凑微分一般规律
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
高等数学第一类换元法(凑微分法)
注: 一般情形:
x f ( x ) dx
2
x2 u
1 f ( u) du. 2
完
例 4 计算不定积分 解
x 1 x 2 dx .
1 2
x
1 x dx
2
dx (1 x ) (1 x )
1 2 2
2
1 (1 x ) d (1 x 2 ) 2
例7
求下列不定积分
(1)
1 dx ; a 2 x 2
( 2)
1 dx . 2 x 8 x 25
解 (1) 原式
1 arctan x C ; a a
(2) 原式
1 1 dx dx 12 2 ( x 4) 2 9 3 x 4 1 3
例7
求下列不定积分
1 dx ; ( 2) 2 1 dx . 2 2 x 8 x 25 a x 1 arctan x C ; 解 (1) 原式 a a 1 1 (2) 原式 dx dx 12 2 2 3 x 4 ( x 4) 9 1 3 1 1 d x 4 1 arctan x 4 C . 2 3 x 4 3 3 3 1 3 (1)
1 sin 2 x d ( 2 x ) 1 cos 2 x C ; 解法一 原式 2 2 解法二 原式 2 sin x cos x dx 2 sin x d (sin x )
(sin x )2 C;
解法三 原式 2 sin x cos x dx 2 cos x d (cos x )
f (sin x ) cos xdx f (sin x )d (sin x );
凑微分法和分部积分法学习笔记
（3）一般的选择原则：在选择u(x)与v(x)上，一般来说，有 如下规律
反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数 相乘，将排在前者令为u(x)，排在后者令为v(x)的导数，一般 能简化计算。
4 举例
例1 求下列不定积分
(1) xexdx xdex xex exdx xex ex C
2na2
dx (x2 a2)n1
(x2
x a2)2
2nIn
2na2In1
所以有递推关系式：
In1
1 2na2
(x2
x a2)n
2n 1 2na2
In,n
1,2,
特别地有：
I2
(x2
dx a
2
)2
n
1
1 2a2
x2
x a2
1 2a3
arctan x a
C
例4 求下列不定积分：
(1) ln(1 x)dx x t2,t 0 ln(1 t)dt2
因而要求 u(x)v(x)dx比 u(x)v(x)dx的计算简单才有意义
（2）此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分， 在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题，选择得当，计算将简
化；否则会更复杂，有时甚至无法求出。如 x cosxdx
令u x, dv cos xdx,即v sin x,则有
1 1 u2
du
arctanu a
C
1 a
arctan
x a
C
(5) xex2 dx 1 ex2 dx2 1 eudu
2
2
1 eu C 1 ex2 C
2
2
(6) f (x) f (x)dx f (x)df (x) udu
微积分(下册)主要知识点汇总
一、第一换元积分法(凑微分法)C x F C u F du u g dx x x g +=+=='⎰⎰)]([)()()()]([ϕϕϕ.二、常用凑微分公式三、第二换元法C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=⎰⎰)]([)()()]([)(ψϕϕ,注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:当被积函数中含有a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c),22a x - 可令 .sec t a x =当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换tx 1=.四、积分表续 4.3分部积分法xu x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx xx f x d x f dx xx f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx xx f x d x f dx x x f a b ax d b axf a dx b ax f xx xx x x xx x x arcsin arctan cot tan cos sin ln )(arcsin )(arcsin 11)(arcsin .11)(arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1)(ln .3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221==========+=-=-=+-==-=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅≠=≠++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-μμμμμμμ分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv (3.1) ⎰⎰'-='vdx u uv dx v u (3.2)分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数)..arctan arccos arcsin )(ln cos sin cos sin 等mx x mxx mxx x x e x mx e mx e mx x mx x n n n n mx n nx nx n n5.1定积分的概念 5.2定积分的性质两点补充规定：(a) 当b a =时, ;0)(=⎰badx x f (b) 当b a >时,⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f性质2 ,)()(⎰⎰=baba dx x f k dx x kf (k 为常数).性质3⎰⎰⎰+=bccab a dx x f dx x f dx x f )()()(.性质4 .1a b dx dx ba ba-==⋅⎰⎰性质5 若在区间],[b a 上有),()(x g x f ≤ 则,)()(⎰⎰≤babadx x g dx x f ).(b a <推论1 若在区间],[b a 上,0)(≥x f 则 ,0)(≥⎰badx x f ).(b a <推论2 ).(|)(|)(b a dxx f dx x f baba<≤⎰⎰性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值,则).()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰性质7 (定积分中值定理) 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,则在],[b a 上至少存在一个点ξ, 使).(),)(()(b a a b f dx x f ba≤≤-=⎰ξξ5.3微积分的基本公式 一、引例二、积分上限的函数及其导数：⎰=Φxadt t f x )()(定理2 若函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则函数⎰=Φxadt t f x )()(就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式定理3 若函数)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰. (3.6)公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.5.4定积分的换元法积分法和分部积分法 一、定积分换元积分法定理1 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,函数)(t x ϕ=满足条件： （1）,)(,)(b a ==βϕαϕ且b t a ≤≤)(ϕ；（2）)(t ϕ在],[βα(或],[αβ)上具有连续导数,则有⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)()]([)(. (4.1)公式(4.1)称为定积分的换元公式.定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似. 但是,在应用定积分的换元公式时应注意以下两点：（1）用)(t x ϕ=把变量x 换成新变量t 时, 积分限也要换成相应于新变量t 的积分限,且上限对应于上限,下限对应于下限；（2） 求出)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数)(t Φ后,不必象计算不定积分那样再把)(t Φ变换成原变量x 的函数,而只要把新变量t 的上、下限分别代入)(t Φ然后相减就行了. 二、定积分的分部积分法⎰baudv ⎰-=bab a vdu uv ][ 或 ⎰'badx v u ⎰'-=bab a dx u v uv ][5.5广义积分一、无穷限的广义积分)()(|)()(a F F x F dx x f a a-+∞==∞++∞⎰)()(|)()(-∞-==∞-∞-⎰F b F x F dx x f b b)()(|)()(-∞-+∞==∞+∞-+∞∞-⎰F F x F dx x f二、无界函数的广义积分⎰⎰++→=ba ba dx x f dx x f εε)(lim )(0.)(lim)(0⎰⎰-+→=εεb aba dx x f dx x f5.6定积分的几何应用一、微元法定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U （总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ，任取],[b a 的一个区间微元],[dx x x +，求出相应于这个区间微元上部分量U ∆的近似值，即求出所求总量U 的微元 dx x f dU )(=；(2) 由微元写出积分 根据dx x f dU )(=写出表示总量U 的定积分⎰⎰==bab adx x f dU U )(微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U 关于区间],[b a 应具有可加性，即如果把区间],[b a 分成许多部分区间, 则U 相应地分成许多部分量, 而U 等于所有部分量U ∆之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U ∆的近似表达式dx x f )(，即使得U dU dx x f ∆≈=)(. 在通常情况下，要检验dx x f U )(-∆是否为dx 的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dx x f dU )(=的合理性. 二、平面图形的面积（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积曲边扇形的面积微元 θθd r dA 2)]([21=所求曲边扇形的面积 .)]([212θθϕβαd A ⎰=三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元 ,)]([2dx x f dV π=所求旋转体的体积 .)]([2⎰=badx x f V π四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.体积微元 ,)(dx x A dV = 所求立体的体积 .)(⎰=ba dx x A V5.7积分在经济分析的应用6.1空间解析几何简介 一、空间直角坐标系在平面解析几何中，我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的点与有序数组(即点的坐标),(y x )对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起来，我们来建立空间直角坐标系.过空间一定点O , 作三条相互垂直的数轴， 依次记为x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz （图6-1-1）. 空间直角坐标系有右手系和左手系两种. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离.)()()(||21221221221z z y y x x M M -+-+-=三曲面及其方程定义1在空间直角坐标系中，如果曲面S 上任一点坐标都满足方程0),,(=z y x F ，而不在曲面S 上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(=z y x F 称为曲面S 的方程, 而曲面S 就称为方程0),,(=z y x F 的图形空间曲面研究的两个基本问题是:(1) 已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程; (2) 已知曲面方程，研究曲面的几何形状. 平面平面是空间中最简单而且最重要的曲面. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次方程0=+++D Cz By Ax (1.3)来表示，反之亦然. 其中A 、B 、C 、D 是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.柱面定义2 平行于某定直线并沿定曲线C 移动的直线L 所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲线C 称为柱面的准线, 动直线L 称为柱面的母线.二次曲面在空间直角坐标系中，我们采用一系列平行于坐标面的平面去截割曲面，从而得到平面与曲面一系列的交线（即截痕），通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的全貌. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.椭球面 1222222=++c z b y a x )0,0,0(>>>c b a (1.4)椭圆抛物面 q y p x z 2222+=（同号与q p ） 双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号) 单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=+-cz b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x )0,0,0(>>>c b a6.2多元函数的基本概念一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点),(y x ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在),(y x 处的函数值记为),(y x f ，即),(y x f z =，其中x ，y 称为自变量， z 称为因变量. 点集D 称为该函数的定义域，数集}),(),,(|{D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. 当2≥n 时, n 元函数统称为多元函数. 二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某一去心邻域内有定义，如果当点),(y x P 无限趋于点),(000y x P 时，函数),(y x f 无限趋于一个常数A ，则称A 为函数),(y x f z =当),(y x ),(00y x →时的极限. 记为A y x f y y x x =→→),(lim 00.或 A y x f →),( （),(),(00y x y x →） 也记作A P f P P =→)(lim 0或 A P f →)( )(0P P →二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，如果),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→,则称),(y x f z =在点),(00y x 处连续. 如果函数),(y x f z =在点),(00y x 处不连续，则称函数),(y x f z =在),(00y x 处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x 和y 的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合所构成的可用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.特别地，在有界闭区域D 上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的二元连续函数, 在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数在D 上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D 上的二元连续函数, 若在D 上取得两个不同的函数值, 则它在D 上取得介于这两值之间的任何值至少一次. 6.3偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之. 二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆yy f y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆ 易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qp p Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qy y Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。
微积分下册主要知识点汇总
vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
)()()]()([b
babadxxgdxxfdxxgxf
2 ,)()(b
badxxfkdxxkf (k为常数).
3 b
cabadxxfdxxfdxxf)()()(.
1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：
1）,)(,)(ba 且bta)(；
2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
ttfdxxfb
)()]([)(. (4.1)
(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
),(),(lim00000,
).,(,,
换元法
2 sin xd (sin x ) sin x C ;
2
解（三） sin 2 xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd (cos x ) cos x C .
2
1 dx . 例2 求 3 2x
解
1 1 1 dx d ( 3 2 x ), 3 2x 2 3 2x
x 例4 求 dx . 3 (1 x ) x x 11 1 dx [ dx ]d (1 x ) 解 3 3 2 3 (1 x ) (1 x ) (1 x ) 1 1 C. 2 1 x 2(1 x ) dx 1 dx dx 类似地 ( ) 2 2 1 x 1 x 1 x 1 1 d (1 x ) d (1 x ) 1 x ( ) ln | 1 x | C . 2 2 1 x 1 x
x ln | tan | C ln | csc x cot x | C . 2 （使用了三角函数恒等变形）
解（二） csc xdx
1 sin x dx 2 dx sin x sin x
1 d (cos x ) u cos x 2 1 cos x 1 1 1 1 du du 2 1 u 2 1 u 1 u
2 2
32 sin t cos tdt 32 sin t (1 cos t ) cos tdt
3 2
32 (cos2 t cos 4 t )d cos t 1 1 5 3 32( cos t cos t ) C 3 5 4 1 2 3 2 5 4 x 4 x C. 3 5
1 dx . 例10 求 1 cos x 1 1 cos x 解 dx dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x dx dx 2 2 1 cos x sin x 1 1 2 dx 2 d (sin x ) cot x 1 C . sin x sin x sin x
凑微分法技巧口诀
凑微分法技巧口诀
这三句口诀是：换元必换限，换限不还原，换顺序必化为重积分。
“换元必换限”中限指的是上下限，也就是函数中自变量的取值范围，这句话意思是换了自变量则必须要重新确定自变量的取值范围。
“换限不还原”意思是自变量的取值范围变化了，则原来函数定义就不需要还原了。
“换顺序必化为重积分”指的是在做重积分运算时，如果要交换x,y的计算顺序则必须先化成二重积分在进行换算。
积分运算法则：
一、凑微分法(第一类换元积分)
当被积函数有一部分比较复杂时，可以通过观察把某些函数放到d的后面（放在d后面的函数会发生变化），使得d后面的函数与前面复杂的被积函数具有相似的结构，最后运用基本积分公式将其求出。
二、换元法(第二类换元积分)
当被积函数比较复杂时，可以通过换元的方法从d后面的函数放一部分到前面来，使其更容易积分。
换元积分法
1 4
(
2x 3
2x 1)dx
1 4
2x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1
31
3
2x 3 2x 1 C.
12
12
14
例12. 求 tan3 x dx tan2 x tan x dx
(sec2 x 1)tan x dx
a2 x2
a
18
例17. 求
解:
1 1 x2 a2 2a
(x a) (x a) ( x a)( x a)
1( 1 2a x a
1) xa
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx
x
a
1 2a
d( x a) xa
d( x a) xa
1 ln
2a
xa
ln
xa
C 1 ln 2a
xa xa
)
1 2
1
1 x
2
d(1
x2
)
u 1 x2
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(1 x2 ) C . 2
例2 x 1 x2dx 1 1 x2d(-x2 ) 2
1 2
1 x2d(1 x2 ) u 1 x2 1
2
udu
1
2
3
u2
C
1
3
u2
C
1
(1
x
2
)
3 2
29
小结
1、常用的几种凑微分形式:
1
(1) f (ax b)dx a
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是数学中常用的一种函数方法，它是一种“从某种变量微分出别的变量”的求解方法。
不定积分凑微分法公式可以应用于各种函数计算，对研究变量进行深入的分析、控制和模型的构建有很大帮助。
一般情况下，不定积分凑微分法公式主要求解几何型的微分方程。
它把一个方程中的一个变量与另一个变量之间的关系转化成微分方程，并用不定积分凑微分法分析两个变量之间的关系，以求解原方程。
说白了，就是用不定积分凑微分法对微分方程进行求解，以得到原方程的解。
不定积分凑微分法公式的基本形式：int_{x_0}^{x} {f(x}dx=F(x)-F(x_0)其中，f(x)是原方程中某一变量的函数表达式，F(x)是原方程的积分，x_0是不定积分的起始点，x是不定积分的终止点。
除此之外，不定积分凑微分法还可以应用于各种具体的微分方程，比如：1. 一阶微分方程：frac{dy}{dx}=f(x,y)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^{x} {f(xy(x))dx=y(x)-y(x_0)}2. 二阶微分方程：frac{d^2y}{dx^2}+p(x)frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^x{(frac{1}{2}p(xy^2+q(xy+g(x))dx=F(x)-F(x_0)} 以上就是不定积分凑微分法的一般形式和具体公式，它是一种解决微分方程的有效手段。
不定积分凑微分法最大的优点是能够求解一个微分方程，而一个微分方程大多由一系列问题系统所构成，因此，使用不定积分凑微分法可以解决复杂的多变量系统问题。
总之，不定积分凑微分法公式是一种广泛应用的数学方法，它可以应用于多个变量间的关系求解，有效地帮助我们研究和模型某一变量与另一个变量之间的关系，从而有效解决实际函数问题，是一种有效的解决办法。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。
本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。
首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。
不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。
通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。
此外，它还可以帮助求解积分函数。
具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。
下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。
先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。
除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。
举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。
以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。
总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。
凑微分法文档
凑微分法什么是凑微分法凑微分法（Method of Undetermined Coefficients）是一种常见的微分方程求解方法，特别适用于非齐次线性微分方程。
凑微分法的基本思想是通过猜测一个特解来接近原非齐次方程的解。
这种方法的优点是求解过程相对简单，不需要像变量分离法或常数变易法一样引入任意常数或变量变化。
凭借其简洁的求解过程，凑微分法在得到特解后，可以通过一般解和特解的线性组合求得原方程的通解。
凑微分法的步骤凑微分法的求解步骤如下：1.首先，我们需要根据原方程的形式，猜测一个特解。
特解的形式通常与原方程中的非齐次项相关。
2.将猜测的特解代入原方程，计算出特解的导数、二阶导数等。
3.将特解及其相应导数的表达式带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧。
4.整理右侧的项，得到一个关于未知系数的线性方程。
5.解线性方程得到特解中的未知系数。
6.将特解及一般解的线性组合作为原方程的通解。
凑微分法的示例下面通过一个具体的例子来说明凑微分法的应用。
假设我们要求解非齐次二阶线性微分方程：$$y'' + 3y' + 2y = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$首先我们需要猜测一个特解。
由于原方程右侧包含e−x和$\\sin(2x)$两种函数，我们可以假设特解的形式为$Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)$，其中A、B和C为待定常数。
接下来，我们对特解进行求导，得到：$$y' = -Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) - 2C\\sin(2x)$$$$y'' = Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)$$将特解及其导数带入原方程的左侧，并将其他项移到右侧，得到：$$(Ae^{-x} - 4B\\sin(2x) - 4C\\cos(2x)) + 3(-Ae^{-x} + 2B\\cos(2x) -2C\\sin(2x)) + 2(Ae^{-x} + B\\sin(2x) + C\\cos(2x)) = 4e^{-x} + 5\\sin(2x)$$ 简化上述方程，整理得到未知系数的线性方程：$$(6A - 2B - 4C)e^{-x} + (3B + 4C)\\sin(2x) - (3A - 2B + 4C)\\cos(2x) = 4e^{-x}+ 5\\sin(2x)$$通过比较左右两侧的系数，我们可以得到未知系数的值：6A−2B−4C=43B+4C=53A−2B+4C=0解上述线性方程组，可以得到A=1，B=1，C=1。
浅析计算不定积分方法之凑微分
浅析计算不定积分方法之凑微分不定积分是高等数学的基本内容和主要内容，该运算是求导运算的逆过程，而定积分的计算主要是用牛顿—莱布尼茨公式，使用牛顿—莱布尼茨公式的前提是找到被积函数的一个原函数。
因此，不定积分是连接微分学和积分学的纽带。
由于不定积分方法的灵活性和积分结果的不确定性，导致很多学员在计算积分的过程中常常觉得很混乱，找不到一个统一的方法进行计算。
不定积分的常规求解方法主要包括利用基本积分公式直接积分、换元积分法和分部积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分部积分法，这两种方法的核心是“凑微分”。
换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，第一类换元积分法的解题思路是首先利用dx x g )(凑成微分形式)(x du ，然后换元令)(x u u =使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式求积分，求出积分后再换元。
其中最为关键的一步是凑成微分形式)(x du ，也是学员们感到最困难的一步，因为题目中需要有dx x u )(才能凑成微分形式)(x du ，而)(x u 往往不容易看出来，也就无法凑成微分的形式了，这正是凑微分的核心。
由于“凑微分”方式灵活多样，单靠几个常见的凑微分并不能给学生足够的启示，因此我们将其归结为四种方法，以便学生易于掌握。
1、能化成若干个函数的积分，观察各个函数能否凑微分，找出合适的求解如：求解不定积分时⎰⎰=)(ln ln ln x xd dx x x ，因为⎰==udu dx xx d 1)(ln ，这里的x u ln =。
2、不能化成几个函数的乘积若一个不定积分不能直接化成若干个函数的乘积或可以化成若干个函数的乘积但难以计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式接近，若接近，则依此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。
如：求不定积分⎰+dx x x 2cos 4sin 时，C x x d x x d x dx x x +-=+-=+-=+⎰⎰⎰)2cos arctan(21)2cos ()2cos (1121)(cos cos 41cos 4sin 222 3、能化成几个因式的乘积但难以凑微分若一个不定积分既不能化成若干个函数的乘积或能化成若干个函数的乘积但难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分的基本公式接近，则可以先利用恒等变形方法进行转化，然后进行相应求解。
换元积分法凑微分法技巧口诀
换元积分法凑微分法技巧口诀口诀：积上赋下运求解，善用逆向乘商除。
解：1.积分上面简单命题里，带出逆向乘法必有意。
自组合，又亲友，高减低时带出因。
2.赋值上下平衡求解时，联想这个句子里的技巧。
权值求索，留得住，运算借力，还可贷。
平行存在，齐上齐，一正一反相和谐。
3.指数微分积从排列组合开始寻找。
高中低排列贴心插，将其转变成函数之角。
角度求微分来忆流程，再路的幂函数忽略之。
自系换象再组合，离差量，可微变量转换行。
分离变别，连个随探，结果放回。
4.仿佛乘法是底流商，换变逆中处处知。
凑微被乘逆组合右，积术与法要做足。
积图积念以求穷，不数欠陪先乘租。
小心忽略，忆积正负思约法。
5.乘商除，逆中知，积上残下，道理一样。
忆微分里进位，乘积和商都会遇见。
乘子子，或子积，一次一次寻存项目。
求中奇凑，乘一因，再乘租。
遇倒成因，谨记他，乘租逆变这个窍。
商子参差，新逆也寻找。
倒插错了，另寻道。
这个口诀基本概括了换元积分法常见的技巧和注意事项，我们一起来解释一下每句话的含义。
1.积分上面简单命题里，带出逆向乘法必有意。
自组合，又亲友，高减低时带出因。
这句意味着如果积分的被积函数是简单函数或者有特定的形式，可以尝试使用逆向乘法进行换元。
对于一些高次方乘以低次方的多项式，可以尝试进行自组合或者因式分解。
对于一些可以和其他因子合并的函数，如指数函数，也可以尝试进行组合。
2.赋值上下平衡求解时，联想这个句子里的技巧。
权值求索，留得住，运算借力，还可贷。
平行存在，齐上齐，一正一反相和谐。
这句话是在讲述当变量的范围发生变化时，需要将新的变量和旧的变量进行对应，使上下限也能够对应。
同时，要注意到权值的变化，运算的差异以及一些对称关系。
3.指数微分积从排列组合开始寻找。
高中低排列贴心插，将其转变成函数之角。
角度求微分来忆流程，再路的幂函数忽略之。
自系换象再组合，离差量，可微变量转换行。
分离变别，连个随探，结果放回。
这句话是在讲述将指数函数转化为其他函数的技巧。
微积分下册主要知识点汇总
微积分下册主要知识点汇总第一换元积分法(凑微分法)xFCuFduugdxxxg)]([)()()()]([常用凑微分公式三、第二换元法CxFCtFdtttfdxxf)]([)()()]([)(,: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:,22xa 可令 ;sintax,22ax 可令 ;tantax,22ax 可令 .sectax, 常采用倒代换x1.四、积分表续分部积分法xuxuxuxuxuxuaueuxuxubaxuxdxfdxxxfxdxfdxxxfxdxfxdxxfxdxfxd xxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfdaafadxaafdeefdxeefxdxfdxxxfxdxfdxxxfab axdbaxfadxbaxfxxxxxxxxxxarcsinarctancottancossinln)(arcsin)(arc sin11)(arcsin.11)(arctan)(arctan11)(arctan.10cot)(cotcsc)(cot.9tan )(tansec)(tan.8cos)(cossin)(cos.7sin)(sincos)(sin.6)(ln1)(.5)()(..4)(ln )(ln1)(ln.3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221vduuvudv (3.1)vdxuuvdxvu (3.2)(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被(其中m, n都是正整数).arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn定积分的概念定积分的性质(a) 当ba时, ;0)(bdxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.1)()()]()([bbabadxxgdxxfdxxgxf2 ,)()(bbadxxfkdxxkf (k为常数).3 bcabadxxfdxxfdxxf)()()(.4 .1abdxdxbba5 若在区间],[ba上有),()(xgxf 则,)()(bbadxxgdxxf ).(ba1 若在区间],[ba上,0)(xf 则0)(bdxxf ).(ba2 ).(|)(|)(badxxfdxxfbba6 (估值定理)设M及m分别是函数)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值,则()()(abMdxxfabmb7 (定积分中值定理) 如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,则在],[ba 上至少存在一, 使(),)(()(baabfdxxfb引例二、积分上限的函数及其导数：xdttfx)()(2 若函数)(xf在区间],[ba上连续,则函数dttfx)()()(xf在],[ba上的一个原函数.三、牛顿—莱布尼兹公式3 若函数(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数,则()()(aFbFdxxfb. (3.6)(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.定积分的换元法积分法和分部积分法定积分换元积分法1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：1）,)(,)(ba 且bta)(；2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有ttfdxxfb)()]([)(. (4.1)(4.1)称为定积分的换元公式.. 但是,在应用定积分的换元公式时应1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且,下限对应于下限；2）求出)()]([ttf的一个原函数)(t后,不必象计算不定积分那样再把)(t变换成x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.budvbabavduuv][ 或 badxvubabadxuvuv][广义积分无穷限的广义积分()(|)()(aFFxFdxxf()(|)()(FbFxFdxxfbb)()(|)()(FFxFdxxf二、无界函数的广义积分badxxfdxxf)(lim)(0)(lim)(babadxxfdxxf定积分的几何应用微元法.U（总量）表示为定积分的方法——微，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定],[ba，任取],[ba的一个区间微元],[dxxx，求出相应于这个区间微元上部U的近似值，即求出所求总量U的微元dxxfdU)(；(2) 由微元写出积分根据dxxfdU)(写出表示总量U的定积分badxxfdUU)(社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一.应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：(1) 所求总量U关于区间],[ba应具有可加性，即如果把区间],[ba分成许多部分区间,U相应地分成许多部分量, 而U等于所有部分量U之和. 这一要求是由定积分概念本;(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U的近似表达式dxxf)(，即使得dUdxxf)(在通常情况下，要检验dxxfU)(是否为dx的高阶无穷小并非易dxxfdU)(的合理性.平面图形的面积1）直角坐标系下平面图形的面积（2）极坐标系下平面图形的面积drdA2)]([1.)]([12dA旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这旋转轴.,)]([2dxxfdV.)]([2bdxxfV平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体.,)(dxxAdV.)(bdxxAV积分在经济分析的应用空间解析几何简介空间直角坐标系我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的(即点的坐标),(yx)对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起空间直角坐标系.O, 作三条相互垂直的数轴，依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz（图6-1-1）.. 我们通常采用右手系.二、空间两点间的距离)()()(||2221221221zzyyxxMM1在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程0),,(zyxF，而S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(zyxF称为曲面S 的方程, 而S就称为方程0),,(zyxF的图形:已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;已知曲面方程，研究曲面的几何形状.. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次DCzByAx(1.3). 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲C称为柱面的准线, 动直线L称为柱面的母线.，通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.122222zbyax )0,0,0(cba (1.4)ypxz2222（同号与qp）zypx2222 ( p与q同号)单叶双曲面 122222zbyax )0,0,0(cba双叶双曲面 122222zbyax )0,0,0(cba22222zbyax )0,0,0(cba多元函数的基本概念平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域二、二元函数的概念1 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点),(yx，按照某种法f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在),(yx处的函数值,(yxf，即),(yxfz，其中x，y称为自变量， z称为因变量. 点集D称为该函数的，数集}),(),,(|{Dyxyxfzz称为该函数的值域.. 当2n时, n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限2 设函数),(yxfz在点),(00yxP的某一去心邻域内有定义，如果当点),(yxP),(00yxP时，函数),(yxf无限趋于一个常数A，则称A为函数),(yxfz 当,(yx ),(0yx时的极限. 记为yxfyxx),(lim0.Ayxf),( （),(),(0yxyx）APfP)(lim或 APf)( )(0PP二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区二重极限.二元函数的连续性3 设二元函数),(yxfz在点),(0yx的某一邻域内有定义，如果,(),(lim0yxfyxfyyxx,),(yxfz在点),(0yx处连续. 如果函数),(yxfz在点),(00yx处不连续，则称函),(yxfz在),(0yx处间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x和二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极.D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满. 下面我们不加证明地列出这些定理.1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得.2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.偏导数偏导数的定义及其计算法1 设函数),(yxfz在点),(0yx的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y而x在0xx时, 相应地函数有增量),,(),(000yxfyxxfyxfyxxf),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处x的偏导数, 记为,(,,000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx或,(0yxfxyxfyxxf),(),(lim00000.),(yxfz在点),(0yx处对y的偏导数为yxfyyxf),(),(lim00000,).,(,,000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxx或, 只需把其余自变量看作常数，.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：1）对一元函数而言，导数dy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商. 但偏导u是一个整体.（2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf)0,0(的偏导数为00lim)0,0()0,0(lim)0,0(0xxfxffxxx00lim)0,0()0,0(lim)0,0(0yyfyffxyy5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.偏导数的几何意义),(yxfz，)),(,,(0000yxfyxM是该曲面上一点，过点0M作平面yy，截此曲面得一条曲线，其方程为0),(yyyxfz),(0yxfx表示上述曲线在点0M处的切线xTM0对x轴正向的斜率（图6-3-1）. 同),(0yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴.四、偏导数的经济意义),,(ypQQ 其中p为该产品的价格, y为消费者收入.Q对于价格p、消费者收入y的偏改变量分别为,(),(ypQyppQQ).,(),(ypQyypQQQp表示Q对价格p由p变到pp的平均变化率. 而QpQp0limp、消费者收入为y时, Q对于p的变化率. 称ppQppQQEpp//lim0Q对价格p的偏弹性.Qy表示Q对收入y由y变到yy的平均变化率. 而QyQy0limp、消费者收入为y时, Q对于y的变化率. 称yyQyyQQEyy//lim0Q对收入y的偏弹性.-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1acycxyxpaa且，p是由x个人力单位和y个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生。
数学定积分换元积分法
∫
2
例13
sin 3 x dx = ∫ sin 2 x sin x dx ∫
1 3 = −∫ (1 − cos x) dcosx = − cosx + cos x + C . 3
2
例14
sin x ⋅ cos x dx = ∫ sin2 x ⋅ (1 − sin2 x )2 d(sin x ) ∫
2 5
1 x−2 1 1 1 +C . = ∫( − ) dx = ln 3 x +1 3 x − 2 x +1
17
x(1 − x ) dx = ∫ ( x − 1 + 1) (1 − x )6 dx 例22 ∫
6
= ∫ [(1 − x )6 − (1 − x )7 ] dx 1 1 7 8 = − (1 − x ) + (1 − x ) + C . 7 8 1 3 2 x 4 − x d x = ∫ x 2 4 − x 2 dx 2 例23 ∫ 2
= G(u) + C = G[ϕ( x)] + C .
3
常用凑微分公式： 常用凑微分公式：
1 dx = d(kx + b) k
1 dx = 2 d x x
( k ≠ 0)
1 1 dx = − d 2 x x
1 2 x dx = dx 2
1 dx = d ln | x | x
sin x dx = −d cos x
= ∫ (sin2 x − 2 sin4 x + sin6 x) d(sin x)
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7
常用的凑微分公式记忆口诀
常用的凑微分公式记忆口诀1.引言在高等数学的不定积分章节中，学习了直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法后，我们可以求解出一些简单的不定积分，但对于某些不定积分，如，，等，仍然不能求出。
为了解决这类不定积分问题，我们需借助分部积分法。
定义：设函数与具有连续导数，则：（1）式称为分部积分公式，因为，，所以分部积分公式又可写成。
应用分部积分法时，计算步骤可分解如下：从以上计算步骤中可得，需将转化为。
显然，我们的目标是将求解比较困难的化为求解比较容易的，也即利用分部积分公式往往可以起到化难为易的作用。
反之，则越算越复杂，甚至不能求出。
例如：显然，比更复杂，不能求出积分。
因此，在利用分部积分法时，关键在于恰当选取与，才能有效凑出微分。
在分部积分公式中第一步是凑微分，我们得需将、中相对容易的确定为，即凑成。
因此，选取与要考虑两点：（1）容易求得；（2）比更易求出。
2.凑微分技巧我们将中学所学的基本初等函数归纳起来共有五类，即三角函数、指数函数、幂函数、反三角函数、对数函数（将这五类基本初等函数简记为“三、指、幂、反、对”），求这五类函数综中两类函数合在一起的积分，如：，，，通常情况下利用直接积分法和换元积分法无法求得，需借用分部积分。
因此，涉及到选取与，根据多年的任教经验，总结出了凑微分的口诀，即“三指高、幂居中、反对低，凑高不凑低”，即五类基本初等函数在分部积分中凑微分的优先级别由高到低的顺序分别为三角函数、指数函数、幂函数、反三角函数、对数函数。
下面以具体的实例说明。
3.举例综上所述，在分部积分中凑微分时，只需牢记凑微分口诀“三指高、幂居中、反对低，凑高不凑低”，就能避免解题走弯路，从而问题得以迎刃而解。
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学
浅谈不定积分中“凑微分法”的教学【摘要】本文介绍了不定积分中常用的“凑微分法”。
在我们对凑微分法进行了介绍，说明了其在教学中的目的与意义。
接着在我们详细解释了什么是凑微分法，如何应用凑微分法，以及通过实例分析展示了凑微分法的具体操作方法。
同时也提出了在使用凑微分法时需要注意的事项，并且探讨了凑微分法的优缺点。
最后在我们对凑微分法进行了总结，展望了未来可能的发展方向，同时得出了教学过程中的一些启示。
通过本文的学习，读者将对凑微分法有更深入的了解，提高数学学习的效率与质量。
【关键词】浅谈不定积分中“凑微分法”的教学，关键词：引言：介绍、目的、意义正文：凑微分法、应用、实例分析、注意事项、优缺点结论：总结、展望、启示1. 引言1.1 介绍不定积分是微积分中一个重要的概念，凑微分法是其中一种解题方法。
凑微分法在解不定积分时常常能够简化问题，使得计算更加高效。
本文将浅谈不定积分中的凑微分法的教学，主要包括凑微分法的基本概念、应用方法、实例分析、注意事项以及优缺点等内容。
在解决不定积分时，凑微分法是一种常见且实用的方法。
通过“凑微分”这一操作，可以将被积函数化简为更容易求解的形式，从而简化计算过程。
凑微分法的应用范围很广，可以帮助我们解决各种类型的不定积分，提高解题效率。
在接下来的内容中，我们将详细介绍什么是凑微分法，如何应用凑微分法来解决不定积分问题，通过实例分析来帮助读者更好地理解凑微分法的实际应用，同时也会提醒大家在使用凑微分法时需要注意的事项，以及凑微分法的优缺点。
通过本文的阅读，希望读者能够对不定积分中的凑微分法有更深入的了解，从而提高解题的效率和准确性。
1.2 目的在教学不定积分中，“凑微分法”是一种常见的解题方法，通过凑微分可以简化复杂的不定积分问题，使求解过程更加简洁和高效。
故本文旨在探讨不定积分中“凑微分法”的教学方法，帮助学生更好地理解和掌握这一解题技巧。
引导学生深入理解凑微分法的概念及其应用场景，通过具体的案例分析教学，引导学生熟练运用凑微分法解决不定积分问题。
凑微分原理
凑微分原理
微分原理是数学中的重要定理，它指出某个函数的变化量与它的导数之间的关系。
它的概念非常抽象，但微分原理却是数学中一个十分有价值的定理，因此它受到了广泛的关注。
微分原理最早出现于17世纪末巴洛克时期，当时由英国数学家莱布尼茨提出，他简化了Isaac Newton和Gottfried Leibniz提出的微积分法，根据此定理，当某个函数发生变化时，其导数就会变化。
他把这种变化表示为“极限”形式，即“当某个函数的变化量无穷小时，其导数就会发生变化”，这就是微分原理的核心原理。
另外，微分原理的另一种形式即“凑微分原理”，即当某个函数发生变化时，某个变量的增量和函数的导数之间有着对应关系。
因此，凑微分原理可以被认为是微分原理的一种扩展，两者都是有关函数变化量与函数的导数之间关系的数学定理。
微分原理的另一个重要概念是微分，也就是变化量。
它是指某个函数的变化量分析，可以使我们了解函数的变化趋势，从而推导出其导数。
一般来说，微分的结果是某个函数的变化量，可以表示为某个变量的增量，即某个变量发生变化时，它的函数值也会发生相应的变化。
而由微分原理推导出的微分方程，即以微分作为求解函数及其变化关系的方式。
它可以用来分析函数的变化趋势，也可以用来求解函数的变换关系，是数学中的重要概念，被广泛应用于工程会计等领域。
总之，微分原理是一个抽象的概念，却又极具实用价值，它把某个函数的变化量与它的导数之间的关系表示出来，从而使函数变化量可以得到更好的分析，进而求解函数的变换关系，是数学中重要的定理。
积分凑微分公式
积分凑微分公式
凑微分法公式是dt=dx^2=2xdx，凑微分法是把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。
与公式不同，但有些相似，可以考虑是否把dx变换成du 的形式，[u=f(x)]把积分式中的x的的函数，变换成u的函数，使积分式符合公式形式。
积分在整体二元函数的下限，也可以成为一个二元操作符，可以理解∫[A，B]F(X)DX=A*B，其中，作为积分计算。
不定积分可以被看作是一种计算，但最后的结果不是一个数字，而是的一类函数可积函数的集合(原来的功能是基本功能)有一个很奇妙的公式∫[A，B]F(X)DX=F(B)-F(A)。