高考数学复习第八章平面解析几何双曲线课时作业理

课时作业57 双曲线

一、选择题

1．若双曲线x 2

－my 2

＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12 C ．2

D ．4

解析：由已知条件可得1＝21

m

，故m ＝4.

答案：D

2．(2015·四川卷)过双曲线x 2

－y 2

3＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两

条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )

A.43

3

B ．2 3

C ．6

D ．4 3

解析：双曲线x 2

－y 2

3＝1的右焦点为(2，0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，所以A (2，

23)，B (2，－23)，∴|AB |＝4 3.

答案：D

3．(2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5

4

，且其右焦点为F 2(5，0)，

则双曲线C 的方程为( )

A.x 24－y 23＝1

B.x 29－y 2

16＝1 C.

x 2

16－y 29

＝1 D.x 23－y 2

4

＝1 解析：由题意知e ＝

1＋b 2a 2＝54，∴b 2a 2＝916

，又c ＝5，∴a 2＋b 2＝25，故a 2＝16，b 2

＝9，∴双曲线方程为x 216－y 2

9

＝1.

答案：C

4．若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±1

2

x

D ．y ＝±22

x 解析：在双曲线中离心率e ＝c

a

＝

1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2

＝3，可得b a ＝2，故所求的双曲线的渐

近线方程是y ＝±2x .

答案：B

5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )

A. 5 B ．2 C. 3

D. 2

解析：由题可设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为

120°，如图，过M 作MN ⊥AB 于N ，在△MBN 中，∠MBN ＝60°，BM ＝2a ，则BN ＝a ，ON ＝2a ，

MN ＝3a ，即M (2a ，3a )，代入双曲线方程解得a ＝b ，∴e ＝c

a ＝

1＋b 2

a

2＝ 2.

答案：D

6．(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2

2－y 2

＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两

个焦点，若MF 1―→·MF 2―→<0，则y 0的取值范围是( )

A.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－

33，33 B.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－

36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－223

，223

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－233

，233

解析：根据双曲线标准方程，可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以有x 20

2－y 2

0＝1，即x 2

0＝2＋2y 2

0，所以MF 1―→·MF 2―→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，

－y 0)＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0得y 20<1

3，解得－33

.

答案：A 二、填空题

7．双曲线x 2

2

－y 2

＝1的焦距是________________，渐近线方程是________．

解析：由题可得a ＝2，b ＝1，可得c ＝3，则焦距为2c ＝23，渐近线方程为y ＝±

b a

x ＝±

22

x . 答案：23y ＝±

22

x 8．已知F 为双曲线C ：x 29－y 2

16＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长

的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．

解析：由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5，0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|PA |＝4b ＝16，

由双曲线定义，得|PF |－|PA |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|PA |＋|QA |＝28，

因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案：44

9．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支

上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．

解析：由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝2

3a .

在△PF 1F 2中，由余弦定理，

得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2

－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2

.

要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值． 故当∠F 1PF 2＝π时，即178－98e 2

＝－1时，

此时e 2

＝259，∴e ＝53.

答案：5

3

三、解答题

10．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c ，0)．

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ，且c ＝2，求双曲线的方程；