《平面向量的概念》教学设计

《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学4》（人教A版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”，是概念课。

平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用．一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法的基础．本节从物理学中的速度、力等既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度(模)、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

本节课不仅要让学生理解向量的形式化定义及几个相关概念，而且能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、学情分析（一）有利因素：在学生已经在物理中学习了矢量，即知道力、位移、速度等是既有大小又有方向的物理量（矢量），知道可以借助有向线段来求作力的图示；了解数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、平面几何中的平行与共线；对类比的思想方法有所了解等。

所在的创新二班和三班学生基础较好，接受知识能力较快。

（二）不利因素虽然学生具备认知基础，但是，由于学生处于高一年级，对于本节课的难点：向量概念的理解及形成过程、零向量、相等向量、共线向量等概念，尤其在思维辨析方面，总体情况可能不是太好。

.所以在分辨对向量的长度而不是对向量本身进行度量的问题上，适度加以引导和指导。

三、教学目标1、知识与技能：(1)能结合物理中矢量认识向量，掌握向量与数量的区别.；(2)理解零向量、单位向量及向量的模等概念；(3)明确有向线段与向量的联系与区别，会用有向线段和字母表示向量；(4)理解、判断共线向量（平行向量）、相等向量，并利用该概念进行推理证明。

2、过程与方法：(1)运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索平面向量；(2)学生经历向量概念、表示，特殊向量和特殊关系的学习，感受到类比的思想和联系的观点是科学探究中常用的手段；(3)通过学生主动地参与到课堂中，提高学生学习数学的积极性；(4)了解向量概念及其产生的实际背景，经历向量学习的过程，体会向量来自于客观现实。

3、情感态度与价值观：(1)学生感受向量的概念、方法源于现实放世界，激发数学学习兴趣；(2)经历用有向线段表示向量的操作过程，体会数学的实用性、表达的简洁美；(3)在体会研究数学问题的基本套路的同时，进而提高提出问题、研究问题的能力。

四、教学重难点教学重点：向量的有关概念，向量的表示，相等向量与共线向量教学难点：零向量的理解，共线向量的判断五、教学过程1、向量概念的引入问题1：高中物理的第一课我们就学习了位移这个概念。

它和路程有什么区别？“位移是矢量，既有大小又有方向；路程是标量只有大小，没有方向”那在物理中的矢量，也就是又有大小又有方向的量，在数学中我们称之为”向量”。

物理中有大小，没有方向的标量，我们称之为”数量”。

下面我们看一个例题。

跟踪训练1 下列各量中是向量的是() 答案：BA.时间B.速度C.面积D.长度思考：平面直角坐标系的x轴，y轴是是向量吗？答：不是，x轴y轴只有方向，没有大小。

【设计意图】强调向量的两个要素：大小和方向。

2、向量的两种表示方法对于一个实数,可以用数轴上的点表示;对于一个角的正弦、余弦和正切,可以用三角函数线表示;对于一个二次函数,可以用一条抛物线表示…….数学中有许多量都可以用几何方式表示。

问题2向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？联想一下物理中的矢量，比如力，我们是怎样表示的？物理中我们画力的示意图的时候，是用带箭头的线段来表示的，即有向线段。

有向线段是带有方向的线段，既有大小又有方向，所以可以用来表示向量。

（如图）我们可以看到有向线段三个要素：起点、方向、长度。

以A 为起点、B 为终点的有向线段记作向量AB →.起点写在前面，终点写在后面，上面再加一个箭头。

有向线段的三个要素都被包含在表达式中了。

这是向量的几何表示。

向量的字母表示：用有向线段的起点和终点字母表示，如AB →。

也可以小写字母a, b, c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，手写时用 a →， b →， c →)．就像线段一样，可以用两端点的大写字母表示，也可以只用一个小写字母表示。

要注意手写一定要加箭头。

【设计意图】当我们认识一个新事物后，自然会想到如何来表示它．在过渡语言中，渗透研究新事物的基本套路。

表示向量时，既要考虑大小，又要兼顾方向，这是一个难点，给予学生充足的时间，旨在期望学生自行突破。

这里我们要注意有向线段和向量的区别。

“有向线段则有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也是不同的有向线段。

向量只与大小与方向有关，在平面中可以自由移动。

比如向量BC 就可以平移至向量AD ，两向量重合。

”【设计意图】反复渗透向量具有两个要素，说明向量可以“自由平移”，这为以后解决问题带来极大方便，也为共线向量的自然引出做好铺垫． 3、向量的模及两个特殊向量由向量的几何表示，我们可以从有向线段中得到向量的大小表示。

向量的“模”：向量AB →的大小，也就是有向线段AB →的长度，记作|AB →|.向量的模是一个数量，可以比较大小。

模为单位长度1的向量叫“单位向量”，模为0的向量称为“零向量”。

单位向量和零向量都是从大小方面定义的，他们的方向不确定。

【设计意图】能够表示向量之后，自然会想到对向量展开研究；研究新对象时，自然能想到先研究其中的特殊成员，教师的过渡语旨在进一步渗透研究数学新对象的基本套路。

B CD4、平行向量、共线向量与相等向量两个单位向量他们的方向会有什么关系？类比一下线段之间的位置关系，可以平行也可以相交。

相交的情况我们后面几节课会学到，今天我们先来讨论一下向量的平行。

那么如果两个单位向量平行，他们的方向会是相等或者相反。

【设计意图】教师启发，由学生归纳出平行向量的定义。

给出平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a平行于b，记作a∥b.问题8：为什么要强调非零向量？零向量模长为零，可以看成一个点，因此我们规定零向量与任一向量平行．即对于任意的向量a,都有0∥a.在梯形ABEF中，，向量AB，向量CD，向量EF是一组平行向量，因为向量在空间中可以自由平移，所以将两个平行向量可以移到与AB所在的同一条直线上。

由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的。

【设计意图】动画的制作和播放便于学生直观地感受向量的平行，和向量在平面上的移动。

到现在为止，我们学习的单位向量和零向量都是从向量的大小定义的，平行向量和共线向量是从方向来考虑的，那我们可不可以从大小和方向这两个方面同时定义呢？相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．记作a=b相反向量：长度相等且方向相反地向量叫做相反向量，记作a=-b。

规定：零向量与零向量相等。

跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？方法总结：准确画出向量的方法是先确定起点,再确定方向,最后根据向量的大小确定终点。

【设计意图】本题既考察了学生如何用有向线段表示向量，又涉及到了相等向量的概念。

5、题型分析题型一 判断正误1,判断下列说法是否正确(1)平行向量方向一定相同. ( × )(2)不相等向量一定不平行. ( × )(3)单位向量都相等. ( × )(4)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示.( √ )(5)若两向量平行,则这两向量的方向相同或相反. ( × )(6)若向量a 与向量b 不平行,则a 与b 方向一定不相同. ( √ )2．下列说法正确的是( C )A ．向量AB →与BA →是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量C ．零向量与任一向量共线D ．两平行向量所在直线平行3.下列说法中正确的是( D )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小4.下列说法正确的是_______．(填序号) ③④①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；题型二 寻找相等向量或平行向量例2.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心。

① 分别写出与 相等的向量。

−→−−→−−→−==DO CB OA −→−−→−−→−==EO DC OB② 分别写出与 共线的向量。

−→−−→−−→−−→−FE DO CB OA ////// −→−−→−−→−−→−AF EO DC OB //////观察以上两问，你能得出什么结论？相等的向量一定共线，共线的向量不一定相等。

变式题：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心。

−→−−→−OBOA ，−→−−→−OBOA ，−→−OA① 写出与 相等的向量。

−→−−→−−→−−→−===EF DO CB OA② 写出与共线的向量。

−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−DA AD FE EF OD DO BC CB AO ,,,,,,,,③ 与 模长相等的向量一共有几个。

23个。

一共有2条线段，可以构造两个相反向量。

题型方法总结：(1)寻找相等向量：先长度再方向．(2)寻找共线向量：先找平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．“一线两用”：一条线段可以构造成两个方向相反的向量题型三 利用相等向量和平行向量推理1.给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)①③④3.如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →，求证：DN →＝MB →.6、课堂小结（板书）1.定义：方向、大小2.表示方法：有向线段、字母表示3.长度：单位向量、零向量方向：共线向量、平行向量−→−OA −→−OA (1)证明因为AB =DC , 所以|AB |=|DC |,且AB ∥CD. 因此四边形ABCD 是平行四边形, 所以|DA |=|CB |,且DA ∥CB. 同理由CN =MA ,可证四边形CNAM 是平行四边形, 所以CM =NA . |CB |=|DA |,|CM |=|NA |, 所以|MB |=|DN |,即DN 与MB 的模相等, 又DN 与MB 的方向相同,故DN =MB . (2)解图中与向量DN 共线的向量有: NA ,AN ,ND ,CM ,MC ,MB ,BM ,CB ,BC ,DA ,AD .长度和方向：相等向量、相反向量。