13 传递函数矩阵及离散系统
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性
现代控制理论第3章传递函数矩阵的结构特性控制理论是现代科学技术的重要组成部分，它主要研究如何通过合理的方式对动力系统进行控制。
传递函数是控制理论中的一个重要概念，它是描述控制系统中输入和输出之间关系的数学模型。
在现代控制理论中，传递函数矩阵作为传递函数的扩展，是一种描述多输入多输出系统的数学模型，具有一些特殊的结构特性。
首先，传递函数矩阵的维度决定了系统的输入和输出的数量。
设系统的输入和输出分别为u和y，传递函数矩阵的维度为p×m，其中p是输出的数量，m是输入的数量。
这意味着系统的输出是由m个输入共同作用决定的，而系统的输出也会影响到m个输入。
传递函数矩阵的维度结构清晰明确，可以直观地反映系统的复杂性和耦合程度。
其次，传递函数矩阵可以通过分块矩阵的形式表示。
在传递函数矩阵中，每个元素都是一个标量传递函数，表示输入对应输出的单一影响。
将传递函数矩阵按照行和列的方式进行分块，可以更好地表示系统的结构和功能，方便进行系统分析和设计。
例如，可以将传递函数矩阵按照行进行分块，每个分块表示一个输出对所有输入的传递函数，即系统的局部传递函数。
这种分块的方式有助于分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质。
第三，传递函数矩阵具有可乘性和可加性。
传递函数矩阵之间可以进行乘法和加法运算，得到的结果仍然是一个传递函数矩阵。
这使得系统的复杂行为可以通过简单的计算表达出来。
例如，两个传递函数矩阵相乘可以表示两个系统级联的结果，即一个系统的输出作为另一个系统的输入，从而形成一个新的系统。
传递函数矩阵的可乘性和可加性为系统分析和设计提供了便利。
最后，传递函数矩阵具有一些特殊结构，如分数阶传递函数矩阵和时滞传递函数矩阵等。
分数阶传递函数矩阵是一类常见的非整数阶动力系统的数学模型，广泛应用于控制系统、信号处理和通信系统等领域。
时滞传递函数矩阵描述的是系统的输入和输出之间存在一定的延迟，这在实际控制系统中是常见的现象。
对于这些特殊结构的传递函数矩阵，需要采用不同的方法进行分析和设计，以满足系统要求。
自动控制原理离散系统知识点总结
自动控制原理离散系统知识点总结自动控制原理中的离散系统是指在时间域和数值范围上都是离散的系统。
在离散系统中，信号是以离散时间点的形式传递和处理的。
本文将对自动控制原理离散系统的知识点进行总结，包括离散系统的概念、离散信号与离散系统的数学表示、离散系统的稳定性分析与设计等。
一、离散系统的概念与特点离散系统是指系统输入、输出和状态在时间上都是以离散的方式存在的系统。
与连续系统相比，离散系统具有以下特点：1. 离散时间：离散系统的输入、输出和状态是在离散时间点上采样得到的，而不是连续的时间信号。
2. 离散数值：离散系统的输入、输出和状态都是以离散数值的形式存在的，而不是连续的模拟数值。
二、离散信号与离散系统的数学表示离散信号是指在离散时间点上采样得到的信号。
离散系统可以通过离散信号的输入与输出之间的关系进行描述。
常见的离散系统数学表示方法有差分方程和离散时间传递函数。
1. 差分方程表示：差分方程是通过离散时间点上的输入信号和输出信号之间的关系来描述离散系统的。
差分方程可以是线性的或非线性的，可以是时不变的或时变的。
2. 离散时间传递函数表示：离散时间传递函数描述了离散系统输入与输出之间的关系，类似于连续时间传递函数。
离散时间传递函数可以通过Z变换得到。
三、离散系统的稳定性分析与设计离散系统的稳定性是指系统的输出在有限时间内收敛到有限范围内，而不是无限增长或震荡。
离散系统的稳定性分析与设计是自动控制原理中的重要内容。
1. 稳定性分析：离散系统的稳定性可以通过判断系统的极点位置来进行分析。
若系统的所有极点都位于单位圆内，则系统是稳定的；若存在至少一个极点位于单位圆外，则系统是不稳定的。
2. 稳定性设计：若离散系统不稳定，可以通过调整系统的参数或设计控制器来实现稳定性。
常见的稳定性设计方法包括PID控制器调整、根轨迹设计等。
四、离散系统的性能指标与优化离散系统的性能指标与优化是指通过调整控制器参数或控制策略，使离散系统的性能得到优化。
传递函数矩阵分析
令 ： R(s) 是 gcrd ， 则 D(s) D(s)R(s), N (s) N (s)R(s) ， 代 入
X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I：
X (s)D(s) Y (s)N (s) R(s) I ，所以 R1(s) = X (s)D(s) Y (s)N (s) 存在
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其它性质：
（1）Q(s)为单模阵 Q(s)非奇异；
（2）同维单模阵相乘必为单模阵；
（3）Q(s)为单模阵 Q1(s) 位单模阵；
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三、初等变换
对一个多项式 N(s)
1． 矩阵中任意两行互换，i,j 两行互换，相当于对 N(s)
左乘下述阵：
1
1
0 1
（ 2 ） N(s),D(s) 任 何 其 他 公 因 式 R1(s) 满 足 ：
R(s)=W(s)R1(s)；
gcld（左）：是 gcrd 的对偶。
3． gcrd 的构造
方法：将
D(s) N (s)
经初等变换
R(s)
0
，即
U(s)
D(s) N (s)
R(s)
0
，
U(s)为单模阵。
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传递函数矩阵分析传递函数矩阵matlab传递函数矩阵传递函数分析multisim传递函数分析传递函数开环传递函数matlab传递函数闭环传递函数传递函数的定义
传递函数矩阵分析
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§1 多项式阵 一、多项式
D(s) d n s n d n1s n1 d1s d0 多项式加减乘仍为多项式，多项式除可能不是多项式， 多项式的集合不能构成一个域。 多项式的阶次 degD(s)=n,即为最高项的次数， d n =1 称为首一多项式。
离散传递函数
离散传递函数离散传递函数是指一个系统在离散时间下的输入和输出之间的关系，通常用差分方程的形式表示。
它描述了系统对输入信号做出响应的方式，是数字信号处理中非常重要的概念。
离散传递函数可以用以下公式表示：H(z) = Y(z) / X(z)其中，H(z) 是系统的离散传递函数，Y(z) 是系统的输出序列，X(z) 是系统的输入序列。
离散传递函数与连续传递函数类似，都是描述系统响应特性的数学模型。
它们之间最大的不同在于时间域上是否连续。
连续传递函数是用微分方程来描述系统响应特性，在时间域上是连续的；而离散传递函数则是用差分方程来描述系统响应特性，在时间域上是离散的。
在数字信号处理中，我们通常使用 Z 变换来描述离散信号和系统。
Z 变换将一个离散序列转换为一个复杂变量 z 的多项式形式。
通过对 Z 变换后得到的多项式进行因式分解，我们可以得到离散传递函数 H(z) 的表达式。
需要注意的是，在实际应用中，我们通常会对 Z 变换后得到的多项式进行一些简化处理，以便更好地描述系统的响应特性。
例如，可以使用极点和零点来表示系统的频率响应特性。
离散传递函数在数字信号处理中有着广泛的应用。
它可以用来描述数字滤波器、数字控制系统、数字信号处理算法等各种离散系统的响应特性。
通过对离散传递函数进行分析，我们可以了解系统对不同频率分量的输入信号做出的响应，并且可以根据需要对系统进行优化设计。
总之，离散传递函数是数字信号处理中非常重要的概念，它描述了离散时间下输入和输出之间的关系。
通过对离散传递函数进行分析和优化设计，我们可以实现各种数字信号处理算法和系统。
传递函数是矩阵
传递函数是矩阵
传递函数是一个重要的概念，在控制系统中扮演着至关重要的角色。
它描述了输入和输出之间的关系，是描述系统行为的一种方式。
在很多情况下，传递函数可以被表示为矩阵的形式。
在控制系统中，传递函数是一个表示输入和输出之间关系的函数。
它通常用于描述线性时不变系统的动态响应。
传递函数可以被表示为一个分子多项式除以一个分母多项式的比率。
例如，传递函数可以表示为：
H(s) = Y(s) / X(s)
其中，Y(s) 是输出，X(s) 是输入，s 是复变量。
在许多情况下，传递函数可以被表示为矩阵的形式。
这种表示方式称为矩阵传递函数。
矩阵传递函数是一个矩阵，它描述了输入和输出之间的关系。
它可以被用于描述多输入多输出系统的动态响应。
例如，一个三输入三输出系统的传递函数可以表示为一个 $3 times
3$ 的矩阵：
H(s) = [H11(s) H12(s) H13(s); H21(s) H22(s) H23(s); H31(s) H32(s) H33(s)]
其中，每个元素都是一个传递函数。
矩阵传递函数的优势在于它可以被用于分析和设计多输入多输
出系统。
例如，可以使用矩阵传递函数来分析系统的稳定性、性能和鲁棒性。
此外，矩阵传递函数还可以被用于设计控制器，以优化系统的性能。
总之，传递函数是控制系统中的一个重要概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在许多情况下，传递函数可以被表示为矩阵的形式，这种表示方式被称为矩阵传递函数。
矩阵传递函数可以被用于分析和设计多输入多输出系统，是控制系统工程师必须掌握的知识。
现代控制理论-传递矩阵
λi Pi = APi
称pi为特征向量。
4. 4 状态方程的线性变换
选取不同的状态变量有不同形式的状态方程， 两组状态变量之间存在着线性变换。
x& = Ax + bu y = cx
x = px
x& = Ax + bu y = cx
= G(s)U(s) 【传递函数矩阵】
对于多输入多输出系统，初始条件为零时，输出 的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为传递函数矩 阵，简称传递矩阵。
这里： G(s) = C(sI − A)−1B + D
(sI − A)−1 = adj[sI − A] sI − A
对于r维输入m维输出系统：
⎡Y1(s)⎤ ⎡G11(s) G12(s) L G1r(s)⎤⎡U1(s)⎤
b) 若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特 征值λi
⎡0 1 0 L 0 ⎤
⎢ ⎢
0
01
⎥ ⎥
A=⎢ ⎢ ⎢
O
⎥
1
⎥ ⎥
⎢⎣−a0 −a1 L
−an−1 ⎥⎦
sI − A = 0
λi
3
2011-3-10
则下边的范德蒙特矩阵使A对角化
⎡1 1 L 1⎤
⎢ ⎢
λ1
λ2
L
λn
⎥ ⎥
P
=
⎢ ⎢ ⎢
λ12 M
P变换，
变换矩阵： p = [ p1 p2 L pn ]
x = px x& = px& = Ax + bu = Apx + bu
x& = p−1Apx + p−1bu = Ax + bu
离散传递函数
离散传递函数中的特定函数1. 定义离散传递函数（Discrete Transfer Function）是一种用于描述离散系统的数学模型。
离散系统是指系统的输入和输出在时间上是离散的，即只在某些特定的时间点上才有定义。
离散传递函数是系统的输入和输出之间的关系。
它通常表示为一个比值表示，其输出是输入序列经过系统后得到的输出序列的比值。
离散传递函数可以使用不同的数学表达形式，其中最常见的形式是有理多项式，表示为G(z) = N(z) / D(z)，其中N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
2. 用途离散传递函数在控制系统理论和信号处理中广泛应用。
它们用于表示和分析离散系统的动态特性，并用于设计和调整控制器和滤波器。
离散传递函数可以用来预测系统的输出，根据已知的输入序列和系统参数，可以计算系统的输出序列。
这对于系统的建模和仿真非常有用。
离散传递函数还可以用于分析系统的稳定性和性能。
通过分析传递函数的特性，可以确定系统是否会产生不稳定的振荡，并评估系统对不同频率和幅度的输入的响应。
在控制系统中，离散传递函数用于设计和调整控制器。
通过根据系统的响应特性确定控制器的参数，可以实现对系统的精确控制。
3. 工作方式离散传递函数的工作方式可以通过以下步骤来解释：1.输入序列的表示：离散系统的输入通常表示为一个离散的序列，记作u(k)，其中k表示时间步长。
输入序列可以是一个预先定义的信号，也可以是系统的输出反馈。
2.输出序列的计算：根据离散传递函数的定义，将输入序列u(k)代入传递函数，计算得到输出序列的离散表达式，记作y(k)。
3.系统的响应计算：根据系统的传递函数和输入序列，可以计算系统的输出序列y(k)。
这涉及到将传递函数中的分子和分母多项式进行展开和计算。
4.系统的性能分析：通过分析离散传递函数的特性，可以评估系统的性能，例如稳定性、上升时间、峰值时间、超调量等等。
这些特性可以通过解析传递函数的根和极点来计算。
离散系统的传递函数
离散系统的传递函数1. 介绍在控制理论中，离散系统的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的一种数学工具。
它能够用来描述离散时间系统的动态特性和稳定性，并且可以用于设计和分析离散控制系统。
2. 离散系统的基本概念在理解离散系统的传递函数之前，我们需要先了解一些与离散系统相关的基本概念。
2.1 离散信号离散信号是在离散时间点上定义的信号。
它与连续信号相对，连续信号是在连续时间上定义的信号。
在离散系统中，输入和输出信号往往是离散信号。
2.2 离散时间系统离散时间系统是指输入和输出信号都在离散时间点上进行采样的系统。
离散时间系统可以用差分方程来描述。
2.3 传递函数传递函数是用来描述系统输入与输出之间关系的一种函数。
对于连续时间系统，传递函数通常用拉普拉斯变换来表示。
而对于离散时间系统，传递函数则用Z变换来表示。
3. 离散系统的传递函数离散系统的传递函数是用Z变换来表示系统输入与输出之间关系的函数。
它可以以分数形式表示，也可以以多项式形式表示。
3.1 分数形式的传递函数分数形式的传递函数是用分数多项式表示的。
分子多项式表示系统的输出与输入之间的关系，分母多项式表示系统零点和极点的位置。
3.2 多项式形式的传递函数多项式形式的传递函数是用多项式系数表示的。
这种表示方式更加直观，能够清晰地看出系统的动态特性。
4. 离散系统的稳定性离散系统的稳定性是指系统在输入信号有界的情况下，输出信号是否有界。
在离散系统中，判断稳定性可以通过传递函数的零点和极点来进行。
4.1 零点和极点的关系离散系统的稳定性与传递函数的零点和极点之间存在关系。
如果一个离散系统的零点都在单位圆内，极点都在单位圆外，那么该系统是稳定的。
4.2 稳定性的判断方法根据离散系统的传递函数，我们可以通过以下方法来判断系统的稳定性： 1. 判断传递函数的极点是否在单位圆内。
2. 判断传递函数的零点是否在单位圆内。
如果传递函数的极点都在单位圆内，零点都在单位圆外，则系统是稳定的；反之，如果存在极点在单位圆外或者零点在单位圆内，系统是不稳定的。
最新离散系统的数学模型
23
四、离散系统的数学模型 （20）
⑶ 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 设有零阶保持器的开环离散系统如下图 所示。 Y*(t) r*(t) TS 1 e r(t) G1(s) Y(t) s
由脉冲传递函数的定义有
1 eTS G( z) Z G1 ( s) s
C( z) G( z) R( z )
c(nT ) z
n 0 n 0
n
n r ( nT ) z
11
四、离散系统的数学模型 （10）
在零初始条件下，线性定常散系统的输出采样信号为 c * (t ) Z 1 C( z) Z G( z)R( z) 然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信 号 c(t ) ，而不是采样信号 c (t ) ，则在系统输出端虚设一 个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，虚设的采 样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的， 只是输出函数 c(t ) 在采样时刻上的离散值 。
8
四、离散系统的数学模型 （8） Z 3c(k 1) 3zC( z) 3zc(0) 3zC( z) Z 2c(k ) 2C( z )
得Z代数方程 ( z 2 3z 2)C( z) z
z z z C( z) 2 z 3z 2 z 1 z 2
r(t) r*( t )
y*( t ) y(t)
10 s ( s 10)
求脉冲传递函数。 解 由式（5-61）可知
G (z) = Z[G ( s )]
10 1 1 G( z) Z Z s ( s 10) s s 10
z z (1 e ) z 10T 10T z 1 z e ( z 1)( z e )
传递函数矩阵基本关系式
传递函数矩阵基本关系式
函数矩阵是一种用于描述线性变换的矩阵形式。
在传递函数矩
阵的基本关系式中，我们需要考虑以下几个方面：
1. 线性变换，函数矩阵描述了一个线性变换，它将一个向量空
间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
线性变换具有保持向
量加法和标量乘法的性质。
2. 基向量的映射，函数矩阵的列向量表示了基向量在变换后的
映射结果。
通过函数矩阵乘以一个列向量，可以得到变换后的向量。
3. 基向量的线性组合，任意一个向量可以表示为基向量的线性
组合。
函数矩阵的作用是将基向量的线性组合映射为另一个向量空
间中的线性组合。
4. 矩阵乘法，函数矩阵的乘法运算可以用来表示多个线性变换
的复合。
通过将多个函数矩阵相乘，可以得到复合变换的函数矩阵。
5. 基变换，函数矩阵可以用来描述基向量的变换。
通过将函数
矩阵乘以一个基向量，可以得到基向量在变换后的映射结果。
综上所述，传递函数矩阵的基本关系式包括线性变换、基向量的映射、基向量的线性组合、矩阵乘法和基变换等方面。
这些关系式可以用函数矩阵的定义和性质来推导和解释。
传递函数矩阵模型
传递函数矩阵模型
传递函数矩阵模型是一种用于描述系统运行规律的模型，它以矩
阵乘法的形式表示并可进行计算。
传递函数矩阵模型是由一个输入向
量和一个输出向量合成的矩阵所表示的，它通常用于描述复杂系统的
行为，以及提供有关系统的静态及动态特性的信息。
传递函数矩阵模型主要用于分析复杂系统的输入与输出的传递关系，能够模拟系统在固定的输入条件下对输出响应的规律，深入了解
系统运行状态和输出结果规律。
传递函数矩阵模型的矩阵表示法描述
的是复杂系统中输入到输出之间的传递过程，有利于深入了解系统内
部的工作原理及运行规律。
传递函数矩阵模型的主要特点是，可以根据经验获得系统的参数，从而进一步确定系统的运行规律并保证系统性能。
使用传递函数矩阵
模型还可以发现系统中所存在的算法等实际问题，从而更好的对复杂
系统的控制策略进行优化设计。
此外，传递函数矩阵模型可以用于分析系统的稳定性，确定各参
数的恒定性，以进一步确定系统的运行特性。
传递函数矩阵模型也可
以用于系统架构优化以及系统参数变更操作，以满足系统特定目标的
要求，如效率、精确度、低噪声等性能指标。
总的来说，传递函数矩阵模型是一种综合表示复杂系统特性的模型，可以用来定量分析系统参数的影响，以实现系统最优性能匹配，
进而达到提高工作效率的目的。
子系统串联后的传递函数矩阵
子系统串联后的传递函数矩阵传递函数矩阵（也称为系统矩阵）是指多个子系统串联后的总传递函数矩阵。
在控制系统中，传递函数矩阵是用于描述输入和输出之间关系的一个重要工具。
下面我们将详细介绍子系统串联后的传递函数矩阵，并给出一个使用示例。
在传递函数矩阵中，每个元素代表一个输入与一个输出之间的传递函数关系。
对于一个具有n个输入和m个输出的线性时不变系统，传递函数矩阵的大小为m×n。
传递函数矩阵的第i行第j列元素表示第i个输出对第j个输入的响应关系。
假设我们有两个子系统S1和S2，它们分别有两个输入和两个输出。
传递函数矩阵可以表示为：[G11G12][G21G22]其中G11、G12、G21和G22分别是子系统S1和S2的传递函数矩阵。
我们可以通过将两个子系统的传递函数矩阵相乘来得到它们串联后的总传递函数矩阵。
注意，子系统的顺序很重要，因为不同的顺序会导致不同的结果。
假设子系统S1的传递函数矩阵为：[G11G12][G21G22]子系统S2的传递函数矩阵为：[G33G34][G43G44]那么它们串联后的传递函数矩阵为：[G11G33+G12G43G11G34+G12G44][G21G33+G22G43G21G34+G22G44]接下来我们以一个实例来说明子系统串联后的传递函数矩阵的计算方法。
假设我们有两个子系统S1和S2，它们的传递函数分别为：S1的传递函数为：G1(s)=1/(s+1)S2的传递函数为：G2(s)=1/s我们将子系统串联起来，得到总系统传递函数G(s)。
首先，我们计算S1和S2的传递函数矩阵：G11=1/(s+1)G12=0G21=0G22=1/s然后，将它们相乘得到总传递函数矩阵：G(s)=G11*G22+G12*G21=1/(s+1)*1/s简化上式得到：G(s)=1/(s*(s+1))因此，总系统的传递函数为G(s)=1/(s*(s+1))。
总结起来，子系统串联后的传递函数矩阵可以通过将每个子系统的传递函数矩阵相乘来计算。
矩阵传递函数
矩阵传递函数矩阵传递函数是一种用于信号处理中的线性系统表示法。
矩阵传递函数是用矩阵表示系统输入和输出之间的关系，并且可以在频域中分析线性动态系统的性能特征。
在矩阵传递函数中，所有输入和输出都被表示为向量，而矩阵则表示系统响应。
矩阵传递函数在信号处理中的应用非常广泛，例如在控制理论中，可以使用矩阵传递函数设计控制系统的增益和稳定性，同时还可以在通信系统中进行频域分析和信号处理。
矩阵传递函数是将线性动态系统表示为矩阵的一种形式。
简单来说，矩阵传递函数是一个矩阵，将输入矩阵转换为输出矩阵。
这个矩阵被称为系统传递函数或系统矩阵。
系统矩阵通常用大写字母A表示。
如果输入信号为向量x，则输出信号为向量y，可以使用以下公式表示：y = A * x在这个公式中，矩阵A是系统的传递函数。
任何输入向量x通过矩阵A可以得到对应的输出向量y。
在矩阵传递函数中，输入信号可以如下表示：x = [x1, x2, ..., xn]'其中，单引号表示向量的转置。
输出信号可以表示为：在这个公式中，m和n分别是输出和输入信号矩阵的维数。
在实际应用中，系统可能具有多个输入和多个输出，因此需要使用多个输入向量和多个输出向量来表示输入和输出信号。
系统矩阵A的维数将随着输入和输出信号的数量而发生变化。
矩阵传递函数还可以用于分析线性动态系统的稳定性和频率响应。
在矩阵传递函数中，系统的增益和相位可以通过对传递函数进行频域分析来确定。
这种分析通常涉及将传递函数转换成频率域中的傅里叶变换，从而得到系统的频率响应特性。
总的来说，矩阵传递函数是一种非常有用的表示方式，可以用于描述许多不同类型的线性动态系统，并提供了一种可视化系统性能的方法。
在信号处理中，矩阵传递函数是一种非常常用的工具，可以通过它进行信号处理、控制系统设计等多个领域。
传递函数离散化
传递函数离散化传递函数离散化是一种基于连续函数替代技术，用于将连续时间系统对应的传递函数转化为离散时间域方法。
传递函数的离散化步骤包括原函数的抽样、差分抽样和采样滤波器。
传递函数是一种连续函数，它用于确定系统的输入和输出之间关系的描述。
它被用于表示系统特性。
它由系统的输入和输出的数值或符号形式给出。
这可以用一维或多维空间来表示，例如，电气系统的传递函数可以表示为一个或两个实例的输入/输出关系。
传递函数离散化提供了一种机制，专门用于将时变传递函数转换为离散时间模型或离散系统。
这样做可以消除连续参数建模中漫长的计算步骤，改善精度和易于操作性，同时改善计算效率。
它可以用于控制任务中复杂的时变曲线，如弹性和动力曲线，以及某些自动机和神经网络模型的传递函数表示。
传递函数离散化的具体实现方法，包括采样、差分和滤波。
采样是连续时间系统的传递函数过程的第一步，它将连续时间系统的传递函数映射到正准确的离散时间系统中。
它采用抽样间隔来创建一系列连续时间系统的点。
抽样可以通过长度和抽样率来标定。
一旦采样完成，需要使用差分技术来应用传递函数。
差分是传递函数离散化的第二个步骤，它使用差分技术，以确定离散时间系统的传递函数模型。
通过差分，我们可以精确确定系统之间的输入输出关系。
最后，将使用滤波器技术来执行最后的离散步骤，以将连续时间传递函数数值化为离散形式。
滤波器技术可以在离散时间系统中应用，以改善系统性能。
传递函数离散化具有多种优势，其中最重要的是系统模型的精确度提高了。
其次，模型可以以常数时间来表示，因此可以更好地分析复杂的系统模型。
此外，由于整个过程已经离散化，因此它可以大大改善系统的效率，提高计算速度。
传递函数离散化技术在许多工程领域都有重要意义。
例如，它可以用于物理仿真，工业控制，航空航天，计算机视觉，声学信号处理，机器人控制等多个应用领域。
它可以增强系统性能，减少时间，提高可靠性，有效地处理时变信号和控制任务，以及实现更加复杂的系统。
传递函数离散化例题
传递函数离散化例题
传递函数离散化是将连续传递函数转换为离散形式的过程。
离散化可以让我们在数字系统中对传递函数进行分析和处理。
这里我将以一个例题来说明传递函数离散化的过程。
假设我们有一个连续传递函数H(s) = 1/(s+1)，我们希望将其离散化为一个差分方程形式。
首先，我们可以使用双线性变换（也称为脉冲响应不变法）来进行离散化。
双线性变换可以将连续时间变量s映射到离散时间变量z。
其变换公式为：
z = (1+T/2) / (1-T/2) (1+sT/2) / (1-sT/2)。
其中，T为采样周期。
将传递函数H(s) = 1/(s+1)代入上述公式，我们可以得到离散化后的传递函数H(z)。
接着，我们可以通过一些代数运算将H(z)表示为差分方程的形式，通常是z变换域的有理多项式。
另一种离散化方法是使用脉冲响应不变法。
该方法将连续时间系统的冲激响应映射到离散时间系统的冲激响应，然后通过卷积求得离散系统的差分方程。
除了上述方法外，还有其他离散化方法，如双向差分变换法、
双向拉普拉斯变换法等，它们各自有适用的场景和特点。
总之，传递函数离散化是将连续传递函数转换为离散形式的重
要过程，它可以帮助我们在数字系统中对传递函数进行分析和处理。
在实际应用中，选择合适的离散化方法并进行准确的离散化是非常
关键的。
希望这个例题能够帮助你更好地理解传递函数离散化的过程。
传递函数介绍范文
传递函数介绍范文传递函数是系统理论中一个重要的概念，用于描述在系统输入和输出之间的关系。
在控制论、信号处理和通信系统中，传递函数是一个非常重要的工具，它可以帮助我们分析系统的特性、性能和稳定性。
传递函数定义了输入信号和输出信号之间的线性关系。
对于连续时间系统，传递函数通常由一个常微分方程表示，而对于离散时间系统，传递函数通常由差分方程表示。
传递函数是系统的一种数学描述方式，它描述了输入信号如何转化为输出信号。
传递函数可以用于分析系统的频率响应、稳定性和阶跃响应等特性。
通过对传递函数进行频域分析，可以得到系统的幅频特性、相频特性和群延迟等信息。
通过传递函数的零点和极点，可以判断系统的稳定性。
通过分析传递函数的阶跃响应，可以得到系统的超调量、调整时间和稳态误差等参数。
传递函数的形式通常为一个分子多项式除以一个分母多项式。
分子多项式表示系统对输入信号的响应，分母多项式表示系统对输入信号的耦合和阻尼。
传递函数的形式可以非常复杂，但大多数情况下可以简化为一阶、二阶或高阶传递函数。
一阶传递函数表示系统具有一定的惯性和阻尼，二阶传递函数表示系统具有振荡和共振等特性，而高阶传递函数表示系统具有复杂的动态特性。
传递函数可以通过多种方法得到。
对于线性时不变系统，传递函数可以通过系统的微分方程或差分方程求解得到。
对于非线性系统，可以通过线性化的方法得到近似的传递函数。
另外，传递函数也可以通过实验测量得到，例如通过输入信号和输出信号之间的频率响应测量得到传递函数。
传递函数有许多重要的性质，可以帮助我们对系统进行分析和设计。
其中最重要的性质是线性性和时间不变性。
线性性表示传递函数满足叠加原理，即输入信号的线性组合对应于输出信号的线性组合。
时间不变性表示传递函数对于时间的平移不变，即输入信号的时移对应于输出信号的时移。
另外，传递函数还可以表示系统的稳态和暂态响应。
稳态响应表示系统对持续输入信号的响应，可以通过传递函数的频域分析得到。
系统的传递函数矩阵为PPT课件
G
f
(s
)
0 g2 (s)
0
0
,
gi
(s
)
0
0
0
g
p
(s
)
7
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本节的基本内容：
➢ 预备引理； ➢ 可解耦的充要条件: 定理4-10，积分器解耦系统； ➢ 一种解耦控制律: 定理4-11。
8
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二、 预备引理
1. 引理 1. 开、闭环传递函数矩阵的关系 :
G f (s) C[sI (A BK)]1BH =G(s)[I K(sI A BK)1B]H
ci
(sI
A)1B
ciB s
ci AB s2
ci Adi 1B sdi
ci Adi B sdi 1
共di 项 10
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若在上式中，
但
ciB ciAB ciAdi 1B 0 Ei： ciAdi B 0，
(共有di项）
则我们得到了一个非负整数
di 0
di事实上是上式中由左向右s负幂次系数是零的项的个 数，它等价于使
14
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例题4-5a 系统方程为 @p33
0 0 0 1 0
x
0
0
1
x
0
0 u
1 2 3 0 1
y
1 0
1 0
0 1
x
试计算di 和 Ei
解
c1B=[1 0], d1 =0; E1=[1 0]
c2B=[0 1], d2=0; E2=[0 1]
15
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3. 开、闭环传递函数阵 引入非负整数 di 及非零行向量Ei后， 记
已知离散系统的差分方程 ,求系统的传递函数.
已知离散系统的差分方程 ,求系统的传递函数.在控制工程中，离散系统是非常常见的一种系统，其差分方程是对系统的描述方式之一。
在实际应用中，我们需要将离散系统转化为连续系统，其中传递函数是非常重要的一个概念。
因此，本文将详细介绍如何根据已知离散系统的差分方程来求解其传递函数。
一、离散系统的差分方程离散系统的差分方程可以用以下形式表示：y[n] = f(y[n-1], y[n-2], ..., y[n-k], x[n],x[n-1], ..., x[n-m])其中y[n]表示系统的输出，x[n]表示系统的输入，k 和m分别表示系统的阶数。
通常，离散系统的输入和输出都是序列，如音频信号和图像信号等。
例如，一个一阶离散系统的差分方程可以表示为：y[n] = a1*y[n-1] + a2*x[n]其中a1和a2是系统的系数。
我们可以根据这个差分方程来求解系统的传递函数。
二、离散系统的传递函数离散系统的传递函数可以用以下形式表示：H(z) = Y(z) / X(z)其中H(z)表示系统的传递函数，Y(z)表示系统的输出序列的z变换，X(z)表示系统的输入序列的z变换。
z变换是一种将离散序列转换为复数域中的函数的转换方式，其定义为：Z{f(n)} = F(z) = ∑[f(n)*z^{-n}]其中f(n)表示离散序列，z^{-n}表示z的倒数第n次幂。
z变换可以将离散序列表示为复数函数，从而使其更容易进行计算和分析。
根据差分方程，我们可以将传递函数H(z)表示为：H(z) = Y(z) / X(z) = b0 + b1*z^{-1} + b2*z^{-2} + ... / 1 + a1*z^{-1} + a2*z^{-2} + ...其中b0、b1、b2、...是输出信号序列的系数，a1、a2、...是输入信号序列的系数。
我们可以通过移项来得到传递函数的表达式：H(z) = (b0*z^k + b1*z^{k-1} + b2*z^{k-2} + ... + bk) / (z^k + a1*z^{k-1} + a2*z^{k-2} + ... + ak)其中k是系统的阶数。
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待定系数为：
0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21
3 b0 a00 a11 a22
系统状态方程为
x1(k 1) 0 1 0 x1(k) 1
x2
(k
1)
0
0
1
x2
(k
0 1 0
G
0
0
1
a0 a1 a2
输出方程
x1(k)
y(k) 1 0 0x2 (k)
x3 (k )
或者 y(k) Cx(k) 其中 C 1 0 0
0
H
0
b0
推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统
综上所示，传递函数（矩阵）和状态空间表达式这两种描述各 有所长，在系统分析和设计中都得到广泛应用。
1.4 离散系统的数学描述
1.4.1 状态空间表达式
1. 差分方程中不含有输入量差分项 首先，考察三阶差分方程
y(k 3) a2 y(k 2) a1 y(k 1) a0 y(k) b0u(k)
2）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用。
3）对于数学模型不明的线性定常系统，难以建立状态空间表达式； 用实验法获得频率特性，进而可以获得传递函数。
4）传递函数仅适用于单入单出系统；状态空间表达式可用于多入 多出系统的描述。
5）传递函数只能给出系统的输出信息；而状态空间表达式不仅给 出输出信息，还能够提供系统内部状态信息。
z 0.4
z 1
z
1 0.3
1
0 1
(
z
0.8)( z
z
0.5)
(z 0.8)( z 0.5)
对于SISO线性定常离散系统
x(k 1) Gx(k) hu(k)
y(k) Cx(k) du(k)
求系统传递函数。
解： g(s) CsI A 1b 1 16s
1 1 0 s 5 1
s 1
s 5 1
1
1 adj6
det6s
s 5 1
0 1
1
s 5
1
s
6 2
5s
0
4
3
x
1
0u
1 1 2 0 1
1 0 0 y 0 0 1 x
求系统的传递函数矩阵。
解
s 1 0 1 0 0
Gyu(s)
CsI
A 1
B
1 0
0 0
0 1
0 1
s4 1
3
s 2
A 1b
adjsI detsI
AA b
输出量对输入量的传递函数（即：传递函数）
g yu (s)
CsI
A 1b
d
C
adjsI detsI
A A
b
d
例1-5 系统状态方程式为
x
0 6
1 5
x
0 1u
y 1 1x
y(k) Cx(k) Du(k)
1.4.2 脉冲传递函数（矩阵） 对线性定常离散系统状态空间表达式进行 z 变换
zx(z) zx(0) Gx(z) Hu(z) [zI G]x(z) Hu(z) zx(0) 如果[sI G]1 存在，则
x(z) [sI G]1 Hu(z) [sI G]1 zx(0)
(k
)
输出方程
y(k) 1
0
x1(k)
0
x2
(k
)
xn
(k
)
2. 差分方程中含有输入量差分项
先考察3阶线性定常差分方程
y(k 3) a2 y(k 2) a1y(k 1) a0 y(k) b3u(k 3) b2u(k 2) b1u(k 1) b0u(k)
dt
可见，在微分器输入端，噪声的幅值只是有效信号幅值的百分 之一，输出端噪声的幅值却是有效信号幅值的10倍，信噪比变 得很小。
1.3.4 闭环系统传递函数矩阵
E(s) u(s) B(s) B(s) H(s) y(s) H(s)G(s)E(s)
y(s) I G(s)H ( s) 1G(s)u(s)
1. 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
（1）
x 为n 维状态向量；u为r 维输入向量； y为m维输出向量；
A 、 B 、 C 、 D 为相应维数的矩阵。
引入非奇异变换矩阵P x Px 或者 x P-1x
x PAP1x PBu Ax Bu
y CP 1x Du Cx Du
s
6
0 1
s2
s 1 5s 6
1.3.2 传递函数矩阵
状态空间表达式为 进行拉普拉斯变换
x Ax Bu y Cx Du
sx(s) x(0) Ax(s) Bu(s)
sI - Ax(s) Bu(s) x(0)
如果 sI A 1 存在，则 x(s) sI A 1 Bu(s) sI A 1 x(0)
非正则传递函数描述的系统在实际的控制工程中是不能应用的，因
为这时系统对高频噪声将会大幅度放大。例如微分器 g(s) s
为非正则系统，假如输入信号带有高频污染 u(t) cost 0.01cos1000t 经过微分器输出 y(t) d u(t) sin t 10sin1000t
其中 A PAP1
B PB
C CP 1
代入方程（1） DD
于是，系统状态方程变为
x Ax Bu y Cx Du
方程（1）与方程（2）互为等价方程
（2）
2. 线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u 引入变换矩阵 P(t)
s)
g22 (s)
g
2
r
(s)
gm1
(s)
gm2 பைடு நூலகம்s)
gmr (s)
式中，gij (s)表示只有第 j 个输入作用时，第 i 个输出量 yi (s) 对第 j
个输入量 u j (s) 的传递函数。
例1-7 线性定常系统状态空间表达式为
0 1 0 0 0
x
x2
(k
1)
0
0
1
x2
(k
)
0
u(k
)
x3 (k 1) a0 a1 a2 x3(k) b0
可以表示为 x(k 1) Gx(k) Hu(k)
其中
x1(k)
x(k
)
x2
(k
)
x3 (k )
y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k) b0u(k)
选取状态变量 y(k) ，y(k 1) ， … … ， y(k n 1)
系统状态方程
0 1 0 0 0
0
x1(k 1)
x2
(k
1)
于是闭环系统的传递矩阵为
GH (s) I G(s)H (s)1G(s)
或
GH (s) G(s)I H (s)G(s)1
1.3.5 传递函数（矩阵）描述和状态空间描述的比较 1）传递函数是系统在初始松弛的假定下输入-输出间的关系描述， 非初始松弛系统，不能应用这种描述；状态空间表达式即可以描述 初始松弛系统，也可以描述非初始松弛系统。
选择状态变量 x1(k) y(k) 0u(k) x2 (k) y(k 1) 0u(k 1) 1u(k) x1(k 1) 1u(k)
x3(k) y(k 2) 0u(k 2) 1u(k 1) 2u(k) x2 (k 1) 2u(k)
系统脉冲传递函数为
gyu(z) C[zI G]1h d
1.5 线性变换
我们知道，状态变量的选取是非唯一的。选择不同的状态变量， 则得到的状态空间表达式也不相同。
由于它们都是同一个系统的状态空间描述，它们之间必然存在 某种关系。这个关系就是矩阵中的线性变换关系。
1.5.1 等价系统方程
选取状态变量 x1(k) y(k)
x2 (k) y(k 1) x1(k 1) x3(k) y(k 2) x2 (k 1) x3(k 1) y(k 3) a2 x3(k) a1x2 (k) a0 x1(k) b0u(k)
写成矩阵形式
x1(k 1) 0 1 0 x1(k) 0
如果初始松弛，则
x(z) [sI G]1 Hu(z) Gxu (z)u(z) 其中，Gxu (z) [sI G]1 H 为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵
y(z) Cx(z) Du(z) {C[zI G]1 H D}u(z) Gyu(z)u(z)
系统输出向量对输入向量的脉冲传递函数矩阵
0
xn
(k
1)