2019绍兴一中高二(文)数学卷
绍兴一中高二数学下学期期中试题含解析
【解析】
【分析】
(1）由五点法求得 的解析式，再由图象得 的解析式；
（2）把 作为一个整体，求出它的取值范围，结合余弦函数的图象可得结论．
【详解】（1）
∴
∴
把 代入可得
∴
∴
（2）
有三个不同的实根，
由 与直线 有三个不同的交点得：
∴ ．
【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式,考查三角函数的图象变换，考查方程根的分布问题．由图象求解析式的关键是掌握“五点法”，方程根的分布问题可通过数形结合思想求解．
用数学归纳法证明：（ⅰ） 时， 成立,
(ⅱ）假设 时成立, 。
则 时， 。
因此 时，猜想成立.
综上可得：数列通项公式 ， .
【点睛】本题主要考查数学归纳法,还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20.已知函数 的部分图象如下图所示.
（1）若 的图像向左平移 个单位后，得到 的图像，求 的解析式；
（2)若方程 在 上有三个不同的实根，求 的取值范围。
17。在 中，D是线段BC上靠近C点的三等分点，若 ，则 的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意设 ， ，可得 ，从而得到
再在 利用余弦定理及基本不等式可得 ,最后根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：如图
由题意设 , ，因为 ,且 ，所以
所以 ,即
在 中由余弦定理可得 ，当且仅当 时取等号，所以 ，
7.设单位向量 ， 对任意实数 都有 ，则向量 ， 的夹角为
A。 B. C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可设 的夹角为 ，根据 为单位向量,对 两边平方可得， ，整理可得， ,而该不等式对于任意的 恒成立，从而得出 ，从而得出 ，这样即可求出 ．
浙江省绍兴市第一中学2019年高考五月份月考卷数学试题
浙江省绍兴市第一中学2019年高考五月份月考卷数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,3,(1)(2)0,A B x x x x Z ==+-<∈，则B A ⋂等于（ ） A. {}1 B. {}2,1 C. {}3,2,1,0 D. {}3,2,1,0,1-2.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将 指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”,4i ie π表示的复数位于复平面内A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为-5，则输出的y 值是（ ）A.B. 1C. 2D.4.函数22sin33([,0)(0,])1441xy xxππ=∈-+的图像大致是（）A. B. C. D.5．在ABC△中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若cos cos2cosa C c Ab B+=，且1sinsin22cos=+CAB，则2a b c-+=( )A．2B C．2D．06.已sin(026)()t tαπ+>＝，则2cos()3sin()26πααπ-+的取值范围是( )A.( 1.1]- B.0+∞（，） C.(,1)-∞, D.(,1]-∞7.若，y满足约束条件2101010x yx yx y-+≥++≥--≤⎧⎪⎨⎪⎩，则2yzx+=的取值范围为（）A.40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.42][,)3(-∞-+∞， C.42,3⎡-⎤⎢⎥⎣⎦D.4]([2,)3-∞-+∞，8. 《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个10m高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛底端在同一直线上，从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼、标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼、标杆顶正视图侧视图部和山顶三点也共线，则海岛的高A. 2510mB. 2610mC. 2710mD. 3075m9. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为120︒的直线与抛物线C 交于A B 、两点，若AF BF 、的中点在y 轴上的射影分别为M N 、，且|MN C 的准线方程为A. 1x =-B. 2x =-C. 32x =-D. 3x =- 10．有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A ．(0,27 B ．(0,27 C.(0,]3D ．(0,3非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽 样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为 12.一个四棱锥的三视图如右图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正 方形，则该几何体的表面积为13.已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 14.已知抛物线y 2=2px （p ＞0）经过点M （l ，2），直线l 与抛物线交于相异两点A ，B ，若△MAB 的内切圆圆心为（1，t ），则直线l 的斜率为______．NMPDCB A15．若实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥++≥+-,075,01,01y x y x y x 则该不等式组表示的平面区域的面积为 ▲ ，目标函数y x z 23-=的最小值为 ▲ .16．已知函数()221,020,x x x x f x x ⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，方程()0f x a -=有三个实数解，则a 的取值范围是__________．17.在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆C ： 224x y +=相切的直线方程 ． 三、解答题:本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知△ABC 中，C ∠为钝角，而且8AB =，3BC =，AB． （1）求B ∠的大小；（2）求cos 3cos AC A B +的值． 19.数列的前项和满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20.如图，在四棱锥P ABCD -中,侧棱PA ⊥底面ABCD ,AD ∥，BC︒=∠90ABC ,，1=AD 2PA AB BC ===，M 是棱PB 中点.（1）已知点E 在BC 棱上，且平面AME ∥平面PCD ，试确定点E的位置并说明理由；（2）设点N 是线段CD 上的动点，当点N 在何处时，直线MN 与平面PAB 所成角最大？并求最大角的正弦值.21.直角坐标系XOY 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线14y x =-于点N ，若,NA m AM NB nBM ==，求证：m n +为定值，并求出此定值.22.设函数x ma ae x g x ex f x x 2)(,)(1-+=-=+（,m a 为实数），(1)求函数)(x f 的单调区间；(2)若存在实数a ，使得()()f x g x ≤对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. （提示：ex e x -=-1)][ln('）数学参考答案1-5 AA AA D 6-10 DBADA11. 32 12.322+ 13. 3414.-115. 6；2- 16.()1,2 17. 34100x y +-=或 2x =．18.1）由三角形面积可知11838sin 22B ⨯=⨯⨯⨯，sin 2B =，又因为B ∠是锐角，所以π3B ∠=． （2）由（1）可知2222cos 6492449AC AB BC AB BC B =+-⨯⨯=+-=，所以7AC =．又因为2226449913cos 228714AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯⨯，因此113cos 3cos 378214AC A B +=⨯+⨯=．19.解：（1）∵，∴当时，.∴，，故为等比数列.设公比为，则，，∵成等差数列，∴， ∴，∴.∴.（2）∵，∴.∴，，相减得：∴.20. 解：（1）E 为BC 中点，证明如下：E M 、分别为BC PB , 中点，ME PC ∴∥又,ME PDC PC PDC ⊄⊂平面平面ME PDC ∴平面∥又EC AD ∥ EADC ∴四边形为平行四边形AE DC ∴∥同理，AE PDC 平面∥ 又AE ME E =AME PDC ∴平面平面∥（2）以A 为原点，分别以AD,AB,AP 所在直线为X,Y,Z 轴建立空间直角坐标系，则(000),(020),(220),(100),(002)A B C D P ，，，，，，，，，，,(011)M ，，设直线MN 与平面PAB 所成角为θ，DN DC λ=则)(1211MN MA AD DN λλ=++=+--，，取平面PAB 的法向量为(1,0,0)n =则sin =cos ,MN n θ<>=令[]+1=1,2t λ∈，则22222(1)15=11523523710()125t t t t tλλλ+=≤-+-+-+ 所以sin 7θ≤ 当5233t λ=⇔=时，等号成立 即当点N 在线段DC 靠近C 的三等分点时，直线MN 与平面PAB 所成角最大，最大角的21. (1)椭圆的标准方程为：2211612x y +=； (2)设1122001(,),(,),(,)4A x y B x y N x x -，由,NA mAM =得1010111(,)(1,3)4x x y x m x y -+=--所以0011134,11m x m x x y m m -+==++， 00134(,)11m x m x A m m -+∴++，因为2211612x y +=上，所以得到0220134()()1111612m x m x m m -++++=，得到220139964804m m x ++-=；同理，由NB nBM =可得220139964804n n x ++-= 所以m,n 可看作是关于x 的方程220139964804x x x ++-=的两个根，所以323m n +=-为定值.22. (1) 1)(1-='+x e x f10)(->>'x x f 得由，10)(-<<'x x f 得, )1,(--∞单调递减，),1(+∞-单调递增.……4分(2) x ma e a e x ma ae e x g x f x h x x x +--=+--=-=+)()()()(1令1)()()()(+-=-='x e a e x g x f x h 则若e-a≥0，可得h′（x ）＞0，函数h （x ）为增函数，当x→+∞时，h （x ）→+∞， 不满足h （x ）≤0对任意x ∈R 恒成立；若e-a ＜0，由h′（x ）=0，得1x e a e =-，则1ln x a e=-， ∴当x ∈)1ln ,(e a --∞时，h′（x ）＞0，当x ∈),1(ln +∞-ea 时，h′（x ）＜0，∴1ln 111()max (ln )()ln 1ln a e h x h e a e ma ma a e a e a e-==--+=--+--- 若f （x ）≤g （x ）对任意x ∈R 恒成立， 则11ln ma a e--+-≤0（a ＞e ）恒成立， 若存在实数a ，使得11ln ma a e --+-≤0成立， 则ma≥11ln a e-+-，∴1ln()a e m a a-≥--（a ＞e ），令F （a ）1ln()a e a a-=--， 则222ln()1()ln()'()()aa e a e a e ea e F a a a a a e ------=-=-． ∴当a ＜2e 时，F′（a ）＜0，当a ＞2e 时，F′（a ）＞0， 则min 1()(2)F a F e e==-．∴m 1e≥-．则实数m 的取值范围是1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。
绍兴市第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
绍兴市第一中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数[)[)1(1)sin 2,2,212()(1)sin 22,21,222nn x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩（n N ∈），若数列{}m a 满足*()()m a f m m N =∈，数列{}m a 的前m 项和为m S ，则10596S S -=（ ） A.909 B.910 C.911 D.912【命题意图】本题考查数列求和等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 2． 设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 3． 将函数)63sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）A ．3)43sin(2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=πx x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)123sin(2)(--=πx x g【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 4． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 5． 已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||||PF PA 的值最小时，PAF ∆的 面积为（ ）A.2B.2C. D. 4【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.6． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-27． 方程1x -=表示的曲线是（ ）A ．一个圆B ． 两个半圆C ．两个圆D ．半圆 8． 满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x xf e e = C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.9． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b cA B C++++等于（ ）A ．BCD 10．若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3||log x x y a =的图象大致是（ ）【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．34 D ．38【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.12．数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n =，则35a a +等于（ ）A ．259B ．2516C ．6116D ．3115二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.14．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）的标准差是a = ． 15．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1ia =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大值为 .【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力.16．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm 和4cm ,侧棱长为2cm ,则其表面积为__________2cm .三、解答题（本大共6小题，共70分。
浙江省绍兴市第一中学高二下学期期末考试文数试题
绍兴一中2014学年第二学期期末考试高二文科数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1．全集R U =，}0{},4{2<=>=x x B x x A ，则A ∩B ＝（ ） A. }2{-<x x B ．}32{<<x xC ．}3{>x xD ．}322{<<-<x x x 或2．已知a ,b 均为非零实数，则“a b =”是“22a b =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若a b =,则22()()()00a b a b a b a b -=+-=+⋅=，即22a b =，充分性成立；若22a b =，则22a b -=0，即()()a b a b +-=0，则a b =或a b =-,必要性不成立，故选A考点:充分必要条件；3．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =,则下列结论正确的是（ ） A.b a c << B.a b c << C.c b a << D.b c a <<4．若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（ ） A.112ab > B. 822≥+b a C. 2≥ab D ．111a b+≤ 【答案】B 【解析】试题分析：由4a b =+≥可得2≤，C 错；从而114ab ≥，A 错；则1141a b a b ab ab++==≥，D 错；222()21628a b a b ab ab +=+-=-≥，B 正确 考点:不等式；5．已知递减的等差数列{}n a 满足2921a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时， n =（ ）A.3B. 4或5C.4D.5或66．若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 平分圆224410++--=x y x y 的面积， 则23+a b的最小值为（ ）A.10B.4+5+7．如图，在△ABC 中，1=AB ，3=AC ，D 是BC 的中点，则=⋅（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．不能确定 【答案】B 【解析】试题分析：∵D 是BC 的中点，∴2211()()(31)422AD BC AB AC AC AB ∙=+-=-=uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r ，故选B考点:1.向量的数量积；2.向量的加法；3.向量的减法；8．已知双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 1F 2为直径的圆被直线1x ya b+=a ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2 CD【答案】D 【解析】试题分析：圆心是(0,0)，半径是c，弦长的一半为2a，由勾股定理得，222()2c +=，联立222a b c +=，得c e a ==考点：直线与双曲线的综合应用；9．函数x x f s in )(=在区间)2,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，…，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D.6 【答案】B 【解析】试题分析：本题实质为函数x x f sin )(= 在区间 )2,0(π上与直线y kx = 最多有几个不同的交点. 画出图象，在区间)2,0(π 上最多2个交点，即n 的最大值等于为2. 考点:函数图象的交点个数10．点集{}21||),(=+-y x y x 的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是（ ）A. 12B. 14C. 16D.18二、填空题（每小题4分，共20分） 11．已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}A B =，则A B = ．【答案】{4} 【解析】试题分析：由题意可得a ＝3,所以{}{}{}1,2,43,44A B ==.考点:1，并集；2.交集；12．抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是 ．13．已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1,||2a b ==，则a 与b 的夹角为 ．14．方程)1(01342>=+++a a ax x 的两根为B A tan ,tan ，且)2,2(,ππ-∈B A ，则t a n 2A B += ．【答案】－2 【解析】试题分析：由根与系数的关系，得tan tan 4A B a +=-，tan tan 31A B a =+，且有)2,2(,ππ-∈B A ，1a >可知02A π-<<，02B π-<<，则0A B π-<+<，由t a n t a n 44t a n ()1t a n t a n 33A B a A B A B a +-+===-->0，则2A B ππ-<+<-，224A B ππ+-<<-由22tan42tan()31tan 2A B A B A B++==+-，解得tan 22A B +=-或12(舍).考点:1.根与系数的关系；2.三角变换；15．已知函数⎩⎨⎧<+≥+-=)0()0()(22x x x x x x x f ，对任意的]1,0[∈x ，恒有)()(x f a x f ≤+成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足1236++=a a a ，且124,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和． (Ⅰ)求{n a }的通项公式； (Ⅱ)设1=n nb S ，求数列{n b }的前n 项和T n ． 【答案】(Ⅰ) n a n =(Ⅱ) 2T 1n nn =+17．（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且2s i n a B ． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值. 【答案】（Ⅰ） 60=A （Ⅱ）3 【解析】试题分析：（Ⅰ）由2sin a B =及正弦定理求出A 的大小；（Ⅱ）由余弦定理得222242cos60b c bc b c bc =+-=+-及基本不等式222b c bc +≥得出4≤∴bc ，从而34434360sin 21=⨯≤==∆bc bc S ABC即得面积最大值试题解析：（Ⅰ） 2sin a B =，2sin sin A B B \，18．（本小题满分10分）已知函数34)(2++-=a x x x f ，m mx x g 25)(-+=. （Ⅰ）若)(x f y =在]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0=a 且0>m 时，若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，求实数 m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）6m ≥【解析】试题分析：（Ⅰ）由34)(2++-=a x x x f 的对称轴可确定在区间]1,1[-上是减函数，因此只需在上的最大值(1)0f -≥且最小值(1)0f ≤即可保证)(x f y =在]1,1[-上存在零点，从而求出a 的取值范围；（Ⅱ）若对任意，总存在，使成立，只需函数的值域为函数值域的子集，由此得出6m ≥试题解析：解：（1） 34)(2++-=a x x x f 的对称轴是，在区间上是减函数，19．（本小题满分10分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值并求出这个定值．【答案】（Ⅰ）22y x = 1(,0)2（Ⅱ）略 【解析】试题分析：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =可得抛物线方程及交点坐标；（Ⅱ）将直线方程与抛物线方程联立，求出直线AE 方程，进而得出M 点坐标，同理得出N 点坐标，由0OM ON ∙=，得出MON ∠为定值π2试题解析：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =，所以抛物线方程为22y x =， 焦点坐标为1(,0)22分20．（本小题满分10分）对于定义域为I 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n I ⊆，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n ，()f x 值域也是[],m n ，则称[],m n 是函数()y f x =的“好区间”.（Ⅰ）设()()()l o g2l o g 3x xa a g x a a a a =-+-（其中1>a ），判断()g x 是否存在“好区间”，并说明理由；（Ⅱ）已知函数()()()221,0t t x P x t R t t x +-=∈≠有“好区间”[],m n ，当t 变化时，求n m-的最大值.【答案】（Ⅰ）函数()g x 不存在“好区间”；（Ⅱ）3即(2)(3)x x xa a a a a --=在定义域D 内有两个不等的实数根.(*)。
2018-2019学年人教A版浙江省绍兴一中高二第二学期期中数学试卷 含解析
2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题1．若集合A＝{x|x≤2}，a＝，则下列结论中正确的是（）A．a⊆A B．{a}⊆A C．A ∉A D．{a}∈A2．“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）•（2n+1）（n∈N*）”时，从n＝k到n＝k+1，等式的左边需要增乘的代数式是（）A．2k+1 B．C．D．4．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．6．设函数f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4，则函数y＝f（x）的极大值点为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝37．将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．8．已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）＝0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c9．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜610．设函数f（x）＝min{|x﹣3|，2x2，|x+3|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，下列说法错误的是（）A．函数f（x）是偶函数B．若时，有|f（x）﹣2|≥f（x）C．若x∈R时，有f（f（x））≤2f（x）D．若x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x）二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．11．已知复数z＝4+3i，其中i是虚数单位，则复数z的模为，的虚部为．12．计算lg5﹣lg＝，2═．13．若函数f（x）＝ln（e3x+1）+ax，x∈[2b，1﹣b]是偶函数，则b＝，a＝．14．函数的单调递增区间为，值域为．15．如图△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，，，AD＝3，则cos C的值为．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．17．已知函数f（x）＝在R上为增函数，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知集合A＝{x|1＜x≤5}，集合B＝{＞0}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|a+1≤x≤4a﹣3}，且C∪A＝A，求实数a的取值范围．19．设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知，，求cos2α．20．已知函数f（x）＝．（1）计算f（）+f（）的值；（2）设a∈R，解关于x的不等式：f（x2﹣（a+1）x+a+）．21．已知函数f（x）＝x3﹣ax2，a∈R．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在（1，0）点处的切线方程；（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝x﹣1只有一个公共点，求实数a的取值范围．22．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣ωx+t＝0的两个根，且x1＜x2．（1）若ϖ≤0，t＝﹣1，求x2的范围；（2）若x1＞0，x2＞0．记f（t）＝（﹣x1）（），若存在ω∈（0，1），使不等式f（t）＞3在其定义域范围内恒成立，求ω的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|x≤2}，a＝，则下列结论中正确的是（）A．a⊆A B．{a}⊆A C．a∉A D．{a}∈A【分析】利用集合A＝{x|x≤2}，a＝，即可得出结论．解：∵集合A＝{x|x≤2}，a＝，∴a∈A，{a}⊆A，故选：B．2．“x＞1”是“x2＞x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由题意解不等式x2＞x，提出公因式x，根据因式分解法，解出不等式的解，再判断是不是必要条件，判断此解和x＞1的关系．解：由x2＞x，可得x＞1或x＜0，∴x＞1，可得到x2＞x，但x2＞x得不到x＞1．故选：A．3．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）•（2n+1）（n∈N*）”时，从n＝k到n＝k+1，等式的左边需要增乘的代数式是（）A．2k+1 B．C．D．【分析】从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是，化简即可得出．解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n×1×3×5×…×（2n﹣1）•（2n+1）（n∈N*）时，n＝k时，左侧＝（k+1）（k+2）…（k+k），＝k+1时，左侧＝（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k﹣1）（k+1+k）（k+1+k+1），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是＝．故选：D．4．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c【分析】考察指数函数y＝0.8x与y＝1.2x在R上单调性且与1相比较即可得出．解：考察指数函数y＝0.8x在R上单调递减，∴1＞0.80.7＞0.80.9．考察指数函数y＝1.2x在R上单调递增，∴1.20.8＞1．综上可得：c＞a＞b．故选：B．5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y＝f（x）和y＝f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数．【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y＝f（x）和y＝f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选：D．6．设函数f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4，则函数y＝f（x）的极大值点为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【分析】考察函数f（x）的符号，当0＜x＜1时，f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4＜0，当x＝1时，f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4＝0，当1＜x＜2时，f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4＜0，从而画出函数f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x ﹣3）4大致如图所示．最后根据函数极值的概念可知，x＝1是函数y＝f（x）的极大值点．解：当0＜x＜1时，f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4＜0，当x＝1时，f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4＝0，当1＜x＜2时，f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4＜0，其函数f（x）＝x（x﹣1）2（x﹣2）3（x﹣3）4大致如图所示．结合图象可知，当0＜x＜1时，函数是增，当1＜x＜2时，函数是减函数，根据函数极值的概念可知，x＝1是函数y＝f（x）的极大值点．故选：B．7．将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）＝sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（x）＝sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）＝，φ＞0，所以﹣2φ＝2kπ+，φ＝﹣kπ，与选项不符舍去，﹣2φ＝2kπ+，k∈Z，当k＝﹣1时，φ＝．故选：B．8．已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，实数x0满足f（x0）＝0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．x0＜a B．x0＞a C．x0＜c D．x0＞c【分析】结合f（x0）＝0，可得当x＜x0时，f（x）＞0，当x＞x0时，f（x）＜0，由此可得x0＞a一定成立．解：∵f（x）＝log2x﹣（）x在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数x0是函数y＝f（x）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜x0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＞a，故选：B．9．设0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数解恰有3个，则（）A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．3＜a＜6【分析】将不等式变形为[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整数恰有3个，再由0＜b＜1+a可得，a＞1，不等式的解集为＜x＜＜1，考查解集端点的范围，解出a的取值范围．解：关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，∵0＜b＜1+a，[（a+1）x﹣b]•[（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，∴不等式的解集为＜x＜＜1，所以解集里的整数是﹣2，﹣1，0 三个．∴﹣3≤﹣＜﹣2，∴2＜≤3，2a﹣2＜b≤3a﹣3，∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，综上，1＜a＜3，故选：C．10．设函数f（x）＝min{|x﹣3|，2x2，|x+3|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者，下列说法错误的是（）A．函数f（x）是偶函数B．若时，有|f（x）﹣2|≥f（x）C．若x∈R时，有f（f（x））≤2f（x）D．若x∈[1，+∞）时，有f（x﹣2）≤f（x）【分析】在同一直角坐标系中画出y＝|x﹣3|，y＝2x2，y＝|x+3|，求得f（x）的解析式，结合图象可得奇偶性，由图象平移、两图象的关系以及特殊值，即可得到所求结论．解：在同一直角坐标系中画出y＝|x﹣3|，y＝2x2，y＝|x+3|，可得由图易函数f（x）是偶函数，即A正确；当时，f（x）﹣2≤0，由|f（x）﹣2|≥f（x）可得2﹣f（x）≥f（x），解之得f（x）≤1；由图象可知当时，f（x）≤1成立，即B正确；若x∈R时，f（x）≥0，令t＝f（x）（t≥0），由y＝f（x）与y＝2t（t≥0），且y＝2t的图象恒在上方，显然f（f（x））≤2f（x），显然C正确；当x≥1时，f（x）＝|x﹣3|，f（x﹣2）的图象可看做f（x）的图象右移2个单位得到，显然x≥1时，f（x）的图象不恒在f（x﹣2）图象之上，则若x∈[1，+∞）时，则f（x﹣2）≤f（x）不成立；D错误；故选：D．二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分．11．已知复数z＝4+3i，其中i是虚数单位，则复数z的模为 5 ，的虚部为．【分析】由已知直接利用复数模的计算公式求z的模；再把z＝4+3i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z＝4+3i，∴．∴＝，∴的虚部为．故答案为：5；．12．计算lg5﹣lg＝ 1 ，2═．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．解：lg5﹣lg＝lg5+lg2＝lg10＝1，2═＝．故答案为：1，．13．若函数f（x）＝ln（e3x+1）+ax，x∈[2b，1﹣b]是偶函数，则b＝﹣1 ，a＝﹣．【分析】根据题意，由偶函数的定义域可得2b+（1﹣b）＝0，解可得b的值，又由函数的解析式可得f（﹣x）＝f（x），即ln（e3x+1）+ax＝ln（e﹣3x+1）﹣ax，变形分析可得a的值，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）在[2b，1﹣b]是偶函数，则有2b+（1﹣b）＝0，解可得：b＝﹣1，又由f（x）＝ln（e3x+1）+ax，则有f（﹣x）＝f（x），即ln（e3x+1）+ax＝ln（e﹣3x+1）﹣ax，变形可得：2ax＝﹣3x，分析可得：a＝﹣；故答案为：﹣，﹣114．函数的单调递增区间为[3，7），值域为[﹣4，+∞）．【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可．解：由﹣x2+6x+7＞0得x2﹣6x﹣7＜0，得﹣1＜x＜7，即函数的定义域为（﹣1，7），设t＝﹣x2+6x+7，则函数y＝log t为减函数，要求f（x）单调递增，则求函数t＝﹣x2+6x+7的单调递减区间，∵当3≤x＜7时，函数t＝﹣x2+6x+7，为减函数，∴f（x）的单调递增区间为[3，7），∵t＝﹣x2+6x+7＝﹣（x﹣3）2+16∈（0，16]，∴≥log16＝﹣4，故函数的值域为[﹣4，+∞），故答案为：[3，7），[﹣4，+∞），15．如图△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，，，AD＝3，则cos C的值为．【分析】由∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAC＝90°，得到∠BAC＝∠BAD+90°，代入并利用诱导公式化简sin∠BAC，求出cos∠BAD的值，在三角形ABD中，由AB，AD及cos∠BAD 的值，利用余弦定理即可求出BD的长，在在△ABD中，由正弦定理可得sin∠ADB，根据诱导公式可求cos C的值．解：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAD+90°，∴sin∠BAC＝sin（∠BAD+90°）＝cos∠BAD＝，∴sin∠BAD＝，在△ABD中，AB＝3 ，AD＝3，根据余弦定理得：BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝18+9﹣24＝3，则BD＝．∴在△ABD中，由正弦定理可得＝，解得：sin∠ADB＝，∴cos C＝cos（∠ADB﹣）＝sin∠ADB＝．故答案为：．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为．【分析】直接利用正弦定理求出A的值，进一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面积．解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，利用正弦定理可得sin B sin C+sin C sin B＝4sin A sin B sin C，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sin B sin C≠0，所以sin A＝，则A＝由于b2+c2﹣a2＝8，则：，①当A＝时，，解得bc＝，所以．②当A＝时，，解得bc＝﹣（不合题意），舍去．故：．故答案为：．17．已知函数f（x）＝在R上为增函数，则a的取值范围为[，1] ．【分析】求得y＝xlnx的导数，可得单调性，作出y＝xlnx和y＝﹣x2+（1+）x﹣的图象，由f（x）在R上为增函数，可得x＞a的图象在x≤a的图象上方，且f（x）在x＞a，x≤a都为增函数，结合图象可得a的范围．解：由y＝xlnx的导数为y′＝1+lnx，可得x＞，函数y递增，0＜x＜，函数y递减；分别作出y＝xlnx和y＝﹣x2+（1+）x﹣的图象，由f（x）在R上为增函数，可得x＞a的图象在x≤a的图象上方，且f（x）在x＞a，x≤a都为增函数，可得≤a≤1，故答案为：[，1]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知集合A＝{x|1＜x≤5}，集合B＝{＞0}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|a+1≤x≤4a﹣3}，且C∪A＝A，求实数a的取值范围．【分析】（1）由分式不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B；（2）由C∪A＝A得C⊆A，根据子集的定义对C进行分类讨论，分别列出不等式组，求出实数a的取值范围．解：（1）由得（2x﹣1）（x﹣3）＞0，解得x＜或x＞3，则集合B＝{x|x＜或x＞3}，﹣﹣﹣﹣2因集合A＝{x|1＜x≤5}，所以A∩B＝{x|3＜x≤5}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣4（2）因为C∪A＝A，所以C⊆A＝{x|1＜x≤5}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣5又集合C＝{x|a+1≤x≤4a﹣3}，①当C＝∅时，则4a﹣3＜a+1，解得，满足题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7②当C≠∅时，要使C⊆A，则，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1019．设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）已知，，求cos2α．【分析】（1）函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）根据f（α）＝+，以及f（α）的解析式，求出sin（2α+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（2α+）的值，所求式子中的角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果．解：（1）f（x）＝sin2x+cos2x＝sin2x+（1+cos2x）＝sin2x+cos2x+＝sin（2x+）+，∵ω＝2，∴f（x）的最小正周期为T＝＝π；（2）∵sin（2α+）+＝+，α∈（，），∴2α+∈（，π），∴sin（2α+）＝，cos（2α+）＝﹣，∴cos2α＝cos[（2α+）﹣]＝×（﹣）+×＝．20．已知函数f（x）＝．（1）计算f（）+f（）的值；（2）设a∈R，解关于x的不等式：f（x2﹣（a+1）x+a+）．【分析】（1）由函数f（x）＝．得到f（）+f（）＝＝1．（2）由f（）+f（）＝1，令x＝0，得f（）＝，推导出f（x）在实数集上是单调递增函数，由此能求出结果．解：（1）∵函数f（x）＝．∴f（）+f（）＝+＝＝1．（2）∵f（）+f（）＝1，令x＝0，得f（）＝，∴f（x）＝＝1﹣，故f（x）在实数集上是单调递增函数原不等式即为，∴，即（x﹣a）（x﹣1）＜0，故当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}；当a＝1时，不等式的解集为ϕ；当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}．21．已知函数f（x）＝x3﹣ax2，a∈R．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在（1，0）点处的切线方程；（2）若曲线y＝f（x）与直线y＝x﹣1只有一个公共点，求实数a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到所求切线方程；（2）由题意可得关于x的方程ax2＝x3﹣x+1只有一个实根．显然x≠0，方程a＝x﹣+只有一个实根．设函数g（x）＝x﹣+，求得导数和单调性，极值，画出g（x）的图象，即可得到所求范围．解：（1）f（x）＝x3﹣x2的导数为f′（x）＝3x2﹣2x，可得曲线y＝f（x）在（1，0）点处的切线斜率为1，可得切线的方程为y＝x﹣1；（2）曲线y＝f（x）与直线y＝x﹣1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2＝x3﹣x+1只有一个实根．显然x≠0，方程a＝x﹣+只有一个实根．设函数g（x）＝x﹣+，则g′（x）＝1+﹣＝，设h（x）＝x3+x﹣2，h′（x）＝3x2+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）＝0．当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；可得g（x）在x＝1时取极小值1．又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷．g（x）图象大致如图所示：a＝x﹣+只有一个实根时，实数a的取值范围为（﹣∞，1）．22．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣ωx+t＝0的两个根，且x1＜x2．（1）若ϖ≤0，t＝﹣1，求x2的范围；（2）若x1＞0，x2＞0．记f（t）＝（﹣x1）（），若存在ω∈（0，1），使不等式f（t）＞3在其定义域范围内恒成立，求ω的取值范围．【分析】（1）由题，然后根据ϖ∈（﹣∞，0]，求出x2的范围；（2）由韦达定理得到x1，x2的关系，然后将f（t）化简用t表示，在根据f（t）＞3在其定义域范围内恒成立，得到ω的取值范围．解：（1）由题＝在ϖ∈（﹣∞，0]上递增，∴x2∈（0，1]（2）x1，x2是关于x的方程x2﹣ωx+t＝0的两个不等根，且x1，x2＞0，由韦达定理得，∴，＝＝＝，①若，则⇒ϕ②若，则∴ω的取值范围为：．。
浙江省绍兴一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含解析
浙江省绍兴一中2018-2019学年上学期期中考试高二数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（）A．0 B．C．D．2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C． D．3．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．B．C．πD．2π4．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于（）A．AD B．CD C．PC D．PD5．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A．B． a C． a D． a6．已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β7．在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（）A．B．C．D．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与 A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．10．如图，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P﹣BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（用V表示）11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为．12．平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积．13．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB 1A1=n，则m，n所成角的正弦值为．14．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定正视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为．15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD 分成上、下两部分的体积之比等于．三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16．（8分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．17．（8分）已知两点A（﹣1，2），B（m，3）．且实数m∈[﹣﹣1，﹣1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．18．（10分）一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a 的正方形． （1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；（2）若多面体底面对角线AC ，BD 交于点O ，E 为线段AA 1的中点，求证：OE ∥平面A 1C 1C ； （3）求该多面体的表面积．19．（10分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，CB ⊥C 1B ，BC=1，CC 1=2，A 1B 1=，（1）试在棱CC 1（不包含端点C ，C 1）上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1； （2）在（Ⅰ）的条件下，求AE 和BC 1所成角．20．（12分）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE=x ，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．（1）当x=2时，①求证：BD ⊥EG ；②求二面角D ﹣BF ﹣C 的余弦值；（2）三棱锥D ﹣FBC 的体积是否可能等于几何体ABE ﹣FDC 体积的一半？并说明理由．浙江省绍兴一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（）A．0 B．C．D．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得．故选：D．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据所给的锥体的体积和锥体的高，得到这个锥体的底面面积的值，根据面积确定图形，这是选择题目特有的方法．【解答】解：由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据锥体的体积是知=，∴s=1，即底面面积是1，在所给的四个图形中，只有正方形是一个面积为1的图形，故选D．【点评】本题考查由几何体确定俯视图，本题是一个基础题，题目的解决方向非常明确，只要得到一个底面面积是1的图形就可以．3．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．B．C．πD．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个倒放的圆锥，由正视图和侧视图都是边长为•的正三角形可知此圆锥的半径与圆锥的高，故解三角形求出其高即可求得几何体的表面积．【解答】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，其底面半径为，且其高为正三角形的高由于此三角形的高为，故圆锥的高为此全面积为=，故选：B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．4．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于（）A．AD B．CD C．PC D．PD【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】连结AC、取AC中点为O，连结NO、MO，可得CD⊥面MNO即可．．【解答】解：连结AC、取AC中点为O，连结NO、MO，如图所示：∵N、O分别为PC、AC中点，∴NO∥PA，∵PA⊥面ABCD，∴NO⊥面ABCD，∴NO⊥CD．又∵M、O分别为AB、AC中点，∴MO⊥CD，∵NO∩MO=O，∴CD⊥面MNO，∴CD⊥MN．故选：B．【点评】本题考查了通过线面垂直判定线线垂直，属于基础题．5．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A．B． a C． a D． a 【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．【解答】解：连接A1C、MC可得=△A 1DM 中，A 1D=，A 1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以d（设d 是点C 到平面A 1DM 的距离）∴=故选A ．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．6．已知α，β是相异两平面，m ，n 是相异两直线，则下列命题中不正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n D ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，由直线与平面垂直的判定定理得n ⊥α；在B 中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在C 中，m 与n 平行或异面；在D 中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；在B中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B正确；在C中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故C错误；在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7．在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线．∴2r==5，∴r=，由球的体积公式得：S=πr3=π．故选B．【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系，确定外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线是关键．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与 A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】棱柱的结构特征．【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A1B1C1D1，故MN∥平面A1B1C1D1；MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A1C1异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；⑤EF与AC成30°时，MN与 A1C1成30°．【解答】解：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM=BN，∴NE=MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF⊂面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A1B1C1D1，∴MN∥平面A1B1C1D1，故③正确；MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A1C1异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；⑤EF与AC成30°时，MN与 A1C1成30°．故选A．【点评】本题考查线面平行、垂直，考查线面角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围；【解答】解：∵过P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，即＜0，即，解得﹣2＜a＜1，故a的取值范围为（﹣2，1）．【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．10．如图，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P﹣BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（用V表示）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用AA1到对面距离不变，转化P到A点，利用棱锥与棱柱的体积关系，即可得出结论．【解答】解：由题意，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，所以AA1到对面距离不变，移动P到A点，由棱锥的体积的推导方法可知：四棱锥P﹣BCC1B1的体积=×三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积=．故答案为．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，基本知识的考查．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为线段CB1．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，即BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，得到点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是CB1．【解答】解：如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易得BD1⊥CB1，BD1⊥AC；则BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．故答案为线段CB1．【点评】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积3π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积．【解答】解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：所以球的表面积为： =3π．故答案为：3π．【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．13．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB 1A1=n，则m，n所成角的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，由△CB1D1是正三角形，即可得出m、n所成角．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故答案为：．【点评】本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、等边三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．14．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定正视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为 3 ．【考点】由三视图还原实物图．【分析】由几何体的侧视图的面积为求出几何体的高AD，再四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平，在平面内利用余弦定理求得线段AM+MN+NB长为所求．【解答】解：取AB中点F，∵AE=BE=，∴EF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，易求EF=，左视图的面积S=AD•EF=AD=，∴AD=1，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°，将四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平如图，则AB2=AE2+BE2﹣2AE•BE•cos120°=3+3﹣2×3×（﹣）=9，∴AB=3，∴AM+MN+BN的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查由三视图还原实物图，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量，还考查曲面距离最值问题，采用化曲面为平面的办法．须具有空间想象能力、转化、计算能力．15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，我们易计算出三棱锥A﹣BCD的体积，又由点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，我们可以判断M的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，则棱锥A﹣BCD的体积V==又∵点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，∴点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上则点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比为：：（﹣）=，故答案为．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接BD ，BD ∩AC=O ，连接A 1O ，则BD ⊥AC ，BD ⊥平面ACC 1A 1，∠BA 1O 是直线A 1B 与平面ACC 1A 1所成角．【解答】解：连接BD ，BD ∩AC=O ，连接A 1O ，则BD ⊥AC ，BD ⊥平面ACC 1A 1，∠BA 1O 是直线A 1B 与平面ACC 1A 1所成角． ∵DA=DC=4，DD 1=3，∴BO=2，A 1B=，∴直线A 1B 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值=．【点评】此题考查了直线与平面所成的角，找出直线与平面所成的角是解本题的关键．17．已知两点A （﹣1，2），B （m ，3）．且实数m ∈[﹣﹣1，﹣1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 【考点】直线的倾斜角．【分析】分类讨论，当m=﹣1时，直线AB 倾斜角α=；②当m ≠﹣1时，直线AB 的斜率为，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围【解答】解：①当m=﹣1时，直线AB 倾斜角α=；②当m ≠﹣1时，直线AB 的斜率为，∵m+1∈[﹣，]，∴k=∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），∴α∈[，）∪（，]，综合①②知，直线AB的倾斜角α∈∈[，]．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（10分）（2012•安徽模拟）一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a的正方形．（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；（2）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；（3）求该多面体的表面积．【考点】直线与平面平行的判定；简单空间图形的三视图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图．（2）连接AC，BD交于O点，因为E为AA1的中点，可得OE为△AA1C的中位线，OE∥A1C，从而证得OE∥平面A1C1 C．（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，SABCD=a2，，再求出，的值，由表面积，运算求出结果．【解答】解：（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下：（2）证明：如图，连接AC，BD交于O点，因为E为AA1的中点，O为AC的中点，所以在△AA1C中，OE 为△AA 1C 的中位线，所以OE ∥A 1C ，∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C 1⊂平面A 1C 1C ， 所以OE ∥平面A 1C 1C ．（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，S ABCD =a 2，，，，所以表面积．【点评】本题考查几何体的三视图，证明直线和平面平行的方法，求几何体的表面积，体现了数形结合的数学思想，是一道中档题19．（10分）（2016秋•越城区校级期中）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，CB ⊥C 1B ，BC=1，CC 1=2，A 1B 1=，（1）试在棱CC 1（不包含端点C ，C 1）上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1； （2）在（Ⅰ）的条件下，求AE 和BC 1所成角．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．【分析】（1）由EA ⊥EB 1，AB ⊥EB 1，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，从而B 1E ⊥平面ABE 且BE ⊂平面ABE ，故BE ⊥B 1E ．利用余弦定理及其勾股定理即可得出．（2）取BC 中点D ，则DE ∥BC 1，连接AD ，所以∠AED 或其补角为异面直线AE 和BC 1所成角所成的角．利用余弦定理即可得出．【解答】解：（1）由EA ⊥EB 1，AB ⊥EB 1，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ， 从而B 1E ⊥平面ABE 且BE ⊂平面ABE ，故BE ⊥B 1E ． 不妨设 CE=x ，则C 1E=2﹣x ， ∵∠BCC 1=60°，∴BE 2=1+x 2﹣x ，∵∠BCC 1=60°，∴∠B 1C 1C=120°，∴．在Rt △BEB 1中有1+x 2﹣x+x 2﹣5x+7=4，从而x=1或x=2（当x=2时E 与C 1重合不满足题意）． 故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1．（2）取BC 中点D ，则DE ∥BC 1，连接AD ，所以∠AED 或其补角为异面直线AE 和BC 1所成角所成的角．∵，∴cos ∠AED==，∴∠AED=60°．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、余弦定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•越城区校级期中）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）当x=2时，①求证：BD⊥EG；②求二面角D﹣BF﹣C的余弦值；（2）三棱锥D﹣FBC的体积是否可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半？并说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）①：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH，由已知得四边形ADHE是正方形，四边形EHGB是正方形，由此能证明BD⊥EG．②以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣BF﹣C的余弦值．（2）由已知得三棱锥D﹣BCF的体积为V===，VABE﹣FDC =VABE﹣DGH+VD﹣HGCF=＞2V，从而棱锥D﹣FBC的体积不可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半．【解答】（1）①证明：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH．如图．∵AE=AD=2 且AE∥DH，AD∥EF，∠A=．∴四边形ADHE是正方形∵EH=2∴四边形EHGB是正方形即：BH⊥EG（正方形对角线互为垂直）∵△BDH所在平面⊥平面EHGB，∴EG⊥△BDH所在平面即：BD⊥EG．②解：以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），F（0，3，0），D（0，2，2），C（2，4，0），=（﹣2，3，0），=（﹣2，2，2），设平面BDF的法向量=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，2，1），又平面BCF的法向量=（0，0，1），cos＜＞===．∴二面角D﹣BF﹣C的余弦值为．（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD．∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D﹣BCF的高DH=AE=x，又∵S△BCF=BC•BE==8﹣2x．∴三棱锥D﹣BCF的体积为V===，VABE﹣FDC =VABE﹣DGH+VD﹣HGCF===＞2V，∴棱锥D﹣FBC的体积不可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半．【点评】本题给出平面折叠问题，求证直线与直线垂直，求体积的最大值并求此时异面直线所成角大小．着重考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角大小的求法等知识，属于中档题．。
绍兴市第一中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)
（2）由（1）并令 ，得 ， ，
故 在实数集上是单调递增函数,
原不等式即为
，即
故当 时，不等式的解集为 ;
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
【点睛】本题考查函数单调性性质以及解含参数不等式,考查基本分析求解能力，属中档题。
21.已知函数 .
(1）若 ，求曲线在 点处的切线方程；
绍兴一中2018学年第二学期期中考试
高二数学试卷
一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 , ，则下列结论中正确的是（ )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数 与2大小关系确定元素与集合关系以及集合之间关系.
【答案】 （1）。 5 (2)。
【解析】
【分析】
根据复数模的定义求解,再化 为代数形式得虚部。
【详解】因为 ，所以
因为 ,所以 的虚部为 。
【点睛】本题考查复数的模以及虚部，考查基本分析求解能力，属基础题.
12。计算 _____， ____．
【答案】 （1）. 1 （2)。
【解析】
【分析】
根据对数运算法则以及性质求解.
试题解析：（1） ， , ，所以切线方程为 .
（2)曲线 与直线 只有一个交点，等价于关于 的方程 只有一个实根。
显然 ，所以方程 只有一个实根.
设函数 ,则 .
设 ， ， 为增函数，又 .
所以当 时， , 为增函数；
当 时, ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数；
所以 在 时取极小值 .
又当 趋向于 时， 趋向于正无穷；
绍兴市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
绍兴市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（）A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D2．已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）3．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（）A．B．C．D．24．过抛物线y2=﹣4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=﹣6，则|AB|为（）A．8 B．10 C．6 D．45．椭圆=1的离心率为（）A．B．C．D．6．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．4 D．127．已知命题p：2≤2，命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0，则下列命题是真命题的是（）A．￢p B．￢p∨q C．p∧q D．p∨q8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（）A ．1B ．C ．D ．9． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A ．2B ．6C ．4D ．210．设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 11．已知函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x ＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是（ ）A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）B ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）12．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =6A π∠=，则B ∠=（ ）111]A ．4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3π二、填空题13．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．14．若函数()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________. 15．设不等式组表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ．16．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x f x e -<的解集为(0,)+∞； ②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ．17．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．18．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为三、解答题19．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数()()2xf x x ax a e =++，其中a R ∈，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调减区间；（3）若()4f x ≤在[]4,0-恒成立，求a 的取值范围.20．如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，PC ⊥面ABCD ，E ，F 是PA 和AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ； （2）求E 到平面PBC 的距离．21．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平 面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点． （1）证明：直线//MN 平面ABCD ；（2）若点Q 为PC 中点，120BAD ∠=︒，PA =1AB =，求三棱锥A QCD -的体积．22．已知a ＞0，a ≠1，命题p ：“函数f （x ）=a x 在（0，+∞）上单调递减”，命题q ：“关于x 的不等式x 2﹣2ax+≥0对一切的x ∈R 恒成立”，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．23．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】设函数()1ln 1f x a x x=+-． （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当102a <<时，求证：对任意1+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，，都有1e x aa x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭．24．双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．绍兴市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B．2．【答案】B【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，在（﹣1，0）上小于0，∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．故选B．3．【答案】C【解析】因为角、、依次成等差数列，所以由余弦定理知，即，解得所以，故选C答案：C4．【答案】A【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，∵抛物线y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=2﹣（x1+x2），又x1+x2=﹣6∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8故选A5．【答案】D【解析】解：根据椭圆的方程=1，可得a=4，b=2，则c==2；则椭圆的离心率为e==，故选D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2=b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．6．【答案】B【解析】解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故选：B．【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．7．【答案】D【解析】解：命题p：2≤2是真命题，方程x2+2x+2=0无实根，故命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0是假命题，故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题，命题p∨q是真命题，故选：D8．【答案】C【解析】解：第一次循环第二次循环得到的结果第三次循环得到的结果第四次循环得到的结果…所以S是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S∵2011=502×4+3所以输出的S是故选C9． 【答案】B【解析】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1）， 故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|===6．故选：B ．【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．10．【答案】B.【解析】2323()4()()44()a b ab a b ab ab -=⇒+=+，故11a ba b ab++≤⇒≤2322()44()1184()82()()a b ab ab ab ab ab ab ab ab++⇒≤⇒=+≤⇒+≤，而事实上12ab ab +≥=， ∴1ab =，∴log 1a b =-，故选B.11．【答案】D【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图则不等式xf （x ）＜0的解为：或解得：x ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞） 故选：D ．12．【答案】B 【解析】试题分析：由正弦定理可得()sin 0,,24sin6B B B ππ=∴=∈∴= 或34π，故选B.考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.二、填空题13．【答案】 必要不充分【解析】解：由题意得f ′（x ）=e x++4x+m ， ∵f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）内单调递增， ∴f ′（x ）≥0，即e x++4x+m ≥0在定义域内恒成立，由于+4x ≥4，当且仅当=4x ，即x=时等号成立，故对任意的x ∈（0，+∞），必有e x++4x ＞5 ∴m ≥﹣e x﹣﹣4x 不能得出m ≥﹣5但当m ≥﹣5时，必有e x++4x+m ≥0成立，即f ′（x ）≥0在x ∈（0，+∞）上成立∴p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，即p 是q 的必要不充分条件 故答案为：必要不充分14．【答案】2a ≥ 【解析】试题分析：因为()ln f x a x x =-在区间(1,2)上单调递增，所以(1,2)x ∈时，()'10af x x=-≥恒成立，即a x ≥恒成立，可得2a ≥，故答案为2a ≥.1考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 15．【答案】．【解析】解：到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O 为圆心、半径为2的圆外 区域D：表示正方形OABC ，（如图）其中O 为坐标原点，A （2，0），B （2，2），C （0，2）． 因此在区域D 内随机取一个点P ，则P 点到坐标原点的距离大于2时，点P 位于图中正方形OABC 内，且在扇形OAC 的外部，如图中的阴影部分∵S 正方形OABC =22=4，S 阴影=S 正方形OABC ﹣S 扇形OAC =4﹣π•22=4﹣π∴所求概率为P==故答案为：【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离大于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．16．【答案】②④⑤【解析】解析：构造函数()()xg x e f x =，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增，∴()xf x e-<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；构造函数()()x f x g x e =，()()()0xf x f xg x e '-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；构造函数2()()g x x f x =，2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；由()()x e xf x f x x '+=得2()()x e xf x f x x-'=，设()()xg x e xf x =-，则()()()xg x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．17．【答案】 ①②⑤【解析】解：对于①，令g （x ）=x ，可得x=或x=1，故①正确；对于②，因为f （x 0）=x 0，所以f （f （x 0））=f （x 0）=x 0，即f （f （x 0））=x 0，故x 0也是函数y=f （x ）的稳定点，故②正确；对于③④，g （x ）=2x 2﹣1，令2（2x 2﹣1）2﹣1=x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x ﹣1）（2x+1）（4x 2+2x ﹣1）=0还有另外两解，故函数g （x ）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是不动点，故③④错误；对于⑤，若函数y=f （x ）有不动点x 0，显然它也有稳定点x 0；若函数y=f （x ）有稳定点x 0，即f （f （x 0））=x 0，设f （x 0）=y 0，则f （y 0）=x 0 即（x 0，y 0）和（y 0，x 0）都在函数y=f （x ）的图象上，假设x 0＞y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＞f （y 0），即y 0＞x 0，与假设矛盾； 假设x 0＜y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＜f （y 0），即y 0＜x 0，与假设矛盾； 故x 0=y 0，即f （x 0）=x 0，y=f （x ）有不动点x 0，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．18．【答案】：2x ﹣y ﹣1=0解：∵P （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点， ∴圆心与点P 确定的直线斜率为=﹣，∴弦MN 所在直线的斜率为2，则弦MN 所在直线的方程为y ﹣1=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1=0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1=0三、解答题19．【答案】（1）210x y -+=（2）当2a =时，()f x 无单调减区间；当2a <时，()f x 的单调减区间是()2,a --；当2a >时，()f x 的单调减区间是(),2a --.（3）244,4e ⎡⎤-⎣⎦【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式()4f x ≤进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。
对勾函数与飘带函数
1.已知函数，关于的方程，给出下列四个命题：① 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；② 存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；③ 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④ 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为 . ．2.：设函数，则函数的零点个数为3已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是 . 4.设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则实数的取值范围为 . 5.设函数，若函数有且只有3个实根，则实数的取值范围为 .6. 函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .对勾函数与飘带函数 函数1函数.y ＝x ＋2x －1的值域是 2.函数.xx x f 2543)(-+-=的值域是3. 求函数 y = 的值域4.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．5.、已知236()(0)1x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是( )A ．2 B ．3 C ．4 D ． 6函数 y = 的值域为 ( )A. [ −2, 10] B. [ − 10, 2]C. ( −∞ , −2] ∪ [10, +∞]D. ( −∞ , − 10] ∪ [2, +∞]由函数y =lg x 的图象画出下列函数的图象．（1）y =lg(x −1)；（2）y =lg |x|； （3）y =|lg x −1|；（4）y =lg |x −1|．角度一 知式选图(1)(2018·高考浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是((2)(2019·宁波九校模拟)已知函数f (x )＝1x －ln x －1，则y ＝f (x )的图象大致为( )角度二 知图选式(2019·温州高三质检)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )识别函数图象的方法技巧函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x ·cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( ) A B C D2．(2019·金华名校高三第二次统练)已知函数f (x )＝1ax 2＋bx ＋c的部分图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－6 B ．6C ．－3 D ．3角度一 利用函数图象研究函数的性质已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)角度二 利用函数图象求解不等式函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．角度三 利用函数图象求参数的取值范围(2019·浙江省十校第一次联合模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ）＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1， 3 ]C ．[1，2]D ．[3，2]1．(2019·广州五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．2．(2019·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4|log 2x |，0<x <2，12x 2－5x ＋12，x ≥2，若存在实数a ，b ，c ，d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d >c >b >a >0，则abcd 的取值范围是________．1．(2019·台州市高考模拟)函数f (x )＝(x 3－3x )sin x 的大致图象是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝－12D ．x ＝125．(2019·绍兴一中模拟)函数y ＝x 33x 4－1的图象大致是 ( )6．设函数f (x )＝min{|x －2|，x 2，|x ＋2|}，其中min{x ，y ，z }表示x ，y ，z 中的最小者，下列说法错误的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若x ∈[1，＋∞)时，有f (x －2)≤f (x )C ．若x ∈R 时，f (f (x ))≤f (x )D ．若x ∈[－4，4]时，|f (x －2)|≥f (x )(1)(全国卷Ⅲ)函数y ＝2x 32x ＋2－x在[－6，6]的图象大致为( )(2)(开封市定位考试)函数f (x )的大致图象如图所示，则函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2·sin|x |B ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x ·cos 2x C ．f (x )＝(e x －e －x )cos ⎝⎛⎭⎫π2x D ．f (x )＝x ln|x ||x | 利用图象研究方程的根或不等式求解问题[典题6] (1)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________． (2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．(3)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是_______。
浙江省绍兴市2019-2020年度数学高二下学期文数期末考试试卷B卷
浙江省绍兴市 2019-2020 年度数学高二下学期文数期末考试试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 若∅⊊{x|x2≤a，a∈R}，则 a 的取值范围是（ ）A . [0，+∞）B . （0，+∞）C . （﹣∞，0]D . （﹣∞，0）2. （2 分） 若不等式成立的充分条件是， 则实数 a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.3. （2 分） 设，集合 是奇数集，集合 是偶数集．若命题 ：A.：，B.：，C.：，D.：，，，则（ ）4. （2 分） (2020 高二下·阳江月考) 已知 i 为虚数单位，则复数A.1B.2第 1 页 共 12 页的虚部为（ ）C . -1 D . -25. （2 分） 已知椭圆与双曲线 圆的离心率等于（ ）的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 10，那么椭A.B.C.D. 6.（2 分）已知函数 A. B. C. D. 7. （2 分） 函数满足且的递减区间是（ ）,则不等式的解为（ ）A.或B.C.或D.8. （2 分） (2019 高二上·天河期末) 已知双曲线，过原点 作直线与双曲线交于 、 两点，点 为双曲线上异于 、 的动点，且直线、的斜率分别为 、 ，若双第 2 页 共 12 页曲线的离心率为 ，则（）A. B.C. D.9. （2 分） (2018·济南模拟) 已知定义在 R 的函数是偶函数，且满足上的解析式为，过点4 个公共点，则实数 k 的取值范围是（ ）作斜率为 k 的直线 l ， 若直线 l 与函数的图象至少有A.B.C.D. 10. （2 分） (2016 高一上·承德期中) 函数 y=2|x|的值域为（ ） A . （0，1） B . （0，1] C . （0，+∞） D . [1，+∞）11. （2 分） 已知抛物线 x= y2 上一点 P 的横坐标为 1，则点 P 到该抛物线的焦点 F 的距离为（ ）A.B.第 3 页 共 12 页C.2 D. 12. （2 分） (2020·潍坊模拟) 函数A.在的图像大致为（ ）B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） (2019 高一上·上饶期中) 设定义在[－2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递增，若 f(m－ 1)+f(m)>0，则实数 m 的取值范围是________14. （2 分 ） (2019 高一 上 ·山 东 月考 ) 已知函 数，，若函数，则________，的最大值为________.第 4 页 共 12 页15. （1 分） 函数 f（x）的定义域为 D，若对于任意 x1 ， x2∈D，当 x1＜x2 时，都有 f（x1）≤f（x2），则 称函数 f（x）在 D 上为非减函数．设函数 f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②；③f（1﹣x）=1﹣f（x）．则=________16. （1 分） 设 闭集，下列说法：为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称 为封①集合 元素；④若 为封闭集，则满足 有正确说法的序号）．为封闭集；②若 为封闭集，则一定有；③封闭集一定有无数多个的任意集合 也是封闭集．其中的正确的说法是________（写出所三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （15 分） (2018·栖霞模拟) 某协会对 ， 两家服务机构进行满意度调查，在 ， 两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了人，每人分别对这两家服务机构进行独立评分，满分均为 分.整理评分数据，将分数以 为组距分成 组：，，，，，，得到 服务机构分数的频数分布表， 服务机构分数的频率分布直方图：定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数满意度指数012（1） 在抽样的人中，求对 服务机构评价“满意度指数”为 的人数；（2） 从在 ， 两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取 人进行调查，试估计对 价的“满意度指数”比对 服务机构评价的“满意度指数”高的概率；服务机构评（3） 如果从 ， 服务机构中选择一家服务机构，以满意度出发，你会选择哪一家？说明理由.第 5 页 共 12 页18. （10 分） (2019 高一上·安达期中) 设函数与的定义域是且数,是奇函数,且（1） 求和. 的解析式 ；,是偶函（2） 求的值.19. （10 分） 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e= 椭圆 C 的左焦点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A，B 两点．，且椭圆 C 经过点 P（2，3），过（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求△PF1G 的面积 S 的取值范围．20. （10 分） (2019 高二上·哈尔滨月考) 已知抛物线上一点到其焦点的距离为.（1） 求 与 的值；（2） 若斜率为的直线 与抛物线 交于 、 两点，点 为抛物线 上一点，其横坐标为 1，记直线的斜率为 ，直线的斜率为 ，试问：是否为定值？并证明你的结论.21. （10 分） (2020 高二下·天津期末) 已知函数.（1） 求曲线在点处的切线方程；（2） 求函数的单调区间.22. （5 分） (2017·大连模拟) 已知 a，b∈（0，+∞），且 2a4b=2．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在 a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数 x 的取值范围．第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13-1、14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、17-3、第 8 页 共 12 页18-1、 18-2、 19-1、第 9 页 共 12 页19-2、 20-1、第 10 页 共 12 页20-2、21-1、21-2、22-1、。
浙江省绍兴市2019-2020学年数学高二下学期文数期末考试试卷A卷
浙江省绍兴市2019-2020学年数学高二下学期文数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·福建模拟) 设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x∈N|x≤3}，则（∁UA）∩B等于（）A . ∅B . {0，1}C . {1，2}D . {1，2，3}2. （2分）若复数的实部与虚部相等，则实数（）A . -1B . 1C . -2D . 23. （2分） f（x）=cosx﹣sinx在下列哪个区间上是单调递减的（）A . [,]B . [﹣π，0]C . [0，π]D . [0,]4. （2分） (2017高二下·新余期末) 命题p：∀x∈R，x2≥0的否定是（）A . ∃x∈R，x2≥0B . ∃x∈R，x2＜0C . ∀x∈R，x2＜0D . ∀x∈R，x2＞05. （2分）函数f（x）=﹣（cosx）|lg|x||的部分图象是（）A .B .C .D .6. （2分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A . 假设三内角都不大于60度B . 假设三内角都大于60度C . 假设三内角至多有一个大于60度D . 假设三内角至多有两个大于60度7. （2分）某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 83%B . 72%C . 67%D . 66%8. （2分）下列函数中既是偶函数，又是区间(－1，0)上的减函数的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·武汉期中) 某校高二（1）班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是（）A . 小赵、小谭B . 小马、小宋C . 小马、小谭D . 小赵、小宋10. （2分）(2017·莆田模拟) “a＜﹣1”是“直线ax+y﹣3=0的倾斜角大于”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2016高一上·友谊期中) 若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，2）B .C . （0，2）D .12. （2分） (2017高一上·长春期中) 设函数则使得f（﹣1）+f（m﹣1）=1成立的m的值为（）A . 10B . 0，﹣2C . 0，﹣2，10D . 1，﹣1，11二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一上·赣州期中) 函数的定义域为________．14. （1分） (2019高一上·翁牛特旗月考) 若函数是偶函数，则的递增区间是________.15. （1分）(2018·呼和浩特模拟) 某煤气站对外输送煤气时，用号个阀门控制，且必须遵守以下操作规则：（i）若开启号，则必须同时开启号并且关闭号；（ii）若开启号或号，则关闭号；（iii）禁止同时关闭号和号，现要开启号，则同时开启的另外个阀门是________．16. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知函数则 ________，函数的单调递减区间是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1+2i、﹣2+6i，且O是坐标原点，OA∥BC．求顶点C所对应的复数z．18. （10分） (2018高二下·长春月考) 已知：实数满足，其中，：实数满足（1）当，且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.19. （10分） (2016高一上·武汉期中) 已知二次函数f（x）满足f（0）=2和f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1对任意实数x都成立．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当t∈[﹣1，3]时，求y=f（2t）的值域．20. （15分） (2016高二下·郑州期末) 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82821. （5分）已知x满足不等式≥ ，函数．（Ⅰ）求出x的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的值域．22. （5分）以平面直角坐标系原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ （Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．23. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、23-2、第11 页共11 页。
绍兴一中高二数学第二学期期末试题分析
2019年绍兴一中高二数学第二学期期末试题分析一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，，则A. B. C. D.2. 设是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C.1 D.33. 已知向量满足，则A.0B.1C.2D.4.设是等比数列，则是数列是递增数列的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 设m，n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，，则[来6. 函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为A. B. C. D.7.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的可能取值为A. B. C. D.8.设函数，则的值为A. B.2019 C.2019 D.09.已知F是双曲线的左焦点,A为右顶点，上下虚轴端点B、C，若FB交CA于D，且，则此双曲线的离心率为A . B. C. D.10.球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O 的球面上动点，M为B1C1中点，，则点P的轨迹周长为A . B. C. D.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11. 的值等于▲ .12.一个空间几何体的三视图如右图所示，其中主视图和侧视图都是半径为的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为▲ .13.已知实数满足约束条件,则的最小值为▲ .14.已知数列为等差数列，首项，公差，若成等比数列，且，，，则▲ .15.已知直角坐标平面上任意两点，定义当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是▲ .16.如图，在扇形OAB中，，C为弧AB上的一个动点.若，则的取值范围是▲ .三、解答题(本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(本题满分10分)在中，角所对的边为，且满足(Ⅰ)求角的值;(Ⅱ)若且，求的取值范围.18.(本题满分10分)已知数列的首项，.(Ⅰ)求证：数列为等比数列;(Ⅱ)若，求最大的正整数.19.(本题满分10分)如图所示，平面平面，且四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.(Ⅰ)求证平面;(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.(本题满分10分)已知椭圆的两个焦点分别为，且，点在椭圆上，且的周长为6. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于不同两点，设线段的中点为，且三点共线.设点到直线的距离为，求的取值范围.21.(本题满分12分)已知是不全为的实数，函数，，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根.(Ⅰ)求的值;这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
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绍兴一中
高二（文）数学期中考试试题卷
命题、校对：金江虹
一.选择题（每小题4分，共40分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
1.空间直线a、b、c，平面α，则下列命题中真命题的是（）：
A. 若a⊥b,c⊥b,则a//c;
B. 若a//c,c⊥b,则b⊥a;
C. 若a与b是异面直线, a与c是异面直线, 则b与c也是异面直线.
D. 若a//α，b//α，则a// b;
2.某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的
数据，可得这个几何体的表面积为（）
A．4+B．4+C．
8
3
D．12
3. 三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两互相
垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是( )
A.4 B．6 C．8 D． 10
4. 在空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）
A．900 B．600 C．450 D．300
5. 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体
的体积等于（）
A.
212
3
πcm3 B. 70πcm3
C.
326
3
πcm3 D. 100πcm3
6. 设a,b是两条直线，,αβ是两个平面，则a b
⊥的一个充
分条件是 ( ).
A．,//,
a b
αβαβ
⊥⊥ B．,,//
a b
αβαβ
⊥⊥
C．,,//
a b
αβαβ
⊂⊥ D．,//,
a b
αβαβ
⊂⊥
7. 一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点
为A、B，则经过这个几何体的面，A、B间的最短路程是（）
A． C．．
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1）则点G到平面D1EF的距离为（）
正视
俯视图
侧视
图
A
．
2
C
．
3
D
．
5
9.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧
棱与底面所成角的余弦值为（）
A
．
10.四边形ABCD中，1
AB AD CD
===，
BD=BD CD
⊥.将四边形ABCD沿对角线
BD折成四面体A BCD
'-，使平面A BD
'⊥平面
BCD，则下列结论正确的是 ( ).
（A）A C BD
'⊥（B）90
BA C'
∠=
（C）CA'与平面A BD
'所成的角为30（D）四面体A BCD
'-的体积为
1
3
二. 填空题（每小题3分，共21分）
11. 一个用立方块搭成的立体图形，从前面看和从上面看到的图形都是同一图
形，如图，那么，搭成这样一个立体图形最少需要个小立方块．
12.如图，要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），底面直径6米，高4米，
那么至少需要平方米的帆布.
13. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4
的两个全等的等腰直角三角形.则用个这样的几何体可以拼成
一个棱长为4的正方体.
14．已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA⊥平面ABC，
AB⊥BC，SA=2,AB=BC=2，则球O的表面积为_______．
15.如图，两矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE与平面
ABCD及平面ABEF所成角分别为300、450,M、N分别为DE与
DB的中点，且MN=1.线段AB的长为
.
A
B
C
D
第11题
第12题
P
A
B
D
C
16. 在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，过11
,,A C B 三点 的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体
111ABCD A B C -，且这个几何体的体积为10，则棱1AA =_________
17．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ．
三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 18. （本小题满分9分）如图，四棱锥P-ABCD 中，
PD ⊥平面ABCD ， PD=DC=BC=1, AB=2, AB ∥DC ，∠BCD=900
(1)求证：PC ⊥BC
(2)求点A 到平面PBC 的距离
19（本小题满分10分） 如图5，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于
CD ，AE CDE ⊥平面，且3AE =，6AB =．
（1）求证：AB ADE ⊥平面 （2）求凸多面体ABCDE 的体积．
A
C
D
1
A 1
C 1
D 第16题
20. （本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，
090BAC ∠=,1AC AB AA ==,E 是BC 的中点．
（1）求异面直线AE 与A 1C 所成的角；
（2）若G 为C 1C 上一点，且EG ⊥A 1C ，试确定点G 的位置； （3）在（2）的条件下，求二面角C-AG-E 的正切值．
21. （本小题满分10分）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝
3
1
AD. （Ⅰ）求异面直线BF 与DE 所成角的余弦值； （Ⅱ）在线段CE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面CDE 所成角的正弦值为
3
6
？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.
A
F E
B
C
D
M
（第21题图）。