几何证明——线段和差模型(中级)

几何证明——线段和差模型(中级)
【知识要点】
在几何证明中，我们经常遇到要求证明两条线段之和等于一条线段（c b a +=），或者两条线段之差等于一条线段（c b a -=）。

在处理这类线段和差关系的问题时，我们常用“截长”与“补短”的方法。

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何问题化难为易的一种思想。

截长就是在一条线段上截取成两段（一分为二），补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边（合二为一）。

截长法：如果要证明线段等式c b a +=，可以在长的一条线段a 上截取一条线段等于b （或者c ），然后只需证明线段a 上去掉b （或者c ）之后剩下的线段等于c （或者b ）就行了。

补短法：如果要证明线段等式c b a +=，可以先将短的两条线段b 和c 拼接在一起形成一条长线段d ，然后只需要证明d a =就行了。

截长补短的方法比较灵活，要根据具体的题目条件，作出相应的辅助线。

对于一些经典的截长补短模型，希望同学们能记住并掌握其用法，以便在遇到类似的几何情境时能迅速作出反应。

【经典例题】
例1、（1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，ο
45=∠EAF 。

求证：BF DE EF +=。

F
（2）正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，ο
45=∠EAF 。

请问现在
BF DE EF 、、又有什么数量关系？
E
（3）正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，ο
45=∠EAF 。

请问现在
BF DE EF 、、又有什么数量关系？
例2、正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上ο60=∠EDF 。

ο
120=∠=BDC DC DB ，。

请问CF BE EF 、、有什么数量关系？
B
C
例3、已知：AC 平分BAD ∠，AB CE ⊥，0
180=∠+∠D B ，求证：BE AD AE +=。

例4、正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O ，点E 在BD 上，AE 平分∠DAC.求证：EO AD AC
-=2
.
A
D
例5、已知，如图，在ABC ∆中，AC AB >，CAD BAD ∠=∠，P 为AD 上任一点.
求证：PC PB AC AB ->-。

B
【提升训练】
1、如图，已知ABC ∆中，边BC 上的高为CD ，C B ∠=∠2，求证：BD AB CD +=。

C
2、已知：AD 平分BAC ∠，BD AB AC +=，求证：C B ∠=∠2。

B
3、已知ACB ABC ∠=∠3，CAE BAE ∠=∠，AE BE ⊥，求证：BE AB AC 2=-。

B
C
4、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数。

5、如图，四边形ABCD 中，DC AB //，BE 、CE 分别平分ABC ∠、BCD ∠，且点E 在AD 上。

求证：
DC AB BC +=。

C
6、如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的
MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长。

B
C
7、如图，在梯形ABCD 中，ο
90//=∠C BC AD ，，E 为CD 的中点，AB EF //交BC 于点F 。

（1）求证：CF AD BF +=；（2）当71==BC AD ，，且BE 平分ABC ∠时，求EF 的长。

E D
B
C
E
D
B
C
8、已知ABC ∆中，60A ∠=o
，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、
BC 的数量关系，并加以证明。

B
9、己知，ABC ∆中，AC AB =，AB CD ⊥，垂足为D ，P 是BC 上任一点，AC PF AB PE ⊥⊥，垂足
分别为F E 、.（1）求证： CD PF PE =+；（2）若P 在BC 延长线上，求证：CD PF PE =-。

B
P
10、（1）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点。

90AEF ∠=o
， 且EF 交正方形外角
DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：EF AE =。

（2）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点。

90AEF ∠=o
，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：EF AE =。

（3）如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点。

90AEF ∠=o
，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：EF AE =。

11、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC ∆外一点，且︒
=∠60MDN ，
︒=∠120BDC ，CD BD =。

探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之
间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系。

图1 图2 图3
N
D
D
A
D
A C
C
C
（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DN DM =时，MN NC BM 、、之间的数量关系是
_______ ； 此时
=L
Q
；
（2）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DN DM ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出
你的猜想并加以证明；
（3）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则=Q （用x 、L
表示）。