中考数学复习(七)：辅助线的添加

辅助线的添加

【知识要点】

平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。

一、三角形中常见辅助线的添加

1. 与角平分线有关的

ⅰ可向两边作垂线。

ⅱ可作平行线，构造等腰三角形

ⅲ在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

2. 与线段长度相关的

ⅰ截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

ⅱ补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

ⅲ倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

ⅳ遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3. 与等腰等边三角形相关的

ⅰ考虑三线合一

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ⅱ旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转

二、四边形

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

1、和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形

ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形

ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形

2、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

ⅰ. 作菱形的高；

ⅱ．连结菱形的对角线.

3、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：

ⅰ. 计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；

ⅱ．证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

4、与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.

5、与梯形有关的辅助线的作法

和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：

（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；

（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；

（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；

（4）延长两腰构成三角形；

（5）作两腰的平行线等.

三、圆

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2．遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。

3．遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

4．遇到弦时

常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

5．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

6．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。作用：若OA=r，则l为切线。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）作用：只需证OA⊥l，则l为切线。（3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线

7．遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。

作用：据切线长及其它性质，可得到：

①角、线段的等量关系；

②垂直关系；

③全等、相似三角形。

8．遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

②内心到三角形三条边的距离相等。

9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

10．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）

常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。

作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识。

11．遇到两圆相交时

常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。

作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；

②利用圆内接四边形的性质；

③利用两圆公共的圆周的性质；

④垂径定理。

12．遇到两圆相切时

常常作连心线、公切线。

作用：①利用连心线性质；

②切线性质等。

13．遇到三个圆两两外切时

常常作每两个圆的连心线。

作用：可利用连心线性质。

14．遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。

作用：以便利用圆的性质。

【历年考卷形势分析及中考预测】

平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容，其题目的灵活性远远是代数题目所不能比拟的，从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题，出题范围极为广泛，难易程度差距较大，对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。纵观近6年广州市的中考试题，分值分布大约在60分左右，其中简单的题目大约占43分，其余的17分较难，每年必有一道几何压轴题，分值14分，经常和实际问题，动点问题及函数问题结合，难度较大，应引起同学们的高度重视。

题目难主要难在辅助线的添加，尤其像特殊四边形及圆中的问题，从中考考纲来看，年广州市中考命题，同往年相比，变化不大，压轴题中可能会以三角形或四边形结合动点问题给出，或者以圆中相关知识为背景，结合动点，函数问题给出，区分度较大。

【考点精析】

考点1.三角形：

例1 如图，AB=CD，E为BC中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。