湖北省巴东一中高中数学 直线的方程教案 新人教版必修2
高中数学必修二《直线与方程》教案设计
高中数学必修二《直线与方程》教案设计一、教学目标1.知识目标：o学生能够掌握直线的点斜式、两点式和一般式方程的表达形式及其相互转换。
o学生能够理解直线方程中斜率、截距的概念，并能根据给定条件求出直线方程。
o学生能够运用直线方程解决简单的几何问题，如求两直线的交点、判断两直线是否平行或垂直。
2.能力目标：o培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，通过直线方程的学习，提高数学建模能力。
o提高学生的运算能力，能够熟练进行直线方程的推导和计算。
o增强学生的问题解决能力，能够运用所学知识解决实际问题。
3.情感态度价值观目标：o培养学生严谨的数学学习态度，注重逻辑推理和证明过程。
o激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极探索数学奥秘，培养数学学习的自信心。
o培养学生的合作精神，通过小组讨论和合作学习，提高团队协作能力。
二、教学内容-重点：直线的点斜式、两点式和一般式方程的表达及相互转换；斜率、截距的概念及应用。
-难点：直线方程的应用，如求两直线的交点、判断两直线的位置关系。
三、教学方法-讲授法：用于直线方程的基本概念和理论的讲解。
-讨论法：通过小组讨论，加深学生对直线方程的理解和应用。
-案例分析法：通过具体案例分析，提高学生解决实际问题的能力。
-多媒体教学法：利用多媒体资源，如、动画等，直观展示直线方程的图形和推导过程。
四、教学资源-教材：《高中数学必修二》-教具：黑板、粉笔、直尺、圆规-多媒体资源：课件、直线方程推导动画、几何画板软件-实验器材：无需特定实验器材五、教学过程六、课堂管理1.小组讨论：每组4-5人，确保每组成员水平均衡，指定小组长负责协调讨论和记录。
2.维持纪律：明确课堂规则，如举手发言、不打断他人讲话等，对违规行为及时提醒和处理。
3.激励策略：对积极参与讨论、表现突出的学生给予表扬和奖励，如加分、小礼品等。
七、评价与反馈1.课堂小测验：每节课结束前进行小测验，检查学生对本节课内容的掌握情况。
2.课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，要求学生按时完成并提交。
人教版高中必修二《直线与方程》教学案例
人教版高中必修二《直线与方程》教学案例《人教版高中必修二《直线与方程》教学案例》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！第1节直线与方程复习目标：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.一、课前预习基础回顾考点1 直线的倾斜角与斜率1.直线的倾斜角(1)定义：x轴_____与直线_____的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.动态定义：旋转(2)倾斜角的范围为_______________.2.直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=______，倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_________.考点2 直线方程的几种形式关键要素：点，斜率，截距名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)y-y1=k(x-x1)不含直线x=x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)=不含直线x=x1(x1=x2)和直线y=y1(y1=y2)截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b+=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用[双基夯实]一、疑难辨析判断下列结论的正误.(正确的打“√”，错误的打“×”)1.直线的倾斜角越大，其斜率越大.( )2.当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在.( )3.过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为y-y1=k(x-x1).( )4.直线方程的截距式+=1中，a，b均应大于0.( )二、小题快练1.[2017·贵州模拟]已知直线l经过点P(-2,5)，且斜率为-，则直线l的方程为( )A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.[课本改编]直线x+y+1=0的倾斜角是( )A.B.C.D.3.[课本改编]过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )A.x-y-3=0B.x+y-3=0C.x+y+3=0D.x-y+3=04.若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为______.考向1 直线的倾斜角与斜率看菜如图，比较直线，，的斜率、、的大小.1.直线2x-y+4=0同时过第()象限A.一，二，三B.二，三，四C.一，二，四D.一，三，四2.直线l1：ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0,在同一坐标系下l1和l2的图像是()3.如图，已知直线l1：y=-2x+4与直线l2：y=kx+b(k≠0)在第一象限交于点M.若直线l2与x轴的交点为A(-2，0)，则k的取值范围是_______.拓展：(1)若M在第二象限，则k的取值范围是_______.(2)若M在第四象限，则k的取值范围是_______.【变式训练3】已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明：直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;例1 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_______________________.探究1若将题中P(1,0)改为P(-1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.直线l的斜率直线l的倾斜角α区别直线l垂直于x轴时l的斜率不存在直线l垂直于x轴时l的倾斜角是90°联系①直线的斜率与直线的倾斜角(90°除外)为一一对应关系.②当α∈[0°，90°)时，α越大，l的斜率越大;当α∈(90°，180°)时，α越大，l的斜率越大.③所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.【变式训练1】如果直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.0≤α≤πB.0≤α≤或<α<πC.0≤α≤D.≤α<或<α<π考向2 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(-4,0)，倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【变式训练2】已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0)，B(2,1)，C(-2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.触类旁通求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.(2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程.考向3 直线方程的应用例3 已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点.求：(1)当|OA|+|OB|取得最小值时，直线l的方程;(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时，直线l的方程.【变式训练3】已知直线l：kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明：直线l过定点;(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.核心规律1.明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线;两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线;截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法.满分策略1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.1.直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按__________方向旋转到和直线重合时所转过的____________称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________.(2)倾斜角的范围为________________.(3)倾斜角与斜率的关系：α≠90°时，k=________，倾斜角是90°的直线斜率________.(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_____________________.2.直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线x=x0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用自我检测1.若A(-2,3)，B(3，-2)，C三点共线，则m的值为________.2.直线l与两条直线x-y-7=0，y=1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，-1)，则直线l的斜率为_______________________________________________________.3.下列四个命题中，假命题是________(填序号).①经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;②经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示;③与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程+=1表示;④经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y=kx+b.4.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax+By+C=0不通过第________象限.5.已知直线l的方向向量与向量a=(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为______________.二、教学过程探究点一倾斜角与斜率例1 已知两点A(-1，-5)、B(3，-2)，直线l的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l的斜率.变式迁移1直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是______________.探究点二直线的方程例2 过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x-3y+10=0，l2：2x+y-8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程.变式迁移2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)经过点A(-1，-3)，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.探究点三直线方程的应用例3 过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)△AOB面积最小时l的方程;(2)PA·PB最小时l的方程.变式迁移3 为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m，应如何设计才能使草坪面积最大?拓展延伸：例4 已知实数x，y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).试求的最大值与最小值.三、回顾与反思：人教版高中必修二《直线与方程》教学案例这篇文章共9802字。
人教课标版高中数学必修2《直线的方程(第2课时)》教学设计
3.2.2 直线的方程一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（两点式及截距式），体会数形结合的思想．（二）学习目标1.掌握直线方程的两点式、截距式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程．2.通过经历直线方程的发现过程，以提高分析、比较、概括、化归的数学能力,初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养综合运用知识解决问题的能力．3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学习数学的兴趣，进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养勇于探索、勇于创新的精神．（三）学习重点1.直线方程的两点式的推导．2.直线方程的截距式的推导．3.直线方程的两点式与截距式的应用．（四）学习难点直线方程的两点式、截距式的推导及运用，应考虑使用范围并进行分类讨论．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第100页至第102页，填空： 直线方程121121x x x x y y y y --=--，这是经过两点),(11y x A ，),(22y x B 的直线方程（其中21x x ≠，21y y ≠）的直线方程，所以我们把它叫做直线的两点式方程． 直线方程1=+by a x （其中a ,b 均不为0），我们把直线l 与x 轴的交点)0,(a 的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；方程1=+by a x （其中a ,b 均不为0）由直线与两个坐标轴的截距b a ,确定，故其称为直线的截距式方程．当直线l 平行或垂直于坐标轴时，两点式不能表示出直线方程；当直线l 平行或垂直于坐标轴或过坐标原点时，截距式不能表示出直线方程．（2）写一写：直线的两点方程是121121x x x x y y y y --=--（其中21x x ≠，21y y ≠）；直线的截距式方程是1=+by a x （其中a ,b 均不为0）． 2．预习自测（1）过两点（1,2），（2,4）的直线的两点式方程为（ ）A ．214221y x --=-- B ．121242-+=-+x y C ．121242+-=+-x y D ．122412--=--x y 答案：A ．解析：【知识点】直线的两点式方程． 【解题过程】方程形如121121x x x x y y y y --=--的形式．点拨：把每一个选项与概念进行对比，特别注意两点式的形式要一模一样．（2）过两点（1,0），（0,4）的直线的截距式方程为（ ）A ．141=-y x B ．141=+y x C ．14=+y xD ．14=-y x解析：【知识点】直线的截距式方程． 【解题过程】方程形如1=+by a x 的形式． 点拨：明确截距的概念，再写成截距式方程的形式．（3）已知两直线0x ky k --=与(1)y k x =-平行，则k 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．2答案：B ．解析：【知识点】直线平行的充要条件． 【解题过程】由题设知k k 1=1k ；当1=k 时，两直线重合，舍去．点拨：直线平行的充要条件是斜率相等，且排除掉重合的情形．(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线的点斜式方程——已知直线l 经过点),(111y x P ，且斜率为k ，直线的方程：)(11x x k y y -=-为直线方程的点斜式.直线的斜率0=k 时，直线方程为；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.（2）直线的斜截式方程——已知直线l 1y y =经过点P （0,b ），并且它的斜率为k ，直线l 的方程：b kx y +=为斜截式.① 斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.② 斜截式b kx y +=在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间只有当0≠k 时，斜截式方程才是一次函数的表达式.③斜截式b kx y +=中，k ，b 的几何意义．探究一 问题引入★●活动① 应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：⑴A(2,1)，B(6,-3)； ⑵A(0,5)，B(5,0)； ⑶A(-4,-5)，B(0,0).【设计意图】本环节从学生利用上节课学过的直线的方程的点斜式，求过两已知点的直线的方程出发，让学生“悟”出学习两点式的必要性，同时也“悟”也两点式的推导方法，以此导入新课，目的在于学生既加深学过知识的理解，又为学习新知识奠定良好的基础．探究二 直线的两点式方程的推导★●活动① 直线的两点式方程——已知直线经过两个点，求直线的方程已知直线上两点),(11y x A ，B （),22y x )(21x x ≠，求直线方程.首先利用直线的斜率公式求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程为：)(112121x x x x y y y y ---=- 由)(112121x x x x y y y y ---=-可以导出121121x x x x y y y y --=--，这两者表示了直线的范围是不同的.后者表示范围缩小了.但后者这个方程的形式比较对称和美观，体现了数学美，同时也便于记忆及应用.所以采用后者作为公式，由于这个方程是由直线上两点确定的，所以叫做直线方程的两点式．所以，当21x x ≠，21y y ≠时，经过),(11y x A ，B （),22y x 的直线的两点式方程可以写成：121121x x x x y y y y --=--． ●活动② 互动交流，课堂讨论探究1：哪些直线不能用两点式表示？答：倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示．探究2：若要包含倾斜角为0°或90°的直线，应把两点式变成什么形式？答：应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式．探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径来进行推导呢？ 答：有，利用同一直线上三点中任意两点的斜率相等．【设计意图】两点式方程由点斜式方程自然导出，特别要注意直线的两点式方程也有缺陷，因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的两点式有一个全面的认识，以建立起完整、准确的知识结构．探究三 直线的截距式方程的推导★●活动① 直线的截距式方程——已知直线在y x ,轴上的截距，求直线的方程定义：直线与x 轴交于一点（a ,0）定义a 为直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交于一点（0,b ）定义b 为直线在y 轴上的截距.我们易得到过A(a ,0) B(0, b ) （其中a ,b 均不为0）的直线方程为b x ab y +-=，将其变形为：1=+by a x ． 以上直线方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.有截距式画直线比较方便，因为可以直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标．●活动② 巩固理解，加深认识提出问题串，让学生一起交流讨论：探究4：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？答：不是，它们可以是正，也可以是负，也可以为0.探究5：有没有截距式不能表示的直线？答：有，当截距为零时.故使用截距式表示直线时，应注意单独考虑这几种情形，分类讨论，防止遗漏．【设计意图】通过直线的斜截式方程变形为截距式方程，加深对直线的斜截式方程的理解，突破重点，也体现了截距式方程的重要性．探究四 直线的两点式方程与截距式方程的应用★▲●活动① 巩固基础，检查反馈例1 下面四个直线方程中，可以看作是直线的两点式方程的是( )A.122+=-y xB.1-=x yC.3211=-+x y D.322121--=-+x y 答案：D ．解析：【知识点】直线的两点式方程概念的理解． 【解题过程】方程形如121121x x x x y y y y --=--的形式． 点拨：把每一个选项与概念进行对比，特别注意两点式的形式要一模一样．同类训练 下面四个直线方程中，可以看作是直线的截距式方程的是( ) A.112=-+y x B.012=-+y x C.12=-y xD.02=-y x答案：A ．解析：【知识点】直线的截距式方程概念的理解． 【解题过程】方程形如1=+by a x 的形式． 点拨：把每一个选项与概念进行对比，特别注意截距式的形式要一模一样．例2 求过点A （2,1），B （0，－3）的直线的两点式方程，再化为斜截式方程.【知识点】两点式方程，斜截式方程． 【解题过程】直线的两点式方程为202131--=---x y ⇒直线的斜截式方程为32-=x y ．【思路点拨】直线的两点式方程与斜截式方程的互化． 【答案】202131--=---x y ；32-=x y ．同类训练 求过点A （-4，-5），B （0，0）的直线的两点式方程，再化为斜截式方程. 答案：404505++=++x y ；x y 45=． 解析：【知识点】两点式方程，斜截式方程． 【解题过程】直线的两点式方程为404505++=++x y ⇒直线的斜截式方程为x y 45=． 点拨：直线的两点式方程与斜截式方程的互化．【设计意图】巩固掌握两点式方程与斜截式方程的互化．●活动② 强化提升、灵活应用例3 说出下列直线的方程：⑴倾斜角为 45，在y 轴上的截距为0；⑵在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为6；【知识点】直线的截距式方程，会画出图形．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）x y =；（2）165=+-y x ． 点拨：直线的截距与截距式的概念理解清楚．答案：（1）x y =；（2）165=+-y x ． 同类训练 写出下列直线的方程：（1）在x 轴上截距是－3，与y 轴平行；（2）在y 轴上的截距是4，与x 轴平行.答案：（1）3-=x ；（2）4=y ．解析：【知识点】直线的截距式方程，会画出图形．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）3-=x ；（2）4=y ．点拨：直线的截距式方程的特殊情况．【设计意图】在讲完两点式后，紧接着讲解截距式，有利于比较两种形式的方程，从而有助于学生理解两者之间的内在的联系和区别，在具体应用截距式时能考虑到截距为0与不为0的两种情况，并建立完善的知识的结构．3.课堂总结知识梳理通过列表从名称、形式、已知条件、使用范围等方面对所学的直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)进行填表比较：【设计意图】为帮助学生用联系的观点来学习知识，又能把四种形式的直线方程加以区别，以便更好地运用它们，本环节主要采用比较法的形式小结．（三）课后作业基础型 自主突破1.下面四个直线方程中，可以看作是直线的截距式方程的是( )A.112=-+y x B.012=-+y x C.12=-y xD.02=-y x答案：A ．解析：【知识点】直线的截距式方程概念的理解． 【解题过程】方程形如1=+by a x 的形式． 点拨：把每一个选项与概念进行对比，特别注意截距式的形式要一模一样．2.直线b ax y +=（b a +＝0）的图象是( )答案：D ． 解析：【知识点】直线的斜截式方程与几何意义．【数学思想】数形结合思想【解题过程】解法一：由已知，直线b ax y +=的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ．又因为b a +＝0.∴a 与b 互为相反数，即直线的斜率及其在y 轴上的截距互为相反数． 图A 中，a ＞0，b ＞0;图B 中，a ＜0，b ＜0;图C 中，a ＞0，b ＝0故排除A 、B 、C.选D. 解法二：由于所给直线方程是斜截式，所以其斜率a ≠0，于是令y ＝0，解得ab x -=.又因为b a +＝0，∴b a -=，∴1=-=ab x ∴直线在x 轴上的截距为1，由此可排除A 、B 、C ，故选D ．点拨：直线的斜截式方程与几何意义．3.若ac ＞0且bc ＜0，直线0=++c by ax 不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D ．解析：【知识点】直线一般式方程与斜截式方程的互化，会由直线特征量画直线．【解题过程】由ac ＞0且bc ＜0，知0,0ab bc <<；由直线0=++c by ax a c y x b b ⇒=--，故斜率0a k b =->，截距0c b->，所以直线过一、二、三象限，不过第四象限． 点拨：会由直线特征量画直线．1.若点)1,(a A 在直线012= +y x 上，则=a ________,若点A 不在直线012= +y x 上，则a 的取值范围是________.答案：=a 0；0a ．解析：【知识点】点在直线上的充要条件．【数学思想】数形结合思想【解题过程】点)1,(a A 在直线012= +y x 上，则=a 0；若点A 不在直线012= +y x 上，则a 的取值范围是0a ．点拨：点在直线上的充要条件．2.经过点(2，1)且倾斜角的正切值是2的直线方程是________.答案：230x y ．解析：【知识点】已知直线过一点与其倾斜角的正切值，求直线方程．【解题过程】由题设知斜率tan 2k，由点斜式方程，得直线的方程为12(2)y x ，即230x y ．点拨：已知直线过一点与其倾斜角的正切值，可由点斜式求直线方程．3.已知A （2，5），B （4，1），若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x -y 的最大值为_______. 答案：7．解析：【知识点】直线的两点式方程．【解题思路】如图示：A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，令z =2x-y ，则平行y =2x-z 当直线经过B 时截距最小，z 取得最大值，可得2x-y 的最大值为：2×4-1=7．故答案为7．点拨：平行直线z =2x-y ，判断取得最值的位置，求解即可．能力型 师生共研1.过点P(2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.答案：03=-+y x ．解析：【知识点】直线方程与函数最值．【解题过程】设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y令y ＝0解得kx 12-=；令x ＝0，解得k y 21-= ∴A （k12-，0），B （0，k 21-）， ∴||||PB PA ⋅＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822=⨯+≥++=kk 当且仅当12=k 即1±=k 时，||||PB PA ⋅取到最小值.又根据题意0<k ，∴1-=k所以直线l 的方程为：03=-+y x ．点拨：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形．2.已知直线1l 的倾斜角为34，直线2l 经过点(3,2),(,1)A B a ，且12l l ，求实数a 的值.答案：0a ． 解析：【知识点】已知两点求斜率；垂直的充要条件．【数学思想】数形结合思想【解题过程】11k ，由12l l 得221103k a a ．点拨：由垂直的充要条件得另一直线的斜率，再由两点表示斜率．探究型 多维突破1.一直线被两直线1l ：064=++y x ，2l ：0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.答案：06=+y x ．解析：【知识点】直线相交与中点．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A 、B ，设A(00,y x ），则B 点坐标为(00,y x --)因为A 、B 分别在1l ，2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++06530640000y x y x ②① ①＋②得：0600=+y x ，即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为06=+y x ．点拨：交点与中点的坐标表示．1．直线01=-+By Ax 在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线333=-y x 的倾斜角的2倍，则( )A.A ＝3，B ＝1B.A ＝－3，B ＝－1C.A ＝3，B ＝－1D.A ＝－3，B ＝1答案：B ．解析：【知识点】直线的倾斜角与截距． 【解题过程】将直线方程化成斜截式Bx B A y 1+-=. 因为B1＝－1，B ＝－1，故否定A 、D. 又直线333=-y x 的倾斜角α＝3π，∴直线01=-+By Ax 的倾斜角为2α＝32π， ∴斜率－32tan π=B A ＝-3， ∴A ＝－3，B ＝－1，故选B ．点拨：直线的倾斜角与截距．自助餐1．已知直线l 的方程是1y x ，则（ ）A ．直线经过点（-1,2），斜率为1B.直线经过点（2，-1），斜率为-1C ．直线经过点（-1,2），斜率为-1D ．直线经过点（-2，-1），斜率为1答案：C ．解析：【知识点】直线的斜截式方程．【解题过程】直线l 的方程是1y x ，故直线经过点（-1,2），斜率为-1． 点拨：将点的坐标代入直线方程直接检验，斜率的概念．2．直线33(1)yx 的倾斜角及在x 轴上的截距分别是（ ）A ．2,600B ．0120，2C ．,600 2D ．2,1200答案：B ．解析：【知识点】直线的倾斜角与横截距．【解题过程】直线的斜率为3-，令0 y 时，2x，故在x 轴上的截距为2． 点拨：直线的斜截式方程．3．已知直线l 过点(2,0),(2,6)，其斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有（ ） A ．3,23=-=b k B ．2,23-=-=b k C ．3,32k b =-=- D ．3,32-=-=b k答案：C ． 解析：【知识点】已知直线过两点，转化为斜截式方程．【解题过程】斜率063222k ，故直线l 的方程为3(2)2y x ，可化为323--=x y ，故3,23-=-=b k ． 点拨：直线的斜截式方程．4．已知直线l 过点(2,1)P ，且交x 轴、y 轴正向于A 、B 两点，要使得ABC 的面积最小，则l的方程为________． 答案：1 2.2y x 解析：【知识点】直线的点斜式方程与三角形面积最值．【数学思想】数形结合思想【解题过程】设l 的方程为(2)1(0)y k x k ，故1(2,0),(0,12).A B k k 所以11111(2)(12)222(2)()242222S OA OB k k k k k k ，当且仅当12k 时，所以l 的方程为1 2.2y x 点拨：设出直线的点斜式方程，表示出三角形面积，再利用均值不等式求出最小值． 5.过点（5，2），且在x 轴上截距是在y 轴上截距的2倍的直线方程是____________. 答案：y -9=0或2x -5y =0．解析：【知识点】直线的截距式方程．【解题过程】解：当直线过原点时，直线方程为y=25x 直线不经过原点时，设直线方程为12x y a a+= 把点（5，2）代入可得5+4=2a ，解得a =92 ∴直线的方程为x +2y -9=0．综上可得：直线的方程为x +2y -9=0或2x -5y =0．故答案为：x +2y -9=0或2x -5y =0．点拨：当直线过原点时，直线方程为y=25x ．直线不经过原点时，设直线方程为12x y a a+=，把点（5，2）代入即可得出．6．若直线0=++C By Ax 通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件( )A.A 、B 、C 同号B.AC ＜0，BC ＜0C.C ＝0，AB ＜0D.A ＝0，BC ＜0答案：A ．解析：【知识点】直线经过哪几个象限．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】解法一：原方程可化为B C x B A y --=（B ≠0）． ∵直线通过第二、三、四象限，∴其斜率小于0，y 轴上的截距小于0，即－B A ＜0，且－BC ＜0 ∴B A ＞0，且BC ＞0 即A 、B 同号，B 、C 同号.∴A 、B 、C 同号，故选A ．解法二：(用排除法)若C ＝0，AB ＜0，则原方程化为B C x B A y --=＝－x BA . 由AB ＜0，可知－BA ＞0. ∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.若A ＝0，BC ＜0，则原方程化为B C y -=.由BC ＜0，得－BC ＞0. ∴此时直线与x 轴平行，位于x 轴上方，经过一、二象限.故排除D. 若AC ＜0，BC ＜0，知A 、C 异号，B 、C 异号∴A 、B 同号，即AB ＞0.∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A 、B 、C 同号，应选A ． 点拨：数形结合思想．。
人教新课标版数学高一人教A版必修2教案 直线的一般式方程
3.2.3直线的一般式方程
课型：新授课
教学目标：
1、知识与技能
（1）明确直线方程一般式的形式特征；
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；
（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法:学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
教学重点：直线方程的一般式。
教学难点：对直线方程一般式的理解与应用
教学过程：
归纳小结：
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
作业布置：第101页习题3.2第10,11题
课后记:。
高中数学 3.2 直线的方程教案 新人教A版必修2
5、例6的教学
把直线 的一般式方程 化成斜截式，求出直线 的斜率以及它在 轴与 轴上的截距，并画出图形。
3、情态与价值观
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教学设想
问 题
设计意图
引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。
学生独立求出直线 的方程：
（2）
再此基础上，教师给出截距的概念，引导学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。
8、观察方程 ，它的形式具有什么特点？
深入理解和掌握斜截式方程的特点？
学生讨论，教师及时给予评价。
（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学设想
问 题
设计意图
师生活动
1、利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线 经过两点 ,求直线 的方程.
（2）已知两点 其中 ，求通过这两点的直线方程。
遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。
3.2.1 直线的点斜式方程
高中数学 (直线的一般式方程)教案 新人教版必修2 教案
巩固课堂上所学的知识和方法。
学生课后独立思考完成。
关于 的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示；同时，任何一个关于 的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.
2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
巩固所学知识和方法。
学生独立完成，教师检查、评价。
问题
设计意图
师生活动
8、小结
使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。
（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
（2）比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
（3）求直线方程应具有多少个条件？
（4）学习本节用到了哪些数学思想方法？
9、布置作业
在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标轴的交点。
6、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？
使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直解坐标系把直线与方程联系起来。
学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解。
7、课堂练习
第105练习第2题和第3（2）
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学设想
问题
设计意图
师生活动
1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示吗？
（2）每一个关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）都表示一条直线吗？
3.2《直线的方程》教案(新人教必修2)
直线的点斜式方程一、教课目的1、知识与技术（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特色和合用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）领会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2、过程与方法在已知直角坐标系内确立一条直线的几何因素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，经过师生商讨，得出直线的点斜式方程；学生经过对照理解“截距”与“距离”的差别。
3、神态与价值观经过让学生领会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培育学生数形联合的思想，浸透数学中广泛存在相互联系、相互转变等看法，使学生能用联系的看法看问题。
二、教课要点、难点：（1）要点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
三、教课假想问题1、在直线坐标系内确立一条直线，应知道哪些条件？设计企图使学生在已有知识和经验的基础上，研究新知。
师生活动学生回首，并回答。
而后教师指出，直线的方程，就是直线上随意一点的坐标 (x, y) 满足的关系2、直线l经过点P0(x0, y0)，且斜率为 k 。
设点P( x, y)是直线 l 上的任意一点，请建立 x, y 与k, x0 , y0之间的关系。
yPP 0式。
培育学生自主学生依据斜率公式，能够获取，研究的能力，并体时， k yy0 ，即会直线的方程，就当x x0是直线上随意一x x0点的坐标 ( x, y)y y0k( x x0 )（1）知足的关系式，从教师对基础单薄的学生赐予关而掌握依据条件注、指引，使每个学生都能推导出求直线方程的方这个方程。
法。
O x3、（ 1）过点P0(x0, y0)，斜率使学生认识方学生考证，教师指引。
程为直线方程必是 k 的直线 l 上的点，其坐标都满须满两个条件。
足方程（ 1）吗？问题（2）坐标知足方程（1）的点都在经过 P0 ( x0 , y0 ) ，斜率为k的直线l 上吗？4、直线的点斜式方程可否表示坐标平面上的全部直线呢？5、（ 1）x轴所在直线的方程是什么？ y 轴所在直线的方程是什么？（ 2）经过点P0 ( x0 , y0 ) 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？（ 3）经过点P0( x0, y0)且平行于y 轴（即垂直于 x 轴）的直线方程是什么？设计企图师生活动使学生认识方学生考证，教师指引。
高中数学直线的方程教案
高中数学直线的方程教案高中数学直线的方程教案1教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程（、不同时为0）的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程．当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即（1）当时，方程可化为这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线．（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为这表示一条与轴垂直的直线．因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】演示“直线各参数”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的'抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计略高中数学直线的方程教案2一、教学目标【知识与技能】进一步掌握直线方程的各种形式，会根据条件求直线的方程。
直线的方程教案人教版
直线的方程教案人教版一、教学目标1. 理解直线方程的概念，掌握直线方程的表示方法。
2. 能够运用直线方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
二、教学内容1. 直线方程的概念和表示方法2. 直线方程的求解方法3. 直线方程的应用三、教学重点与难点1. 直线方程的概念和表示方法2. 直线方程的求解方法3. 直线方程在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究直线方程的概念和表示方法。
2. 通过案例分析，让学生掌握直线方程的求解方法。
3. 运用小组讨论法，培养学生团队合作解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的直线现象，引发学生对直线方程的思考。
2. 讲解直线方程的概念和表示方法：引导学生掌握直线方程的基本概念，了解直线方程的表示方法。
3. 案例分析：给出实际问题，让学生运用直线方程进行求解。
4. 小组讨论：让学生分小组讨论直线方程在实际问题中的应用，分享解题心得。
5. 总结与反馈：对学生的学习情况进行总结，对学生的疑问进行解答。
六、教学评价1. 评价学生对直线方程概念和表示方法的掌握程度。
2. 评价学生运用直线方程解决实际问题的能力。
3. 评价学生在团队合作中的表现和问题解决能力。
七、教学资源1. 教材：人教版高中数学教材。
2. 课件：直线方程的演示课件。
3. 案例题库：提供一定数量的直线方程应用案例。
4. 小组讨论工具：如白板、彩色笔等。
八、教学进度安排1. 教案编写：根据教学目标和内容进行详细教案编写。
2. 教学实践：根据教案进行教学实践，确保教学目标的实现。
3. 教学反馈：根据学生的学习情况及时进行教学反馈，调整教学方法和进度。
九、教学拓展1. 引导学生思考直线方程在不同领域的应用，如物理学、工程学等。
2. 引导学生探索直线方程的进一步研究，如曲线方程、多维空间中的直线方程等。
十、教学反思1. 对整个直线方程教案进行反思，总结教学过程中的优点和不足。
人教版高一数学必修二第三章 直线与方程教案
教学课题 人教版必修二第三章直线与方程一、知识框架3.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角与斜率（1）倾斜角（2）斜率定义 当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．规定当直线l 与x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为︒0 记法 α图示范围0°≤α<180° 作用(1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可。
定义α≠90°一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α＝90° 斜率不存在③当直线l 1∥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且相等，也可能斜率都不存在．④对于不重合的直线l 1，l 2，其倾斜角分别为α，β，有l 1∥l 2⇔α＝β.（2）垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．有12121-=⋅⇔⊥k k l l①当直线l 1⊥直线l 2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；②较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．3.2 直线的方程1. 直线的点斜式方程（1）直线的点斜式方程①定义：如下图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程)(00x x k y y -=-叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．特别地，当倾斜角为︒0时，有0=k ，此时直线与x 轴平行或重合，方程为00=-y y 或者0y y =。
②说明：如下图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或0x x =（2）直线的斜截式方程 ①定义：如下图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程b kx y +=叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．②说明：左端y 的系数恒为1，一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是︒90的直线没有斜截式方程．2. 直线的两点式方程（1）直线的两点式方程①定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝121x x x x --叫做直线l 的两点式方程，简称两点式．②说明：与坐标轴垂直的直线没有两点式方程，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.（2）直线的截距式方程①定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为1=+by a x 叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．2. 利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求出垂直于x 轴的直线方程。
高中数学3.2 直线的方程 教案1人教版必修2
直线的方程教学目标（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力．（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．教学建议1．教材分析（1）知识结构由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式．（2）重点、难点分析①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程．解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用．直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习．②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明．2．教法建议（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础．直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮．求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程．（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）．（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力．（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力．（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上．教学设计示例直线方程的一般形式教学目标：（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程（、不同时为0）的对应关系及其证明．教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：问：说出过点（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：问：求出过点，的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？答：直线方程是（或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答后强调“也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次”．启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”（二）本节主体内容教学的设计这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：…思路二：………教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线的位置有两种可能，即斜率存在或不存在．当存在时，直线的截距也一定存在，直线的方程可表示为，它是二元一次方程．当不存在时，直线的方程可表示为形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：平面直角坐标系中直线上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．综合两种情况，我们得出如下结论：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于、的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成或的形式，准确地说应该是“要么形如这样，要么形如这样的方程”．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．这样上边的结论可以表述如下：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如（其中、不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？【问题2】任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同时为0）系数是否为0恰好对应斜率是否存在，即（1）当时，方程可化为这是表示斜率为、在轴上的截距为的直线．（2）当时，由于、不同时为0，必有，方程可化为这表示一条与轴垂直的直线．因此，得到结论：在平面直角坐标系中，任何形如（其中、不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．为方便，我们把（其中、不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】演示“直线各参数．gsp”文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略-->。
人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.2.3直线的一般式方程》教案
3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.三维目标1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练.重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课 新知探究 提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线?③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零. 结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式. 注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下：应用示例例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6). 化成一般式，得4x+3y-12=0. 变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴? （5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点, 证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0； （2）A≠0且B≠0； （3）B=0且C≠0； （4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0. ∴A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点. 课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系； （2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式； （3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业习题3.2 A 组11.。
高中数学 (3.2.3 直线的一般式方程)示范教案 新人教A版必修2【推荐】.doc
3.2.3 直线的一般式方程整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A 、B 、C 的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A 、B 、C 的几何意义时,渗透数形结合的数学思想.三维目标1.掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.2.会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.3.通过教学，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化.课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形. (1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°. 由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 推进新课 新知探究 提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化? ④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-B C ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y 轴上的截距为-B C 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程. 解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线? （2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交? （3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交? （4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0. 答案：（1）C=0； （2）A≠0且B≠0； （3）B=0且C≠0； （4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上, ∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0. ∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________. 答案：-32 例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ① 移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6. 即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”. 变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程. 答案：x+3y-3=0或x+2y=0. 知能训练课本本节练习1、２、３. 拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标. 解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系. 解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系； （2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练. 作业习题3.2 A 组11.设计感想本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→习得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳.根据教材分析直线方程的一般式是本节课的重点，但由于学生刚接触直线和直线方程的概念，教学中要求不能太高，因此对直角坐标系中直线与关于x,y 的一次方程的对应关系确定为“了解”层次.两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式.直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.。
人教课标版高中数学必修二《直线的方程(第1课时)》教案-新版
3.2.1 直线的方程一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．（二）学习目标1.掌握由一个点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、斜截式，并能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程．2.经历直线方程的发现过程，以提高分析、比较、概括、化归的数学能力,初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养综合运用知识解决问题的能力．3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养勇于探索、勇于创新的精神．（三）学习重点1．直线方程的点斜式的推导及运用．2．直线方程的斜截式的推导及运用．（四）学习难点直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第97页至第100页，填空：一般地，直线方程b kx y +=，我们把直线l 与y 轴的交点),0(b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距；直线方程b kx y +=由直线的斜率k 与其在y 轴上的截距确定，所以方程b kx y +=叫做直线的斜截式方程．直线方程)(00x x k y y -=-由直线上的一定点及其斜率确定，我们把方程)(00x x k y y -=-叫做直线的点斜式方程．当直线l 的倾斜角为090时，斜率k 不存在，其直线方程不能由斜截式或点斜式确定，此时直线与y 轴平行或重合，故其方程是0x x =．（2）写一写：直线的斜截式方程是b kx y +=；直线的点斜式方程是)(00x x k y y -=-；当直线的斜率不存在时，其方程是0x x =．2．预习自测（10y a -+=（a 为常数）的倾斜角为（ ）A ． 30B ． 60C ． 150D ． 120答案：B ．解析：【知识点】直线的倾斜角．【解题过程】0tan 60a a =?．点拨：明确倾斜角与斜率的关系．（2）过点（-1,2）且倾斜角为 30的直线l 方程为（ ）A ．360y -+=B ．03633=+--y xC ．03633=+++y xD ．03633=+-+y x【知识点】已知一点及倾斜角求直线的一般式方程．【解题过程】k =，故直线的方程为21)360y x y -=-?+-=．点拨：已知一点及倾斜角先求直线的点斜式方程，再转化成一般式方程．答案：A ．（3）直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ）A ．1B ．-1C ．-2或-1D ．-2或1【知识点】考察截距的概念．【解题过程】令0x =，得2y a =+；令0y =，得21x a =+；故221a a +=+?a =-2或1． 点拨：分别求出横纵截距，令其相等解方程即可．答案：D ．(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.（2）直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角.当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.倾斜角的取值范围是001800<≤α. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.（3）概念辨析：①当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是001800<≤α；③倾斜角是90°的直线没有斜率.（4）斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式： )(211212x x x x y y k ≠--=（5）斜率公式的形式特点及适用范围：①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；②斜率公式表明，直线对于x 轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用；④当2121,y y x x ≠=时，直线的倾斜角α＝︒90，没有斜率．（6）确定一条直线需要具备几个独立条件:需要知道直线经过两个已知点；需要知道直线经过一个已知点及方向（即斜率）等等．2．问题探究探究一 直线的方程的推导★ ●活动① 直线的点斜式方程——已知直线的斜率及直线经过一已知点，求直线的方程问题一：已知直线l 经过点),(111y x P ，且斜率为k ，如何求直线的方程？此问题难度较小，可由学生自行推导，得出结论：)(11x x k y y -=-请同学们集思广益，给这个方程取一个贴切、易记的名字.根据直线的几何特征，确定命名为直线方程的点斜式.在学生推导直线方程的点斜式时，教师可帮助启发学生作如下分析：建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是惟一的，其斜率都等于k . 在得出方程k x x y y =--11后，要把它变成方程)(11x x k y y -=-.因为前者表示的直线上缺少一个点1P ，而后者才是整条直线的方程.直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.【设计意图】点斜式方程推导对学生来说是容易接受的，因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的点斜式有一个全方位的认识，以建立起完整、准确的知识结构． ●活动② 互动交流，课堂讨论问题二：平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？答：不能，因为斜率可能不存在.【设计意图】通过讨论，使学生切实掌握点斜式并不能把平面上所有的直线都表示在内，它受到斜率存在性的影响，因此，在具体运用时应根据情况分类讨论，避免遗漏.探究二探究直线的斜截式方程的推导●活动①直线的斜截式方程的推导问题三：已知直线l经过点P（0,b），并且它的斜率为k，求直线l的方程.启发学生用直线方程的点斜式自行推导，得出结论：b=kxy+再次请同学们集思广益，给这个方程取一个贴切、易记的名字，根据已知直线的几何特征，确定为斜截式．【设计意图】斜截式方程推导对学生来说是容易接受的（与初中学习过的一次函数的表达式进行比较），因此，本环节通过问题的讨论，力求使学生对直线方程的点斜式有一个全方位的认识，以建立起完整、准确的知识结构．●活动②巩固理解，加深认识提出问题串，让学生一起交流讨论：⑴斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.⑵斜截式b=在形式上与一次函数的表达式一样，它们之间有什么差别？只有当y+kxk时，斜截式方程才是一次函数的表达式.≠⑶斜截式by+=中，k，b的几何意义是什么？kx【设计意图】通过直线的斜截式方程与一次函数的表达式的比较，加深对直线的斜截式方程的理解，突破重点．探究三直线的点斜式方程与斜截式方程的应用★▲●活动①巩固基础，检查反馈例1 下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( )A. x=3B. y=－5C.2y=xD. x=4y－1【知识点】直线的斜截式方程概念的理解．【解题过程】方程形如b=的形式．y+kx【思路点拨】把每一个选项与概念进行对比，特别注意特殊形式．【答案】B．同类训练直线的方程是指( )A.直线上点的坐标都是方程的解B.以方程的解为坐标的点都在直线上C.直线上点的坐标都是方程的解，且以方程的解为坐标的点都在直线上D.以上都不对答案：C ．解析：【知识点】直线的方程的概念．【解题过程】对选项逐个进行判断．点拨：曲线的方程与方程的曲线的关系．例2 一条直线经过点)3,2(1-P ，倾斜角 45=α，求这条直线的方程.【知识点】已知直线过一点与其倾斜角，求直线方程．【解题过程】由倾斜角 45=α，知斜率tan 1k α==，由点斜式方程，得直线的方程为31(2)y x -=+，即50x y -+=．【思路点拨】已知直线过一点与其倾斜角，可由点斜式求直线方程． 【答案】50x y -+=．同类训练 经过点(2，1)且倾斜角的余弦值是53的直线方程是___________. 【知识点】已知直线过一点与其倾斜角的余弦值，求直线方程． 【解题过程】由3cos 5α=，知斜率4tan 3k α==，由点斜式方程，得直线的方程为41(2)3y x -=-，即4350x y --=． 点拨：已知直线过一点与其倾斜角的余弦值，可由点斜式求直线方程．答案：4350x y --=．【设计意图】巩固掌握点斜式求直线方程的方法．●活动② 强化提升、灵活应用例3 写出下列直线的斜截式方程： ⑴斜率是23，在y 轴上的截距是－2；⑵倾斜角是135，在y轴上的截距是3．【知识点】直线的斜截式方程，会画出图形．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）由斜率k=y轴上的距截为2b=-，得直线方程为2y x=-；（2）由倾斜角是135，得斜率1135tan-==k，故直线方程为3y x=-+．画图略．【思路点拨】对倾斜角、斜率、纵截距的概念理解清楚．【答案】（1）2y x=-；（2）3y x=-+．同类训练已知直线l经过点(-2，1)，且倾斜角的正弦值是1213，求直线l的方程，并画出图形．【知识点】直线的点斜式方程，会画出图形．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】由12sin13α=，注意到[0,)απ∈，得12tan5α=±，故由点斜式方程知：直线l的方程为121(2)5y x-=±+，即12250x y-+=或12230x y++=．点拨：直线的点斜式方程，会画出图形．答案：12250x y-+=或12230x y++=．【设计意图】巩固掌握点斜式求直线方程的方法，会数形结合画出直线图形．3.课堂总结知识梳理直线的点斜式与斜截式方程：设问：已知直线l 经过点A （3，－5），B （－2,5），如何求直线l 的方程.（此问题先让学生思考，再提问.）【设计意图】小结采用学生看课本及填表的形式，目的是为了让学生更加重视教科书的作用，并通过填表对比两种形式的直线方程的异同，尤其是它们适用范围要引起注意。
高中数学直线的方程教案(2)新课标 人教版 必修2(A)
直线的方程教学目的：1.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式以及它们之间的联系和转化，并能根据条件熟练地求出满足条件的直线方程.2.通过让学生经历直线方程的发现过程，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,培养学生综合运用知识解决问题的能力.3.对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神.教学重点：直线方程的一般式和特殊式之间的互化.教学难点：运用各种形式的直线方程时，应考虑使用X 围并进行分类讨论.授课类型：新授课王新敞课时安排：1课时王新敞教 具：多媒体。
教学过程：一、复习引入：问题1：平面内的任一条直线，一定可以用以上四种形式之一来表示吗？答：直线方程的四种特殊形式各自都有自己的优点，但都有局限性，即无法表示平面内的任一条直线. 问题2：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？二、讲解新课：5. 直线方程的一般形式：探究1：方程0=++C By Ax 总表示直线吗？根据斜率存在不存在的分类标准，即B 等于不等于0来进行分类讨论：假设0≠B 方程可化为B C x B A y --=，它是直线方程的斜截式，表示斜率为B A -，截距为B C -的直线；假设B=0，方程0=++C By Ax 变成0=+C Ax .由于A 、B 不全为0，所以0≠A ，那么方程变为AC x -=，表示垂直于X 轴的直线，即斜率不存在的直线. 结论：当A 、B 不全为0时，方程0=++C By Ax 表示直线，并且它可以表示平面内的任何一条直线. 探究2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程都可以表示成0=++C By Ax (A 、B 不全为0)的形式吗？把直线分为斜率存在与不存在时的直线方程的形式进行总结。
或可采用多媒体动画演示，产生直线与y 轴的不同位置关系(旋转)，从而直观、形象地揭示分类讨论的本质，得出“任何一条直线的方程都是关于y x ,的二元一次方程，任何关于y x ,的二元一次方程都表示一条直线〞的结论王新敞三、讲解X 例：四、课堂练习：课本P ４3练习1.根据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－21，经过点A 〔８，－2〕； (2)经过点B (４，2〕，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是23,－3； (4)经过两点1P 〔3，－2〕、2P 〔5，－４〕.0=++C By Ax(1)当B ≠0时，斜率是多少?当B ＝0时呢?(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?y 轴上的截距，并画出图形：(1)3x ＋y －5＝0；(2)54y x -＝1；(3) x ＋2y ＝0； 〔４〕7x －6y ＋４＝0；(5)2y －7＝0. 五、小结 ：通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：0=++C By Ax 〔A 、B 不全为0〕；点),(00y x 在直线0=++C By Ax 上⇔000=++C By Ax 王新敞六、课后作业：y 轴相交于点P (0，2〕，它的倾斜角的正弦值是54，求这条直线的方程.这样的直线有几条? 解：设所求直线的倾斜角为α，那么sin α＝54，cos α＝±2)54(1-＝±53 ，∴tan α＝±34 ∴由点斜式得：y －2＝±34x 王新敞∴所求直线有两条，方程分别为：y ＝34x ＋2，y ＝－34x ＋2. 9.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.解：设菱形的四个顶点为A 、B 、C 、D ，如右图所示.根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：顶点A 、B 、C 、D 在坐标轴上，且A 、C 关于原点对称，B 、D 也关于原点对称. 所以A (－４，0)，C 〔４，0〕，B 〔0，3〕，D 〔0，－3〕由截距式得：34y x +-＝1，即3x －４y ＋12＝0这是直线AB 的方程；由截距式得34y x +＝1即3x ＋４y －12＝0这是直线BC 的方程； 由截距式得34-+-y x ＝1 王新敞即3x ＋４y ＋12＝0这是直线AD 的方程； 由截距式得34-+y x ＝1即3x －４y －12＝0，这是直线CD 的方程. P 〔2，3〕，并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x －2y ＝0 假设截距不为0，那么设直线方程为a y a x +＝1 将点P 〔2，3〕代入得a a 32+＝1，解得a ＝5 ∴直线方程为55y x +＝1，即x ＋y ＝5 王新敞七、板书设计〔略〕。
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§3.2 直线的方程§3.2.1 直线的点斜式方程一、教材分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题.在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程.二、教学目标1．知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程，学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别.3．情态与价值观通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.三、教学重点与难点教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.方程y=kx＋b与直线l之间存在着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线l上任意一点P(x1,y1)的坐标是方程y=kx＋b的解.（2）(x1,y1)是方程y=kx+b的解 点P(x1,y1)在直线l上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题).思路2.在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它是以满足y=kx+b的每一对x、y的值为坐标的点构成的.由于函数式y=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题).（二）推进新课、新知探究、提出问题①如果把直线当做结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l的斜率k且l经过点P1(x1,y1)，如何求直线l的方程?③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k不存在，则直线方程怎样表示？⑤k=11x x y y --与y-y 1=k(x-x 1)表示同一直线吗？⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点（０，ｂ），如何求直线l 的方程？ 讨论结果:①确定一条直线需要两个条件: a.确定一条直线只需知道k 、b 即可；b.确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点.②设P(x ，y)为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11x x y y --,化简,得y －y 1=k(x －x 1).③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在. ④a.x=0；b.x=x 1. ⑤启发学生回答:方程k=11x x y y --表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1,y 1),而方程y －y 1=k(x －x 1)表示的直线l 才是整条直线.⑥y=kx+b.（三）应用示例思路1例1 一条直线经过点P 1(-2,3),倾斜角α=45°,求这条直线方程,并画出图形.图1解:这条直线经过点P 1(-2,3),斜率是k=tan45°=1.代入点斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0, 这就是所求的直线方程,图形如图1所示.点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练求直线y=-3(x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程.解：设直线y=-3(x-2)的倾斜角为α，则tanα=-3， 又∵α∈［0°,180°)， ∴α=120°.∴所求的直线的倾斜角为120°-30°=90°.∴直线方程为x=2.例2 如果设两条直线l 1和l 2的方程分别是l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2，试讨论:（1）当l 1∥l 2时，两条直线在y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？ （2）l 1⊥l 2的条件是什么？活动:学生思考：如果α1=α2，则tanα1=tanα2一定成立吗？何时不成立？由此可知：如果l 1∥l 2，当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率必定不存在.反之，问：如果b 1≠b 2且k 1=k 2，则l 1与l 2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明α1=α2得出tanα1=tanα2的依据.解:（1）当直线l 1与l 2有斜截式方程l 1:y=k 1x+b 1,l 2:y=k 2x+b 2时，直线l 1∥l 2⇔k 1=k 2且b 1≠b 2. (2)l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1. 变式训练判断下列直线的位置关系:(1)l 1:y=21x+3,l 2:y=21x-2; (2)l 1:y=35x,l 2:y=-53x.答案：(1)平行；(2)垂直.思路2例1 已知直线l 1：y=4x 和点P(6，4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程.活动:因为直线l 过定点P(6，4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程.解：因为过点P(6，4)的直线方程为x=6和y －4=k(x －6), 当l 的方程为x=6时，△OQR 的面积为S=72；当l 的方程为y －4=k(x －6)时，有R(k k 46-,0)，Q （k k 46-,41624--k k )， 此时△OQR 的面积为S=21×k k 46-×41624--k k =)4()23(82--k k k .变形为(S －72)k 2＋(96－4S)k －32=0(S≠72).因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以得S≥40. 当且仅当k=－1时，S 有最小值40.因此，直线l 的方程为y －4=－(x －6)，即x ＋y －10=0.点评：本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键.怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导.变式训练如图2，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面（不改变方向），问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积（精确到1 m 2）（单位：m ）.图2解：建立如图直角坐标系，在线段AB 上任取一点P 分别向CD 、DE 作垂线，划得一矩形土地.∵AB 方程为2030x x +=1,则设P(x,20-32x )(0≤x≤30), 则S 矩形=(100-x)［80-(20-32x)］ =-32(x-5)2+6 000+350(0≤x≤30),当x=5时，y=350，即P （5，350）时，(S 矩形)max =6 017(m 2).例2 设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1=0，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程.活动:为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出简图3,帮助思考问题. 解:如图3,设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1.图3AB 边的中点为E ，AB 边上中线 CE ：x －2y ＋1=0. 设C 点坐标为(m ，n),则F(23,21++n m ). 又F 在AC 中线上,则23+n =1, ∴n=-1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0. ∴m=－3.∴C 点为(－3，－1). 设B 点为(a,1),则AB 中点E(213,21++a ),即E(21a+,2). 又E 在AB 中线上,则21a+-4+1=0.∴a=5. ∴B 点为(5，1).由两点式,得到AB ，AC 所在直线的方程AC ：x －y ＋2=0,AB ：x ＋2y －7=0. 点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点： (1)中点分式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来. 变式训练已知点M （1，0），N （－1，0）,点P 为直线2x-y-1=0上的动点，则|PM|2+|PN|2的最小值为何？解：∵P 点在直线2x-y-1=0上,∴设P （x 0,2x 0-1）.∴|PM|2+|PN|2=10(x 0-52)2+512≥512. ∴最小值为512.（四）知能训练课本本节练习1、２、３、４. （五）拓展提升已知直线y=kx ＋k ＋2与以A(0，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求实数k 的取值范围.图4活动:此题要首先画出图形4，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y=kx ＋k ＋2，我们发现它可以变为y －2=k(x ＋1)，这就可以看出，这是过(－1，2)点的一组直线.设这个定点为P(－1，2).解：我们设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，且α1＜α＜α2. 则k 1=tanα1＜k ＜k 2=tanα2.又k 1=132-+=-5，k 2=312--=-21，则实数k 的取值范围是-5＜k ＜-21.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.（七）作业习题3.2 A 组2、3、5.§3.2.2 直线的两点式方程一、教材分析本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.二、教学目标1．知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。