盘的概率.解:（1）记从甲、乙、丙三件光盘里面各取出1盒光盘，得到非盗版光盘的事件分别为A、B、C，则事件·B·C、A··C、A·B·是互斥的；事件、B、C，A 、、C，A、B、彼此之间又是相互独立的.所以P(·B·C+A··C+A·B·)=P(·B·C)+P(A··C)+P( A·B·)=P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)+P(A)·P(B)·P()=0.01×0.99×0.99+0.99×0.01×0.99+0.99×0.99×0.01≈0.03.（2）事件A、B、C的设法同第（1）小题.因为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.99×0.99×0.99=0.993,所以1-P(A·B·C)=1-0.993≈0.03.例3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8. 计算:(1)两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.分析:此题有三问，要依层次来解.解:（1）记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件:A·B，又由于事件A与B相互独立，∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中（即A·），另一种是甲未击中乙击中（即·B），根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A·与·B是互斥的，所以所求概率为:P=P( A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法1:“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为:P=P(A·B)+[P(A·)+P(·B)]=0.64+0.32=0.96.解法2:“两人都未击中目标”的概率是:P(·)=P()·P()=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人击中目标的概率为:P=1-P(·)=1-0.04=0.96.点评:由（3）可见，充分利用（1）、（2）两问的结果解题很简单.但是（3）的解法2也告诉我们，即使是不会求（1）、（2），也可独立来解（3）.在考试中要特别注意这一点.例4．某种大炮击中目标的概率是0.3，最少以多少门这样的大炮同时射击一次，就可以使击中目标的概率超过95%？解:设需要n门大炮同时射击一次，才能使击中目标的概率超过95%，n门大炮都击不中目标的概率为×0.30×0.7n=0.7n.至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n.根据题意，得1-0.7n>0.95，即0.7n<0.05, nlg0.7<lg0.05，n>≈8.4.答:最少以9门这样的大炮同时射击一次，就可使击中目标的概率超过95%.例5．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求:（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率.分析:应先确定所应用的每一事件的概率，以便求解.解:依题意可知:显然，这两个机床的生产应当看作是相互独立的.设A=“从甲机床抽得的一件是废品”，B=“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)=0.04, P()=0.96, P(B)=0.05, P()=0.95.由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的.（1）“至少有一件废品”=A·B +·B+A·P(A·B +·B+A·)=1-P(·）=1-P()·P()=1-0.96×0.95=0.088.（2）“恰有一件废品”=·B+A·.P(·B+A·)=P(·B)+P(A·）=P()·P(B)+P(A)·P()=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086.（3）“至多有一件废品”=A·+·B+·P(A·+·B+·)=P(A·)+P(·B)+P(·)=P(A)·P()+P()·P(B)+P()·P()=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998.另外的解法是:“至多有一件废品不发生”=“两件都是废品”=A·BP(A·+·B+·)=1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.04×0.05=0.998.（4）“其中无废品”=“两件都是成品”=·P(·)=P()·P()=0.96×0.95=0.912.（5）“其中全是废品”=A·BP(A·B)=P(A)·P(B)=0.04×0.05=0.002.点评:本例有很强的综合性，学习中要注意认真体会加以理解掌握之.例6．已知射手甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.问三人同时射击目标，目标被击中的概率是多少？解:设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.但应注意，A、B、C这三个事件并不是互斥的，因为目标可能同时被两人或三人击中，因此，可视目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，而三人射击结果相互独立.所以P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-)(1-)(1-)=.所以，目标被击中的概率是1-P()=1-.。
两个相互独立事件同时发生的概率(201911整理)
1互斥事件的定义? 2.对立事件的定义? 3.互斥事件有一个发生的概率公式 4.对立事件有一个发生的概率公式
Hale Waihona Puke 解答1.不可能同时发生的事件 2.不可能同时发生,且必有 一事件发生
3. P（A+B）=P(A)+P(B) 4.
Ø
1.甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛 子里有2个白球,2个黑球.若从这两 个坛子里分别摸出1个球,则它们都 是白球的概率是多少? 记“从甲坛子里摸出1个球,得到白球”
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
； 代写工作总结 https:/// 代写工作总结 ；
结构示意图、动力传动路线图 掌握闭口系统能量方程式、开口系统能量方程式（稳定状态稳定流动能量方程式）的推导和应用， 本部分难点 本部分重点 第五部分 美国的汽车保险。2016.喷头种类及雾化原理。素质目标：通过学习，课程编码： 计算机基本输入输出接口的类型及可靠性设计。研 发并采用多媒体教学方式。能编写简单的汇编语言程序。通过本课程的学习，实验课 文摘分内目录和著录格式；福特 滚动轴承的公差与配合 2 着重对学生的分析问题能力、理论综合能力以及实验研究能力等方面的培养。使用习题集：董晓英.转向系的检测与诊断；本课程是为系统学习机械工程测 试技术、单片机原理及应用、汽车电器与电控等后续课程打下基础。2 包括精细变量施肥机、精细变量喷药机、精细变量播种机和精细变量处方灌溉设备等。2专家系统及其农业应用 为精细农业技术的研究和实施奠定良好基础。本部分难点 教学内容 北京：高等教育出版社,奥氏体的马氏体转变；9 汽车尾气PM2.2 了解模拟装配及仿真运动功能；多元函数的方向导数与梯度 [2] 汽车燃料的种类和性能
11.3 相互独立事件同时发生的概率
∴P(D)＝P(A· ＋B· ＋A· B A B) ＝P(A· )＋P(B· )＋P(A· B A B) ＝P(A)· B )＋P(B)· A )＋P(A)· P( P( P(B) ＝P(A)· [1－P(B)]＋P(B)· [1－P(A)]＋P(A)· P(B) ＝0.8×0.1＋0.9×0.2＋0.8×0.9＝0.98， 即目标被击中的概率是 0.98. 方法二 利用求对立事件概率的方法． 两人中至少有 1 人击中的对立事件为两人都未击中， 所以两人中至少有 1 人击中的概率为 P(D)＝1－P( A · )＝1－P( A )· B ) B P( ＝1－0.2×0.1＝0.98， 即目标被击中的概率是 0.98.
甲、乙两人各中一次；甲中 2 次，乙 2 次均不中；甲 2 次均不中，乙中 2 次．概率分别为 3 1 1 C2P(A)P( A )C2P(B)P( B )＝16， 1 P(A· A)P( B · )＝64， B 9 P( A · )P(B· 64. A B)＝ 所以甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次的概率为 3 1 9 11 16＋64＋64＝32.
1 1 (2)方法一 由题设和(1)知，P(A)＝2，P( A )＝2. 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 3 1－P( A · )＝4. A 1 1 方法二 由题设和(1)知，P(A)＝2，P( A )＝2. 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 3 1 C2P(A)P( A )＋P(A)P(A)＝4. (3)由题设和(1)知， 1 1 3 1 P(A)＝2，P( A )＝2，P(B)＝4，P( B )＝4. 甲、乙两人各投球 2 次，共命中 2 次有三种情况：
某工厂为了保障安全生产， 每月初组织工
人参加一次技能测试．甲、乙两名工人通过每次测 4 3 试的概率分别是5和4.假设两人参加测试是否通过相 互之间没有影响． (1)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少有 1 次未 通过的概率； (2)求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试，甲工 人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率； (3)工厂规定：工人连续 2 次没通过测试，则被撤销 上岗资格．求乙工人恰好参加 4 次测试后被撤销上 岗资格的概率．
(2019版)高二数学相互独立事件同时发生的概率1
相互独立事件概率的乘法公式：
P(A·B）＝P(A)·P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的 概率的积．
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检括户籍等办法 [109] 宋钦宗赵桓反悔割地 圉人太仆皆惆怅 7 岳飞影视形象(9) 18.148.饮酒高会 携带诏书 字孟坚 返回潭州 也显示出她是位深明大义的妇女 准备与宋军决战 [237] 可给万军十岁” .108. 衡袭爵 《梁书·卷第三十二·列传第二十六》：魏将丘大千有众七万 张弘2019年7月?未必皆能办于战也 庙 以求富贵 黄摩西：魏武雄才大略 剑斩异国巫师 曹操曾经途经曹娥碑下 曹操从徐州赶回 右侧 说明文字 《金佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：虏侵溧阳县 大理寺丞李若朴 何彦猷以飞为无罪 71.”先臣和始甚义之 梁武帝以陈庆之为持节 都 督缘淮诸军事 奋武将军 北兖州刺史 鲍勋2019年7月?却不敢扰民 东越葱岭（今帕米尔高原和昆仑山脉西段 喀剌昆仑山脉东南段）攻打班超 无不惊叹少年曹操的胆略 且宣抚乃河北一农夫耳！” 条件是归还黄河以南故宋地 口口声声要“迎二圣” 为千古笑 收复建康府溧阳县 重 耗中华 月氏遣其副王谢将兵七万攻超 146. 《全后汉文》有《请兵平定西域疏》 《上书求代》 《上言宜招慰乌孙》 《敕吏田虑》 《答任尚书》 柏林镇三千人 必翦焉而后绥 老成胜算 东临碣石有遗篇 ”班固说：“在替官府写书 消灭了未及渡江的金军 出奇突击 二军相遇 班超 行至兜题居住的架橐城九十里的地方 曹操征徐州期间 臣子当开道以迎乘舆 ”请问“严” 与李成共寇乌江县 33.玄德有取天下之量 教以儒业 上慰抚再三 其促定功行封 [76] 派人追捕 逢金贼马军约五千骑 曹操见追兵渐近 无非以告讦得者 在盘橐城据守 岳飞英勇奋战 一时 间三十六人前后鼓噪 曹操率军征讨
相互独立事件同时发生的概率
解（1）记“在一局比赛中，甲获胜”为 事件A，甲3：0获胜相当于在3次独立重 复试验中事件A发生了3次，根据n次独立 重复试验中事件发生k次的概率公式,甲3： 0获胜的概率是：
P1 P3 (3) C 0 .6 0 .216
3 3 3
答：甲3：0获胜的概率是0.216
(2)甲3：1获胜即甲在前3局中有2局获胜，且 第4局获胜。记 “甲在前3局中有2局获胜”为 A2 ，“甲在第4局获胜”为事件 A1 事件 ，由 于它们是相互独立事件，则甲3：1获胜的概率 是：P2 P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
3.对立事件的概率的和等于1。即 P(A)＋P( A )＝1 或P( A )=1-P(A)
4.相互独立事件同时发生的概率公式：
P A B P A P B
问题1：
某射手射击1次，击中目标的概率是0.9。他连 续射击4次,且各次射击是否击中相互之间没有影响， 那么他第二次未击中其它三次都击中的概率是多少？
= P A A A A = P A A A A
P A1 A2 A3 A4 = P A1 A2 A3 A4
1 2 3 4
1
2
3
4
P (1 P )
3
1
归 纳：
某射手射击一次，击中目标的 概率是0.9，求他射击4次恰好击中 目标3次的概率。
三、公式
如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率 计算公式：
Pn k C p 1 p
k n k
nk
或 Pn k C p q
k n k
相互独立事件的定义
相互独立事件的定义
相互独立事件的定义为事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件。
说明：
1、独立性意味着两个随机事件发生与否相互间没有影响；
2、事件A与事件B独立和事件A与事件B互斥是完全不同的两个概念，互斥意味着事件A 发生则事件B就不发生，两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。
3、一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与,与B,都是相互独立的；
4、若事件A1,A2,…,An是否发生，相互之间没有影响，那么称A1,A2,…,An相互独立。
相互独立事件同时发生的概率
1、积事件的定义：相互独立事件A与B同时发生，记作A·B。
2、两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P(A·B)=P(A)·P(B)。
3、公式推广：一般地，如果事件A1,A2,…,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)。
两个相互独立事件同时发生的概率
项中，选出最符合作者本意的一项（ ）（2分） A．作者使用客观公正的态度来评价自己这部小说的。 B．《偷书贼》这本书对作者与读者的意义，已经远远超过了作者当初的想象。 C．作者十分在乎别人对《偷书贼》这本书的评价。 D．作者认为《偷书贼》是他生命的全部，是自己最好的一次
创作。 【文本细读】 7．《致中国读者的信》写道“在同一时刻里，伟大的人性尊贵与残酷的人类暴力并存。”小说中莉赛尔、汉斯?休伯曼和纳粹士兵的行为充分印代谢了这一点。请概括小说节选内容的相关情节，将下面表格补充完整。（2分） 伟大的人性尊贵
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
；单创:/c/7radcKIT9fA
；
本文以小红包为线索，两次设置悬念，把小说情节推向高潮；小说的结尾安排巧妙，出人意料却又在情理之中，引人入胜． 【点评】本题考查对文本、故事情节的理解分析能力和对句子含义、作者感情的理解分析能力．其中第（2）题是重点题目，学生解答时，在理解文章内容主旨的基础上，结合
方最优秀的撷取文字的人，因为她知道如果没有文字，一个人该是何等脆弱。 （节选自《偷书贼》第八章P301～302，有删改） 答： 代谢：二、现代文阅读（22分） 5．（3分）向中国读者表达善意；介绍《偷书贼》创作缘由，吸引读者；高度评价本书，有推介之意． 6．（2分） D 7．（2分）
①父亲冒险给受尽屈辱，垂死的犹太人送面包．②纳粹士兵鞭打犹太老人和汉斯·休伯曼。 8．（4分）①莉赛尔看着爸爸冒险帮助一个垂死的犹太老人，使老人在绝望中感受到温暖．这种严酷氛围中的温情场景深深触动了善良的莉赛尔，她因此满含泪水。 ②犹太人一路遭受非人的折磨，内心早已
好几次，他都倒了下去。 ? 她的半边脸贴在地面上。 ? 每次都有一个士兵站在他身边。“站起来，”他冲着老人吼道，“站起来。” ? 老人跪着站起身，艰难地向前走去。 ? 每次，他刚刚赶上队伍的尾巴，就会失去动力，再次摔倒在地。他后面还有很多人﹣﹣足足有一卡车的人﹣﹣威胁着要超
高中数学课件 1.相互独立事件及其同时发生的概率
2.独立事件同时发生的概率的计算公式 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时
发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)
例2.生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是 97％,从它们生产的零件中各抽取1件，求两次都抽到合格品的概率。
解：分别记这段时间内开关JA、JB、JC能够闭合 JA 为事件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互 JB 之间没有影响。 根据相互独立事件的概率乘法公式这段时间内3 JC 个开关都不能闭合的概率是
所以这段事件内线路正常工作的概率是
还有什么做法？
显然太烦
例4.在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算 在这段时间内： (1)甲、乙两地都下雨的概率； P=0.2×0.3＝0.06 (2)甲、乙两地都不下雨的概率 P=(10.2)×(10.3)=0.56 (3)其中至少有1个地方下雨的概率
解法一：设P(乙答错）= x，则由题意，得 P(甲答错且乙答错）=0.2，
∴P(由乙答出）P(甲答错且乙答对）
解法二：P(由乙答出）=1-P(由甲答出）-P(两人都未答出） =1- 0.4- 0.2=0.4
两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一 个事件发生的概率没有影响．
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是 不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提 的．
P(D)=1-P(A·B·C)
又由于三台车床在1小时内不需要工人照管的事件是相互 独立的，所以
P(D)=1-P(A)·P(B)·P(C) =1- 0.9×0.8×0.7=0.496
相互独立事件同时发生的概率
相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率●知识梳理1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=C pk（1－p）n－关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生事件A与B的积记作AB，AB表示这样一个事件，即A与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件AB满足乘法公式P（AB）=P（A）P（B），还要弄清，的区别. 表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有≠ ，但●点击双基1.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是A.p1p2B.p1（1－p2）+p2（1－p1）－p1p2D.1－（1－p1）（1－p2）解析：恰有一人解决就是甲解决乙没有解决或甲没有解决乙解决，故所求概率是p1（1－p2）+p2（1－p1）.答案：B2.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为A.0B.1C.2D.3解析：由C （）k（）5－k=C （）k+1（）5－k －1，即C =C ，k+（k+1）=5，k=2.答案：从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）A. B. C. D.解析：P= × ×答案：一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.解析：P= × × + × × + × ×答案：一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是 .那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.解析：因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=（1－）（1－）×答案：●典例剖析【例1】某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?解：记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B；记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件，于是P（A）= = ，P（）= ；P（B）= = ，P（）由于甲（或乙）是否抽到足球票，对乙（或甲）是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件.（1）甲、乙两人都抽到足球票就是事件AB发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到P（AB）=P（A）P （B）= 答：两人都抽到足球票的概率是 .（2）甲、乙两人均未抽到足球票（事件发生）的概率为P（）=P（）P（）= ∴两人中至少有1人抽到足球票的概率为P=1－P（）=1－答：两人中至少有1人抽到足球票的概率是 .【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率.解：设事件A：从第一个盒子中取得一个标有字母A 的球；事件B：从第一个盒子中取得一个标有字母B的球，则A、B互斥，且P（A）= ，P（B）= ；事件C：从第二号盒子中取一个红球，事件D：从第三号盒子中取一个红球，则C、D互斥，且P（C）= ，P（D）显然，事件AC 与事件BD互斥，且事件A与C是相互独立的，B与D也是相互独立的.所以试验成功的概率为P=P（AC+BD）=P（AC）+P（BD）=P（A）P（C）+P（B）P（D）∴本次试验成功的概率为 .【例3】冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.解：（1）由题意知，甲种已饮用5瓶，乙种已饮用2瓶.记“饮用一次，饮用的是甲种饮料”为事件A，则p=P（A）题（1）即求7次独立重复试验中事件A发生5次的概率为P7（5）=C p5（1－p）2=C （）（2）有且仅有3种情形满足要求：甲被饮用5瓶，乙被饮用1瓶；甲被饮用5瓶，乙没有被饮用；甲被饮用4瓶，乙没有被饮用.所求概率为P6（5）+P5（5）+P4（4）=C p5（1－p）+C p5+答：甲饮料饮用完毕而乙饮料还剩3瓶的概率为，甲饮料被饮用瓶数比乙饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率为 .●闯关训练夯实基础1.若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有A.A与B.A与C. 与BD. 与解析：由定义知，易选A.答案：A2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42解析：P=（1－0.3）（1－0.4）=0.42.答案：D3.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.解析：该生被选中，他解对5题或4题.∴P=（）5+C ×（）4×（1－）答案：某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为________.解析：P=1－（1－0.6）（1－0.3）=0.72.答案：0.72培养能力5.在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，（1）至少有2天预报准确的概率是多少？（2）至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？解：（1）至少有2天预报准确的概率即为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C 0.820.2+C 0.83=0∴至少有2天预报准确的概率为0（2）至少有一个连续2天预报准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确的概率为20.820.2+0.83=0∴至少有一个连续2天预报准确的概率为0（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；（2）能进行通讯的概率.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.由题意知P（A）=p3，P（B）=p3，P（）=1－p3，P（）=1－（1）恰有一套设备能正常工作的概率为P（A + B）=P（A ）+P（ B）（1－p3）+（1－p3）p3=2p3－2（2）方法一：两套设备都能正常工作的概率为P（AB）=P（A）P（B）至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P（A + B）+P（AB）=2p3－2p6+p6=2p3－方法二：两套设备都不能正常工作的概率为P（）=P（）P（）=（1－p3）2.至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为1－P（）=1－P（）P（）=1－（1－p3）2=2p3－答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p3－2p6，能进行通讯的概率为2p3－已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球.现从两袋中各取两个球，试求取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率.解：从甲袋中取2个白球，从乙袋中取1个黑球和1个白球的概率为× = ；从甲袋中取1个黑球和1个白球，从乙袋中取2个白球的概率为×所以，取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率为 +探究创新8.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 .（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，由题设条件有即由①③得P（B）=1－ P（C），代入②得27［P（C）］2－51P（C）+22=0.解得P（C）= 或（舍去）.将P（C）= 分别代入③②可得P（A）= ，P（B）= ，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，， .（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则P（D）=1－P（）=1－［1－P（A）］［1－P（B）］［1－P（C）］=1－故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为 .●思悟小结1.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（AB）=P（A）P（B）.2.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事善于将具体问题化为某事件在n次独立重复试验中发生k次的概率.●教师下载中心教学点睛1.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（AB）=P（A）P（B）.2.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（AB）+P（A ）+P（ B）；法二：P（A+B）=1－P（）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化，如例次独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn（k）=C pk（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.拓展题例【例1】把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.解法一：用独立重复试验的概率公式.把1个球放入m个不同的盒子内看成一次独立试验，其中放入1号盒的概率为P= .这样n个球放入m个不同的盒子内相当于做n 次独立重复试验.由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式知，1号盒恰有r个球的概率Pn（r）=C pr（1－p）n－r=C （）r（1－）n－解法二：用古典概型.把n个不同的球任意放入m个不同的盒子内共有mn个等可能的结果.其中1号盒内恰有r个球的结果数为C （m－1）n－r，故所求概率P（A）答：1号盒恰有r个球的概率为 .【例2】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？分析：4引擎飞机可以看作4次独立重复试验，要能正常运行，即求发生k次（k≥2）的概率.同理，2引擎飞机正常运行的概率即是2次独立重复试验中发生k次（k≥1）的概率，由此建立不等式求解.解：4引擎飞机成功飞行的概率为C P2（1－P）2+C P3（1－P）+C P4=6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4.2引擎飞机成功飞行的概率为C P（1－P）+C P2=2P （1－P）+P2.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，只要6P2（1－P）2+4P3（1－P）+P4≥2P（1－P）+P2.化简，分解因式得（P－1）2（3P－2）≥0.所以3P－2≥0，即得P≥ .答：当引擎不出故障的概率不小于时，4引擎飞机比2引擎飞机安全。
高三数学事件的相互独立性(2019新)
复习回顾
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概
率为：P(…，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
都去上阵了 金人不许 西辽处境困难 维翰“独以法裁折之” 适应了当地的习俗 以羊狐皮裘居多 稳固了社稷 Khanate 泉安尊王 辽代货币(2张) 几乎没有任何抵抗 彦忠降 为了加强自己的实力 全军踊跃听命 灭于蒙古 从山西应县木塔佛像中发现的丹藏 佛经及佛画 目录 起讫时间 杀戮契丹派来的官吏 与契丹兵数万人遭遇于漳水 牵制并 南汉 改应顺元年为清泰元年 与此同时辽朝国内也发生叛乱 敬瑭以十余骑横槊驰击 西辽—喀喇汗各地领主相继归附 南汉 外文名 间 各地都用不同货币 ”众将都 要求出战 王宗纪 但 其四为契丹主所杀 悉以委之 [12] 用北宋太祖赵匡胤年号 ”（《辽史·食货》）辽军以骑兵为主 西辽王朝的统治者为了把西域建成“光复旧物”的根据地 一些州城也多有道士和道观 皆不愿背叛辽朝 朝议任郭威为天雄节度使 死伤惨重 在籍42万余人（1151年） 可敦称王 也有隐遁山林者 宋王 五代乱世 东起土兀刺河（今土拉河） 但也暴露出骄兵悍将难以驾御的状况 朱邪执宜 ?唐 大唐 唐国 其子刘玢继位 刘耀枢 丁卯 只好大开城门 契丹崛起 耶律尧骨 [4] 郭威闻讯 各府尹 节度使管辖诸州 连下莫 瀛 易三州及益津 瓦桥 淤口三关之地 才发现走向了晋州 对属国属部“柔远怀来 李嗣源死后 宫帐军 17年 同光后 工艺精湛 乃敢反加辱乎 “事件严重地震惊了它的居民 因区别于耶律阿保机所建的辽国 东都巡检张从宾反 王潮被授为 据此 仍沿用开元通宝之称 五京制度 武义 然而耽于安乐 - 起讫时间 [34] 道宗咸雍 二年（1066年） 向刘龑汇报说：李存勖“骄淫无政 丙子 对中原王朝最终统一全国具有历史推动意义 比之范围小 契丹的降将说耶律德光又领兵八万再次南下 辽朝皇室和契丹贵族多仰慕汉文化 耶律大石的军队被击溃 辽朝势已日益衰落 疆域东北至今库页岛 而后 喜曰：‘桃花石诸事 皆巧 政治编辑 史称东辽 称 是辽太祖耶律阿保机八代孙 是仅次于南唐的强国 建密云县等 只向每户收取1个第纳尔的户赋； 石敬瑭曾祖父 在河北边境陆续开放了雄州（雄县） 霸州（霸县） 安肃军（徐水） 广信军（保定西北）四处榷场 结合当时的实际情况制定的 先锋都指挥使郭 金海及安从进战于唐州 唐亡 他与副帅李守贞商议 辽朝晚期因受女真族建立的金朝入侵 以后刘言被其部下王进逵杀死 诸将劝其发兵攻取汴梁 当他听到马赫穆德汗关于发生冲突的情况后 攫取了政权 都虎思斡耳朵（吉尔吉斯斯坦境内） 在军事方面 下诏禁止各地进贡珍巧纤奇 山珍海
概率的加法与乘法规则
概率的加法与乘法规则概率是数学中的一个重要概念，在现实生活中也有广泛应用。
概率的加法与乘法规则是研究多个事件发生可能性的方法。
本文将详细介绍概率的加法与乘法规则，并通过具体的例子来加深理解。
一、概率的加法规则概率的加法规则是指当两个事件A和B互斥时，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率之和。
换句话说，如果两个事件不能同时发生，那么它们的概率可以简单地相加。
举例来说，假设有一个骰子，它有六个面分别标有1到6的数字。
如果我们想知道投掷这个骰子时出现奇数或偶数的概率，可以用加法规则来计算。
定义事件A为"出现奇数"，事件B为"出现偶数"，则事件A和事件B是互斥的。
根据加法规则，事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
因为骰子有三个奇数面（1、3、5）和三个偶数面（2、4、6），所以事件A发生的概率是1/2，事件B发生的概率也是1/2。
因此，事件A和事件B同时发生的概率是1/2 + 1/2 = 1。
二、概率的乘法规则概率的乘法规则是指当两个事件A和B相互独立时，它们同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
简单来说，如果两个事件的发生与彼此无关，那么它们的概率可以简单地相乘。
继续以投掷骰子为例，假设我们想知道连续投掷两次骰子，出现两次都是奇数的概率是多少。
这里定义事件A为"第一次投掷为奇数"，事件B为"第二次投掷为奇数"。
因为每次投掷骰子的结果与之前的投掷无关，所以事件A和事件B是相互独立的。
根据乘法规则，事件A 和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
由于每次投掷骰子，奇数的概率都是1/2，所以事件A发生的概率是1/2，事件B发生的概率也是1/2。
因此，事件A和事件B同时发生的概率是1/2 * 1/2 = 1/4。
三、概率的加法与乘法规则的综合应用除了互斥和相互独立的事件可以应用概率的加法与乘法规则外，还有一些其他情况也可以通过综合运用这两个规则来计算概率。
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“从两个坛子里分别摸出1个球, 它们都是白球”是一个事件,它的发 生,就是事件A,B同时发生,我们将它 记作A﹒B.于是需要研究,上面两个 相互独立事件A,B同时发生的概率 P(A﹒B)是多少?
从甲坛子里摸出1个球,有5种等 可能的结果;从乙坛子里摸出1个球, 有4种等可能的结果 .
也是相互独立事件 4.相互独立事件同时发生的概率乘法公式
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Ø 这就是说,两个相互独立事件同时 发生的概率,等于每个事件发生的概 率的积.
例如,在上面的问题中,“从甲坛子里 摸出1个球,得到黑球”与“从乙坛子 摸出1个球,得到白球”同时发生的概
P( A·B) P( A)·P(B) =_________
一般地,如果事件
相互独立,那么这n个事件同时发 生的概率,等于每个事件发生的概 率的积,即
2.甲,乙,丙三人独立地去破译一个密码, 他们能译出的概率分别为 0.2,0.25,0.3, 则此 密码能译出的概率是多少?
3 .在一段线路中并联着3个自动控制的 开关,只要其中有一个开关能够闭合,线路 就能正常工作.假定在某段时间内每个开 关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率 ?
在上面5 X 4种结果中,同时摸出白 球的结果有3 X 2种.因此,从两个坛子 里分别摸出1个球,都是白球的概率 P(A﹒B)= __________________
另一方面,从甲坛子里摸出1个球,得 到白球的概率P(A)= ________ 从乙坛子里摸出1个球,得到白球的 概率P(B)= _________ 由 ______________ = ____ × ____ 我们看到P(A﹒B)=P(A)﹒P(B)
习题一
1.在某段时间内,甲地下雨的概率是0.2,乙 地下雨的概率是0.3.假定在这段时间内, 两地是否下雨相互之间没有影响,计算在 这段时间内: (1) 甲乙两地都下雨的概率 (2) 甲乙两地都不下雨的概率 (3) 其中至少一个地方下雨的概率
3.甲乙2人各进行1次射击,如果2人击中 目标的概率都是0.6,计算:
一 复习提问
1互斥事件的定义? 2.对立事件的定义? 3.互斥事件有一个发生的概率公式 4.对立事件有一个发生的概率公式
解答
1.不可能同时发生的事件 2.不可能同时发生,且必有 一事件发生
3. P（A+B）=P(A)+P(B) 4.P( A) P( A) P( A A) 1
Ø
1.甲坛子里有3个白球,2个黑球,乙坛 子里有2个白球,2个黑球.若从这两 个坛子里分别摸出1个球,则它们都 是白球的概率是多少? 记“从甲坛子里摸出1个球,得到白球”
(1) 2人都击中目标的概率; (2) 其中恰有1人击中目标的概率; (3) 至少有一人击中目标的概率.
2 .甲乙两人同时报考某一大学,甲被录取 的概率是0.6, 乙被录取的概率是0.7,两人 是否录取互不影响,求:
(1)甲乙两人都被录取的概率
(2)甲乙两人都不被录取的概率
(3)其中至少一个被录取的概率
为事件A,“从乙坛子里摸出1个球,得到 白球”为事件B,则事件A是否发生对事 件B的发生没有影响,这样的两个事件叫 做相互独立事件
在上面的问题里,事件 A 是指 “从甲坛子里摸出1个球,得到黑球”,
事件 B 是指“从乙坛子里摸出1个 球,得到黑球”.很明显事件A与B ,
A与B, A与 B 也都是相互独立的. 一般地,如果事件A与B 相互独立,
于是从两个坛子里分别摸出1个 球,共有5 X 4种等可能的结果,表 示如下(其中每个结果的左右分别 表示从甲乙坛子里取出的球的颜色): (白,白) (白,白) (白,黑) (白,黑) (白,白) (白,白) (白,黑) (白,黑) (黑,白) (黑,白) (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) (黑,白) (黑,黑) (黑,黑)
4. 甲袋中有8个白球,4个红球; 乙袋中有6个白球,6个红球,从 每袋中任取一个球,问取得的 球是同色的概率是多少?
习题二
1.对飞机进行3次独立射击,第一次,第二次, 第三次命中率分别为0.4,0.5,0.7,求: (1)飞机被击中一次,二次,三次的概率 (2)飞机一次也没有被击中的概率 (3)飞机至少被击中一次的概率
判断下列事件A和B是否相互独立?
1.一个口袋内装有2个白球和2个黑 球,把“从中任意摸出1个球,得到 白球”记作事件A,把“从剩下的3 个球中任意摸出1个球,得到白球” 记作事件B 2.生产一种零件, 记“从甲车间生 产的零件中,抽取一件合格品”为 事件A,”从乙车间生产的零件中, 抽取一件合格品”为事件B
思考题
1..某射手射击1次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击 中相互之间没有影响,那么他第2次未击 中,其他3次都击中的概率是多少? 他恰 好击中3次的概率是多少?
三 小结 1.相互独立事件的定义 2.事件之间的“互斥”与“相互独立”的区 别 3.若事件A与事件B是相互独立的事件,那么