求数列通项公式的八种方法

求数列通项公式的八种方法

一、公式法（定义法）

根据等差数列、等比数列的定义求通项 二、累加、累乘法

1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+

若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n

n n a a +-=⨯+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n

n a n =+-

解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1

3n +，得

11

121

3333

n n n n n a a +++=++， 则

111

21

3333n n n n n a a +++-=+

，故 11223

211

223

2111122122()()()(

)33333333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此11

(13)2(1)211

3133133223n n n n n

a n n ---=++=+-

-⨯， 则211

33.322

n n n a n =

⨯⨯+⨯- 2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a +=

若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==⋅∏ 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故

1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

⋅⋅⋅

⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+

分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+; 解题基本步骤： 1、确定()f n

2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ

3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+

4、比较系数求1λ，2λ

5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式

6、解得数列{}n a 的通项公式

例4 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：

121(2),n n a a n -=+≥

112(1)n n a a -∴+=+ 又

{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列

12n

n a ∴+=，即21n n a =-

解法二：121(2),n n a a n -=+≥