单纯形法的矩阵描述
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1.2.4单纯形法的矩阵表达
这样，标准形式的LP问题便化成：
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的
max z CB X B CN X N s.t. BX B NX N X s b X B 0, X N 0, X s 0
置入单纯形表，得：
B | N | I | 0 | b T CB | CN | 0 | z | 0
2
用B-1左乘上表中第一行各项，并B-用1 行初等变换方式Z0使基变
2.4 单纯形法的矩阵表达
前面讲解单纯形法都是用向量形式和分量形式表达的， 如果用矩阵表达就更加简单，在推导一些结论时也非 常有用。
设LP问题标准型为：
max z =CX AX +Xs= b
X 0
假设我们已经知道了其中一个基，不妨设前m列，则我 们就可以把各矩阵或向量改写成：
1
A (B, N, I ) X ( X B , X N , X s )T C (CB , CN , 0)
规则进行的初等变换，直到σ=CN-CBB-1N≤0得到最优解 为止。
这里需要特别指出的是如何在单纯形表中找到B-1，CBB-1， Z0等，进而可以矩阵运算。 Nhomakorabea3
量检验数为0
I | T CB |
B1N CN
Y=CBB-1单
纯形乘子
| B1 | 0 | B1b
|
0
| Z |
0
I | B1N | B1 | 0 | B1b 这就T是单纯0 形| C法N 的 C矩B阵B表1N达| ，C由BBTa1bIle| 可Z以| 看C出BB，单1b纯
形法的求解过程就是在上面表格的大矩阵中按照一定的
单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
单纯形法的矩阵描述
X=
X X
B N
X1=
B
1b 0
z1= CBB－1b
σN = CN－CBB－1N
σB=CB－CBB－1B=0
σA= C－CBB－1A σj= cj－CBB－1Pj
设初始基变量是松弛变量，占据A的后m列， 可行基B占据前m列，余下各列的子块仍用N表 示。即：A=（B N I），C=（CB CN 0）。把 上述各个公式运用于初始表和以B为基的单纯 形表中：
Cj
CB
CN
0
系数 基变量 解向量 XB
XN
XS
0
XS
b
B
N
I
σj
CB
CN
0
………..
………….
CB
XB
B－1b
I
B－1N
B－1
σj
0
CN－CBB－1N －CBB－1
例12 求下列LP问题
max z x2 3x3 2x5
x1 3x2 x3
2x5 7
2x2 4x3 x4
12
20
00
3 1 0
8 1 = 2 4 0
-2 0
4 3 1
0 x1 10 1 [5/2] 0 1/4 2 0
3 0
-1 3 0
x3 x6 σj x2 x3 x6 σj
3 0 -1/2 1 0 -5/2
0 1/2 4 2/5 1 5 1/5 0 11 1 0
-1/5 0
1 0 0 0 1 0 0
2 1/ 2 1/ 2
1 3
B P4
P1
P2
0
1
0 1
2 -1 1 0 0 0
x1 x2 x3 x4
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
线性规划单纯形法的矩阵表示
y1 y1 y2 y2 y 3
min cT x s.t. Ax b, Bx a, x 0.
max bT y1 aT y2 s.t. AT y1 BT y2 c 对偶 y1无限制, y2 0.
用对偶单纯形法求下列线性规划问题
min s.t.
x4
x5
右端项
-f x4 x1
0 3 0 1
-3 -2 4/3 1/3
3 1 1/3 -2/3
0 1 0
1 0 2/3 -1/3
-2 0
2/3
2/3
基变量
x1 0 0 1
x2 -3 4/3 1/3
x3 3 1/3 -2/3 x3 15/4 1/4 -3/4
x4 0 1 0 x4 9/4 3/4 -1/4
两阶段
min a s.t. 2 x1 2 x2 x3 x4 2, 3 x1 x2 2 x3 x5 a 2, xi 0, i 1, ,5, a 0.
第一阶段 k=1
基变量
-f
x4 a
x1 -3 0 2 3
x2 -1 0 2 1
x3 2 0 -1 -2
1
无穷多个最优解：cN
且其中有一个检验数=0 无最优解(无有界解)：
cN cB B N
1
有一个变量是负数,且该变量所在列向量是非正的.
4（1）用单纯形法求下列线性规划问题.
max 5 x1 6 x2 4 x3 s.t. 2 x1 2 x2 5, 5 x1 3x2 4 x3 15, x1 x2 10,
T
T
max b y s.t. A yc y0
s.t.
单纯形法
四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
3.1单纯形法的矩阵描述
故所有检验数可表示 C C B B1 A与 C B B1
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
§3.1 单纯形法的矩阵描述
• (2)单纯形表与矩阵表示的关系
Page 8
由（ 3 - 5)、（ 3 - 6)式知 X B +B 1 NX N B 1b - z (C N C B B N ) X N -C B B b
Page 5
由(3 - 3)式知 BX B b NX N X B B 1b B 1 NX N 上式代入 (3 - 2)式得 z C B (B 1b B 1 NX N ) C N X N =C B B 1 b ( C N C B B 1 N ) X N (3 6 ) (3 5)
因为，不满足最优性条件，所以不是最优解
小结
学习要点：
Page 14
1. 掌握矩阵的运算； 2.理解基矩阵的作用； 3.了解矩阵运算与单纯表的关系。
The end,thank yoቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ!
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
§3.3 对偶问题的提出
§3.4 线性规划的对偶理论
§3.5 影子价格
§3.6 对偶单纯形法
§3.7 灵敏度分析
( Duality Theory )
量是基变量， 从而确定基矩 阵； b.求基矩阵的 逆矩阵； c.求检验数。
N 1 3
1 / 2 0 2 1 1 4 1 3 0 4 0 1 1 1 2 0
1 3 0 4 2 2 3 1 2
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 12 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
第01-03章线性规划(2)
三、建立线性规划模型的步骤：
确定决策变量； 确定决策变量； 明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等 式表示； 式表示； 用决策变量的线性函数表示目标， 用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求 极大（Max）还是极小（Min） 极大（Max）还是极小（Min）； 根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负 性
方 案1 方 案2 方 案3 方 案4 方 案5 方 案6 方 案7 方 案8 2.9 m 1 2 0 1 0 1 0 0 2.1 m 0 0 2 2 1 1 3 0 1.5 m 3 1 2 0 3 1 0 4 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6 6.5 6.3 6.0 合 计 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.1 1.4 剩 料 余 头
2.LP问题的典式 2.LP问题的典式 Z=CX → Z= CBXB+CNXN AX=b → BXB+NXN=b X≥0 XB=B-1b - B-1NXN Z= CB(B-1b- B-1NXN)+CNXN = CB B-1b+ (CN- CB B-1N)XN IXB + B-1NXN = B-1b
cj→ cB XB x2 x5 x6 cj － zj
。。。。
3 b 8/3 x1 2/3 -4/3 5/3 -1/3
5 x2 1 0 0 0
4 x3 0 5 4 4 ……….
0 x4 1/3 -2/3 -2/3 -5/3
0 x5 0 1 0 0
0 x6 0 0 1 0
14/3 20/3
x2 x3 x1 cj － zj
1 0 0 0
0 1 0 0
15/41 -6/41 -2/41 -45/41
8/41 5/41 -12/41 -24/41
单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述
考虑将单纯形法的求解过程⽤矩阵进⾏描述，对于已经引⼊松弛变量的 LP 问题，其约束条件
BX B+NX N=b
⽬标函数
C B X B+C N X N=z
联⽴消去X B得
z=C B B−1b+(C N−C B B−1N)X N
其中C N−C B B−1N就是所谓的检验数σ。
因此，单纯形表可以描述为
基变量X B⾮基变量X N右侧 RHS
系数矩阵I B−1N B−1b
检验数0C N−C B B−1N−C B B−1b
任意时刻各个部分的核⼼是某个已知矩阵的部分左乘⼀个B−1，因此求解的核⼼在于快速地维护B−1。
以下我们设P k是x k对应的原始系数矩阵的那⼀列。
我们有递推式
B−1i=E i B−1i−1
其中E i是把⼀个单位矩阵中，第j列替换为ξi后的结果，其中j表⽰本次新换⼊的基在B i中对应第j列，ξi由本次换⼊变量在换⼊前B−1i−1N i−1中对应的列 (a1,a2,...,a m) 变换得到，设l是换出变量对应的⾏，则
ξi=(−a1
a l
,...,
1
a l
,...,−
a m
a l
)
于是，
B−1i=(e1,...,e j−1,ξi,e j+1,...,e m)B−1i−1换⼊变量求解根据检验数
σi=C N
i −C B
i
B−1i N i
中找最⼩值下标即可得到，换出变量根据θ法则求θ=min
即可得到。
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
单纯形法的矩阵描述
σj
7 0 0 0 -15
45
0 x3 0 0 1 -1 1 1
B-1b
7 x1 1 0 0 1 -2 2
15 x2 0 1 0 0 1 3
σj
0 0 0 -7 -1
59
最优基矩阵旳逆矩阵B-1
Page 11
基矩阵：
1 1 1
B p3
p1
p2
0 0
1 0
2 1
基矩阵旳逆矩阵：
1 1 1
0 1 -1 00 1 10 0 0 0 -7
1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0
11 -2 2 13 -1
1 2
p3
p1
1
松弛变量旳价值系数为0 x1、x2旳价值系数设为c1、c2
p2
0 − c1 = −7
0 +2c1−c2 = −1
c1 = 7 c2 = 15
1 1 1 1 1 0 0
量旳系数矩阵,则
(
X
,
X
S
)
X X
B N
，(C
,
CS
)
(CB
,
CN
);
§3.1 单纯形法旳矩阵描述 Page 5
目标函数
约束条件 非负条件
max
z
CX
(CB ,CN
)
XB XN
CB XB CN XN
(3 2)
( B,
N
)
XB XN
BX B
NX N
b
(3 3)
X B，X N 0
Page 13
例3：试验证X=(0,2,0,0,2)T是否是下列线性规划问题旳最优解。
第一节单纯形法的矩阵描述及改进单纯形法介绍-精品文档
矩阵单纯形法计算的描述
当基变量为 X B 时，新的单纯形表
基变量 非基变量
C B
X Bb B cj zj
1
X B I 0
X X N s 1 BN B 1 1 C C B N C N B BB
当前基解
当前检验数
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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修正单纯形法简介
原因：
单纯形法的目的是要求问题的最优解， 而在迭代过程中，单纯形表中的某些列与 求最优解关系不大。因此，对单纯形法进 行修正。
思路：
~ ~ , P b , P , , 每次迭代关键求出 B k k j i
1
需要换入的变量对应的列
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
特点：
1. 2.
具有一定的输入和输出 在将输入转换成输出的过程中，努力实现自身的决策 目标。
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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重要概念
决策单元的相对有效性
评价的依据是决策单元的“输入”和“ 输出”数据，根据输入和输出数据来评价决 策单元的优劣。 决策单元的相对有效性（即决策单元的优劣 ）被称为DEA有效，它用数学规划模型计 算比较决策单元之间的相对效率，为评价对 象作出评价。
第一节 单纯形法的矩阵描述 及改进单纯形法介绍
单纯形法的矩阵描述
继续
改进单纯形法介绍
返回
单 大 纯 规 形 对 模 法 偶 线 矩 问 性 题 阵 规 描 划 述
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单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题
157单纯形法的矩阵描述及应用举例课案
14:00-15:00 15:00-16:00
到达快件数 3000 4000
1-23
11:00-12:00
2500
16:00-17:00
4500
12:00-13:00
4500
17:00-18:00
3500
13:00-14:00
2500
18:00-19:00
3000
该分拣部每天从早8:00-19:00对外营业,快件的分拣由工人操作机器进
(2)只允许第一年初投入，于第二年末收回，本利合计为投资额 的150%，但此类投资限额不超过15万元；
(3)允许于第二年初投入，于第三年末收回，本利合计为投资额 的160%，但限额投资20万元；
(4)允许于第三年初投入，年末收回，可获利40%，但限额为10 万元.
试为该公司确定一个使第三年末本利和为最大的投资组合方案.
返回
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解：用 xkj 表示第 j 种产品在第 k 个月的生产量， Skj 表示第 j 种产品 在第k个月的销售量，Ikj 表示第 j 种产品在第k个月的库存量， Rkj 表 示第 j 种产品在第k个月的最大需求量， Cki 表示第 i种设备在第 k 个 月的生产能力， Pj 表示单位 j 种产品的售价， Vkj 为单位 j 种产品第 k 个月的生产成本， aij 为单位 j 种产品所需 i 设备工时，则可建立问 题的数学模型为：
x12
150000
下页
x23
200000
返回
x34 100000
x11,L , x34 0
上页 下页 返回
例3 生产、库存与设备维修综合计划的安排
Chapter 2.7 单纯形法的矩阵描述
x6 0 0 1
0
j
0
4
0
-3
5
故此单纯形表不是最优表，下面我们利用矩阵的 关系分析一下。
从前面的分析知道，在初始单纯形表中的(B,N) 矩阵最后我们会化为矩阵(I, B 1 N )
由于给定基变量为x3,x2,x5，因此表格中 x3,x2,x5的列向量分别为
1 0 , 0
2.7 单纯形法的矩阵描述
一、为什么要研究单纯形法的矩阵描述？
& 进一步讨论改进单纯形法 & 便于理论推导（如对偶定理的证明）
二、怎样进行矩阵描述？
关键——写出两个基本的表达式。
1、准备工作：
（1）标准型的矩阵形式—— MaxZ CX
AX b s.t. X 0 （2）将式中矩阵写成分块矩阵形式
b
B-1b -CBB-1bXBI 0 NhomakorabeaXN
B-1N CN-CBB-1 N
XS
B-1 -CBB-1
单纯形法的矩阵描述
XB CB B-1b x1 x2 x3 x4 x5
ɵ
90
40 30 30.8 20 100
x3
x4 x5 x3 x4 x2
0
0 0 0 0 12
360
200 300 240 50 30
9
C (C B C N )
X ( X B X N )T
A ( P , P2 ,, Pn ) ( B N ) 1
2、将分块形式代入矩阵形式标准 型，得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
XB AX ( B N ) BX B NX N b X N
CB ( B 1b B 1 NX N ) C N X N CB B 1b CB B 1 NX N C N X N CB B b (C N CB B N ) X N Z CB B 1b N X N
单纯形法解法的矩阵描述及灵敏度分析讲解
1.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
2 x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
cj zj 0 0 0 1/8 9/ 4
对变化后的单纯形表继续迭代
c j 1.5 2 0 0
0
CB X B b x1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
2
-2
-2
B的逆阵 B-1
知识点1
• 目标函数为max时，判断最优的准则为 б≤0；
• 目标函数为min时，迭代过程与max一样 ，判断最优的准则为σ≥0。
知识点2
• 性质6：线性规划的原问题与其对偶问题 之间存在一对互补的基解；其中原问题 的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶 问题的剩余变量对应原问题的变量；这 些互相对应的变量如果在一个问题的解 中是基变量，则在另一个问题的解中是 非基变量；将这对互补的基解分别代入 原问题和对偶问题的目标函数有z=ω。
单纯形法解法的矩阵描述及 灵敏度分析
张林刚 经济与管理学院
单纯形解法的矩阵描述
• 线性规划问题
max z CX
s.t.
AX b X 0
• 引入松弛变量Xs,化为标准型：
max z CX 0X s
s.t.
AX IX X 0, X
s s
b 0
单纯形解法的矩阵描述
2
x1 x1
x2 2x3 4x3 4
2
x1, x2, x3 0
加入松弛变量x4、x5，对上述模型进行标准化处理
max z 6x1 2x2 3x3 0x4 0x5
2
3.2单纯形法的矩阵计算
1 1 1
X N1 ( x1, x5 )T
1 0 1 / 2 1 0 2,0 (0,0,3) 0 1 0 4 0 0 0 1 / 4 0 1 (2, 3 / 4) 对应 x1 , x5
换入变量
求逆矩阵b1得初始基本可行解2计算单纯形乘子和目标函数值3计算非基变量检验数确定为换入变量计算0则问题没有有限最优解停止计算否则转下一步
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
xk
,若
B-1Pk
，则已得最优解，停止计算；否则转下一步。
（4）据 -1
B Pk
，确定
为换入变量，计算
,
若
≤0，则问题没有有限最优解，停止计算，否则转
下一步。
Page 9
-1 (B-1b)l (B b)i -1 （5）据min -1 /(B Pk )i >0 = -1 ，确定 xl (B Pk )l (B Pk )i
a1m alm amm
§3.2 单纯形法的矩阵计算
1 Bnew EB1 , 其中E (e1 ,
Page 6
, e l 1 , , e l 1 ,
, em )
a1k P1 alk a mk
§2 改进单纯形法
(3) 确定换出变量
Page 12
B01b i min 1 B01 P2 0 B0 P2 i 12 8 min , , 3 x5 4 2
X N1 ( x1, x5 )T
1 0 1 / 2 1 0 2,0 (0,0,3) 0 1 0 4 0 0 0 1 / 4 0 1 (2, 3 / 4) 对应 x1 , x5
换入变量
求逆矩阵b1得初始基本可行解2计算单纯形乘子和目标函数值3计算非基变量检验数确定为换入变量计算0则问题没有有限最优解停止计算否则转下一步
运筹学
( Operations Research )
Chapter3 对偶理论和灵敏度分析
本章主要内容：
§3.1 单纯形法的矩阵描述 §3.2 单纯形法的矩阵计算
xk
,若
B-1Pk
，则已得最优解，停止计算；否则转下一步。
（4）据 -1
B Pk
，确定
为换入变量，计算
,
若
≤0，则问题没有有限最优解，停止计算，否则转
下一步。
Page 9
-1 (B-1b)l (B b)i -1 （5）据min -1 /(B Pk )i >0 = -1 ，确定 xl (B Pk )l (B Pk )i
a1m alm amm
§3.2 单纯形法的矩阵计算
1 Bnew EB1 , 其中E (e1 ,
Page 6
, e l 1 , , e l 1 ,
, em )
a1k P1 alk a mk
§2 改进单纯形法
(3) 确定换出变量
Page 12
B01b i min 1 B01 P2 0 B0 P2 i 12 8 min , , 3 x5 4 2
单纯形法的矩阵描述及应用举例课案课件
或确定无界解。
03
单纯形法的应用举例
线性规划问题的实际应用
01
02
03
生产计划问题
在给定资源限制和市场需 求下，如何安排生产计划 以最大化利润。
运输问题
如何优化运输路线和车辆 配置，以最小化运输成本 。
投资组合优化
在给定风险和收益目标下 ，如何配置资产以最大化 收益。
求解线性方程组
线性方程组
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为 未知数向量，b为常数向量。
THANKS
感谢观看
线性方程组的解法
通过单纯形法迭代求解线性方程 组，得到x的解。
最短路问题
最短路问题描述
给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
最短路问题的解法
将最短路问题转化为线性规划问题，然后利用单纯形法求解。
04
单纯形法的优缺点
优点
高效性
单纯形法是一种求解线性 规划问题的有效方法，特 别是对于大规模问题，其 计算效率相对较高。
在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能 找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本 。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可 能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法 进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是 相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件 较多或目标函数较复杂的问题时。
单纯形法与分解算法结合
单纯形法可以作为分解算法中的一个子步骤，用于解决每个小规模的子问题。通 过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到原问题的最优解。
非线性规划问题的近似算法
03
单纯形法的应用举例
线性规划问题的实际应用
01
02
03
生产计划问题
在给定资源限制和市场需 求下，如何安排生产计划 以最大化利润。
运输问题
如何优化运输路线和车辆 配置，以最小化运输成本 。
投资组合优化
在给定风险和收益目标下 ，如何配置资产以最大化 收益。
求解线性方程组
线性方程组
Ax=b，其中A为系数矩阵，x为 未知数向量，b为常数向量。
THANKS
感谢观看
线性方程组的解法
通过单纯形法迭代求解线性方程 组，得到x的解。
最短路问题
最短路问题描述
给定一个有向图，求从起点到终点的最短路径。
最短路问题的解法
将最短路问题转化为线性规划问题，然后利用单纯形法求解。
04
单纯形法的优缺点
优点
高效性
单纯形法是一种求解线性 规划问题的有效方法，特 别是对于大规模问题，其 计算效率相对较高。
在某些情况下，单纯形法需要进行多次迭代才能 找到最优解，这会增加计算的复杂度和时间成本 。
对约束条件的处理可能较为复杂
对于具有非线性或非凸约束的问题，单纯形法可 能无法找到全局最优解，或者需要采用其他方法 进行优化。
05
单纯形法的改进与扩展
对偶问题与对偶单纯形法
对偶问题
在优化问题中，原问题与对偶问题是等价的，即它们的解是 相同的。对偶问题通常更容易求解，特别是在处理约束条件 较多或目标函数较复杂的问题时。
单纯形法与分解算法结合
单纯形法可以作为分解算法中的一个子步骤，用于解决每个小规模的子问题。通 过迭代的方式逐步求解子问题，最终得到原问题的最优解。
非线性规划问题的近似算法
单纯形法的矩阵描述课件PPT
单纯形法的基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的 算法。
它通过迭代的方法，不断寻找最优解 ，直到找到最优解或确定无解为止。
单纯形法的步骤
01
初始化
设置初始单纯形表格，选择一个初始基可行解。
02 03
迭代
通过迭代的方式，不断寻找最优解。在每次迭代中，根据单纯形表格进 行相应的操作，包括进基、离基、换基等步骤，直到找到最优解或确定 无解。
初始解选择
选择合适的初始解，避免 陷入循环的可能性。
算法终止条件
设置合适的终止条件，在 循环发生之前提前结束算 法。
启发式搜索策略
引入启发式搜索策略，指 导算法跳过可能导致循环 的解。
处理特殊情况的方法
异常处理
针对特殊情况，如输入数据错误、 矩阵奇异等情况，设计异常处理 机制。
边界情况处理
对算法边界情况进行特殊处理，确 保算法的正确性和稳定性。
生产调度
通过单纯形法，企业可以优化生 产调度，合理安排生产任务，提
高生产线的协同作业能力。
在金融投资组合中的应用
投资组合优化
单纯形法可用于优化金融投资组合，帮助投资者 选择最佳的投资组合方案，降低投资风险。
风险控制
在金融投资中，单纯形法可以帮助投资者控制风 险，通过分散投资降低资产波动。
收益最大化
单纯形法的矩阵描述课件
目 录
• 单纯形法简介 • 单纯形法的矩阵描述 • 单纯形法的实现 • 单纯形法的改进与优化 • 单纯形法的应用 • 总结与展望
01 单纯形法简介
线性规划问题
01
线性规划问题是在一组线性不等 式约束下，最大化或最小化一个 线性目标函数的问题。
02
线性规划问题在运筹学、经济学 、管理学等领域有广泛的应用。
单纯形法
z z0 j x j
j m 1
n(1.2.21)称 j ( j m 1 ,, n ) 为检验数。
定理1.2.1 设（1.2.17）和（1.2.21）是最大
化线性规划问题关于当前基本可行解x*的两个典式。
若关于非基变量的所有检验数σ j≤0成立，则当前
基本可行解x*就是最优解。 将σ j≤0称为最大化问题的最优性准则。显然， 对于最小化问题最优性准则应是σ j≥0。
30x1 + x3 = 160 - 20x2 5x1 = 15 - x2 - x4 （1.2.6） x1 + x5 = 4 进一步分析，用消元法将（1.2.6）中x1的系数列向量 （30,5,1）T 化成(1.2.3)中x4的系数矩阵（0,1,0）T
的形式。得到：
x3 = 70 - 14x2 + 6x4 x1 = 3 - 1/5x2 - 1/5x4
(b'1, b'2, … , b'm ,0 , …, 0)T是当前基本可行解。若有一个非
基变量xm+t的检验数σ
m+t>0，且xm+t对应的系数列向量
P'm+t=(a'1,m+t,a'2,m+t,„，a'm,m+t)中，所有分量a'i,m+t≤0，则该 线性规划问题具有无界解（或称无最优解）。
1.2.2 单纯形表
x2= 5 - 1/14x3 + 3/7x4
x1 = 2 + 1/70x3 - 2/7x4
（1.2.11）
x5 = 2 - 1/70x3+ 2/7x4
将（1.2.11）代入目标函数式，得到用非基变 量x 3
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1
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
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初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
对 偶 问 题
第一节 单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述 单纯形法计算的矩阵描述
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1
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
设线性规划问题
max z CX AX b s.t X 0
上页 下页
不妨设基为
则
返回
B P1 P2 Pm A ( P1 P2 Pn ) ( B N ) X (XB XN ) C (CB CN )
非基变量
2
基变量
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ...X xBm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m
xm 非基变量 XN 1 .... x n a1m 1 ...a1n a2 m 1 ... a 2n N
max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0
10
标准型
对 偶 问 题
max z CB X B C N X N 0 X S BX B NX N IX S b s.t. XB, XN , XS 0
1
z0 C B B b
当前目标值
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
检验数
N C N CB B N
1
(Cm1， ，Cn ) CB ( B Pm 1， ，B Pn )
1
1
m1 Cm1 CB B 1Pm1 n Cn CB B Pn
上页 下页 返回
0
XS
检验数
b
XB XN XS B N I CB C N 0
初始基变量 13
迭代后单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
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CB
XB XN XS 1 1 1 1 XB B b B B B N B I
0
14
检验数
CN CB B1N CB B1
XB B b 1 N B N 1 N CN CB B N z C B 1b B 0
1
9
单纯形法计算的矩阵描述
对 偶 问 题
线性规划问题
max z CX AX b s.t. X 0
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化为标准型，引入松弛变量 X s
1
B N B
z0检验数 CB B b
当前基可行解
CN CB B1N CB B1
当前检验数对 偶 问 题下一节 对偶问题的提出
——掌握如何写出对偶问题
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16
对 偶 问 题
B 1b 1 i min B P 0 迭代后单纯形表 j i B 1 Pj i
价值系数
基变量的 基变量 价值系数 等式 右边 RHS 1
CB
CN
1
0
1
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XB XN XS
I 0
15
CB
XB B b
非基阵 ......
b b1 b2 bm 0
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amm 1 ...amn cm 1 C
3
N
cn
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
约束方程组
XB AX b ( B N ) XN BX B NX N b X B B (b NX N ) B b B NX N
非基阵 ......
b b1 b2 bm 0
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amm 1 ...amn cm 1 C
8
N
cn
对 偶 问 题
当已知一个线性规划的可行基B时，先求 矩阵描述时的常用公式 出 B 1 ，再用这些运算公式可得到单纯 形法所要求的结果。
上页 下页 返回
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
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典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
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初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
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XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
对 偶 问 题
第一节 单纯形法的矩阵描述
单纯形法的矩阵描述 单纯形法计算的矩阵描述
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1
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
设线性规划问题
max z CX AX b s.t X 0
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不妨设基为
则
返回
B P1 P2 Pm A ( P1 P2 Pn ) ( B N ) X (XB XN ) C (CB CN )
非基变量
2
基变量
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ...X xBm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m
xm 非基变量 XN 1 .... x n a1m 1 ...a1n a2 m 1 ... a 2n N
max z CX 0 X s AX IX s b s.t. X 0, X s 0
10
标准型
对 偶 问 题
max z CB X B C N X N 0 X S BX B NX N IX S b s.t. XB, XN , XS 0
1
z0 C B B b
当前目标值
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
检验数
N C N CB B N
1
(Cm1， ，Cn ) CB ( B Pm 1， ，B Pn )
1
1
m1 Cm1 CB B 1Pm1 n Cn CB B Pn
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0
XS
检验数
b
XB XN XS B N I CB C N 0
初始基变量 13
迭代后单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
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CB
XB XN XS 1 1 1 1 XB B b B B B N B I
0
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检验数
CN CB B1N CB B1
XB B b 1 N B N 1 N CN CB B N z C B 1b B 0
1
9
单纯形法计算的矩阵描述
对 偶 问 题
线性规划问题
max z CX AX b s.t. X 0
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化为标准型，引入松弛变量 X s
1
B N B
z0检验数 CB B b
当前基可行解
CN CB B1N CB B1
当前检验数对 偶 问 题下一节 对偶问题的提出
——掌握如何写出对偶问题
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对 偶 问 题
B 1b 1 i min B P 0 迭代后单纯形表 j i B 1 Pj i
价值系数
基变量的 基变量 价值系数 等式 右边 RHS 1
CB
CN
1
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XB XN XS
I 0
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CB
XB B b
非基阵 ......
b b1 b2 bm 0
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amm 1 ...amn cm 1 C
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N
cn
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
约束方程组
XB AX b ( B N ) XN BX B NX N b X B B (b NX N ) B b B NX N
非基阵 ......
b b1 b2 bm 0
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amm 1 ...amn cm 1 C
8
N
cn
对 偶 问 题
当已知一个线性规划的可行基B时，先求 矩阵描述时的常用公式 出 B 1 ，再用这些运算公式可得到单纯 形法所要求的结果。
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