三角函数图像与性质_图像变换习题

考点测试20 三角函数的图象和性质一、基础小题1．已知f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f(x)的图象( )A ．与g(x)的图象相同B ．与g(x)的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象D ．向右平移π2个单位，得到g(x)的图象解析 因为g(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选D.2．函数y ＝sin 2x＋sinx －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54答案 C 解析(数形结合法)y ＝sin 2x＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6答案 C 解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，解得π3＋kπ≤x ≤5π6＋kπ(k ∈Z)，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡ π3＋kπ，⎦⎥⎤5π6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6.4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π2 C ．π D ．3π2答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k ∈Z)，故选C.5．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π解析 若－π3≤x ≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x＋π6＝7π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，所以要使f(x)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a ≤π，即a 的取值围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选D. 二、高考小题6．[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ－14，kπ＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ－14，2kπ＋34，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈ZD 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，54(f(x)的一个周期)，函数f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D.7．[2015·高考]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin2x ＋cos2xD ．y ＝sinx ＋cosx答案 A 解析 选项A ，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A.三、模拟小题8．[2016·调研]函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)( )A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点答案 B 解析 在同一坐标系中画出函数y ＝sinx 与y ＝－x 的图象，由图象知这两个函数图象有1个交点，∴函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)有且仅有1个零点．9．[2017·调研]已知定义在R 上的函数f(x)满足：当sinx ≤cosx 时，f(x)＝cosx ，当sinx>cosx 时，f(x)＝sinx.给出以下结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为－1；③当且仅当x ＝2kπ(k ∈Z)时，f(x)取得最小值； ④当且仅当2kπ－π2<x<(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)>0；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.其中正确的结论序号是________．答案 ①④⑤解析 易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．函数f(x)在一个周期的图象如图所示． 由图象可得，f(x)的最小值为－22，当且仅当x ＝2kπ＋5π4(k ∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－π2<x<(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)>0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.四、模拟大题10．[2017·模拟]设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调递增区间．解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝±1得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0，∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4.(2)由(1)得f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2kπ≤2x －3π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ， 可解得π8＋kπ≤x ≤5π8＋kπ，k ∈Z.因此y ＝f(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋kπ，5π8＋kπ，k ∈Z.函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质一、基础小题1．将函数y ＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10答案 B 解析 将函数y ＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20.故选B.2．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位答案 B 解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位．故选B. 3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sinx ＋cosx答案 A 解析 采用验证法．由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4D ．f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4 答案 A 解析 由题图可知，函数y ＝f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，又函数f(x)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2kπ＋π4，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故选A.5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3答案 A 解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3≤2，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3. 6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4答案 A 解析 由题意可知函数f(x)的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，将x ＝π4代入可得φ＝kπ＋π4(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( )A ．函数f(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，图象关于原点对称 D ．函数f(x)在区间(0，π)单调递增答案 C 解析 因为函数的周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A 、B 错误．将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝sin x 2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2kπ≤12x ＋π6≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得－4π3＋4kπ≤x ≤2π3＋4kπ(k ∈Z)，所以f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡ －4π3＋4kπ，⎦⎥⎤2π3＋4kπ，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4π3，2π3，所以D 错误．故选C.8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 ±2解析 函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝kπ2－π6(k ∈Z)B ．x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)C ．x ＝kπ2－π12(k ∈Z)D ．x ＝kπ2＋π12(k ∈Z)答案 B 解析 将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，可得x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)．则平移后图象的对称轴为x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)，故选B.10．[2016·高考]将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A 解析 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，∴t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝12. 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为π6.11．[2016·一中模拟]已知函数f(x)＝Asi n(ωx＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)＝Asinωx 的图象，只需要将y ＝f(x)的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 D 解析 根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π12，求 得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π3，∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g(x)＝2sin2x ，故把f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D.三、高考大题12．[2015·高考]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π Asin(ωx＋φ)5－5且函数表达式为f(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)知f(x)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g(x)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sinx 的对称中心为(kπ，0)，k ∈Z.令2x ＋2θ－π6＝kπ，k ∈Z ，解得x ＝kπ2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g(x)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝kπ2－π3，k ∈Z.由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。