数值分析第五章数值实验

数值分析第五章数值实验之数值拟合

1. 实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题

2. 实验内容：给定数据点x yj如下：

3. 实验要求：

（1）编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，作出离散函数（X, y i）和拟合函数的图形。

（2）用MATLAB勺内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB勺内部函数plot作出其图形，并与（1）的结果进行比较。

4. 实验步骤：

（1）首先根据上述表格中给定的数据点（为$），用MATLAB?序画出散点图。在MATLA工作窗口输入程序

>>x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];

y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];

plot（x,y,'r*'）,legend（' 数据点（xi,yi ）'）,

x1abel（'x'）,y1abel（'y'）,

title（' 本实验的数据点（xi,yi ）的散点图'）

运行后屏幕显示数据的散点图，如下图1-1

图1-1表中给出的数据的散点图

因为数据的散点图1-1的变化趋势与二次多项式很接近，所以取

组函数1,x,x2，令 f (x^ a1x2 a2x a3(1-1)

用作线性最小二乘拟合的多项式拟合的MATLAB程序求待定系数a k(k =1,2,3).输入程序

x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; a=polyfit(x,y,2)

运行后输出(1-1 )式的系数

a=

1.0000 1.0000 1.0000

故拟合多项式为

f (x) = x2 x 1

用MATLA程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形。

输入程序：

>>xi=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];

y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];

n=le ngth(xi);f=xi.A2+xi+1;

x=0:0.001:1.0;F=x.A2+x+1;

fy=abs(f-y);fy2=fy.A2;Ew=max(fy),

E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n),

plot(xi,y,'r*',x,F,'b-'),

legend('数据点(xi,yi)',' 拟合曲线y=f(x)'),

x1abel('x'),y1abel('y'),

title(' 本实验的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')

运行后屏幕显示数据(冷％)与拟合函数f的最大误差E w，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点(xi,yi)和拟合曲线y二f (x)的图形，见图1-2.

Ew=

4.4409e-016

E1 =

6.3441e-017

E2=

1.6785e-016

图1-2数据散点图和拟合曲线

⑵用MATLA的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数输入程序为：

>> x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];

y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];

a=polyfit(x,y,2)

a=

1.0000 1.0000 1.0000

>> x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];

y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];

a=polyfit(x,y,3)

a =

-0.0000 1.0000 1.0000 1.0000

由此可知拟合的多项式为二次多项式，

其系数为a=1.0000 1.0000 1.0000

拟合的多项式为f(X)= X2■ x 1

求拟合多项式的平方误差，输入程序为

xi=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];

y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];

n=le ngth(xi);f=xi.A2+xi+1;

fy=abs(f-y);E1=sum(fy )/n

运行后屏幕显示数据（x，yj与拟合函数f的平均误差E1:

E1=6.3441e-017

用MATLAB勺内部函数plot作出其图形

输入程序为：

>>x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];

y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];

Plot(x,y)

运行后拟合多项式的图形如图1-3.

5. 实验分析：

编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据（x，y）与拟合函数f的最大误差Ew=4.4409e-016,平均误差E仁6.3441e-017和均方根

误差E2=1.6785e-016非常小都达到了很高的精度要求，及其通过散点求得的拟合曲线y二f （X）的图形比较光滑

而用MATLAB勺内部函数polyfit 求解的曲线拟合多项式和平方误差与程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用MATLAB勺内部函数plot作出的图形有明显的尖点，不够光滑。

拟合曲线曲对的图形

图1-3多项式拟合曲线