常用的地基沉降计算方法

6.3 常用的地基沉降计算方法

这里所讲的地基沉降量是指地基最终沉降量，目前常用的计算方法有：弹性力学法、分层总和法、应力面积法和考虑应力历史影响的沉降计算法。所谓最终沉降量是地基在荷载作用下沉降完全稳定后的沉降量，要达到这一沉降量的时间取决于地基排水条件。对于砂土，施工结束后就可以完成；对于粘性土，少则几年，多则十几年、几十年乃至更长时间。

6.3.1 计算地基最终沉降量的弹性力学方法

地基最终沉降量的弹性力学计算方法是以Boussinesq 课题的位移解为依据的。在弹性半空间表面作用着一个竖向集中力P 时，见图6-5，表面位移w (x, y, o )就是地基表面的沉降量s ：

E r P s 21μπ-⋅

= （6-8）

式中 μ—地基土的泊松比；

E —地基土的弹性模量（或变形模量E 0）；

r —为地基表面任意点到集中力

P 作用点的距离，2

2y x r +=。

对于局部荷载下的地基沉降，则可利用上式，根据叠加原理求得。如图6-6

所示，设荷载面积A 内N （ξ，η）点处的分布荷载为p 0（ξ，η），则该点微面积上的分布荷载可为集中力P= p 0（ξ，η）d ξd η代替。于是，地面上与N 点

距离r =2

2)()(ηξ-+-y x 的M （x, y ）点的沉降s （x, y ），可由式（6-8）积

分求得：

⎰⎰

-+--=

A

y x d d p E y x s 2200

2

)()(),(1),(ηξη

ξηξμ （6-9）

从式（6-9）可以看出，如果知道了应力分布就可以求得沉降；反过来，若

沉降已知又可以反算出应力分布。

对均布矩形荷载p 0（ξ，η）= p 0=常数，其角点C 的沉降按上式积分的结果为：

图6-5 集中力作用下地基表面的沉降曲线 图6-6 局部荷载下的地面沉降

（a ）任意荷载面；（b ）

矩形荷载面

021bp E s c ωμ-= （6-10）

式中 c ω—角点沉降影响系数，由下式确定：

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛+++++=)1ln()11ln(122m m m

m m c πω （6-11）

式中 m=l/b 。

利用式（6-10），以角点法易求得均布矩形荷载下地基表面任意点的沉降。例如矩形中心点的沉降是图6-6（b ）中的虚线划分为四个相同小矩形的角点沉降之和，即

0020021)2/(14bp E p b E s c ωμωμ-=-= （6-12）

式中 c ωω20=—中心沉降影响系数。

图6-7 局部荷载作用下的地面沉降 （a ）绝对柔性基础；（b ）绝对刚性基础

以上角点法的计算结果和实践经验都表明，柔性荷载下地面的沉降不仅产生于荷载面范围之内，而且还影响到荷载面之外，沉降后的地面呈碟形，见图6-7。但一般基础都具有一定的抗弯刚度，因而沉降依基础刚度的大小而趋于均匀。中心荷载作用下的基础沉降可以近似地按绝对柔性基础基底平均沉降计算，即

A

dxdy y x s s A /),(⎰⎰= （6-13）

式中 A —基底面积，

s (x, y)—点（x, y ）处的基础沉降。 对于均布的矩形荷载，上式积分的结果为：

021bp E s m ωμ-= （6-14）

式中 m ω—平均沉降影响系数。

可将式（6-10）、式（6-12）、式（6-14）统一成为地基沉降的弹性力学公式的一般形式：

21bp E s ωμ-= （6-15）

式中 b —矩形基础（荷载）的宽度或圆形基础（荷载）的直径，

ω—无量纲沉降影响系数，见表6-1。 ω

ω

刚性基础承受偏心荷载时，沉降后基底为一倾斜面，基底形心处的沉降（即平均沉降）可按式（6-15）取r ωω=计算，基底倾斜的弹性力学公式如下：

圆形基础：

3

0216tan b Pe

E ⋅-=≈μθθ （6-16a ） 矩形基础：

3

0218tan b Pe

E K ⋅-⋅=≈μθθ （6-16b ） 式中 θ—基础倾斜角；

P —基底竖向偏心荷载合力； e —偏心距；

b —荷载偏心方向的矩形基底边长或圆形基底直径；

K —计算矩形刚性基础倾斜的无量纲系数，按l/b 取值，如图6-8，其中l

为矩形基底另一边长。

通常按式（6-15）计算的基础最终沉降量是偏大的。这是由于弹性力学公式是按匀质线性变形半空间的假设得到的，而实际上地基常常是非均质的成层土，即使是均质的土层，其变形模量E 0一般随深度而增大。因此，利用弹性力学公式计算沉降的问题，在于所用的E 0值能否反映地基变形的真实情况。地基土层的E 0值，如能从已有建筑物的沉降观测资料，以弹性力学公式反算求得，则这种数据是很有价值的。

图6-8 计算矩形刚性基础倾斜的系数K

此外，弹性力学公式可用来计算地基的瞬时沉降，此时认为地基土不产生体积变形，例如风或其它短暂荷载作用下，构筑物基础的倾斜可按式（6-16）计算，注意式中的E 0应取为地基弹性模量，并取泊松比μ=0.5。

在大多数实际问题中，土层的厚度是有限的，下卧坚硬土层。Christian 和Carrier （1978）提出了计算有限厚土层上柔性基础的平均沉降计算公式：

00

1

0E bp s μμ= （6-17）

式中，0μ取决于基础埋深和宽度之比D/b ，1μ取决于地基土厚度H 和基础形

状。取泊松比μ=0.5时0μ和1μ如图6-9所示。对于成层土地基，可利用叠加原理来计算地基平均沉降。式（6-17）主要用于估计饱和粘土地基的瞬时沉降，由于瞬时沉降是在不排水状态下发生的，因此，适宜的泊松比μ应取0.5，适应的变形模量E 0应取不排水模量E u 。

[例题6-1] 某矩形基础底面尺寸为4m ×2m ，其基底压力p 0=150kPa ，埋深1m ，地基土第一层为5m 厚的粘土，不排水变形模量E u =40MPa ，第二层为8m 厚的粘土，E u =75MPa ，其下为坚硬土层。试估算基础的瞬时沉降。

解：D/b =0.5，查图6-9，0μ=0.94

考虑上层粘土，H/b =4/2=2，l/b =2，具有E u =40MPa 查图6-9，1μ=0.60

因此

mm 23.440150

260.094.01=⨯⨯

⨯=s

考虑二层粘土均具有E u =75MPa

H/b =12/2=6，l/b =2，查图6-9，1μ=0.85 因此

mm 20.375150

285.094.02=⨯⨯⨯=s

图6-9 地基沉降计算系数0μ和1μ