加速度的大小和运动轨迹的曲率半径运动方程解共25页文档
2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度
a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b
切向加速度和法向加速度-资料类
切向加速度和法向加速度－资料类关键信息项：1、切向加速度的定义及相关概念名称：＿___________________________描述：＿___________________________2、法向加速度的定义及相关概念名称：＿___________________________描述：＿___________________________3、切向加速度和法向加速度的计算方法公式：＿___________________________适用条件：＿___________________________4、切向加速度和法向加速度的关系相互影响：＿___________________________关联因素：＿___________________________5、实际应用场景举例场景描述：＿___________________________作用分析：＿___________________________11 切向加速度的定义切向加速度是质点作曲线运动时所具有的沿轨道切线方向的加速度。
它描述了质点速度大小变化的快慢程度。
111 切向加速度的计算公式切向加速度的大小可以通过对速度大小对时间的导数来计算，即：＄a_{t} ＝＼frac{dv}｛dt}＄，其中$v$是速度大小，＄t$是时间。
112 切向加速度的影响因素切向加速度的大小取决于作用在质点上的切向力以及质点的质量。
当切向力增大或质点质量减小时，切向加速度会增大，反之则减小。
12 法向加速度的定义法向加速度是质点作曲线运动时所具有的沿轨道法线方向（指向曲率中心）的加速度。
它反映了质点速度方向变化的快慢。
121 法向加速度的计算公式法向加速度的大小为：＄a_{n} ＝＼frac{v^2}｛r}＄，其中$v$是质点的速度大小，＄r$是曲线运动轨迹的曲率半径。
122 法向加速度的特点法向加速度始终指向曲线的曲率中心，其大小与速度的平方成正比，与曲率半径成反比。
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
运动轨迹曲率半径的计算
运动轨迹曲率半径的计算运动轨迹曲率半径是描述物体运动轨迹弯曲程度的重要参数，它能够帮助我们理解运动物体在空间中的运动状态以及运动轨迹的特征。
本文将详细介绍曲率半径的概念、计算方法以及它在运动学和工程学中的应用。
首先，让我们来了解一下什么是曲率半径。
曲率是描述曲线弯曲程度的物理量，而曲率半径则是曲线上某一点处曲率的倒数。
曲率半径越小，表示曲线的弯曲程度越大，反之亦然。
曲率半径还可以用来描述曲线的曲率速率，即曲线上各点处曲率变化的快慢。
计算曲率半径需要用到微积分中的导数概念。
对于平面曲线，曲率半径的计算公式为：r = (1 + (dy/dx)²)^(3/2) / (d²y/dx²)。
其中，dy/dx表示曲线在某点处的斜率，而d²y/dx²表示曲线的曲率。
通过求解这个方程，我们可以得到曲线在某点处的曲率半径。
在实际的运动学中，曲率半径可以帮助我们分析物体在运动过程中的加速度和速度变化情况。
当物体在某一点处的曲率半径为正值时，表示物体处于凸向外弯曲的状态，此时物体受到的向心力将使其向曲线的中心靠拢；反之，当曲率半径为负值时，表示物体处于凸向内弯曲的状态，物体将远离曲线的中心。
这些信息对于研究物体的运动规律，以及为工程设计提供参考具有重要的指导意义。
除了在运动学中的应用，曲率半径还在工程学中发挥着重要的作用。
例如，在公路和铁路的设计中，为了确保交通流畅和安全，需要合理设置弯道的曲率半径。
通过计算弯道的曲率半径，可以确定车辆在通过这些弯道时的速度限制和转向半径，从而保证行车的安全性。
此外，曲率半径还广泛应用于机器人技术和航天工程中。
在机器人的路径规划中，通过计算路径上各点处的曲率半径，可以为机器人选择合适的路径，避免出现过于急转弯或过于平直等不适合的情况。
而在航天工程中，曲率半径可以帮助研究人员分析和预测航天器的轨迹变化情况，为航天任务的执行提供指导。
综上所述，曲率半径是描述物体运动轨迹弯曲程度的重要参数，它不仅在运动学中起到重要作用，还被广泛应用于工程学领域。
天体运动中的加速度与向心加速度的区别与联系-最新文档资料
天体运动中的加速度与向心加速度的区别与联系比较卫星在椭圆轨道与圆轨道的切点处的加速度大小或者向心加速度的大小，是关于天体运动习题中的高频考点，而卫星的加速度和卫星的向心加速度又是一对容易混淆的概念，二者之间有什么区别，又有哪些联系呢？下面对此进行讨论。
一、加速度和向心加速度有什么不同？首先，物理意义不同：加速度是描述物体运动速度变化快慢的物理量。
向心加速度是反映物体运动速度方向变化快慢的物理量。
其次，一般情况下的计算方法不同：加速度大小的求解通常是依据牛顿第二定律进行求解，a=■即物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的质量成反比；向心加速度大小通常根据a■=■或者a■=■=ω■r进行求解。
那么加速度的大小和向心加速度的大小在什么情况下相等呢？对于变速圆周运动，通常根据合外力产生的效果，可以把合外力F■分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的分力F■和指向圆心的分力F■。
其中跟圆周相切的分力F■产生切向加速度，改变速度大小；指向圆心的分力F■产生向心加速度，改变速度方向。
当切向加速度为0时，合外力全部用来提供向心力，F■=F■。
由a=■与a■=■可知，加速度的大小和向心加速度的大小相等。
在天体运动中，哪些情况下加速度的大小和向心加速度的大小相等呢？第一种情况：卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时，速度大小不变，切向加速度为0，万有引力全部提供向心力，卫星的加速度大小等于向心加速度的大小。
第二种情况：卫星在椭圆轨道的近地点和远地点，万有引力方向与线速度垂直，切向加速度为0，万有引力全部提供向心力，卫星的加速度的大小等于向心加速度的大小。
注意，在椭圆轨道上其他位置处，速度大小变化，切向加速度不为0，万有引力的一个分力提供向心力，卫星的加速度的大小和向心加速度的大小不相等。
二、通过两道例题体会如何比较不同轨道上加速度的大小或者向心加速度的大小。
例题1：我国发射了一颗地球资源探测卫星，发射时先将卫星发射至距离地面50km的近地圆轨道1上，然后变轨到近地点距离地面50km、远地点距离地面1500km的椭圆轨道2上，最后由轨道2进入半径为7900km的圆轨道3。
机械运动中的加速度与速度
机械运动中的加速度与速度机械运动是我们日常生活中不可或缺的一部分。
车辆行驶、物体下落、机器运转等等，这些都是机械运动的例子。
在这些运动中，加速度和速度是两个十分重要的概念。
下面，我们将深入探讨机械运动中的加速度和速度，并且了解它们之间的关系。
在机械运动中，加速度指的是速度改变的速率。
当物体的速度发生变化时，就会出现加速度。
加速度的单位是米每秒平方（m/s²）。
加速度的大小可以用以下公式计算：加速度等于速度变化量除以时间。
例如，如果一个车辆的速度从20m/s增加到30m/s，而这个速度变化是在5秒内发生的，则车辆的加速度是（30m/s -20m/s）/ 5s = 2m/s²。
在机械运动中，速度则是物体在单位时间内移动的距离。
速度通常用米每秒（m/s）来表示。
要计算速度，可以用以下公式：速度等于位移除以时间。
例如，如果一个人在10秒内走了100米，那么他的速度就是100米 / 10秒 = 10m/s。
加速度和速度之间有着密切的联系。
在大多数情况下，加速度和速度是成正比的。
如果加速度增大，那么速度变化的速率也会增加，反之亦然。
不过，要注意的是，速度和加速度的方向可能并不一致。
例如，一个物体在沿着直线运动时，加速度和速度的方向可能相同或者相反。
加速度和速度的关系可以通过以下公式进一步说明：速度等于初速度加上加速度乘以时间。
这个公式可以用来计算物体在经过一定时间后的速度。
例如，一个物体的初速度是10m/s，加速度是3m/s²，经过5秒后，这个物体的速度等于10m/s + 3m/s² × 5s = 25m/s。
当然，机械运动中的加速度和速度并不仅限于直线运动。
在曲线运动或者圆周运动中，加速度和速度的计算需要考虑到向心加速度的影响。
向心加速度是物体在曲线运动中受到的向心力所引起的。
向心加速度的大小可以通过以下公式计算：向心加速度等于速度的平方除以物体在曲线上的曲率半径。
第三讲 切向加速度与法向加速度
—— 质点运动学 ——
伽利略变换、 伽利略变换、绝对时空理论
二船都以2m/s 3、在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以 在相对地面静止的坐标系内， 二船都以 的速率匀速行驶， 船沿 轴正向， 船沿 轴正向， 船沿x轴正向 船沿y轴正向 的速率匀速行驶，A船沿 轴正向， B船沿 轴正向， 今在A船上设置与地面坐标系方向相同的坐标系， 今在 船上设置与地面坐标系方向相同的坐标系，那 船上设置与地面坐标系方向相同的坐标系 么在A船上的坐标系中 船上的坐标系中， 船的速度为 么在 船上的坐标系中，B船的速度为 。 4、一飞机相对空气的速度大小为200km/h，风速为 一飞机相对空气的速度大小为 ， 56km/h，方向从西向东，地面雷达测得飞机的速率为 ，方向从西向东， 192km/h，则飞机相对地面运动的方向为 ， 。
o O′ z x z′ z
x
t′ = t
∗
z′ = z
—— 质点运动学 —— 伽利略变换、 伽利略变换、绝对时空理论
x′ = x − υt y′ = y
轴方向上。 设两参考系间的相对运动只发生在 x 轴方向上。 S系 S ′系 事件A 事件A ( x 1 , t 1 ) ′ ′ ( x1 , t1 ) 事件B 事件B ( x 2 , t 2 ) ′ ( x′ , t2 ) 2
1– 4
如何度量曲线弯曲程度？ 如何度量曲线弯曲程度？ P∆s P′
∆θ
ρ
ρ
曲率圆
∆θ dθ = 曲率： 曲率： k = lim ∆s→0 ∆ s ds ds 1 = 曲率半径： 曲率半径： ρ = dθ k
—— 质点运动学 —— 切向加速度、 切向加速度、法向加速度
v τ ( t + dt )
大学哈工大第八版理论力学课件
C
B
O1
O2
3 AB杆上任一点的速度加速度之间的关系？
4 若杆O1A 加速转动 则C点的加速度？
观察平行四连杆机构中长杆的运动 观察平行四连杆机构中板的运动
铅直平面内的运动机构O1A=O2B =r=20cm , AB=O1O2=40cm
M
AB杆上M点的速度 加速度
A
B
M
M
A
O1
O2
矩形板的运动形式？ A
4.4.滚动摩阻的概念
❖ 要求：了解滚动时存在的阻力的形式?特点?
❖
4.4滚动摩阻的概念
一 滚阻力偶与滚阻力偶矩
P
c
rQ A
Fx = 0 Fy = 0
Q - F S= 0 FN- P = 0
发现了什么问题?
P
c
r A MQf
FS
FN
4.4.滚动摩阻的概念
一 滚阻力偶与滚阻力偶矩
❖2 产生滚阻的原因 3 滚阻力偶矩
vB 速度的方向垂直于该点到
O
轴心的连线，指向图形
B 转动的一方。
§7–3转动刚体内各点的速度与加速度
一 转动刚体内各点的速度与加速度的计算 速度计算的逆运算
vdsRdR
dt dt
vB OB
vB
OB
O
vB
B
§6–3转动刚体内各点的速度与加速度
一 2
转动刚体内各点的速度与加速度的计算
加速度计算
运动方程
二 点的速度
1 自然轴系
§ 5-3 自然法
曲率 曲率半径
2 速度 v ds
dt
3 正、负的含义 联想到了什么？
o
表示速度在切线方向 上的投影
大学物理课件-曲线运动
火车转弯时的向心力来源
总结词
火车在转弯时需要向心力来维持其运动轨迹，这个向 心力主要来源于铁轨对轮子的侧压力和离心力。
详细描述
当火车在转弯时，由于离心力的作用，火车有向外甩 的趋势。为了保持火车在轨道上正常运行，铁轨会对 火车轮子施加一个侧压力，这个侧压力可以提供足够 的向心力来平衡离心力。同时，火车的速度和轨道半 径也会影响所需的向心力大小。在设计铁路弯道时， 需要考虑到这些因素以确保安全和稳定的运行。
行四边形定则或三角形法则进行计算。
运动的合成与分解方法
总结词
运动的合成与分解方法是将复杂的曲线运动分解为简单的直线运动，便于分析和计算。
详细描述
在曲线运动中，为了简化分析和计算，常常采用运动的合成与分解方法。具体地，可以 将曲线运动分解为两个或多个简单的直线运动，如水平方向的匀速运动和竖直方向的匀 加速运动等。通过这种分解方法，可以分别对各个方向的直线运动进行分析和计算，然
地球自转
地球绕着自己的轴线旋转，形成 昼夜交替的现象，这也是一种曲 线运动。
02
曲线运动的基本规律
匀速圆周运动
总结词
匀速圆周运动是质点在平面内以某点为中心作等速圆周运动的现象，其特点是速 度大小恒定，方向时刻改变。
详细描述
匀速圆周运动是曲线运动中最简单的一种形式，其速度大小恒定，方向沿圆周的 切线方向，加速度大小恒定，方向始终指向圆心，即向心加速度。匀速圆周运动 中，质点所受合力充当向心力，保持质点作等速圆周运动。
曲线运动的实例分析
地球的自转与公转
总结词
地球自转与公转是典型的曲线运动，涉 及到角动量守恒和万有引力定律等物理 原理。
VS
详细描述
地球自转是指地球绕自身轴线旋转，公转 是指地球绕太阳旋转。这两种运动都是曲 线运动，因为它们都涉及到旋转和椭圆轨 道。自转和公转运动遵循角动量守恒和万 有引力定律，这些定律在描述地球运动时 非常重要。
2自然坐标系--切向加速度和法向加速度
第二节 自然坐标系 切向加速度 法向加速度
一、自然坐标系 •问题的提出： 在直角坐标系中，加速度公式无法看 出哪一部分是由速度大小变化产生的加速 度，哪一部分是由速度方向变化产生的加 速度，所以引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨 迹上的，有两个坐标轴，切向坐标和法 向坐标。
2. a C , an 0
3. a 0 , an C 4. a 0 , an 0
匀变速直线运动；
匀速率圆周运动； 变速曲线运动；
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
例
解：
vห้องสมุดไป่ตู้
a
g
an
v
想一想：何处 曲率半径最大？ 何处最小？
dv a kR 解： 切向加速度 dt 2 2 ( kRt) v 2 2 法向加速度 a n k Rt R 2 2 加速度 a a an
kR k Rt
2 2
2 2
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
讨论下列几种运动情况：
1. a 0 , an 0 匀速直线运动；
v v 0 vnn0 （1）
v A n B v vB τ 其中 v 为速度增量在切线方向的分量；
vn
vn 为速度增量在法线方向的分量； 0 切线方向的单位矢量；
n0
vA
vA
法线方向的单位矢量。
§2切向加速度、法向加速度/二、a、an
加速度的大小和运动轨迹的曲率半径运动方程解
M
一、矢量法
1、运动方程 2、速度
3、加速度
11
§1-1 点的运动学
二、直角坐标法
1、运动方程
2、点的速度
3、点的加速度
12
§1-1 点的运动学
问题：如何求点运动方程、运动轨迹以及点 的速度和加速度的大小与方向？ 几何性质 运动方程 运动轨迹
点的速度
点的加速度
13
§1-1 点的运动学 例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
运动方程: 解：
20
§1-1 点的运动学
例： 已知点作平面曲线运动，其速度的大小为常量u，方向与 x 轴的夹角为θ = f(t)（时间的可微函数）， 求任意时刻点的运 动轨迹的曲率半径。 解： 加速度
y
u θ x 曲率(curvature)
21
§1-1 点的运动学
例：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u
解：1、P 点运动方程 y A
O
P
B x
2、P 点的速度和加速度 14
§1-1 点的运动学
P点的运动轨迹
y O
A
P
B x
15
§1-1 点的运动学
问题:如果已知点的运动轨迹和点的速度的大小随时 间的变化规律，如何确定点的加速度?
M
列车沿铁轨行驶 若将列车视为质点 且运动轨迹已知。
问题: 质点M沿椭圆轨道匀 速率运动，如何确定其加速 度的大小和方向？
6
流行病学动力学
7
经济动力学
8
第一章 质点动力学 第二章 质点系动力学
第三章 刚体动力学（平面问题） 第四章 动静法
9
第一章 质点动力学
点的运动
第五章点的运动学本章将研究点的运动，包括点的运动方程、运动轨迹、速度、加速度等。
点的运动学也是研究刚体运动的基础。
第一节点的运动方程点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化的规律称为点的运动方程。
点在空间运动的路径称为轨迹。
在某一参考体上建立不同的参考系，点的运动方程有不同的形式。
一、矢量法设点作空间曲线运动，在某一瞬时t ，动点为M，如图5-1所示。
选取参考体上某固定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对于原点O的矢径。
当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即(5-1)上式称为矢量形式表示的点的运动方程。
显然，矢径r的矢端曲线就是动点的运动轨迹。
图5-1二、直角坐标法过点O建立固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置也可以用它的三个直角坐标x , y , z表示，如图5-1所示。
由于矢径的原点和直角坐标系的原点重合，矢径r可表为(5-2)式中i , j , k 分别为沿三根坐标轴的单位矢量。
坐标x , y , z也是时间的单值连续函数，即(5-3)式(5-3)称为点的直角坐标形式的运动方程，也是点的轨迹的参数方程。
三、自然法当动点相对于所选的参考系的轨迹已知时，可以沿此轨迹确定动点的位置。
在轨迹上任取固定点O 作为原点，选定沿轨迹量取弧长的正负方向，则动点的位置可用弧坐标s 来确定。
如图5-2所示。
动点沿轨迹运动时，弧长s 是时间的单值连续函数(5-4)上式称为点用自然法描述的运动方程。
图5-2以上三种形式的运动方程在使用上各有所侧重。
矢量形式的运动方程常用于公式推导；直角坐标形式的运动方程常用于轨迹未知或轨迹较复杂的情况；当轨迹已知为圆或圆弧时，用自然法则较为方便。
第二节点的速度和加速度动点运动的快慢和方向用速度表示，速度的变化情况则用加速度表示。
下面给出在各坐标系下，速度、加速度的数学表达式。
一、用矢量法表示点的速度和加速度如动点矢量形式的运动方程为r=r(t) ，则动点的速度定义为（5-5）即动点的速度等于动点的矢径r对时间的一阶导数。
大物 第一章 运动学
2
24
注意点 a) 加速度为速度随时间的改变率,加速度大, 速度不一定大.(如上抛运动)
b) 加速度的方向
i) 直线运动时 与速度方向成 0 或1800 ii) 曲线运动时 有指向凹
a
v
v v
a
a
25
处的。
以抛体为例
小结 (以一维运动为例) x = x(t)
求 导
v
dx dt
2
求0~5秒内物体走过的路程、位移和第5秒 时刻的速度。
28
解： x t 2 4t 2( SI）
t=0时，x1=2， t=5时，x2=7， 位移 x=x2 -x1=5(m)
速度 v=dx/dt=2t-4
令v=0,得t=2 路程S=13m -2 t=2 0
t=5 v=6m/s
2 t=0
rB
B
实际走过的路径的长度
位移(矢量) r -----位置的移动
y1 O
rA
A x1 x 2
r
X
14
2. 位移和路程的区别
位移和路程代表
不同的物理意义
Y y2
rB
B
位移的单值性和
路程的多值性
y1
rA
A
r
O
x1 x2
X
15
例1: 物体作何种运动时,其位移的大小和路 程相等? 答: 例2: 苏州 -50 无锡 单向直线运动 无锡 O 常州 常州 40 苏州 X(km)
2 2
1 2
at
2
V0 2a s
33
推导：
dv a ( const .) dt dv adt v v 0 at v dx dt v 0 at
园周运动的相关公式
园周运动的相关公式
园周运动是指质点在圆周运动中，其速度大小恒定，方向则沿切线方向不断变化，而加速度的大小不变，方向则指向圆心，大小等于速度平方与曲率半径之比。
因此，园周运动的相关公式包括速度公式、加速度公式、曲率半径公式等。
园周运动的速度公式为v = 2πr / T，其中v表示速度，r表示圆的半径，T表示
运动的周期。
根据速度公式，当半径增大或周期变大时，速度也会增大；反之，
当半径减小或周期变小时，速度也会减小。
园周运动的加速度公式为a = v² / r，其中a表示加速度，v表示速度，r表示圆
的半径。
根据加速度公式，当速度增大或半径减小时，加速度也会增大；反之，当速度减小或半径增大时，加速度也会减小。
园周运动的曲率半径公式为ρ = 1 / R，其中ρ表示曲率半径，R表示圆的半径。
曲率半径是指质点在运动过程中所经过的弧长与其所对应的圆心角之比，也可以理解为运动轨迹的曲率的倒数。
根据曲率半径公式，当圆的半径增大时，曲率半径也会增大；反之，当圆的半径减小时，曲率半径也会减小。
除了以上的公式之外，园周运动还涉及到角速度、角加速度、角度、周期、频率等相关概念和公式。
这些公式和概念可以帮助我们更好地理解和分析园周运动的特性和规律。
自然坐标系中的速度加速度
即定义了一个矢量
3）角速度
a）平均角速度
定义：
t
2
1
注意：平均角速度不是矢量
b）瞬时角速度
定义：
d
O
注意 ： dt
O
1） 与转动方向成右手缧 旋关系
2020/5/22
通常是画在坐标原点处。
注意 ：
1） 与转动方向成右手缧 旋关系
通常是画在坐标原点处。
2）单位 [] [ ] S 1
其质点运动方程为：s s(t)
为表示矢量建立切向单位矢和法向单位矢 ˆ, nˆ 2020/5/22
三）平面自然坐标系中的速度
s
ˆ s
c r
s O’
运动方程为
r lim s dss(为t)瞬时速率
lim O
dt dr
v
dt
r
v
lim 2020/5/22
t0 t
lim r s s t
lim s lim r t s
a
a an a
v2 nˆ dv ˆ
a
讨论：
dt
S a a 0,
0 ,
2
v
a 0, 90, v const
2020/5/22
a 0,
,
2
v
讨论： A):直线运动中 ( )
a
X
an
a
又若
v2
a
dv
0；
dv dt
0；
a
dv dt
ˆ ；
v cinst
4）角加速度
A）定平义均：角加 速度（
[t ]
）
t
1
2
T+t
2 1
大学物理 第一章 第二节圆周运动与一般平面曲线运动
2、角加速度
lim
t 0 t
d
dt
d 2
dt 2
方向？
四、 圆周运动中线量和角量的关系 1、线速度与角速度 v R
角速度 的方向:
按“右旋规则”确定 角加速度 的方向: 加速时与方向相同 减速时与方向相反
y
R
o
x
2、切向加速度与角加速度 3、 法向加速度与角速度
a R
an
v2 R
v
R 2
4、速度分量式
（1）可将抛体运动分解为 沿x和y 两个方向的独立运动。
立进行的运动迭加而成。
※
抛体运动方程的矢量形式
v
(v0cos )i
(v0
sin
gt)
j
v0t
r
1
gt
2
2
v dr dt
r
t vdt
0
t 0
(vxi
vy
j )dt
(v0t
cos
)i
(v0t
sin
1 2
gt2 )
j
（2）也可将抛体运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和
t
a a
ax2
a
2 y
R 2
7
五、匀变速率圆周运动
常量， 故 at r，an r 2
dω 常量，
dt
又
dω dt d dt，
如 t 0 时, 0 ， 0
可得：
0 t θ θ0 0t
1 2
t
2
2
2 0
2 (
0)
匀变速率圆周运动
0 t
θ
θ0
0t
1 2
t
圆周运动的速度与加速度
圆周运动的速度与加速度圆周运动是物体绕着一个中心点旋转的运动方式，也被称为旋转运动。
在圆周运动中，速度和加速度是两个重要的物理量，它们的大小和方向对于描述和理解物体的运动状态至关重要。
一、速度在圆周运动中的应用在圆周运动中，速度是描述物体沿着圆周运动轨迹移动的物理量。
速度的大小称为线速度，用V表示，单位通常为米/秒。
在圆周运动中，物体的速度向量与轨迹相切，并保持相对位置的变化。
当物体绕着圆心运动时，它所走过的弧长与时间的比值等于速度的大小，即V=s/t。
而弧长与半径之间的关系可以表示为s=rθ，其中r为半径，θ为物体所走过的角度。
将这两个关系联立，可得到速度的另一种表达式V=rω，其中ω为角速度，表示角度的变化率。
在圆周运动中，线速度的大小与半径成正比。
也就是说，物体绕着较小的圆周运动时，速度较快；相反，绕着较大的圆周运动时，速度较慢。
这一规律可以用公式V = 2πr/T来表示，其中T为物体绕一圈所需要的时间。
二、加速度在圆周运动中的应用在圆周运动中，加速度是描述物体加速或减速的物理量。
加速度的大小称为线加速度，用a表示，单位通常为米/秒²。
与速度类似，加速度也是一个矢量量。
在圆周运动中，物体的加速度向心，指向圆心。
它的大小与速度的变化率以及物体绕圆周运动的半径有关。
加速度的大小等于速度的变化率对时间的导数，可以表示为a=dV/dt。
同时，加速度的大小也可以表示为a=rω²，其中r为半径，ω为角速度。
这个公式表明，在圆周运动中，加速度的大小与半径成正比，与角速度的平方成正比。
当物体绕着圆周运动时，加速度的方向与速度方向相反，指向圆心。
这是因为物体在圆周运动中受到向心力的作用，向心力的方向也指向圆心。
向心力是使物体朝向圆心的力，它使物体的速度发生变化，从而产生向心加速度。
向心加速度的大小可以用公式a = V²/r来表示，其中V为线速度，r为半径。
三、速度与加速度的关系在圆周运动中，速度和加速度是两个关系密切的物理量。
曲率半径与法向加速度的关系
曲率半径与法向加速度的关系在日常生活中，我们经常遇到物体的运动状态发生改变的情况，如车辆转弯、物体做圆周运动等。
这些运动状态的改变都与物体的曲率半径和法向加速度有关。
本文将从理论和实际应用两个方面探讨曲率半径与法向加速度的关系。
一、理论探讨1. 曲率半径的概念曲率半径是描述曲线弯曲程度的物理量，常用符号为R。
在数学中，曲率半径是曲线在某一点处的半径，即曲线在该点处最小的圆的半径。
曲率半径越小，曲线弯曲程度越大。
2. 法向加速度的概念法向加速度是物体在曲线运动中受到的垂直于切线方向的加速度，常用符号为an。
在物理学中，法向加速度是物体在圆周运动中受到的向心加速度的垂直分量。
法向加速度的大小与曲率半径成反比，即曲率半径越小，法向加速度越大。
3. 曲率半径与法向加速度的关系根据牛顿第二定律，物体的加速度与所受力成正比，与物体的质量成反比。
在曲线运动中，物体受到向心力的作用，向心力的大小与曲率半径成反比。
因此，曲率半径越小，向心力越大。
向心力的垂直分量即为法向加速度，因此，曲率半径越小，法向加速度越大。
二、实际应用1. 车辆转弯在车辆转弯时，驾驶员需要根据车速、曲率半径和道路状况等因素来调整转向角度和速度。
曲率半径越小，车辆需要更大的向心力来维持转弯状态，因此需要减速。
反之，曲率半径越大，车辆可以更快地转弯。
2. 飞机飞行在飞机飞行中，曲率半径和法向加速度也是重要的物理量。
飞机在起飞和降落时需要维持一定的曲率半径和法向加速度，以保证安全性和稳定性。
在空中飞行中，飞机需要根据航线和气流等因素来调整曲率半径和法向加速度，以保证航行的平稳和高效。
3. 物体做圆周运动在物体做圆周运动时，曲率半径和法向加速度也是关键的物理量。
例如，旋转木马和过山车等游乐设施需要维持一定的曲率半径和法向加速度，以保证游客的安全和乐趣。
总之，曲率半径和法向加速度是描述物体运动状态的重要物理量。
曲率半径越小，法向加速度越大，需要更大的向心力来维持运动状态。