数学基本思想之抽象

数学基本思想之抽象

峨眉二中邱毅

大家好，我今天和大家交流的题目是数学基本思想之抽象。

我国学科教学论的权威裴迪娜教授在第四届基础教育改革与发展论坛上提出了学习力的概念，她指出学习力是一个能量概念，着眼于学生的生成、生长和发展。并给出了各科目的学习力模型，在数学学科的学习力模型中，数学创新是居于最高层次的。

我们都知道著名的钱学森之问：为什么我们的学校总是培养不出杰出人才?就我的理解，杰出人才的很大一部分就是创新人才。

从教十余年，我的学生很多已经踏上了工作岗位，在和他们的联系中，我总是关心这样一个问题：“你们离开高中后如何看待曾经的高中学习？”他们共同的感觉是这样的“回头看高中的学习，学到多少具体的知识其实并不是最关键的，思维能力和思维方法才是可持续发展的根本！而要想形成这种能力，在数学教学中引领学生感悟数学基本思想，提高数学素养对学生的成长是极其关键的。

那么，什么是数学基本思想呢？史宁中教授在《数学思想概论》中说数学基本思想就是数学产生及发展过程中所必须依赖的独特素质。本质上有三个：抽象、推理和模型。

今天我就数学产生及发展过程的一些重要事件来和大家共同感悟什么是抽象。

早期数的概念的形成就依赖于抽象，最早是一种对应关系，狼骨上的刻痕以及结绳都表明了这点，但动物似乎也能有这种抽象能力，我们来看一个故事，这个故事记载于丹齐克所著的《数：科学的语言》：“在欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，里面住着一只乌鸦，主人打算杀死这只乌鸦，可是几次都没有成功，因为他一走进这个望楼乌鸦就飞走，栖在远远的树上，直到他离开望楼才飞回来。后来他想了一个聪明的办法：两个人一起走进望楼，一个人出来，一个人留在里面。可是乌鸦不上当，直到第二人离开望楼才飞回来。主人不死心，连续试验了几天：三个人，四个人都没有成功。最后用了五个人，四个人走出来，一个人留在里面，现在乌鸦分辨不清了，飞了回来。”

但人类能进行更进一步的抽象，从“计数”到“记数”就说明了这点，中国的甲骨文记载了公元前1600年使用的十进制。现在生活中基本采用的都是十进制，但计算机使用的是二进制，说到二进制，从一个遗憾的故事我们可以发现，抽象能力是多么的重要。计算机的基础二进制及其运算法则是德国数学家莱布尼茨建立的，但他却

是在学习我们的《周易》后从八卦中抽象出来的。八卦用一根长横表示阳，两根短横表示阴，用三个爻表示一卦，2的三次方就是八卦。而莱布尼茨就是研究八卦后把阴阳抽象为1和0从而建立二进制的。值得我们反思的是，中国的八卦一千多年后被莱布尼茨研究并建立二进制，但为什么我们没有做到这件事呢？

从“对应”到“计数”，从“计数”到“记数”，从“记数”到“进制的演变”，再到二进制的建立，到今天日新月异的计算机，是一个不断抽象的过程。

数学上的第一次数学危机是无理数的出现，相传是毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现的，直角边为1的等腰直角三角形的斜边不能化为整数的比，而从证明过程我们可以发现，这需要高度的抽象。

但几何可以解决这个问题，于是演绎几何蓬勃的发展起来，统治了数学近两千年，几何不仅能做出根号2，还能做出任何一个有理数的算术平方根。但几何也遇到了问题，这个问题出在《几何原本》的第五公设，第五公设比较简单的表述是“过一点只能做已知直线的一条平行线”，但这个当时公认的公设后来发现只是一个经验。我们来看下面两个故事。

第一个测量出地球周长的人是古希腊的埃拉托色尼，他测出地球的周长大约是40000公里，这在当时是很了不起的。请注意，他用到了太阳光线是平行的，如果我们把太阳当成一点，那么过一点就做出了无数条平行线。以此为基础产生了罗巴契夫斯基几何。

测地线这个名称是柳维尔提出来的，表示地球上两点间的最短距离，如果我们定义直线段是两点之间最短的线段，那么任意两条直线都是相交的，也就是没有平行线。以此为基础产生了黎曼几何。而这正是爱因斯坦相对论的实际模型。

改变第五公设产生了非欧几何，史宁中教授在《图形与图形关系的抽象》中说到“非欧几何的出现使人们开始怀疑最初的经验直觉的可靠性，开始思考应当如何确定数学研究的基础，从而构建一个不受背景约束的数学。这需要更进一步的抽象！”

近代数学的两大支柱之一是微积分，微积分说起来神秘，其实微分就是一个增量，而积分最早是用来计算曲边形的面积。但牛顿和莱布尼茨创立他们的时候无法说清楚一个东西，就是最小量，当时牛顿在物理运算中又要频繁的使用，于是最小量就像一个魂灵一样不明不白的、说不清楚的被使用着。

其实这个问题由来已久，最著名的描述是芝诺的飞矢不动悖论。本质就是需要搞清楚瞬时速度。这就是第二次数学危机，而极限理论的创立解决了这次数学危机。关键仍然是抽象，怎么抽象的呢？将无限趋近的那个东西定义为其极限。

但极限理论的建立带来了一个更本质的问题，你要说趋近，那么数轴上到底有哪

些数？这些数是否是连续不断的？这需要搞清楚。人们这才回过头来建立实数理论，也就是定义那个在两千年前就发现的东西——无理数。

无理数的定义有三种比较典型的方法，一种是用小数来定义，一种是戴德金分割法，一种是康托尔的基本序列法，但不管哪种方法，都是高度抽象的产物。

康托尔建立集合论后对无穷集进行了系统的研究，采用一一对应的方法研究了自然数、实数的个数分别是阿列夫零和阿列夫1个，我们可以发现，对无穷大的研究和前面对无穷小的研究一样都是进行了更高层次的抽象。数不清楚但又要表示出多少，只能抽象。

弗雷格看到了康托尔的集合论，他认为集合论的建立能够给数学带来稳固的基础，因为我们终于能够搞清楚我们研究的对象了，而且能够把所有的运算归结为算术，如果是这样，数学就有了稳固的基础，数学就是真理。他花费了大量的精力写出了《算术基础》这本书。但这时候罗素出现了，罗素的出现带来了第三次数学危机，我们通常表述为理发师悖论。对这个悖论有一个更简单的表述就是我说“我在说谎”，请问

我说的是真话还是在说谎？

弗雷格在《算术基础》的最后一页写道“对一位科学家来说，没有一件比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，它的一块基石崩塌下来了。在本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷入这种境地。”

第三次数学危机的解决仍然需要更高层次的抽象，不管是逻辑主义还是直觉主义，关于数学基础的四大派系都在为此付出艰辛的努力，但直到现在仍然没有获得圆满的解决。

我们可以回到我们最初提出的问题了“什么是数学中的抽象“，其实抽象是数学的独特素质，是教学中的高立意，但处于教学第一线的我们特别需要注意的是数学中的抽象总是有其实际背景，因此数学教学总是需要从背景、从低起点开始，否则，很多学生就会因为数学的抽象而远离数学。

今天论坛的主题是学科素养，我总觉得：学生的素养和教师的素养息息相关，教育就是一种成长，是教师和学生的共同成长！