函数奇偶性练习题(内含答案)

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函数的奇偶性练习题(含答案)

函数的奇偶性练习一、选择题1．若)(x f 是奇函数，则其图象关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上的是（） A ． (())a f a ，- B ． (())--a f a ， C ． (())---a f a ，D ．(())a f a ，-3．下列函数中为偶函数的是（）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（）A ．增函数，最小值是-5B ．增函数，最大值是-5C ．减函数，最小值是-5D ．减函数，最大值是-55. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（）A ．1-B ．2-C ．1D ．26.已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增，则下列关系式成立的是( )A ．)2()2()(f f f >->-ππ B ．)()2()2(ππ->->f f fC ．)2()2()(ππ->>-f f fD ．)()2()2(ππ->>-f f f二、填空题7．若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________ . 8．若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，且)3()1(f f <，则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________.9．已知)(x f是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数，当0>x时，)(x f的图象如右图所示，那么f (x )的值域是 .10．已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为 2x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式为．三、解答题11. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)35()f x x x x =++； (2) 2(),(1,3)f x x x =∈-； (3)2)(x x f -=； (4) 25)(+=x x f ；(5) )1)(1()(-+=x x x f .12．判断函数122+-=x x y 的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.能力题14．设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则()2f -与()223f a a -+（a R ∈）的大小关系是（）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f a a -+D ．与a 的取值无关若函数15．已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且在公共定义域{}1,|±≠∈x R x x 上有11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 的解析式.参考答案7．3-8．)1()3(->-f f 9．[)(]3,22,3⋃-- 10．2x y -=三、解答题11．(1)奇函数，(2)非奇非偶，(3)偶函数，(4) 非奇非偶函数，(5)偶函数12．偶函数. ⎩⎨⎧<++≥+-=,0,12,0,1222x x x x x x y ∴函数122+-=x x y 的减区间是(]1,-∞-和 ]1,0[，增区间是]0,1[- 和 ),1[+∞.13．二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称， ∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-.能力题14．B (提示: ()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,∴()f x 在),0(+∞上是减函数，)2()2(f f =-. 22)1(3222≥+-=+-a a a ,∴()223f a a -+)2(f ≤，因此()223f a a -+)2(-≤f . )15．⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=+,11)()(,11)()(x x g x f x x g x f ⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 得11)(,1)(22-=-=x x g x x x f .。

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函数奇偶性的判断一、单选题（共10道，每道10分）1・若函数f（x）＜xeR）是奇函数，函数g（x）＜xeR）是偶函数，则下列一定成立的是（A.函数f（g（x））是奇函数B•函数g（f（x））是奇函数C.函数f（f（x））是奇函数D.函数畝（x））是奇函数答案:C解题思路：丁函数/x）（xeR）是奇函数，函数或C）（XE R）是偶函数,A选项：血-力）沁何），是偶函数；E选项：场LE）它（沁））它（心）），是偶函数；C选项：心?力）勿沁））=询＞））,是奇函数；D选项：亦（p））=gg））,是偶函数. 故选C.试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断2.已知函数恥）=7,朋）=金加）=為，.…,则函数心a是（A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案:A 解题思路:•・• Z（-x）= —= --=-Z（x），-x X■■-力（X）是奇函数,・•・fl^=—=斗二宀x+/（x）x+l X +1X£（兀）是奇函数,同理可验证，厶（X）是奇函数，・••函数fl014（x）是奇函数，故选A・试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断f （X ）= J16-『3•函数％区+ 5| +卜-4|是（）A. 奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数乂是偶函数答案：B 解题思路:由16-「刁0可得，-4WU4,即心）的定义域关于原点对称,.'.x+5>0, x-4W0,.••心=如丄三=_心X X••金）是奇函数，故选A.试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断5. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当空0时，/(x) = 3” +血o 为常数)，则/(-log 35) 的值为()/(x) = J16 x+5+4-x •••yw 是偶函数，故选B .试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断 4.定义两种运算:a ㊉护严@b = J （a-by ,/W = 则函数A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案：A解题思路:由定义可得，畑=匕=占匚7（X -2）2-2 X_2|_2由 4一 X 2 刁 0且 |兀一2|—2工0,可得一 2 <x<0^0<x<2, 即函数金）的定义域为{x | -2 W x < 0或0 < x W 2},关于原点对称. 由上可得，乂—2W0,A.4B.-4C.6D.-6答案:B解题思路：•・7W是定义在R上的奇函数，/•X0)=0,即3°+w = 0,・即/(x) = 3x-l (x>0),T log?5 >0 ,・•・ /(-log3 5) = -/(log3 5) = pT _i)= Y5 _i)= _4, 故选B・试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质2G(x) = (H-—-)-g(x)6.若函数2 -1 g o)是偶函数，则函数啟刈是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案：A解题思路：2 2X +1V G(x) = (l + -^-).g(x) = ^—-g(x)是偶函数，2 -1 2 -12~x+l 1 + 2X2X+1・•・ G(—x) = - g(-x) = —7 - g(-x) = G(x) = - g(x),2 —1 1 — 2 2 — 1g(-x) = _g(x),・・・g(x)是奇函数，故选A.试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断7.已知函数 /(X)= X + ln(J*+l + X)则( A.f(x)是奇函数，g(x)是奇函数B.f(x)是偶函数，g(x)是偶函数C.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数D.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数答案:C解题思路：首先分析夬兀)，由Vx2 +l + x>0可得x eR ,定义域关于原点对称, f (-x) = _x + ln(\/x2 +1 - x)= -x+ln( —)+ l + x=-x+ln(Jx2 +1 + x)-1=-[x+ ln(Vx2 +1 +x)]=-/(x)•■金虎:奇函数；再分析g(Q，首先可以看岀定义域关于原点对称，当x>0 时，-x<0, g(-x) = xjl + 壬=g(x),当x<0 时，-x>0, g(-x) = -xjl+x? = g(x),当x=0 时，g(0)=0,综上，g(~x)=g(x)9・・・g(x)是偶函数，故选C・试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的判断4)= ：，58•已知函数g—l , Z0,则该函数是(A.非奇非偶函数，且单调递增B.偶函数，且单调递减C.奇函数，且单调递增D.奇函数，且单调递减答案:C 解题思路:函数/（X）的定义域为R,且/（0） = 0,当x<0时，-x>0,/（x）=2x-l, /（-X）=1-24-Z）=1-2X,同理，当x>0时，有/（x） = -/（-X）・综上，函数/（X）是奇函数.由题意，可画岀/（X）的大致图象，如图,・•・/（X）单调递増, 故选C.试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合/（x） = |2/9.已知函数R '兀<°,则该函数是（）A.非奇非偶函数，在（一°亠°）上单调递增，在（°’ +8）上单调递减B.偶函数，在（一® °）上单调递增，在（山+8）上单调递减C.偶函数，在R上单调递减D.奇函数，在R上单调递减答案:B解题思路：先判断奇偶性.由题意，/(X)的定义域为R,且/(0) = 1・①当工<0时，-x>0,则/(x)=2z, /(-x)=2-(-x) = 2x,・•・ /(-x) = /(x)・②当XA O时，-x<0,贝lj/(x)=2-x, /(-x)=2-x,= /(x) ■综合①②，/(-X)= /(x)在R上恒成立，则/(无)是偶函数.再判断单调性.•・• /&)是偶函数，・••只需考虑/(力在(0, +8)上的单调性.・・•当x>0 时，/(X)=2-Z=(A)\・•・函数/(x)在(0, +8)上单调递诚.•・• /&)是偶函数，・•・/(x)的图象关于y轴对称，.•- /(x)在(-X, 0)上单调递増.综上，/(X)在(YO,0)上单调递増，在(0, +00)上单调递诚, 故选B.试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合1 , x > 0f(x) = < 0 , x = 010.已知函数 "X<0,设恥)* J(x),则叫)是(A•奇函数，在(一® +°°)上单调递减B.奇函数，在+8)上单调递增C.偶函数，在(一® °)上单调递减，在(°，+00)上单调递增D•偶函数，在(一°)上单调递增，在(°’ +°°)上单调递减答案：B 解题思路: 当X > 0 时，F(x) = X2・/(x) = X2；当x = 0 时，F(0) = 02-/(0) = 0；当xv 0 时，F(x) = x2 -(-1) = -x2・r 2x x , x > 0即F(0 = {o , x = 0・-x2, x<0先判断奇偶性.由题意，F(x)的定义域为R,且F(0) = 0・①当x<0 时,-x>0,则F(x) = -x2 , F(-x) = x2 ,F(-x)=_F(x)・②当x>0时，-x<0,则F(x) = x2, F(-x) = -x2 ,F(-x)=_F(x)・综合①②，F(-x) = -F(x)在R上恒成立，则尺兀)是奇函数.再判断单调性.•・•尺兀)是奇函数，・•・只需考虑尸(©在(0, +8)上的单调性.•・•当x>0 时，F(x) = x2,・•・函数尸(x)在(0, +00)上单调递增.•・• FG)是奇函数,・•・F(x)的图象关于原点对称，・•・戸(x)在(-8, 0)上也单调递増.综上，FW是奇函数，且单调递増，故选B.试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合。

(完整版)1.3.2函数奇偶性练习题(含答案)

函数奇偶性练习题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2） 4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f（m），求实数m的取值范围．12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．14.f（x）是定义在（－∞，－5］Y［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1．解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A 5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数． 13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化． 15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

函数的奇偶性练习题附标准答案资料全

函数的奇偶性1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值围是 ( )A.(-¥,2)B. (2,+¥)C. (-¥,-2)È(2,+¥)D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，数k 的取值围． 10下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数；（4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lg a1））D ．（－a ，－f （a ））13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。

函数的奇偶性问题练习题(含答案)

...函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数）．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____．解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，...可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］Y ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证， f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0， ∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

函数奇偶性练习题(内含答案)

函数奇偶性练习题(内含答案)新希望培训学校资料数学函数奇偶性练（内含答案）一、选择题1.已知函数 $f(x)=ax+bx+c(a\neq0)$ 是偶函数，那么$g(x)=ax+bx-cx$ 是（）A。

奇函数B。

偶函数C。

既奇又偶函数D。

非奇非偶函数2.已知函数 $f(x)=ax+bx+3a+b$ 是偶函数，且其定义域为$[a-1,2a]$，则（）A。

$a=2,\ b=\frac{1}{3}$B。

$a=-1,\ b=-\frac{1}{3}$C。

$a=1,\ b=-\frac{1}{3}$D。

$a=3,\ b=\frac{1}{3}$3.已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，当$x\geq0$ 时，$f(x)=x-2x$，则 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的表达式是（）A。

$y=x(x-2)$B。

$y=x(|x|-1)$C。

$y=|x|(x-2)$D。

$y=x(|x|-2)$4.已知 $f(x)=x+ax+bx-8$，且 $f(-2)=10$，那么 $f(2)$ 等于（）A。

$-26$B。

$-18$C。

$-10$D。

$10$5.函数$f(x)=\frac{5x^2}{1+x^2}+\frac{x-1}{x+1}$ 是（）A。

偶函数B。

奇函数C。

非奇非偶函数D。

既是奇函数又是偶函数6.若 $\phi(x),\ g(x)$ 都是奇函数，$f(x)=a\phi(x)+bg(x)+2$ 在 $(0,+\infty)$ 上有最大值 $5$，则$f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上有（）A。

最小值 $-5$B。

最大值 $-5$C。

最小值 $-1$D。

最大值 $-3$二、填空题7.函数 $f(x)=\frac{x-2}{1-x^2}$ 的奇偶性为（奇函数或偶函数）。

8.若 $y=(m-1)x+2mx+3$ 是偶函数，则 $m=$（）。

9.已知 $f(x)$ 是偶函数，$g(x)$ 是奇函数，若$f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}$，则 $f(x)$ 的解析式为（）。

函数的奇偶性试题(含答案)

一、选择题1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③[答案] D[解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎨⎧ x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．2．如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f (x )在(－∞，0)上( )A ．减函数B ．增函数C ．既可能是减函数也可能是增函数D ．不一定具有单调性[答案] B3．已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．－15B ．15C ．10D ．－10[答案] A[解析] 解法1：f (－3)＝(－3)7＋a (－3)5＋(－3)b －5＝－(37＋a ·35＋3b －5)－10＝－f (3)－10＝5，∴f (3)＝－15.解法2：设g (x )＝x 7＋ax 5＋bx ，则g (x )为奇函数，∵f (－3)＝g (－3)－5＝－g (3)－5＝5，∴g (3)＝－10，∴f (3)＝g (3)－5＝－15.4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f (－1)<f (－3)B ．f (0)>f (1)C ．f (2)>f (3)D ．f (－3)<f (5)[答案] A[解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)，∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)．5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)的值等于( )A ．－1B ．1 C.114D ．－114[答案] A[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x －3，∴f (2)＝22－3＝1，又f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1.6．设f (x )在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f (x )为偶函数，则f (x )在[1,2]上( )A ．为减函数，最大值为3B ．为减函数，最小值为－3C ．为增函数，最大值为－3D ．为增函数，最小值为3[答案] D[解析] ∵f (x )在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f (－1)＝3，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上为增函数，且最小值为f (1)＝f (－1)＝3.7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝|x |＋1D ．y ＝2－|x | [答案] C[解析] 由偶函数，排除A ；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B ，D ，故选C.8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 ` D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [答案] A[解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( )A ．1B ．－1C ．0D ．不存在[答案] B[解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)，即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1.10．奇函数f (x )当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－2x ＋3，则f (1)与f (2)的大小关系为( )A ．f (1)<f (2)B ．f (1)＝f (2)C ．f (1)>f (2)D ．不能确定 [答案] C[解析] 由条件知，f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (－1)<f (－2)，又f (x )为奇函数，∴f (1)>f (2)．[点评] 也可以先求出f (x )在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．二、填空题11．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的奇偶性为________．[答案] 奇函数[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为偶函数得b ＝0，因此g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数．12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．[答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.三、解答题13．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x >0)x 2＋x (x ≤0)； (2)f (x )＝1x 2＋x. [解析] (1)f (－x )＝⎩⎨⎧ x 2－x (x ≥0)－x 2－x (x <0)，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)f (－x )＝1x 2－x≠f (x )，f (－x )≠－f (x )，∴f (x )既不是奇函数，又不是偶函数．14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .15．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，求函数f (x )的解析式．[解析] 因为f (x )是奇函数且定义域为(－1,1)，所以f (0)＝0，即b ＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，所以12a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，所以a ＝1，所以f (x )＝x 1＋x 2. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．[解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)，∵f (x )在(－1,1)上单调减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a<1－1<1－a 2<11－a >a 2－1 解得0<a <1.故a 的取值范围是{a |0<a <1}．17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6，∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎨⎧ －2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．。

函数的奇偶性练习题含答案

函数的奇偶性练习题（1）1.如图，函数y =f(x)的图象为折线ABC ，设g (x)=f[f(x)]，则函数y =g(x)的图象为（）A. B.C.D.2. 设x ，y 为实数，且满足{(x −1)3+2019(x −1)=−5，(y −1)3+2019(y −1)=5，则x +y =( ) A.2B.5C.10D.20193. 已知y =f (x )在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=2x +m ，则f (−2)=( )A.−3B.54C.−54D.34. 下列函数中，是偶函数的为( )A.y =|x|B.y =x 3C.y =(12)xD.y =log 2x<0的解集为5. 设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，则不等式f(x)−f(−x)x（）A.(−1,0)∪(1,+∞)B.(−∞,−1)∪(0,1)C.(−∞,−1)∪(1,+∞)D.(−1,0)∪(0,1)6. 已知f(x)满足对∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，且x≥0时，f(x)=e x+m（m为常数），则f(−ln5)的值为( )A.4B.−4C.6D.−67. 已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)+g(−x)的值为（）A.2B.0C.1D.不能确定8. 已知函数f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，若g(x)＝f(x)sinπx，ℎ(x)＝f(x)cosπx，则下列说法正确的是（）A.函数y＝g(x)是偶函数B.10是函数f(x)的一个周期C.对任意的x∈R，都有g(x+5)＝g(x−5)D.函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称9. 下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)上单调递减的函数是（）A.y＝x3B.y＝|x|C.y＝−x2+1D.y＝10. 已知函数f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，则f(2)＝________．11. 设奇函数f(x)的定义域为[−6, 6]，当x∈[0, 6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．12. 定义在[−2,2]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−2,0]时，f(x)=2x+a⋅3x(a∈R)，则f(x)在[0,2]上的解析式为________．（化成最简形式）13. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f(x)＝x2，若对任意的x∈[a−1, a+1]，恒有f(x2+a)>a2f(x)，则实数a的取值范围为________．14. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−x，则不等式f(x)>0的解集用区间表示为________．15. 已知函数f(x)＝lg3−x3+x（1）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（2）当x≥0时函数g(x)与f(x)相同，且g(x)为偶函数，求g(x)＝的定义域及其表达式．16. 已知定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(2−x)=f(x)；（2）f(x+4)=f(x)（3）x1，x2∈[1, 3]时，(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0．则f(2018)，f(2019)，f(2020)大小关系（）A.f(2018)>f(2019)>f(2020)B.f(2020)>f(2018)>f(2019)C.f(2020)=f(2018)>f(2019)D.f(2018)>f(2019)=f(2020)17. 定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2−4x．（1）设g(x)＝f(x)，x∈[−4, 4]，求函数g(x)的值域；（2）当m>0时，若|f(m)|＝3，求实数m的值．参考答案与试题解析函数的奇偶性练习题（1）一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】A【考点】函数的图象变换函数奇偶性的性质【解析】函数y=f(x)的图象为折线ABC，其为偶函数，所研究x≥0时g(x)的图象即可，首先根据图象求出x≥0时f(x)的图象及其值域，再根据分段函数的性质进行求解，可以求出g(x)的解析式再进行判断；【解答】解：函数y=f(x)的图象为折线ABC，函数f(x)为偶函数，我们可以研究x≥0的情况即可，若x≥0，可得B(0, 1)，C(1, −1)，则直线BC的方程为：l BC:y=−2x+1，x∈[0, 1]，其中−1≤f(x)≤1；若x<0，可得l AB:y=2x+1，∴f(x)={−2x+1(0≤x≤1),2x+1(−1≤x<0),我们讨论x≥0的情况：如果0≤x≤12，解得0≤f(x)≤1，此时g(x)=f[f(x)]=−2(−2x+1)+1=4x−1；若12<x≤1，解得−1≤f(x)<0，此时g(x)=f[f(x)]=2(−2x+1)+1=−4x+3；∴x∈[0, 1]时，g(x)={4x−1(0≤x≤12),−4x+3(12<x≤1).故选A.2.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】将方程组中的方程，形式化成相同，构造函数f(t)=t3+1997t+1，确定函数f(t)为单调递增函数，即可求得结论．【解答】解：设函数f(m)=(m−1)3+2019(m−1)，则f(1+m)=(1+m−1)3+2019(1+m−1)=m3+2019m，f(1−m)=(1−m −1)3+2019(1−m −1)=−m 3−2019m ，所以f(1+m)+f(1−m)=0，所以函数f(m)关于(1,0)中心对称，又因为{(x −1)3+2019(x −1)=−5，(y −1)3+2019(y −1)=5所以f(x)+f(y)=0，所以x +y =2.故选A .3.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据题意，f (x )为定义在R 上的奇函数，可知f (0)=0，即可求出m =−1，即当x ≥0时f (x )=2x −1，可得f (2)=22−1=3，再根据f (x )为奇函数，可得f (−2)=−f (2)=−3．【解答】解：根据题意，f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)=20+m =0，解得：m =−1.∵ 当x ≥0时，f (x )=2x −1，∴ f (−2)=−f (2)=−(22−1)=−3.故选A ．4.【答案】A【考点】函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：A ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=|−x|=|x|=f(x)，是偶函数； B ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=(−x)3=−x 3=−f(x)，是奇函数； C ．该函数定义域为R ，设y =f(x)，f(−x)=(12)−x ≠f(x)， f(−x)=(12)−x ≠−f(x)，该函数是非奇非偶函数；D ．该函数定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数.故选A .5.【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合此题暂无解析【解答】∵f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(x)−f(−x)x <0⇔2f(x)x<0．∵f(x)在(0,+∞)上为增函数，且f(1)=0，∴f(x)在(−∞,0)上为增函数，且f(−1)=0，∴不等式f(x)x<0的解集为(−1,0)∪(0,1)．6.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质【解析】首先利用奇偶性，求出m，再利用奇偶性求值即可.【解答】解：∵f(x)满足对∀x∈R，f(−x)+f(x)=0，故f(−x)=−f(x)，故f(0)=0，∵x≥0时，f(x)=e x+m，∴f(0)=1+m=0，解得m=−1，即x≥0时，f(x)=e x−1，则f(ln5)=4，∴f(−ln5)=−f(ln5)=−4.故选B.7.【答案】A【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】利用奇函数的定义可把已知转化为f(t)+f(2−t)=0，从而可得函数f(x)关于(1, 0)对称，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)关于(0, 1)对称，代入可求．【解答】解：∵函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数∴f(−2x+1)=−f(2x+1)令t=1−2x代入可得f(t)+f(2−t)=0函数f(x)关于(1, 0)对称由函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称函数g(x)关于(0, 1)对称从而有g(x)+g(−x)=2故选A二、多选题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）8.B,C,D【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，g(x)＝f(x)sinπx，g(−x)＝f(−x)sinπ(−x)＝−f(−x)sinπx，又由函数f(x)是偶函数，则g(−x)＝−f(x)sinπx，即函数g(x)为奇函数，A错误对于B，由于f(x)是偶函数，且f(5−x)＝f(5+x)，得f(5−x)＝f(5+x)＝f(x−5)，即f(10+x)＝f(x)，则f(x)是周期为10的周期函数，所以ℎ(x+10)＝f(x+10)cos(πx+10π)＝f(x)cosπx＝ℎ(x)，则y＝ℎ(x)是的最小正周期为10，故B正确；对于C，g(x+5)＝f(x+5)sin（π(x+5)）＝f(5−x)sin(πx+5π)＝f(5−x)(−sinπx)＝−f(x−5)(−sinπx)＝f(x−5)sinπx＝g(x−5)，故C正确；对于D，ℎ(5−x)＝f(5−x)cos(5π−5x)＝f(5+x)cos(5x−5π)＝f(5+x)cos(5x−5π+10π)＝f(5+x)cos(5x+5π)＝ℎ(5+x)，所以函数y＝ℎ(x)的图象关于直线x＝5对称，D正确；9.【答案】C,D【考点】函数单调性的性质与判断函数奇偶性的性质与判断奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】对于A，y＝x3为奇函数，所以该选项不符合题意；对于B，x>0时，y＝|x|＝x，所以函数y＝|x|的(0, +∞)上为增函数，所以该选项不符合题意；对于C，该函数定义域为R，设y＝f(x)，显然f(−x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0, +∞)上单调递减，所以该选项符合题意；对于D，该函数定义域为{x|x≠0}，设y＝f(x)，显然f(−x)＝f(x)，所以该函数为偶函数，且该函数在(0, +∞)上单调递减，可知该选项符合题意．三、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）10.【答案】−22【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据奇函数的性质建立方程组关系进行求解决即可．∵f(x)＝x5+ax3+bx−6，且f(−2)＝10，∴f(−2)＝−25−a⋅23−2b−6＝10，则f(2)＝25+a⋅23−2b−6，两式相加得10+f(2)＝−6−6＝−12，则f(2)＝−10−12＝−22，11.【答案】[−6, −3)∪(0, 3)【考点】函数的图象与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】3−x−2−x【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法【解析】由题意设x>0利用已知的解析式求出f(−x)=x2+2x，再由f(x)=−f(−x)，求出x>0时的解析式．【解答】解：∵ f(x)为奇函数，∴ f(0)=20+a⋅30=1+a=0，∴ a=−1，f(x)=2x−3x.∴ 在x∈[0,2]上时，f(x)=−f(−x)=3−x−2−x.故答案为：3−x−2−x.13.【答案】(0, +∞)【考点】函数奇偶性的性质与判断函数恒成立问题【解析】由当x≥0时，f(x)＝x2，函数是奇函数，可得当x<0时，f(x)＝−x2，从而f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，再根据不等式f(x2+a)>a2f(x)＝f(ax)，在x∈[a−1, a+1]，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．【解答】当x≥0时，f(x)＝x2，∵函数是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝−x2，∴f(x)={x2,x≥0，−x2,x<0∴f(x)在R上是单调递增函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，∵不等式f(x2+a)>a2f(x)＝f(ax)在x∈[a−1, a+1]恒成立，∴x2+a>ax在x∈[a−1, a+1]恒成立，令g(x)＝x2−ax+a，函数的对称轴为x=a2，当a2<a−1，即a>2时，不等式恒成立，可得g(a−1)＝(a−1)2−a(a−1)+a＝1>0，恒成立；当a−1≤a2≤a+1，即−2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g(a2)＝( a2)2−a(a2)+a>0恒成立，解得a∈(0, 2]；当a2>a+1，即a<−2时，不等式恒成立，可得g(a+1)＝(a+1)2−a(a+1)+a＝2a+1>0不恒成立；综上：a>0．14.【答案】(−1, 0)∪(1, +∞)【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据条件可设x<0，从而得出f(−x)＝x2+x＝−f(x)，即得出x<0时，f(x)＝−x2−x，这样即可得出：x>0时，由f(x)>0得出x2−x>0；x<0时，由f(x)> 0得出−x2−x>0，解出x的范围即可．【解答】∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x2−x，∴设x<0，−x>0，则f(−x)＝x2+x＝−f(x)，∴f(x)＝−x2−x，∴ ①x>0时，由f(x)>0得，x2−x>0，解得x>1；②x<0时，由f(x)>0得，−x2−x>0，解得−1<x<0，∴原不等式的解集为(−1, 0)∪(1, +∞)．四、解答题（本题共计 3 小题，每题 10 分，共计30分）15.【答案】根据题意，函数f(x)＝lg3−x3+x是奇函数，证明：对于函数f(x)＝lg3−x3+x ，必有3−x3+x>0，解可得：−3<x<3，即函数的定义域为(−3, 3)，关于原点对称，又由f(x)+f(−x)＝lg3−x3+x +lg3+x3−x=lg1＝0，则有f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)为奇函数；根据题意，有（1）的结论，函数f(x)的定义域为(−3, 3)，当0≤x<3时，g(x)＝f(x)＝lg3−x3+x，设−3<x<0，则0<−x<3，则g(−x)＝lg 3+x 3−x ，又由函数g(x)为偶函数，则g(x)＝lg 3+x 3−x ，综合可得：g(x)={lg 3+x 3−x ,−3<x <0lg 3−x 3+x ,0≤x <3．【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，先求出函数f(x)的定义域，进而分析可得f(x)+f(−x)＝0，由函数奇偶性的定义分析可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：当0≤x <3时，g(x)＝f(x)＝lg3−x 3+x ，当−3<x <0，利用偶函数的性质求出g(x)的解析式，综合即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝lg 3−x 3+x 是奇函数，证明：对于函数f(x)＝lg 3−x 3+x ，必有3−x 3+x >0，解可得：−3<x <3，即函数的定义域为(−3, 3)，关于原点对称，又由f(x)+f(−x)＝lg 3−x 3+x +lg 3+x 3−x =lg 1＝0，则有f(−x)＝−f(x)，则函数f(x)为奇函数；根据题意，有（1）的结论，函数f(x)的定义域为(−3, 3)，当0≤x <3时，g(x)＝f(x)＝lg 3−x 3+x ，设−3<x <0，则0<−x <3，则g(−x)＝lg 3+x 3−x ，又由函数g(x)为偶函数，则g(x)＝lg3+x 3−x ，综合可得：g(x)={lg 3+x 3−x ,−3<x <0lg 3−x 3+x ,0≤x <3． 16.【答案】，f(2019)=f，f(2020)=f(0)=f，故f （2020）=f （2018）＞f （2019），【考点】抽象函数及其应用【解析】根据已知可得函数 f (x)的图象关于直线x =1对称，周期为4，且在[1, 3]上为减函数，进而可比较f(2018)，f(2019)，f(2020)的大小．【解答】，f(2019)=f，f(2020)=f(0)=f，故f(2020)=f(2018)>f(2019)，17.【答案】根据题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，则有g(0)＝0，当0<x <4时，f(x)＝x 2−4x ，此时g(x)＝x 2−4x ，当−4<x <0时，0<−x <4，f(−x)＝x 2−4x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝−x 2−4x ，此时g(x)＝−x 2−4x ；综合可得：g(x)=f(x)={−x 2−4x,x <00,x =0x 2−4x,x >0当−4≤x ≤0时，0≤g(x)≤4；当0<x ≤4时，−4≤g(x)≤0．g(x)的值域为[−4, 4]根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4， 1)当0<m ≤4时，令−m 2+4m ＝3，解得m ＝1或m ＝3；2)当m >4时，令m 2−4m ＝3，解得m =2+√7或m =2−√7（舍去）综合1)，2)得m ＝1或m ＝3或m =2+√7【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）根据题意，由函数的解析式以及奇函数的性质分析可得g(x)的解析式，进而分析可得答案；（2）根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4，据此分析可得答案．【解答】根据题意，f(x)为定义在R 上的奇函数，则f(0)＝0，则有g(0)＝0，当0<x <4时，f(x)＝x 2−4x ，此时g(x)＝x 2−4x ，当−4<x <0时，0<−x <4，f(−x)＝x 2−4x ，又由f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝−x 2−4x ，此时g(x)＝−x 2−4x ；综合可得：g(x)=f(x)={−x 2−4x,x <00,x =0x 2−4x,x >0当−4≤x ≤0时，0≤g(x)≤4；当0<x ≤4时，−4≤g(x)≤0．g(x)的值域为[−4, 4]根据题意，m >0时，|f(m)|={−m 2+4m,0<m ≤4m 2−4m,m >4，1)当0<m≤4时，令−m2+4m＝3，解得m＝1或m＝3；2)当m>4时，令m2−4m＝3，解得m=2+√7或m=2−√7（舍去）综合1)，2)得m＝1或m＝3或m=2+√7。

(完整版)函数的奇偶性练习题[(附答案)

函数的奇偶性1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是（）A ．奇函数非偶函数B ．偶函数非奇函数C ．奇函数且偶函数D ．非奇非偶函数2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ）A .奇函数B .偶函数C .既奇又偶函数D .非奇非偶函数 3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( )A.(-∞,2)B. (2,+∞)C. (-∞,-2)⋃(2,+∞)D. (-2,2) 4．已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数.当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2(3) f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。

7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c+=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数,(1)求a,b,c 的值;(2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性.9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．10下列四个命题：（1）f （x ）=1是偶函数；（2）g （x ）=x 3，x ∈（－1，1]是奇函数；（3）若f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则H （x ）=f （x ）·g （x ）一定是奇函数；（4）函数y =f （|x |）的图象关于y 轴对称，其中正确的命题个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是( )A.()sin f x x =B.()1f x x =-+C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()2xf x lnx-=+ 12若y =f （x ）（x ∈R ）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y =f （x ）上的是（） A ．（a ，f （－a ）） B ．（－sin a ，－f （－sin a ））C ．（－lg a ，－f （lg a1）） D ．（－a ，－f （a ））13. 已知f （x ）=x 4+ax 3+bx －8，且f （－2）=10，则f （2）=_____________。

函数的奇偶性习题附答案

1.若函数y ＝(x+1)(x-a)为偶函数,则a 等于( )A.-2B.-1C.1D.22.若函数f(x)＝x 3(x ∈R),则函数y ＝f(-x)在其定义域上是( )A.单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C.单调递增的偶函数D.单调递增的奇函数3.设α∈{-1,1,21,3},则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 4.函数x x x f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称5.已知f(x)在R 上是奇函数,且满足f(x+4)＝f(x),当x ∈(0,2)时,f(x)＝2x 2,则f(7)等于( )A.-2B.2C.-98D.986.义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程f(x)＝0在闭区间［-T,T ］上的根的个数记为n,则n 可能为…( )A.0B.1C.3D.57.若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)＝e x ,则有( )A.f(2)＜f(3)＜g(0)B.g(0)＜f(3)＜f (2)C.f(2)＜g(0)＜f(3)D.g(0)＜f(2)＜f(3)8.设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数,则a ＝_________________. 9.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f(x)＝lgx,则满足f(x)＞0的x 的取值范围是____________.10.已知函数f(x)＝x 2-cosx,对于［2π-,2π］上的任意x 1,x 2,有如下条件:①x 1＞x 2;②x 12＞x 22;③|x 1|＞x 2. 其中能使f(x 1)＞f(x 2)恒成立的条件序号是____________.三、解答题11.已知qx px x f ++=32)(2是奇函数,且35)2(=f . (1)求实数p,q 的值; (2)判断函数f(x)在(-∞,-1)上的单调性,并加以证明.1、函数)1,0(,1)(∈=x xx f 的奇偶性是（） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2、若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是（）A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数3、若函数R x x f y ∈=),(是奇函数，且)2()1(f f <，则必有（）A ．)2()1(-<-f f B. )2()1(->-f f C.)2()1(-=-f f D.不确定4、函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（）A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->-C.)2()0()1(->>f f fD.)0()2()1(f f f >->5、已知函数)(x f y =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程0)(=x f 的所有实数根的和为（）A ．4 B.2 C.1 D.06、函数0,)(≠=a a x f 是_______函数.7、若函数)(x g 为R 上的奇函数，那么=-+)()(a g a g ______________.8、如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在区间[-7,-3]上的最______________值为____________.9、设函数)(),(x g x f 为定义域相同的奇函数，试问)()()(x g x f x F +=是奇函数还是偶函数，为什么？10、已知函数)(x f 是奇函数，它在),0(+∞上是增函数，且0)(<x f ，试问)(1)(x f x F =在)0,(-∞上是增函数还是减函数，为什么？。

函数奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性练习题1、判断下列函数的奇偶性。

（1）x xx x f -+-=11)1()(（非奇非偶）（2） 2|2|)1lg()(2---=x x x f （奇）（3）33)(22-+-=x x x f （奇偶）（4）2||)(2+--=a x x x f （a=0，偶；a ≠0，非奇非偶）（5）1212)(-+=x x x f （奇）（6）)1lg(2x x y ++=（奇）（7）1cos sin ()1cos sin x x f x x x -+=++ （8）1()x f x -=(奇)2、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，对于R x ∈∀，都有)23()23(x f x f --=+成立。

（1）证明：)(x f 是周期函数，并指出周期。

)()()]23(23[]23)23[()3()()(),23()23(x f x f x f x f x f x f x f x f x f =--=+--=++=+∴=---=+ 所以，)(x f 是周期函数，且3=T（2）若2)1(=f ，求)3()2(f f +的值。

-23．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（ A ）A ．-3B ．-1C ．１D ．３ 4．函数)(x f 的定义域为()()+∞⋃∞-,11,，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时，16122)(2+-=x x x f ，则直线2=y 与函数)(x f 图象的所有交点的横坐标之和是（ D ）A ．1B ．2C ．4D ．5解：f(x+1)是奇函数所以 f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且f(0+1)=0f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x)所以 f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0则当 x>1时（1） 2x²-12x+16=2x²-6x+7=0x=3±√2 两根都大于1即x>1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2（2） 2x²-12x+16=-2x²-6x+9=0x=3所以 x=3时，y=-2(3,-2)关于(1,0)的对称点为（-1,2）即 x<1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1所以，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是3+√2+3-√2+(-1)=55.下面四个结论中，正确命题的个数是 ( A )①偶函数的图象一定与y 轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）A.1B.2C.3D.46.设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，)1(log )(21x x f -=，则函数f (x )在(1,2)上( D )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>07．已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称；②)2(-x f 与)2(x f -的图象关于直线2=x 对称；③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称. 其中正确命题的个数为（C ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分析：①先用换元法将f （1+2x ）=f （1-2x ）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．②y=f （x-2）与y=f （2-x ）的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f （x ）与y=f （-x ）的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．③用-x 换x ，由题设条件和偶函数的性质得，f （2-x ）=-f （-x ）=-f （x ）=f （2+x ），故f （x ）的图象关于直线x=2对称． ④用-x 换x ，由题设条件和奇函数的性质得，f （-x ）=f （x-2），故y=f （x ）的图象关于直线x=-1对称．解答：解：①令t=1+2x ，可得2x=t-1，代入f （1+2x ）=f （1-2x ）得f （t ）=f （2-t ）由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f （x ）图象关于直线x=1对称即y=f （x ）的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．②由题设知y=f （2-x ）=f[-（x-2）]由于函数y=f （x ）与y=f （-x ）的图象关于直线x=0对称，又y=f （x-2）与y=f （2-x ）的图象可由函数y=f （x ）与y=f （-x ）的图象右移动2个单位而得到， ∴y=f （x-2）与y=f （2-x ）的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．③f （x ）为偶函数，且f （2+x ）=-f （x ），用-x 换x 得，f （2-x ）=-f （-x ）=-f （x ）=f （2+x ） ∴f （x ）的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．④∵y=f （x ）为奇函数，且f （x ）=f （-x-2），用-x 换x 得，f （-x ）=f （x-2），∴y=f （x ）的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题．故选C ．8.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ B ）A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.59．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( C )A ．－3 B ．3C ．－8 D ．810.已知函数f (x )满足：f (1)＝2，)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，则f (2011)等于( C ) A ．2 B ．－3 C ．－12 D.13[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x ) (x ∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2011)＝f (3)＝－12.[点评] 严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f x ＋11－f x ＋1＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )．即f (x )周期为 11.函数y ＝log 22－x 2＋x的图象( A ) A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称12.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=lg x+11，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg x-11=lg （1－x ）.答案：lg （1－x ）13.定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2008x ＋log 2008x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为3.14．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．(15.已知函数f(x)定义域为R ，则下列命题：①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y 轴对称；②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称；④若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。

函数奇偶性练习题(内含答案)

函数奇偶性一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)那么函数f(x)就叫做偶函数。

关于y轴对称，f（-x）=f（x）。

（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

关于原点对称，-f（x）=f（-x）。

奇偶函数图像的特征定理奇函数图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴成轴对称图形。

f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称点（x,y）→（-x,-y）f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y轴对称点（x,y）→（-x,y）奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

性质1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。

2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、奇±奇=奇偶±偶=偶奇X 奇=偶偶X 偶=偶奇X 偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）4、对于F （x ）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数，则F[x]是偶函数若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F （x ）是奇函数若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F （x ）是偶函数5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（）A ．31a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝03．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f （x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1．解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，xϕ为奇函数，(x=)∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C 7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）⇒f（x1）＜－f（x2）⇒f（x1）＞f（x2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x1，x2∈R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

(完整版)奇偶性练习题及答案

1.3.2 奇偶性1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝02．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)3．若函数f (x )＝ax ＋1x(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．任意a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．任意a ∈R ，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．存在a ∈R ，函数f (x )为奇函数D ．存在a ∈R ，函数f (x )为偶函数 4．若函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f (2)＝0，则()()f x f x x--的解集为( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 5.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时，f （x ）是增函数，则(2)()(3)f f f -π-，，的大小关系是（）A ．f (π)>f (3) >f (2)B ．f (π)>f (2)>f (3)C ．f (π)<f (3)<f (2)D ．f (π)<f (2)<f (3)二、填空题(本大题共4个小题，每小题6分，共24分) 6.若函数)(x f 满足)()(x f x f -=-，并且0>x 时，12)(3+-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f = .7.若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________. 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.三、解答题(本大题共3个小题，共46分) 10.（14分）判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋2|－211．（15分）设函数y ＝f （x ）（x R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证：f （x ）是偶函数.12．（17分）已知函数f (x )＝222,0,0,0,,0x x x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围一、选择题1.A 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴ a －1＝2a ，∴ 31=a ．故选A ． 2.D 解析：∵ f (x －4)＝－f (x )，∴ T ＝8.又f (x )是R 上的奇函数，∴ f (0)＝0. ∵ f (x )在[0,2]上是增函数，∴ f (x )在[0,2]上恒大于等于0.又f (x )是奇函数，∴ f (x )在[－2,0]上也是增函数，且f (x )在[2,0]上恒小于等于0.. 易知x ∈[2,4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．同理f (x )在[4,6]上为减函数且f (x )≤0.如图．∵ f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0，∴ f (－25)＜f (80)＜f (11)． 3.C 解析：当a ＝1时，函数f (x )在(0,1)上为减函数，A 错；当a ＝1时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，B 错；D 选项中的a 不存在．4.A 解析：因为函数f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝0，所以x >2或－2<x <0时，f (x )>0；x <－2或0<x <2时，f (x )<0.<0，即<0，可知－2<x <0或0<x <2.5.A 解析：因为()f x 是偶函数,所以()()()()22,33.f f f f -=-=因为当[0,)x ∈+∞时是增函数,所以()()()()()()23,23f f f f f f <<-<-<所以ππ.二、填空题 6.321x x -- 解析：当<x 时，x ->，()()()()332121f x f x x x x x ⎡⎤=--=----+=--⎣⎦.7. 0 解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴ f （－x ）＝f （x ），即(m －1)(－x )2＋2m （－x ）＋3＝（m 1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．8.－1 解析：令x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x (1－x ). 又f (x )为奇函数，所以当x <0时,f (x )＝x (1－x ). 当<0时,f (a )＝a (1－a )＝－2，得a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2(舍去)．当0时,即,无解.9.－0.5 解析：由f (x ＋2)＝－，得f (x ＋4)＝－＝f (x )，故f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，得f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴ f (1.5)＝－0.5. 故f (6.5)＝－0.5. 三、解答题10.解： (1)函数的定义域为{x |x ≠－1，}，不关于原点对称， ∴ 函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩≥≥得x ＝±1，此时f (x )＝0，x ∈{－1,1}．∴ f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵ ⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴ f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2＝4－x 2x .又f (－x )＝－4－x 2x ＝－f (x )，∴ f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2为奇函数．11.证明：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1，则f （1）＝2f （1），∴ f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，则 f ［－1×（－1）］＝2f （）＝0， ∴ （－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴ f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．12.解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]童年时，家是一声呼唤。

(完整版)函数奇偶性练习题(内含答案)

函数奇偶性练习（内含答案）一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f （x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则( ）A ．31=a ,b ＝0 B ．a ＝－1,b ＝0 C ．a ＝1,b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x )在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x(｜x ｜－1）C ．y ＝|x ｜（x －2）D ．y ＝x （|x ｜－2）4．已知f （x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2）＝10，那么f （2）等于( ）A ．－26B ．－18C ．－10D ．105．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数,2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3二、填空题7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数) ． 8．若y ＝（m －1)x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ,则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数,且其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x ）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0,2］上单调递减，若f （1－m ）＜f (m )，求实数m 的取值范围．12．已知函数f（x)满足f(x＋y）＋f(x－y）＝2f(x)·f（y）（x∈R，y∈R)，且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x)是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1,求f（x)在R上的表达式．14。

函数的奇偶性问题练习题(含答案)

函数的奇偶性问题一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）． ∴(2)(0)()(2)(0),,x x x f x x x x ⎧⎨⎩-≥=--<即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3． ∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为____奇函数____（填奇函数或偶函数）．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝____0_____．解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为____11)(2-=xx f ___．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ． 10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为___0 _____．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．（21<m ） 12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R上的表达式．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．（x ）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。