第4讲.特殊三角形之等腰三角形.尖子班.学生版

等腰？

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4

特殊三角形之 等腰三角形

三角形5级 全等中的 基本模型

三角形6级 特殊三角形之 等腰三角形 三角形7级 倍长中线与 截长补短

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模块一 等腰三角形

【例1】 ⑴ 如图，ABC △中，AC AD BD ==，80DAC ∠=︒，

则B ∠的度数是（ ）

A ．40︒

B ．35︒

C ．25︒

D ．20︒

⑵ ABC △的一个内角的大小是40︒，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是

( )

A ．140︒

B ．80︒或100︒

C ． 100︒或140︒

D ． 80︒或140︒

⑶如图，ABC △内有一点D ，且D A D B D C ==，若20DAB ∠=︒，30DAC ∠=︒，则BDC ∠的大小是（ ） A.100︒ B.80︒ C.70︒ D.50︒

【例2】 ⑴等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个

等腰三角形的底边的长为（ ）

A ．17cm

B ．5cm

C ．17cm 或5cm

D ．无法确定 ⑵如图，在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2=A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3=A 2D ；…，按此做法进行下去，∠A n 的度数

为_________．

【例3】 如图1，AB AC =，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠．问：

⑴ 图1中有几个等腰三角形？

⑵ 过D 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，如图2，图中又增加了几个等腰三角形?

⑶ 如图3，若将题中的ABC △改为不等边三角形，其它条件不变，图中有几个等腰三角形? 线段EF 与BE 、CF 有什么关系?

⑷ 如图4，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠.DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系?

夯实基础

能力提升

D

C

B A

D C

B A

A n

A 4

A 3A 2A 1E D

C A B

⑸ 如图5，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系?

图1

D

C

B

A

图2F E D

C

B

A

图3

F E D

C

B

A

图4

G F

D

C A E

B

图5

N

M

F

E

D C

B A

【例4】 如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长

线上的一点，且CE ＝CA ． ⑴求证：DE 平分∠BDC ； ⑵若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．

E

模块二等边三角形

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夯实基础

【引例】下面给出的五种三角形：①所有外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有两个角是60︒的三角形；④有一个角是60︒的等腰三角形；⑤以等边三角

形三边中点为顶点的三角形．其中是等边三角形的个数有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【解析】D. 点拨：所给五个命题都可通过证明得到它们都是等边三角形．

【例5】 ⑴如下左图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD =CE ，BE 、

CD 交于P 点，则图中︒

60的角共有（ ）

A. 6个

B. 5个

C. 4个

D. 3个

⑵如下右图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）

A.13

B.12

C.2

3 D.不能确定

【例6】 数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED =EC ，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.

E

D

C

B A

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： ⑴特殊情况，探索结论

当点E 为AB 的中点时，如图1确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：

AE DB （填“>”,“<”或“=”）.

F

D A

B

C

E

图2

图1

E

D C B

A

⑵特例启发，解答题目

解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由

能力提升

P

E D

C

B

A Q

P

E

D

C

B

A