第七章 传递函数矩阵的矩阵分式描述

故N (s) N (s)R1(s), D(s) D (s)R1(s) N (s), D(s)一定是右互质的.
由此,G(s) N (s)D1(s)就是一个不可简约MFD.
算法2：由一个可简约的MFD 求不可简约的MFD
设G(s) N (s)D 1(s), N (s), D (s)非右互质,
U
只有正则的G(s)是物理可实现的,因而着重研究正则有 理矩阵G(s)的不可简约矩阵分工描述.
对非正则的情形Байду номын сангаас即
G(s) N(s)D1(s)非正则, 类似于SISO,总有
G(s) N(s)D1(s) R(s)D1(s) Q(s)
严格正则
多项式矩阵
二.不可简约矩阵分式描述
G(s)的右互质和左互质MFD,统称为G(s)的不可简约MFD. 1. 性质 (1)不可简约MFD不唯一。所有左（或右）不可简约MFD
0
消掉 i (s) 的公因子 特征1
d (s)
由i (s) | i1(s) 特征2
几点讨论：
（1）Smith-Mcmillan形对给定的G(s)唯一，但{U(s),V(s)}不唯一。
（2）若G(s)为方阵，且非奇异，则
r
det G(s)
i (s)
i1 i (s)
（3）M(s)可表为
1 ( s)
D (s)N
(s) (s)
R0(s),
R(s)非单模,
但非奇异
D
N
(s) (s)
U
1
(
s)
R(s)
0
V
R(s)
(s)
0
V11 ( s ) V21(s)
V12 (s) V22 (s)
R(s)
0
V11(s)R(s) V21(s)R(s)
有D (s) V11(s)R(s), N (s) V21(s)R(s)
1(s)
1
M (s)
0
0
r
(s)
0
r (s)
I
(s)
1 ( s)
U (s)G(s)V (s) M (s) (s)1(s)
G(s) U 1(s)M (s)V 1(s)
U 1(s)(s)1(s)V 1(s)
[U 1(s)(s)][V (s)(s)]1 N (s)D1(s)
7. 传递函数矩阵的矩阵分式描述
一. 基本概念
G(s)q p N (s)q p D1(s) p p A1(s)qq B(s)q p
• MFD的次数定义为其“分母矩阵”的行列式的次数。 • 若N (s)D 1(s)为G(s)的一个右MFD,即G(s) N (s)D 1(s),
则N (s)W (s)[D(s)W (s)]1也是G(s)的一个右MFD.
N (s), D(s)必为右互质, N (s)D1(s)是G(s)的不可简约MFD. 是MFD无疑,为何互质? 由互质性的秩判据, (s),(s)右互质
U
(s)
(s)
(s)
R(s)
0
,
R(s)单模
R(s)
V (s)
1 V (s)
0
U (s)
U 1(s)
(s)
U
1
(s)
(s
)
U~(s)
之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其为广 义唯一的。
即: 设G(s) N1(s)D11(s) N2 (s)D21(s)不可简约 则D1(s) D2 (s)U (s) N1(s) N2 (s)U (s) U (s)为单模矩阵.
证明:
N1(s)D11(s) N2 (s)D21(s)
N1(s) N2 (s)D21(s)D1(s)
因此，一个已知的G(s)，其MFD表达不唯一，其次数 也不唯一。 • 在G(s)的所有MFD中，次数最小的MFD称为最小阶 MFD，它也不唯一。
在 G(s) N (s)D1(s) 中,若N(s),D(s)是右互质的,则它 是最小阶的.反之亦成立.
若N(s),D(s)非互质,消去最大公因子,可得最小阶MFD.
设D21(s)D1(s) U (s),只要证U (s)为单模矩阵.
即证U (s),U 1(s)都是多项式矩阵.
已知N2 (s), D2 (s)右互质,由贝佐特等式判据,有 X~(s)D2 (s) Y~(s)N2 (s) I
将D2 (s) D1(s)U 1(s), N2 (s) N1(s)U 1(s)代入 [ X~(s)D1(s) Y~(s)N1(s)]U 1(s) I U (s) X~(s)D1(s) Y~(s)N1(s)是多项式矩阵.
2. 求不可简约矩阵分式描述 算法1：由一个可简约的MFD 求不可简约的MFD
设G(s) N (s)D 1(s)为任一可简约的MFD,
N (s), D (s)非右互质,可用构造定理求出其gcrd
Uˆ
N (s)D
(s) (s)
R0(s),
R(s)非单模,
但非奇异
由gcrd的定义,有N (s) N (s)R(s), D (s) D(s)R(s)
• 对N(s),D(s)已互质的最小阶MFD,最大公因子是单模阵, 其行列式为非零常数,不影响G(s)的阶次. G(s) N (s)U (s)[D(s)U (s)]1(U (s)单模) 也是最小阶 的,故最小阶MFD也不唯一,但次数不变.
对互质的MFD(也称为不可简约分式描述)最感兴趣.要 着重研究.
0
• •
左上角为r*r对角阵，余为0，且 i (s) | i1(s), i1(s) | i (s)
i
(
s)
i
(
s)
互质。
G(s)可表为G(s) 1 N (s) d (s)
再将N (s)化为smith形[通过行(列)初等变换]
1 ( s )
U (s)G(s)V (s)
1
d(s)
0
0
r (s)
G(s) A1(s)B(s),即左不可简约MFD.
3. 规范形MFD
史密斯--麦克米伦标准形 形态特征：将多项式矩阵的smith形推广应用到有理分式矩阵G(s)
得到Smith-McMillan形
1(s)
1 ( s)
U (s)G(s)V (s) M (s)
r (s)
0
0
r (s)
同理,由N1(s), D1(s)右互质,可得U 1(s)为多项式矩阵. 故U (s)是单模矩阵.
(2)所有的可简约MFD,如 N (s)D 1(s) 都可通过不可简约 的MFD如 N (s)D1(s) 得到。即总有多项式矩阵T(s) （不是单模矩阵）,使
N (s) N (s)T (s)
D (s) D(s)T (s)
故G(s) V21(s)V111(s)是一个不可简约的右MFD.
算法3：由一个可简约的右MFD N (s)D 1(s) 求不可简 约的左MFD
step1:由矩阵方程 B (s)
D (s)
A(s)
N
(s)
0
求出多项项矩阵解{A(s), B (s)}
G(s) A 1(s)B (s)
step2 :由A 1(s)B (s)再求左互质A1(s)B(s),得
说明： N (s)D 1(s) 可简约，其最大公因子R(s)不 是单模矩阵，但非奇。提出并约去R(s)，可得一互质的， 即不可简约的MFD。这样得到的不可简约的MFD很可 能不同于给定的 N (s)D1(s) ，但其只差一个单模矩阵 U(s)，由此单模矩阵和R(s)即可构造出T(s)=U(s)R(s). (3)所有的不可简约MFD， G(s) Ni (s)Di1(s), i 1,2, 分子Ni (s), i 1,2, 具有相同的 Smith形(不变多项式相同 ) 分母Di (s), i 1,2, 具有相同的不变多项式
说明：
N j (s) N1(s)U j (s) (s) U (s)N1(s)V (s) U (s)[N j (s)U 1 j (s)]V (s) U (s)N j (s)V (s) 所以smith形相同 对Dj (s)可按相同的方法证.也可照书
前面讨论的是右MFD，对左MFD有相似的结论，形式上 对偶。
V (s)(s) U 1(s)(s)
U~(s)
D(s) N (s)
故N (s), D(s)的最大公因子也是R(s), R(s)单模, N (s), D(s)右互质.
• 作业：7.8,7.13