西南大学网络教育线性代数作业
西南大学线性代数次网上作业
一、填空题(每小题3分，共15分)1．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310120001，则A + 2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2．设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0013α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110β，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为( ).3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b 的解，k 1，k 2为常数，若k 1α1+ k 2α2也是Ax = b 的一个解，则k 1+k 2 = ( ).4．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则(2A )-1必有一个特征值为( ). 5．若实对称矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1．设行列式2211b a b a = 1，2211c a c a = 2，则222111c b a c b a++ = ( ).(A) -3 (B) -1 (C) 1(D) 32．设A 为2阶可逆矩阵，且已知(2A )-1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则A = ( ).(A) 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321(B) 214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 3．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出( ).(A) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 (B) α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例(C) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 (D) α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合4．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1| = ( ).(A) 121 (B) 71(C) 7 (D) 125．设3阶实对称矩阵A 与矩阵B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001合同，则二次型x T Ax 的规范形为( ).(A) 2322212z z z ++- (B) 232221z z z ++- (C) 232221z z z +- (D) 232221z z z -+ 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则(ABC )T = A T B T C T . ( ) 2．设A 为3阶方阵，且已知|-2A | = 2，则|A | = -1. ( )3．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的列向量组线性无关. ( )4．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E | = 0，则A 必有一个特征值为32. ( )5．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421. ( )四、 (10分) 求4阶行列式1111112113114111的值. 五、(10分) 设2阶矩阵A 可逆，且A -1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121b b a a ，对于矩阵P 1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021，P 2 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110，令B = P 1AP 2，求B -1.六、(10分) 设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=15312α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21233t α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t 10624α，试确定当t 为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.七、(15分) 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x(1) 问a 为何值时，方程组有无穷多个解.(2) 当方程组有无穷多个解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).八、(10分) 设p1，p2依次为n阶矩阵A的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1 ≠λ2. 证明p1- p2不是A的特征向量.。
西南大学《线性代数》网上作业及参考答案
===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。
西南大学网络教育0044线性代数期末考试复习题及参考答案
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：计算机科学与技术 2017年12月课程名称【编号】：线性代数【0044】 A卷大作业满分：100分一、大作业题目1.计算行列式D =5211132114321---的值.2. 设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4221，求可逆矩阵P和对角矩阵Λ，使得P-1AP =Λ.3. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321λλλλxxxxxxxxx，(1)讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.(2) 在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.4.设二次型f (x1, x2, x3) =323121232221222xxxxxxaxaxax+++++，确定常数a的最大取值范围使该二次型正定.5. 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，证明存在数k ，使A 2 = k A .二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1-2题选作一题，满分30分；。
【西大2017版】[0343 ]《线性代数 》网上作业及课程考试复习资料(有答案]
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1：[论述题]行列式部分主观题参考答案：主观题答案2：[单选题]8.已知四阶行列式D中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D的值等于A:5B:-10C:-15参考答案：C3：[单选题]7.行列式A的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a的代数余子式是：A:29B:-29C:0参考答案：B4：[单选题]6.排列3721456的逆序数是：A:6B:7C:8参考答案：C5：[单选题]5.行列式A的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A的值等于0，则k的取值应是：A:k=3B:k=1C:k=3或k=1参考答案：C6：[单选题]3.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：A:4B:2C:5参考答案：C7：[单选题]4.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：A:9B:-1C:1参考答案：B8：[单选题]2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11B:7C:3参考答案：A9：[单选题]1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是:A:-1B:1C:7参考答案：B10：[单选题]9.下列n阶(n>2)行列式的值必为0的有：A:行列式主对角线上的元素全为零。
B:行列式非零元素的个数小于n个。
C:行列式零元素的个数多于n.参考答案：B1：[论述题]关于线性方程组的主观题参考答案：主观题答案2：[判断题]2 若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A乘以B有意义。
参考答案：正确3：[多选题]1 向量组a1,a2,...,as线性无关的必要条件是：A：a1,a2,…,as都不是零向量。
西南交大大学网络教育学院《线性代数》在线作业
西南交通大学网络教育学院线性代数在线作业本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。
(A)(B)(C)(D)你选择的答案： B [正确]正确答案：B解答参考：初等矩阵一定是可逆的。
2. 则。
(A)(B)(C)(D)你选择的答案： D [正确]正确答案：D解答参考：A错误，因为m<n ，不能保证R(A)=R(A|b) ；B错误，Ax=0 的基础解系含有n−R( A ) 个解向量；C错误，因为有可能R(A)=n<R(A|b)=n+1 , Ax=b 无解；D正确，因为R(A)=n 。
3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) 。
(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= 。
(A) 4(B) －4(C) －64(D) 64正确答案：C解答参考：5. 线性方程组{ a 11 x 1 + a 12 x 2 +⋯+ a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2, ⋯⋯⋯⋯a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m }的系数矩阵为A,增广矩阵为A ¯,则它有无穷多个解的充要条件为。
(A) R(A)=R( A ¯)<n(B) R(A)=R( A ¯)<m(C) R(A)<R( A ¯)<m(D) R(A)=R( A ¯)=m正确答案：A解答参考：6. 一个n维向量组α 1 , α 2 ,⋯, α s (s>1) 线性相关的充要条件是(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合正确答案：C解答参考：7. 设3阶矩阵A的特征值为1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(A) E−A(B) E+A(C) 2E−A(D) 2E+A正确答案：D解答参考：8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为Ax=0 的基础解系的是(A) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 1 +2 α 2 + α 3(B) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 − α 1(C) α 1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α 1(D) α 1 − α 2 ,0, α 2 − α 3正确答案：C解答参考：二、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。
0044线性代数【0044】 西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷 参考答案
西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年春季课程名称【编号】： 线性代数【0044】 A 卷考试类别:大作业 满分：100 分一、 必答题（40分）1、 什么是线性方程组？线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。
xj 表未知量，aij 称系数，bi 称常数项。
称为系数矩阵和增广矩阵。
若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn 代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn ）为一个解。
若c1，c2，…，cn 不全为0，则称（c1，c2，…，cn ）为非零解。
若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。
两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。
线性方程组主要讨论的问题是：①一个方程组何时有解。
②有解方程组解的个数。
③对有解方程组求解，并决定解的结构。
这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A ）=秩（增广矩阵）；若秩(A ）=秩=r ，则r=n 时，有唯一解；r<n 时，有无穷多解；可用消元法求解。
当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。
但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。
2、 阐述矩阵乘法的运算过程。
并用矩阵乘积形式表示如下线性方程组。
123123123233422231++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩x x x x x x x x x3、 用初等变换的方法求解上述线性方程组二、 从下列两题中任选一题作答（30分）1、 (a)什么是方阵的逆矩阵？ 设A 是数域上的一个n 阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n 阶矩阵B ，使得： AB=BA=E ，则我们称B 是A 的逆矩阵，而A 则被称为可逆矩阵。
注：E 为单位矩阵。
(b)阐述求逆矩阵的初等行变换方法求逆矩阵的初等行变换法.设A 可逆，则可逆. 根据定理2.12知，可表示为若干个初等方阵的乘积，即，其中P 1，P 2，…，P k 是初等矩阵. 于是，且.根据分块矩阵的乘法，有.根据定理2.11知，左乘一个初等矩阵相当于对矩阵进行相应的初等行变换，因此得到求A 的逆矩阵的初等行变换法如下：首先，在A 的右边接一个与其同阶的单位矩阵E 构成一个矩阵(A , E )，这时A 和E 是其中的两个块.其次，对矩阵(A , E )实施矩阵的初等行变换，将A 所在的块化为单位矩阵E ，则单位矩阵E 所在的块就是.(c)求解如下矩阵方程：101121110122121-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦X2、(a)什么是向量组线性无关？(b)判断向量组()()12=10=01、ααTT是否线性无关。
【西大2017版】[1100 ]《线性代数(一]》网上作业及课程考试复习资料(有答案]
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1：[填空题]单选题:1. 行列式01110212=-k k 的充分必要条件是（ ）A 2-=kB 3=kC 2-≠k 且3≠kD 2-=k 或3=k2 若0101132021=λλ，则21,λλ必须满足（ ）A 0,221==λλB 221==λλC 21,2λλ=可为任意数D 21,λλ均可为任意数4 下列选项中为五级偶排列的是（ ）A 12435B 54321C 32514D 542315 下列选项中不是五阶行列式)5,,2,1,( =j i a ij 中的一项的是（ ）A 5445322311a a a a aB 2534431251a a a a a -C 4521345213a a a a a -D 1122334455a a a a a6 如果线性方程组⎩⎨⎧=+=+2122c y kx c ky x （21,c c 为不等于零的常数）有唯一解，则k 必须满足（）A 0=kB 2-=k 或2=kC 2-≠k 或2≠kD 2-≠k 且2≠k7 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-0002321321321x x kx x kx x x x x 有非零解，则k 必须满足（ ）A 4=kB 1-=kC 1-≠k 且4≠kD 1-=k 或4=k8 设A,B 均为n 阶矩阵，下列关系一定成立的是（ ）A. 222)(B A AB = B T T T B A AB =)(C ||||||B A B A +=+D ||||BA AB =9 设A 为非零n 阶矩阵,则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）A 、 T AAB 、A A TC 、T A A -D 、T A A +---------10 设A,B ，C 均为n 阶矩阵,若由AC AB =能推出C B =,则A 应满足（ ）A 、0≠A ，B 、0=AC 、0||≠AD 、0||=A11 设A,B 为同阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（ ）A 、 111)(---=A k kAB 、 11||||--=A AC 、 B A +可逆，且111)(---+=+B A B AD 、B A +不一定可逆，即使B A +可逆，一般地，111)(---+≠+B A B A 12 设n m ⨯矩阵A 的秩等于n ，则必有（ ）A 、 n m =B 、n m <C 、n m >D 、n m ≥13 向量组T a ),1,3(1=α,T a )0,,4(2=α，T a ),0,1(3=α线性无关，则（）A 、 0=a 或2B 、1≠a 且2-≠aC 、 1=a 或-2D 、 0≠a 且2≠a14 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）A 、A 的列向量组线性无关B 、A 的列向量组线性相关C 、A 的行向量组线性无关D 、A 的行向量组线性相关15 向量组s ααα,,,21 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A 、s ααα,,,21 中至少有一个非零向量B 、s ααα,,,21 全是非零向量C 、s ααα,,,21 线性无关D 、s ααα,,,21 线性相关16 设A 为n 阶矩阵，下列结论中不正确的是（ ）A 、A 可逆的充分必要条件是n A r =)(B 、A 可逆的充分必要条件是A 的列秩为nC 、A 可逆的充分必要条件是A 的每一行向量都是非零向量D 、A 可逆的充分必要条件是当0≠x 时，0≠Ax ，其中T n x x x x ),,,(21 =17 设矩阵n m A ⨯的秩)0()(n r r A r ≤≤=，则下述结论中不正确的是（ ）A 、齐次线性方程组0=Ax 的任何一个基础解系中都含有r n -个线性无关的解向量B 、若X 为s n ⨯矩阵，且0=AX ，则r n X r -≤)(C 、β为一m 维列向量，r A r =),(β，则β可由A 的列向量组线性表示D 、非齐次线性方程组b Ax =必有无穷多个解18 三阶矩阵A 的特征值为-2，1，3.则下列矩阵中非奇异矩阵是（ ）A 、A I -2B 、A I +2C 、A I -D 、I A 3-19 矩阵A,B 相似的充分条件是（ ）A 、||||B A = B 、)()(B r A r =C 、A 与B 有相同的特征多项式D 、n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值互不相同20 设A,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则（ ）A 、B I A I -=-λλB 、A 与B 有相同的特征值和特征向量C 、A 与B 都相似于一个对角矩阵D 、对任意常数t ，B tI A tI --与相似21 下述结论中，不正确的是（ ）A 、若向量α与β正交，则对任意实数,,b a αa 与βb 也正交B 、若向量β与向量21,αα都正交，则β与21,αα的任一组线性组合也正交C 、若向量α与β正交，则α与β中至少有一个是零向量D 、若向量α与任意同维向量正交，则α是零向量22 设A 为n 阶实对称矩阵，则（ ）A 、 A 的n 个特征向量两两正交B 、 A 的n 个特征向量组成单位正交向量组C 、 A 的k 重特征值0λ，有k n A I r -=-)(0λD 、 A 的k 重特征值0λ，有k A I r =-)(0λ参考答案：单选题:1. 行列式01110212=-k k 的充分必要条件是（ ）A 2-=kB 3=kC 2-≠k 且3≠kD 2-=k 或3=k参考答案 D2 若0101132021=λλ，则21,λλ必须满足（ ）A 0,221==λλB 221==λλC 21,2λλ=可为任意数D 21,λλ均可为任意数参考答案： C4 下列选项中为五级偶排列的是（ ）A 12435B 54321C 32514D 54231参考答案 B5 下列选项中不是五阶行列式)5,,2,1,( =j i a ij 中的一项的是（ ）A 5445322311a a a a aB 2534431251a a a a a -C 4521345213a a a a a -D 1122334455a a a a a参考答案 C6 如果线性方程组⎩⎨⎧=+=+2122c y kx c ky x （21,c c 为不等于零的常数）有唯一解，则k 必须满足（）A 0=kB 2-=k 或2=kC 2-≠k 或2≠kD 2-≠k 且2≠k参考答案：D7 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-0002321321321x x kx x kx x x x x 有非零解，则k 必须满足（ ）A 4=kB 1-=kC 1-≠k 且4≠kD 1-=k 或4=k参考答案 D8 设A,B 均为n 阶矩阵，下列关系一定成立的是（ ）A. 222)(B A AB = B T T T B A AB =)(C ||||||B A B A +=+D ||||BA AB =参考答案: D9 设A 为非零n 阶矩阵,则下列矩阵中不是对称矩阵的是（ ）A 、 T AAB 、A A TC 、T A A -D 、T A A + 参考答案： C---------10 设A,B ，C 均为n 阶矩阵,若由AC AB =能推出C B =,则A 应满足（ ）A 、0≠A ，B 、0=AC 、0||≠AD 、0||=A参考答案：C11 设A,B 为同阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（ ）A 、 111)(---=A k kAB 、 11||||--=A AC 、 B A +可逆，且111)(---+=+B A B AD 、B A +不一定可逆，即使B A +可逆，一般地，111)(---+≠+B A B A 参考答案： C--------------------12 设n m ⨯矩阵A 的秩等于n ，则必有（ ）A 、 n m =B 、n m <C 、n m >D 、n m ≥参考答案： D13 向量组T a ),1,3(1=α,T a )0,,4(2=α，T a ),0,1(3=α线性无关，则（）A 、 0=a 或2B 、1≠a 且2-≠aC 、 1=a 或-2D 、 0≠a 且2≠a参考答案： D解答提示： 设存在321,,x x x ，使0332211=++a x a x a x 成立，则令)(321ααα=A 则0321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x A ，又321ααα线性无关，则 0321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x A 这一齐次线性方程组只有零解，从而系数行列式 ==a a a A 0011430)2(242042011432≠-=-=--a a a a a a a故0≠a 且2≠a14 设矩阵n m ij a A ⨯=)(，0=Ax 仅有零解的充要条件是（ ）A 、A 的列向量组线性无关B 、A 的列向量组线性相关C 、A 的行向量组线性无关D 、A 的行向量组线性相关参考答案: A15 向量组s ααα,,,21 的秩不为零的充分必要条件是（ ）A 、s ααα,,,21 中至少有一个非零向量B 、s ααα,,,21 全是非零向量C 、s ααα,,,21 线性无关D 、s ααα,,,21 线性相关参考答案： A16 设A 为n 阶矩阵，下列结论中不正确的是（ ）A 、A 可逆的充分必要条件是n A r =)(B 、A 可逆的充分必要条件是A 的列秩为nC 、A 可逆的充分必要条件是A 的每一行向量都是非零向量D 、A 可逆的充分必要条件是当0≠x 时，0≠Ax ，其中Tn x x x x ),,,(21 =参考答案: C17 设矩阵n m A ⨯的秩)0()(n r r A r ≤≤=，则下述结论中不正确的是（ ）A 、齐次线性方程组0=Ax 的任何一个基础解系中都含有r n -个线性无关的解向量B 、若X 为s n ⨯矩阵，且0=AX ，则r n X r -≤)(C 、β为一m 维列向量，r A r =),(β，则β可由A 的列向量组线性表示D 、非齐次线性方程组b Ax =必有无穷多个解参考答案： D18 三阶矩阵A 的特征值为-2，1，3.则下列矩阵中非奇异矩阵是（ ）A 、A I -2B 、A I +2C 、A I -D 、I A 3- 参考答案： A提示：由A 的的特征值为-2，1，3.知=--|2|A I ||A I -=|3|A I -=0， 即0|2|=+A I ，||A I -=0，0|3|=-I A ,故应选A19 矩阵A,B 相似的充分条件是（ ）A 、||||B A = B 、)()(B r A r =C 、A 与B 有相同的特征多项式D 、n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值互不相同参考答案： C20 设A,B 为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则（ ）A 、B I A I -=-λλB 、A 与B 有相同的特征值和特征向量C 、A 与B 都相似于一个对角矩阵D 、对任意常数t ，B tI A tI --与相似参考答案：D提示：因P A tI P )(1--=-∙∙-P tI P 1AP P 1-=B tI -,故B tI A tI --~21 下述结论中，不正确的是（ ）A 、若向量α与β正交，则对任意实数,,b a αa 与βb 也正交B 、若向量β与向量21,αα都正交，则β与21,αα的任一组线性组合也正交C 、若向量α与β正交，则α与β中至少有一个是零向量D 、若向量α与任意同维向量正交，则α是零向量参考答案： C22 设A 为n 阶实对称矩阵，则（ ）A 、 A 的n 个特征向量两两正交B 、 A 的n 个特征向量组成单位正交向量组C 、 A 的k 重特征值0λ，有k n A I r -=-)(0λD 、 A 的k 重特征值0λ，有k A I r =-)(0λ参考答案： C1：[论述题]判断题判断题:1 如果行列式D 交换两行值不改变，则D=0 （ ）。
西南大学[0044]线性代数大作业答案春季
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0044 20201单项选择题1、....2、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是（）.style="text-indent:32px">A与B有相同的特征值... A = B..R(A) = R(B)3、....4、....5、....6、.必有r个列向量线性无关.任意r个列向量都构成最大线性无关组.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.任意r个列向量线性无关7、.0.1..0或1..8、.2.4..19、. C. 必有一列向量可有其余列向量线性表示.必有两列元素对应成比例.任一列向量是其余列向量的线性组合.必有一列元素全为010、. D. A有n个互异特征值.A是实对称阵.A有n个线性无关的特征向量.A的特征向量两两正交判断题11、. A.√. B.×12、. A.√. B.×13、. A.√. B.×14、. A.√. B.×15、. A.√. B.×16、. A.√. B.×17、. A.√. B.×18、. A.√. B.×19、. A.√. B.×20、设A、B为两个不可逆的同阶方阵，则|A|=|B| （）. A.√. B.×21、转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( ) . A.√. B.×22、. A.√. B.×23、. A.√. B.×24、. A.√. B.×主观题25、参考答案：26、参考答案：27、设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3，则|A + E| = ( ).参考答案：2428、参考答案：29、参考答案：30、参考答案：31、参考答案：k>132、参考答案：333、参考答案：34、参考答案：35、参考答案：36、参考答案：237、参考答案：38、设线性方程组A x =0，A是4×5阶矩阵，如果R(A)=3，则其解空间的维数为( ).参考答案：239、参考答案：40、参考答案：41、参考答案：42、参考答案：43、参考答案：44、参考答案：45、参考答案：46、参考答案：47、参考答案：48、2.参考答案：49、参考答案：50、参考答案：51、参考答案：52、1.参考答案：53、参考答案：54、参考答案：55、参考答案：56、参考答案：57、参考答案：58、参考答案：59、参考答案：60、参考答案：。
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷0044 【线性代数】
由于 A 与 B 相似，于是
，由此可得出 x = 2，进而 A 的特征值为 0, 3, 2.
当
时，A 对应的特征向量为
。
. 而原线性方程组的特解可取为
当
时，A 对应的特征向量为
。
当
时，A 对应的特征向量为
。
因此，原线性方程组的通解为
取
，有
.
-2-
5、证明:设向量组
组 A 线性表示. 证明向量组
答： 证明：假设
线性无关.
二、大作业要求 大作业共需要完成三道题： 第 1-2 题选作一题，满分 30 分； 第 3-4 题选作一题，满分 30 分； 第 5 题必作，满分 40 分。
-3-
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教
专业：计算机科学与技术
课程名称【编号】：0044 【线性代数】
大作业
2019 年 6 月 A卷
满分：100 分
1 1 1
2、 设 A 1 1
1
，
A* X
A1
2X
，其中
A* 是Βιβλιοθήκη A的伴随矩阵，求X
.
1 1 1
答：
因为
一、 大作业题目 1、 计算行列式
1 x 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
.
, 所以 A 可逆.
由于
, 根据
，有
，
答：
进而 由于
. 于是
，因而
.
， 所以
.
.
-1-
3、
求下列线性方程组
答：
x1 2x2 x3 3x4 x5 2 2x1 4x2 2x3 6x4 3x5 6 . x1 2x2 x3 x4 3x5 4
西南大学网络学习线性代数作业答案
行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 正 号。
2．排列45312的逆序数为 8 。
3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 -11 。
5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 -5 。
6．计算00000d c ba = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102---解：381141102---=（-4）⨯221+-（）2111= -42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i 和j 等于5或8。
（1）当i =5，j =8时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 5 6 8 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=2,该排列为偶排列。
（2）当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7则成为排列1 2 3 4 8 6 5 9 7，N (1 2 3 4 5 6 8 9 7)=5,该排列为奇排列。
所以当i =8，j =5时，排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列。
3．(7分)已知0010413≠xx x ，求x 的值．解：D =314010xx x=2x （x -2） 当x =0或x =2时，D=0，所以，当x 0≠或2x ≠时，0010413≠xx x4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。
解： D=1111111λλ=2(1)λ-如果方程组有非零解，则D =0，即1λ=。
5．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：计算行列式D =124512270311=-≠- 131242912811011D ==--2131452921083101D ==- 3124512135311D ==--所以：13D x D ==，24Dy D ==，35D z D== 矩阵部分填空题1．计算⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453641126= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---126641453 2．已知矩阵A=（1，2，3），则=A A T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 3．若4阶方阵A 的行列式|A|=2，则|A 3|= 8 。
西南大学网络与继续教育学院秋季线性代数考试答案
令 X1 = 0， 的特解：
- 14λ + 40 = （λ -4） （λ -10）= 0 = 4 时，齐次线性方程组（A-4E）χ = ，k1 ≠ 0；
χ χ χ χ
=
的基础解系为
，于是对应
于λ = 4 的特征向量为 k1 当λ
= 10 时，齐次线性方程组（A-10E）χ = ，k2 ≠ 0；
=
的基础解系为
，
于是对应于λ = 4 的特征向量为 k2
二、大作业要求：
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教 专业：计算机科学与技术 20XX 年 12 月 A卷 满分：100 分
大作业共需要完成三道题： 第 1-2 题选作一题，满分 30 分； 第 3-4 题选作一题，满分 30 分； 第 5 题必作，满分 40 分。
课程名称【编号】 ：线性代数【0044】 大作业
由于
=8 ≠ 0 ，
所以 k1 = k2 = k3= 0， 因此向量组 β1，β2，β3 线性无关
3 －1 3. 已知 A = ，求其特征值与特征向量. 7 11
*
=
对应的齐次线性方程组的基础解系为ξ
=
， 所以原线性方程组的结构解为：
X=k
2 2 2 4.用正交变换化二次型 f (x1, x2, x3)= 2x1 3x2 3x3 2x2 x3 为标准型，并给出所用的正交变换.
一、 大作业题目：
西南大学网络教育2020年春0158]《高等代数》作业标准答案
![西南大学网络教育2020年春0158]《高等代数》作业标准答案](https://img.taocdn.com/s3/m/ba05f5776bec0975f565e22f.png)
1、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。
. A.√.2、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。
. A.√.3、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。
. A.√.4、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。
. A.√.5、设是线性空间V的两个子空间，若。
. B.×6、设W是线性空间V的子空间，。
. A.√.7、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。
.B.×8、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。
. A.√.9、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。
. B.×10、设为一个向量组，由于，所以线性无关。
. B.×11、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。
. B.×12、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。
. A.√.13、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。
. B.×14、设为一个向量组，若，则线性相关。
. A.√.1317、设A为矩阵，B为矩阵，则AB的列数等于。
418、在向量组中，，则的秩等于。
219、20、若2为f(x)的根，且2是的5重根，则2为f(x)的重根。
621、设，则f(x)的所有系数的和等于。
322、若，则c= 。
-123、设为对称矩阵，则a= 。
324、若矩阵不可逆，则a= 。
-4 25、3阶行列式 。
-126、计算题.doc1.计算下面的4阶行列式的值： 1111211312254321D -=。
2.设43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--，求((),())f x g x 。
3.设A = 033110123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，且2AB A B =+，求矩阵B 。
【西大2017版】[0044]《线性代数》网上作业及课程考试复习资料(有答案]
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1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20001011k k A 是正定矩阵，则k 满足( ).2. A 为3阶方阵, 且2||-=A ,*A 是A 的伴随矩阵, 则=+-|4|*1A A ( ).3. A 为5×3矩阵, R (A ) = 3, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020201B , 则R (AB ) = ( ).4. 设三阶方阵A 的特征值为1，2，-1，则1*21-⎪⎭⎫⎝⎛A 的特征值为( ).5. 设,1011⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2009A . 二、单选题(每小题3分，共15分)1. 已知A 为n 阶方阵，且满足A 2 = 2E ， E 为单位阵，则=--1)(E A （ ）. (A)A E + (B)A E - (C)E A - (D) A2. 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是 ( ).(A) A 是实对称阵 (B) A 有n 个互异特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 的特征向量两两正交 3. 已知线性方程组的系数矩阵A 是矩阵，且A 的行向量组线性无关，则下列结论正确的是（ ）.(A) A 的列向量组线性无关(B) 线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关 (C) 线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关 (D) 线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关n 54⨯4. 矩阵A 与B 相似, 则下列说法不正确的是（ ）. (A) R (A ) = R (B ) (B) A = B(C) B A = (D) A 与B 有相同的特征值 5. 如果0λ是n 阶矩阵A 的特征值, 那么必有（ ）. (A) 0||0=-E A λ (B) 0||0≠-E A λ (C) 0=-E A 0λ (D) 0≠-E A 0λ三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 、B 为两个不可逆的同阶方阵，则|A | = |B | . （ ）2. 若A 可逆，则A 的伴随矩阵A *也可逆. （ ）3. 若Ax = b （b ≠ 0）有无穷多解，则Ax = 0也有无穷多解. （ ）4. 如果n 维向量组321,,ααα，对于任意一组不全为零的数321,,k k k ，总有0≠++332211αααk k k 成立， 则向量组321,,ααα线性无关. （ ）5. 设A 、B 为同阶方阵，则必有(A + B )(A －B )＝A 2－B 2 （ ）四、(10分)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程1T 1)2(--=-C A B C E ，试求矩阵A ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1000210032102321B , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000210002101021C . 五、(10分)设3阶方阵A 的三个特征值为,1,2,2321=-==λλλA 的属于321,,λλλ的特征向量依次为,011,111,110321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα求方阵A .六、(10分)设矩阵),,,(4321ααααA =, 其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=,向量4321ααααb +++=, 求线性方程组b Ax =的通解.七、(10分) 三阶方阵A ≠ 0,0=2A ，证明：矩阵的秩R (A ) = 1. 八、(15分)讨论λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解.参考答案：一、填空题1、k >1.2、-4.3、3.4、-1, -2, 1.5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020091. 二、单选题1—5: ACCBA 三、判断题1—5: √√√√×四 Solution 根据1T 1)2(--=-C A B C E ，得1T 1)2(--=-CC A B C E C ，于是E A B C =-T )2(，所以1T )2(--=B C A .由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-10002100321043212B C ，因此()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--100021001210012121B C , 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A . A五、Solution 令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==011111110321αααP ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1000200021PAP .由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-0111110111P，于是 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2443543321221P P A .六、Solution 由于432,,ααα线性无关，3212ααα-=, 所以R (A ) = 3, 因此4元线性方程组Ax = 0的基础解系中只有一个解向量.由3212ααα-=, 即0=+-3212ααα，得0=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121),,,(4321αααα，因而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0121是Ax = 0的基础解系.又因为4321ααααb +++=，所以b A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11111111),,,(4321, 于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111*η是A x = b 的特解，故Ax = b 的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11110121k ,其中k 为任意常数.七、Proof 因为0=2A ，于是,3)()(≤+A A R R 因此223)(<≤A R . 又因为A ≠ 0，所以1)(≥A R ， 所以1)(=A R .八、Solution 2)3(111111111λλλλλ+=+++=A .(1) 当03≠-≠λλ且时，有0||≠A ，方程组有唯一解.(2) 当3-=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000021103211321131210112B . 于是2)()(==B A R R ，方程组有无穷多解，解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021111k x ，(k 为任意常数)(3) 当0=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010000111011131110111B ，由此可知)()(B A R R ≠，原线性方程组无解.2：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设线性方程组Ax = 0，A 是4×5阶矩阵，如果R (A ) = 3，则其解空间的维数为( ).2. 设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件( ).3. 向量组(A ): r ααα,,,21 与向量组(B ): s βββ,,,21 等价，且向量组(A )线性无关，则r 与s 的大小关系是( ).4. 设A 为3阶方阵, 且2||-=A ,*A 是A 的伴随矩阵, 则=+-*14A A ( ).5. 若线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==--=+-222132332321λλx x x x x x 无解．．，则λ = ( ). 二、单选题(每小题3分，共15分)1. 在下列矩阵中，可逆的是( ).(A)(B)(C)(D).2、已知 、 是非齐次线性方程组Ax = b 的两个不同的解， 、是其导出组Ax= 0的一个基础解系，k 1、k 2为任意常数，则方程组Ax = b 的通解可表成( ).(A) 2)(2121211ββββα-+++k k (B) 2)(2121211ββββα++++k k (C) 2212211ββαα-++k k (D) 2212211ββαα+++k k 3. 设A 是矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是( ).(A) A 的行向量组线性无关 (B) A 的行向量组线性相关 (C) A 的列向量组线性无关(D) A 的列向量组线性无关4. 设A , B 为同阶可逆矩阵，0λ≠为数，则下列命题中不正确的是( ). (A) A A =--11)( (B) 11)(--=A A λλ (C) 111)(---=A B AB (D) ()T11T )(--=A A5. 二次型2221231213231002f x x x x x x x x x =+++-+是( ).(A) 正定的 (B) 负定的 (C) 半正定的 (D) 不定的三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 方阵3223⨯⨯B A 一定不可逆. ( )2. 若Ax = 0只有零解，则Ax = b (b ≠ 0)有唯一解. ( )3. 转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( )4. 设 A 、B 为n 阶方阵，且AB = 0，但 |A | ≠ 0，则B = 0. ( )5. 设n 阶实矩阵n n n ij a λλλ 21,,)(⨯=A 是它的n 个实特征值，则有||21A =n λλλ . ( )四、(10分) 设三阶方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A ，且E AB A =-2，求矩阵B .五、(10分) 若λ是A 的特征值（λ≠0,A 可逆）证明λλ12+是12-+A A 的特征值.六、(10分) 向量组1234(1,3,2,0),(7,0,14,3),(2,1,0,1),(5,1,6,2),T T T T αααα===-=5(2,1,4,1)T α=-，(1) 计算该向量组的秩，(2) 写出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.七、(10分) 计算矩阵110430102-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭的特征值与特征向量. 八、(15分) k 满足什么条件时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++022232212321321x k x x k kx x x kx x x 有唯一解，无解，有无穷多解?参考答案：一、填空题 1. 2.2. y x 23≠.3. s r ≤.4. -4.5. 0. 二、单选题 1—5: DDC BA 三、判断题 1—5: × √ √ √ √四、Solution 显然|A | = 1 ≠ 0，于是A 可逆，因为E AB A =-2，所以AB E A =-2，两边左乘1-A ，得1--=A A B . 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++-100100110010211001100100110010101011100100010110001111,211323r r r r r r E A所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001102111A ，进而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000200320B .五、Proof 若x Ax λ=，则x x x x A x A x A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+--λλλλ11)(221212，所以λλ12+是12-+A A 的特征值.六、Solution 12345(,,,,)3R ααααα=，123,,ααα为一个极大无关组，41232133αααα=++，512311033αααα=-++.七、Solution 由于 ()2110||430(2)(1)(3)4(2)(1)102A E λλλλλλλλλ---=--=----+=---，于是A 的所有特征值为1, 2.当1=λ时，解线性方程组0=-x E A )(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--121, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211k ，其中01≠k 为任意常数.当2=λ时，解线性方程组0=-x E A )2(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002k ，其中02≠k 为任意常数. 八、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k k k k k k k k k k k k k k k k )3()3)(2(0021021124102102110122121122222 (1) 当2≠k 且3-≠k 时，线性方程组有惟一解.(2) 当2=k 时，有,3)(,2)(==B A R R 原线性方程组无解.(3) 当0)3(=+k k 时, 有),()(B A R R =原线性方程组有解.当0=k 时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020002100211001200210211 , 这时线性方程组只有零解. 当3-=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000065103211651065103211091293213211, 这时方程组有无穷多解.3：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设),,(321αααA = ,)93,42,(321321321αααααααααB ++++++= , 且|A |=1, 则 |B | = ( ).2. 向量组)4 ,3 ,2 ,1(1=α , )5 ,4 ,3 ,2(2=α , )6 ,5 ,4 ,3(3=α , )7 ,6 ,5 ,4(4=α的秩为( ).3. 设B A ,为同阶可逆矩阵，则12-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O B A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 4. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a21616261313131A 为正交矩阵, 则a = ( ), b = ( ). 5. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=53342111a A ，且A 的特征值为2,6321===λλλ. 如果A 有属于特征值2的两个线性无关的特征向量，则a = ( ).二、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 方程03111121111111111=---xx x 的所有根为( ).(A) 0，1，2(B) 1，2，3 (C) 0，1，2，3(D) 1，2，3，42. 设n 阶方阵A 的行列式0=A ，则A 中( ). (A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量可有其余列向量线性表示 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合 3. 下列各向量组线性相关的是( ).(A) )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα(B) )0,1,2(),6,5,4(),3,2,1(321===ααα (C) )5,4,2(),3,2,1(21==αα(D) )1,2,2(),2,1,2(),2,2,1(321===ααα4. 设n 阶矩阵A 满足A A =2, 则A 的特征值为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 1± (D) 0或1. 5. 下列关于321,,x x x 的二次型正定的是( ).(A) 2322212122x x x x x +++ (B) 22212x x +(C) 22212122x x x x ++ (D) 2322212122x x x x x -++三、判断题（下列叙述正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 已知A 、B 为阶方阵，则BA AB =. ( )2. 设向量组m ααα,,,21 的秩为r , 则r < m . ( )3. 设A 、B 为n m ⨯矩阵，且R (A ) = R (B )， 则存在可逆矩阵P 、Q ，使PAQ = B . ( )4. 若线性方程组Ax = 0有非零解, 则Ax = b ≠ 0有无穷多个解. ( )5. 设2=λ是矩阵A 的特征值，则34=λ是矩阵231A 的特征值. ( )四、(10分) 计算行列式.n yy x x -+-+1111111111111111五、 (10分) 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，X A X A 21*+=-，其中*A 是A 的伴随矩阵，求X .六、 (10分)求下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=++-+=++-+432636242232543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x . 七、(10分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300011011A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x 00030000B 相似.(1) 求x .(2) 求可逆矩阵P ，使得B AP P =-1.八、证明题(共15分, 第1题7分，第2题8分)1. 设向量组m A ααα,,,:21 线性无关, 向量1β可由向量组线性表示, 而向量2β不能由向量组线性表示. 证明向量组2121,,,,ββααα+m 必线性无关.2. 证明：(1)可逆方阵无特征根0.(2)若0λ为可逆方阵A 的一个特征根,则10-λ是1-A 的一个特征根.参考答案：一、填空题 6. 2. 7. 2.8. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--O A B O 1211. 9. a = 0, b = 2/1. 10. -2. 二、单项选择题 1—5：ACBDA 三、1—5: ××√√√A A =a四、Solutiony y y x x y y x x r r --+-+=-+-++-001111111111111111111111111111431yx xy yyx xc c 111111)1)((0001111011101144134-+--=--+=++-22233]1)1)(1[(1111)1()(y x x x y xx y y =--+-=-+--=+.五、Solution 因为04111111111||≠=---=A , 所以A 可逆. 由于E E A AA 4||*==, 根据X AX A 21*+=-，有)2(1*X A A X A A +⋅=⋅-，进而AX E X 24+= . 于是E X A E =-)24(，因而1)24(--=A E X .由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2222222221111111112100010001424A E ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-10111001141)24(1A E X .六、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=210000321000213121642000210000213121431121636242213121B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→210000101000300121210000321000750121 于是R (A ) = R (B ) = 3. 又因为n = 5，对应的齐次方程组的基础解系含5-3 = 2个解向量，可分别取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00101,00012.而原线性方程组的特解可取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21003，因此，原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2100300101000122154321k k x x x x x (21,k k 为任意常数). 七、Solution 由于A 与B 相似，于是E B E A λλ-=-，由此可得出x = 2，进而A 的特征值为0, 3, 2.当0=λ时，A 对应的特征向量为0,01111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k k 。
西交《线性代数》在线作业
(单选题)1: 设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )
A: A^-1CB^-1
B: CA^-1B^-1
C: B^-1A^-1C
D: CB^-1A^-1
正确答案: A
(单选题)2: 设A是n阶方阵,若对任意的n维向量x均满足Ax=0,则( )
A: A=0
B: A=E
C: r(A)=n
D: 00
B: 存在n阶矩阵P，使得A=PTP
C: 负惯性指数为0
D: 各阶顺序主子式均为正数
正确答案: D
(单选题)15: 用一初等矩阵左乘一矩阵B,等于对B施行相应的( )变换
A: 行变换
B: 列变换
C: 既不是行变换也不是列变换
正确答案: A
(单选题)16: 若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( ) A: A与B相似
B: A≠B，但|A-B|=0
C: A=B
D: A与B不一定相似，但|A|=|B|
正确答案: A
(单选题)17: 已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1,2,3,它们的余子式分别为-1,1,2,D 的值为( )
A: -3
B: -7
C: 3
D: 7
正确答案: A
(单选题)18: 设A为n阶方阵,r(A)<n,下列关于齐次线性方程组Ax=0的叙述正确的是( )
A: Ax=0只有零解
B: Ax=0的基础解系含r(A)个解向量
C: Ax=0的基础解系含n-r(A)个解向量
D: Ax=0没有解。
西南大学《线性代数》网上作业题及答案
[0044]《线性代数》网上作业题答案第一次作业[论述题]线性代数模拟试题一参考答案：线性代数模拟试题一参考答案一、填空题1、k >1.2、-4.3、3.4、-1, -2, 1.5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020091. 二、单选题1—5: ACCBA 三、判断题1—5: √√√√×四 Solution 根据1T 1)2(--=-C A B C E ，得1T 1)2(--=-CC A B C E C ，于是E A B C =-T )2(，所以1T )2(--=B C A . 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10002100321043212B C ，因此()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--100021001210012121B C , 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A . 五、Solution 令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==011111110321αααP ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1000200021PAP .由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-0111110111P，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2443543321221P P A .六、Solution 由于432,,ααα线性无关，3212ααα-=, 所以R (A ) = 3, 因此4元线性方程组Ax = 0的基础解系中只有一个解向量.由3212ααα-=, 即0=+-3212ααα，得0=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121),,,(4321αααα，因而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0121是Ax = 0的基础解系.又因为4321ααααb +++=，所以b A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111111),,,(4321, 于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111*η是Ax = b 的特解，故Ax = b 的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11110121k ,其中k 为任意常数.七、Proof 因为0=2A ，于是,3)()(≤+A A R R 因此223)(<≤A R . 又因为A ≠ 0，所以1)(≥A R ， 所以1)(=A R .八、Solution 2)3(111111111λλλλλ+=+++=A .(1) 当03≠-≠λλ且时，有0||≠A ，方程组有唯一解.(2) 当3-=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000021103211321131210112B . 于是2)()(==B A R R ，方程组有无穷多解，解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021111k x ，(k 为任意常数)(3) 当0=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010000111011131110111B ，由此可知)()(B A R R ≠，原线性方程组无解.第二次作业 [论述题]线性代数模拟试题二参考答案：线性代数模拟试题二参考答案一、填空题 1. 2.2. y x 23≠.3. s r ≤.4. -4.5. 0. 二、单选题 1—5: DDCBA 三、判断题 1—5: × √ √ √ √四、Solution 显然|A | = 1 ≠ 0，于是A 可逆，因为E AB A =-2，所以AB E A =-2，两边左乘1-A ，得1--=A A B . 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++-100100110010211001100100110010101011100100010110001111,211323r r r r r r E A所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001102111A，进而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000200320B .五、Proof 若x Ax λ=，则x x x x A x A x A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+--λλλλ11)(221212，所以λλ12+是12-+A A 的特征值.六、Solution 12345(,,,,)3R ααααα=，123,,ααα为一个极大无关组，41232133αααα=++，512311033αααα=-++.七、Solution 由于 ()2110||430(2)(1)(3)4(2)(1)102A E λλλλλλλλλ---=--=----+=---，于是A 的所有特征值为1, 2.当1=λ时，解线性方程组0=-x E A )(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211k ，其中01≠k 为任意常数.当2=λ时，解线性方程组0=-x E A )2(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002k ，其中02≠k 为任意常数.八、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k k k k k k k k k k k k k k k k )3()3)(2(0021021124102102110122121122222 (1) 当2≠k 且3-≠k 时，线性方程组有惟一解.(2) 当2=k 时，有,3)(,2)(==B A R R 原线性方程组无解.(3) 当0)3(=+k k 时, 有),()(B A R R =原线性方程组有解.当0=k 时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020002100211001200210211, 这时线性方程组只有零解. 当3-=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000065103211651065103211091293213211, 这时方程组有无穷多解.第三次作业[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案一、填空题 1. 2. 2. 2.3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--O A B O 1211. 4. a = 0, b = 2/1. 5. =a -2. 二、单项选择题 1—5：ACBDA 三、1—5: ××√√√四、Solutiony y y x x y y x xr r --+-+=-+-++-001111111111111111111111111111431yx xy y y x xc c 11011011)1)((00111101*********4-+--=--+=++-22233]1)1)(1[(1111)1()(y x x x y xx y y =--+-=-+--=+.五、Solution 因为04111111111||≠=---=A , 所以A 可逆. 由于E E A AA 4||*==, 根据X A X A 21*+=-，有)2(1*X AA X A A +⋅=⋅-，进而AX E X 24+=. 于是E X A E =-)24(，因而1)24(--=A E X .由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2222222221111111112100010001424A E ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-10111001141)24(1A E X .六、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=210000321000213121642000210000213121431121636242213121B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→210000101000300121210000321000750121 于是R (A ) = R (B ) = 3. 又因为n = 5，对应的齐次方程组的基础解系含5-3 = 2个解向量，可分别取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00101,00012.而原线性方程组的特解可取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21003，因此，原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2100300101000122154321k k x x x x x (21,k k 为任意常数).七、Solution 由于A 与B 相似，于是E B E A λλ-=-，由此可得出x = 2，进而A 的特征值为0, 3, 2.当0=λ时，A 对应的特征向量为0,01111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k k 。
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===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。
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1、矩阵的伴随矩阵是（）
.
.
.
.
2、矩阵A适合条件[ ]时，它的秩为r.
. A中任何r+1列线性相关；
. A中任何r列线性相关；
. A中有r列线性无关；
. A中线性无关的列向量最多有r个.
3、若齐次线性方程组有非零解，则必须满足[ ] . k=4
. k=-1
.k≠-1且k≠4
. k=-1或k=4
4、下列n（n＞2）阶行列式的值必为零的是[ ]
.行列式主对角线上的元素全为零
.该行列式为三角行列式
.行列式中零元素的个数多于n个
.行列式中非零元素的个数少于n个
5、下列各矩阵中，初等矩阵是[ ]。
.
.
.
.
6、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[ ]。
. A有n个特征值
. A有n个线性无关的特征向量
. A的行列式不等于零
. A的特征多项式没有重根
7、A，B是n阶矩阵，则的充分必要条件是[ ] . AB=BA
. A=0
. B=0
. A=B
8、设n元齐次线性方程组Ax=0，若R（A）=r＜n，则基础解系[ ]。
.惟一存在
.共有n－r个
.含有n－r个向量
.含有无穷多个向量
9、设A，B均为n阶可逆矩阵，则[ ]。
. A+B可逆
. kA可逆（k为常数）
. AB可逆
. (AB)-1=A-1B-1
10、行列式D=0的必要条件是[ ]。
. D中有两行（列）元素对应成比例
. D中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0
. D中存在一行元素全为0
. D中任意一行各元素可用行列式的性质化为0.
11、的充分必要条件是（）
.
.
.
.
12、A与B是两个相似的n阶矩阵,则（）
.存在非奇异矩阵P,使
.
.存在对角矩阵D,使A与B都相似于D
.
13、一个n维向量组（s＞1）线性相关的充要条件是（）
.含有零向量；
.有一个向量是其余向量的线性组合；
.有两个向量的对应分量成比例；
.每一个向量是其余向量的线性组合.
14、设A ，B均为n阶可逆矩阵，则（）
. A+B可逆
. kA可逆（k为常数）
. AB可逆
.
15、两个n阶初等矩阵的乘积为（）
.初等矩阵
.单位矩阵
.不可逆矩阵
.可逆矩阵
16、若A=,B=,其中是的代数余子式，则（）。
.
.
.
.
17、设A,B为同阶可逆矩阵，则下列结论错误的是（）。
.
.
.
.
18、设n元齐次线性方程组Ax=0，若R（A）=r＜n，则基础解系[ ] .惟一存在；
.共有n－r个；
.含有n－r个向量
.含有无穷多个向量.
19、设向量组线性无关，而线性相关，则[ ]
. E. 能由线性表示
. F. 线性无关
.能由线性表示
.线性相关
20、初等方阵[ ]
. A. 都可以经过初等变换化为单位阵；
. B. 所对应的行列式的值为1；
. C. 相乘仍为初等方阵；
. D. 相加仍为初等方阵.
21、4阶行列式的展开式共有[ ]项.
. 42
. 4!
. 16
. 8
22、n阶矩阵可逆的充要条件是：
. A的列秩为n。
. A的每个行向量都是非零向量
23、
相似矩阵有相同的秩
. A.√
. B.×
24、3 若矩阵A可逆，则它一定是非奇异的。
. A.√
. B.×
25、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
. A.√
. B.×
26、n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是它可以表示为一些初等矩阵的乘积。
. A.√
. B.×
27、设A,B为同阶可逆矩阵，则可逆，且。
. A.√
. B.×
28、如果行列式A的值为零，则A中必有某一行或某一列的元素全为零。
. A.√
. B.×
29、如果行列式中有两行的对应元素相同，则此行列式的值为零。
. A.√
. B.×
30、若矩阵A的秩为2 ，则A的所有2阶子式都不为零。
（）
. A.√
. B.×
31、一个n元齐次线性方程组Ax=0一定有可行解。
（）
. A.√
. B.×
32、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
. B.×
33、Ａ是方阵，则A必可逆。
( )
. A.√
. B.×
34、若向量组线性无关,则向量组也线性无关。
( ) . A.√
. B.×
35、方阵A,X,Y满足AX=AY,且,则X=Y。
( )
. A.√
. B.×
36、 A是n阶正交矩阵，则.
. A.√
. B.×
37、若向量组线性相关,则能由线性表示.
. A.√
. B.×
38、齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式不等于零.
. A.√
. B.×
39、Ａ是ｎ阶正交矩阵，则.
. A.√
. B.×
40、矩阵A,X,Y满足AX=AY,且,则X=Y.
. A.√
. B.×
41、若向量与正交,则与中至少有一个是零向量。
. A.√
. B.×
42、若向量组线性无关，则也线性无关。
. A.√
. B.×
43、设向量线性无关，则也线性无关。
. B.×
44、n元齐次线性方程组Ax=0一定有可行解。
. A.√
. B.×
45、若A,B均为n阶可逆矩阵，则AB可逆。
. A.√
. B.×
46、行列式元素x的代数余子式是．
参考答案：
8
47、是3维向量组,则线性关。
参考答案：
相关
48、计算__________
参考答案：
49、计算________
参考答案：
13
50、求矩阵的特征值及特征向量，并分析特征值所对应特征向量的线性相关性。
51、计算
参考答案：
52、设A= ,求.
53、求齐次线性方程组
的一个基础解系.
参考答案：
54、求方程组的通解
参考答案：
55、，请问当t为何值时，线性相关？并将用线性表示。
（答案中方程组右边的常数应该分别是1，3，4，因无法修改答案，故在此说明。
）
参考答案：
56、已知矩阵求矩阵Ａ的秩
参考答案：
通过将矩阵A化为阶梯行可得其秩为3
57、用克莱姆法则求解下列方程组
参考答案：
58、齐次线性方程组
,
有非零解，求的值。
参考答案：
59、已知矩阵Ａ＝，求矩阵Ａ的逆矩阵．参考答案：
60、已知行列式，求k的值。
参考答案：
61、求非齐次线性方程组的通解
<="" span="" style="box-sizing: border-box; border: 0px; vertical-align: middle;">参考答案：
62、设，求。
参考答案：
63、如果向量组线性无关，请判断向量组，，是线性
相关还是线性无关，请说明理由。
参考答案：
线性无关。
设有一组数使
因为，,线性无关，故系数全为零，即
由此得。
所以，，线性无关。
64、如果向量组线性无关，求证：向量组亦线性无关．
参考答案：
成立，整理得
65、证明：对任意矩阵A，及都是对称矩阵。
参考答案：。