基本数学思想的应用

基本数学思想的应用

数学思想是数学基础知识，基本技能的本质体现，是形成数学能力，数学意思的桥梁，是灵活应用数学知识，技能的灵魂。因此，在中考数学中能取得好成绩的关机是正确的运用数学思想方法。

1、整体的思想

整体思想是将问题堪称一个完整的整体，吧注意力和着眼点放在问题的整体结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略。

例：已知代数式6y 2y 32++的值为8，那么代数式1y y 232++的值为

2、分类的思想

分类思想是按周一定的标准，把研究对象分成为数不多的举个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法，其实质是化整体为零，各个击破的转化策略。

例：某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张8K 大小的纸，其中4张为彩页，6张为黑白页。印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印刷费无关，价格为：彩页300元

/张，黑白页50元/张；

印刷费与印数的关系如

下表： 印数a （千册） 2≤a<5 5≤a<10 彩色 （元/张） 2.2 2 黑白 （元/张） 0.7

0.6

（1）印制这批纪念册的制版费为：

（2）若印制2千册，则共需多少费用？

（3）如果该校希望印数至少为4千册，总费用至多为60000元，求印数的取值范围。（精确到0.01千册）

例：如图所示，在平面直角坐标系中，点O

1

的坐标为（-4,0），以点

O

1

为圆心，8为半径的圆与x轴x轴交于A、B两点，过点A作直线l

与x轴负方向相交成60°角，以点O

2

（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D。

（1）求直线l的解析式。

（2）将⊙O

2

以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l

沿x轴向右平移，⊙O

2第一次与⊙O

1

相切时，直线l恰好与⊙O

2

第

一次相切，求直线l平移的速度。

（3）将⊙O

2

沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，

EG为⊙O

2的直径，过点A作⊙O

2

的切线，切⊙O

2

于另一点F，连结

A O

2,FG，那么FG﹒A O

2

的值是否会发生变化？如果不变，说明理由

并求其值；如果不变化，求其变化范围。

3、方程思想

方程是初中数学的重要内容，它内容丰富，涉及面广，综合性强，

因而用方程思想解数学题有广泛的应用。它的基本类型有通过列方程

或方程组求待定系数，进而求出函数解析式；研究函数图像的交点，

解决二次函数图像与x 轴交点的有关问题或解决几何问题，所谓用方

程思想解几何问题，就是充分挖掘题设和结论中隐含的数量关系，借

助图形的直观性质，寻求已知量与未知量之间的等量关系，借以建立

方程或方程组，然后盈盈方程的理论和解方程的方法，求得几何题。

例：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若AP ：PB=1:4,CD=8，

求直径AB 的长。

4、转化的思想

转化思想就是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到生疏

困惑，可以把它进行转化，使之化繁为简，化生疏为熟悉，从而使问

题得以解决的思想方法。

例：方程

x 2x x 22 —的正根的个数为

5、归纳与猜想的思想

就是在解决问题时，从特殊的简单的局部的例子出发，探寻一般的规律，或者从现有的已知条件出发，通过观察类比联想进而猜想结果的思想。

例：如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，然后将其中的一个小正方形再剪成四个小正方形，如此继续，根据以上操作方法，请你填写下表：

操作次数N 1 2 3 4 5 ……N ……正方形的个数…………

6、数形结合思

数形结合思想就是在研究问题的时候把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而便复杂问题简单化，抽象问题具体比。

例：已知二次函数c

+

y2+

=的图像，则（）Y

ax

bx

A. ab>0，c>0

B. ab>0，c<0

C. ab>0，c<0

D. ab<0，c<0 O X

7、数字模型思想

数字建模就是将具有实际意义的应用题通过数字抽象转化为数字模型，以求得问题的解决，基本思想是：

初中常见的建模来行举例说明。

（1）建立三角形或几何图形。

诸如航海，三角测量，边角余料加工，工程定位，拱性计算，皮带传动，坡比计算，作扬栽培等传统的应用题，涉及一定图形的性质，常需建立相应的几何模型，转化为几何成或三角问题求解。

例：如图，再摸海滨城市附近海面有一股台风，据监测，当前台风中行为位与城市的东偏南70°方向200km的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭是一个图形区域，当前半径为60km，且圆的半径以10km∕h速度不断扩张。

1、当台风中心移动4h时，受台风侵袭的区域半径增加到km，又台风中心移动大小时受台风侵袭的图形区域半径增大到km。

2、当台风中心移动到与城市距离最近时这股台风是否侵袭着做海滨城市？请说明理由。（73

2≈

1.41

≈，）

3

.1

例：如图所示，人名海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置0点飞北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只飞在以24海里∕时的速度被追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：

1、需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）

2、确定巡逻的追赶方向？（精确到0.1）