第1讲绝对值有理数的巧算专题
《绝对值》有理数及其运算PPT课件 图文
谢谢观赏 无论什么，我仍心怀感激，或许你我只是在人生的烟雨小巷里，水榭楼亭旁一场花的邂逅，一场流水的情缘。谢谢你，曾经来过我的世界，不惊，不扰！ 如若有缘，总会有那么一个人，即便跋山涉水，历经千辛万苦，也会向你奔赴而来;如若有缘，总会有那么一个人，即便拨开万千人群，拨开姹紫嫣红，也会站在光阴的廊桥上，没有早一步，没有晚一步，只为在最美的季节里，与你相遇相知，与你在时光的铜镜里勾勒成一个完美的圆。 我幸，今生在最美的时光遇见了你。张爱玲说，因为爱了，所以慈悲。因为懂得，所以宽容。总有那么一个人，即便全世界都不爱你，也会为你低眉，为你垂泪，为你留一盏温暖的灯，默默守护在你身旁，在清浅的时光里，陪你看草长莺飞，陪你数散落星辰！ 因为有缘，你我同住同修，同见同知，相互依靠，相互取暖。生死契阔，与子成说;执子之手，与子携老。爱，最长情的告白，不是千万句“我爱你”，也不是春花秋月前的山盟海誓，天长地久。而是愿意用其一生的光阴来陪伴你，来包容你！即便在寡味的日子里，也会用爱去浇灌，用心去呵护，为你种出一朵妖艳之花，㶷烂至极。
(完整版)有理数的绝对值知识点总结
(完整版)有理数的绝对值知识点总结1. 有理数的绝对值概念有理数是可以表示为两个整数的比值的数，绝对值是数的大小，表示该数与零的距离。
对于有理数a，其绝对值记作|a|，可以通过以下方式定义：- 如果a大于等于0，则|a|=a- 如果a小于0，则|a|=-a2. 有理数的绝对值运算规则有理数的绝对值具有以下运算规则：- 两个有理数的绝对值相等，当且仅当这两个有理数相等。
- 有理数a的绝对值与其相反数的绝对值相等，即|-a|=|a|。
- 有理数a和b的绝对值的乘积等于这两个有理数绝对值的乘积的绝对值，即|a * b|=|a| * |b|。
- 有理数a和b的绝对值的和等于这两个有理数绝对值的和的绝对值，即|a + b| = |a| + |b|。
- 有理数a和b的绝对值的差的绝对值小于或等于这两个有理数绝对值的差的绝对值，即|a - b| <= |a| - |b|。
3. 有理数绝对值的性质有理数绝对值具有以下性质：- 非负性：对于任意有理数a，有|a| >= 0。
- 正零性：当且仅当有理数a等于0时，|a|=0。
- 关系性：对于任意有理数a和b，若|a| = |b|，则有a = b或a = -b。
4. 有理数绝对值的应用有理数的绝对值在实际生活中有广泛的应用，如：- 测量：绝对值可以用来表示物体的尺寸、温度差、速度等，它使得我们能够比较和计量各种事物。
- 代数运算：绝对值的运算规则在数学中起到重要作用，可以简化复杂的数学问题的求解过程。
- 数据分析：绝对值可以用来处理数据中的误差、峰值等，帮助分析数据的特征和趋势。
5. 总结有理数的绝对值是一个重要的概念，它代表了数与零之间的距离。
我们通过定义、运算规则和性质来理解和应用有理数的绝对值。
在实际生活和数学问题中，有理数的绝对值具有广泛的应用，帮助我们解决各种问题。
通过掌握有理数的绝对值知识点，可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。
以上是我对有理数的绝对值知识点的总结，希望能对您有所帮助。
有理数的绝对值及加减法(详细题型)
三人行教育陈老师教案一一绝对值及有理数加减运算：请同学们认真答题，每一道题都经过精选3绝对值（满分100分）知识要点：1•绝对值的概念：在数轴上表示数a 的点与原点的叫做数a 的绝对值，记作.2. 绝对值的求法：由绝对值的意义可以知道： （1） 一个正数的绝对值是；（2）零的绝对值是；a 0（3） 一个负数的绝对值是.即a a 0 a 03. 绝对值的非负性：数轴上表示数a 的点与原点的距离零，所以，任意有理数 a 的绝对值总是一个， 即a 0.4. 有理数大小的比较：一个有理数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点就离原点越，所以，两个负数比较大小，绝对 值大的；正数都零；负数都；正数一切负数.5. 绝对值等于a a 0的有理数有两个，它们.（基础知识填空20分，每错一空扣2分）同步练习A 组（共40分）一、填空题（每空 1 分）1. （1） | 2； （2） | 7 ；2 （3）3- ； （4） 6 .31 2. 2-的绝对值是，绝对值等于5的数是和.23. 绝对值最小的数是；绝对值小于 2.5的整数是；绝对值小于3的自然数有；绝对值大于3且小于6 的负整数有.4. 如果a a ，那么a 是，如果a a ，那么a 是.；若a 》0，贝U a 1 .5.若 a w 0,则 a、选择题（每题3分）6.下列说法C.任何数的绝对值都是非负数D.F 列说法中，错误的是（） 7. A.绝对值小于2的数有无穷多个 C.绝对值大于2的数有无穷多个 8. 有理数的绝对值一定是（）A.B.绝对值小于2的整数有无穷多个 （D ） 绝对值大于2的整数有无穷多个正数 B. 9. 如果m 是一个有理数，那么下面结论正确的是（ A.m —定是负数B.m 一定是正数C.整数 ） m 一定是负数C. 正数或零D.D.非正数 m 不是负数10.如果甲数的绝对值大于乙数，那么（）A.甲数大于乙数 1，b11.设 aA. a b c 三、解答题(每题2分) (1) 13, 524 8 B.甲数小于乙数C.甲、乙两数符号相反 1，c 是1的相反数， B. a b c C.12.比较下列各数的大小则a,b,c 的大小关系是a b c D. （要有解答过程） 13. （3分））若一个数a 的绝对值是3,且a 在数轴上的位置如图所示,D.甲、乙两数的大小不能确定1721试求a 的相反数a正确的是（）A.绝对值相等的数相等B.不相等两数的绝对值不等绝对值大的数反而小B 组（40分）一、填空题（每题3分） 14.| 5的相反数是；4的相反数的绝对值是；的相反数是它本身.15. 若a2，给出下面4个结论：①a a •、②a a :③-a ；④丄a •其中不正确的有（填序号）.16.aa若 m 1 m 1,则 m l ；若 m 1 m 1,则 m l ；若x 4，则x ；若x 1，则x .17. 最小的自然数与绝对值最小的整数的和是. 18. 若aa ，则数a 在数轴上对应的点的位置在.二、解答题（5分）19.分别写出a 为何值时，下列各式成立？（1） a I a ；（2） a a ;（3）回 1 ；（4）訂 1a同20. 已知a 2, b 2, c 3，且有理数a,b, c 在数轴上的位置如图所示，计算 a b c 的值.（6分）b 0 a c21. 已知x 5， y 3，且x y x y ，求x y 的值.（6分）C 组22. 已知甲数的绝对值是乙数的绝对值的B 倍，且在数轴上表示这两个数的点位于原点的两侧两点之间的距离 是8,求这两个数。
第一讲 有理数的巧算
第一讲 有理数的巧算【讲义解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯.2、有理数的相关概念和性质法则：⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律； ⑵凑整法； ⑶拆项法（裂项相消）； ⑷分组相约法； ⑸倒序相加法； ⑹错位相减法； ⑺换元法； ⑻观察探究、归纳法.【专题精讲】【例1】计算：32333333251233()0.750.5()1()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-.【练习】计算：（1）999998998999998999999998⨯-⨯；（2）121121(111315)()()(111315)111315111315⨯⨯⨯-++-+÷⨯⨯；（3）2123246...23()15721014...57n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅.【例2】计算：（1）123456789101112...2013201420152016.--++--++--+++--+（2）12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-.【练习】计算：（1）12345678910...2017+--++--++-+；（2）201510012016100015(0.75)( 1.2)(1)()36-⨯-⨯-⨯-.【例3】计算：（1）11111++++...+2612209900； （2）11111 (4287013010300)+++++.【练习】计算：（1）4812164000...1335577919992001-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯；（2）1111+++...+135357579301303305⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（3）111320152+...+1111111(1)(1+(1)(1+(1+223232015++++））...）.【反思】一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可用裂项相消法求值.【常见裂项公式】① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()(1)(1)211n n n n =--+-+； ③ 1111()()n n d d n n d =-++； ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++. 【例4】计算：20151111+++...+2482 .【练习】2320151+2+2+2+ (2)+【例5】计算： 1121231232015+()()...(...)2334442016201620162016++++++++++.【练习】159...7997++++.【反思】一般地，等差数列求和，可用倒序相加法.【例6】计算：2320151111+++ (3333)【练习】2320151111+++...+5555.【反思】一般地，等比数列求和，可用错位相减法.【例7】计算：11111111111111(1...)(...)(1...)(...)23201523420162320162342015++++++++-++++++++【练习】（1）1111111111(...)(1...)(1...)( (2320002199922000231999)+++++-++++++；（2）11191008551(152627)(315355)1733201517332015+-÷+-= .【例8】请你归纳出3333123...n ++++的公式，并计算3333123...200++++的值.【练习】计算：（1）1111(1)(1)(1)...(1)2016201520141000---⋅⋅-；（2）1111(1)(1)(1)...(1)13243520152017+++⋅⋅+⨯⨯⨯⨯；（3）1111...1+21+2+31+2+3+ (100)+++.。
有理数加减法速算与巧算1
有理数加减法速算与巧算1本文档旨在帮助学生掌握有理数加减法的速算与巧算方法。
通过研究本文档，学生将能够提高计算速度，并在解决有理数加减问题时运用巧妙的方法。
1. 有理数的基本概念回顾在开始研究有理数的加减法速算与巧算之前，让我们先回顾一下有理数的基本概念。
有理数是指可以表示为两个整数之比的数。
它包括正有理数、负有理数和零。
有理数可以用分数或小数表示。
2. 有理数加法速算2.1 有理数相加的基本规则有理数相加的基本规则如下：- 同号相加，取绝对值相加，并保持符号不变；- 异号相加，取绝对值相减，结果的符号与绝对值较大的数的符号相同。
2.2 加法速算的技巧为了加快有理数相加的计算速度，我们可以运用一些巧妙的技巧：抵消法当两个有理数相加时，如果它们的绝对值相等，且符号相反，那么它们可以互相抵消，结果为零。
例如：- $3 + (-3) = 0$- $-2 + 2 = 0$这种方法能够帮助我们迅速得出结果，无需进行复杂的计算。
相消法当两个有理数相加时，如果它们的绝对值相差为1，且符号相反，那么它们可以相消，结果为绝对值较大的数的符号。
例如：- $4 + (-3) = 1$- $-5 + 4 = -1$相消法可以帮助我们在不进行具体计算的情况下，直接得出结果。
2.3 示例下面是一些有理数加法速算的示例：示例1计算：$(-5) + 7$解法：由于符号相反，我们可以直接使用抵消法。
结果：$(-5) + 7 = 2$示例2计算：$(-2) + (-8)$解法：由于符号相同，我们可以直接将绝对值相加，并保持符号。
结果：$(-2) + (-8) = -10$3. 有理数减法速算3.1 有理数相减的基本规则有理数相减的基本规则与相加类似，只需要改变减号为加号，然后根据符号规则进行计算。
3.2 减法速算的技巧有理数减法的速算技巧与加法类似，同样可以运用抵消法和相消法来加快计算速度。
3.3 示例下面是一些有理数减法速算的示例：示例1计算：$7 - 5$解法：由于符号相同，我们可以直接将绝对值相减，并保持符号。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——例题一、第1讲有理数的巧算(例题部分)1.计算:【答案】解:原式===0+0+0=0【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．2.计算【答案】解:原式===【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。
3.计算【答案】解:原式==【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．4.计算【答案】解：原式====……==1-=【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。
5.计算（1）1+2+3+4+ +2007+2008（2）1-2+3-4+ +2007-2008【答案】（1）解:令S=1+2+3+4+ +2007+2008则S=2008+2007 +2+1两式相加,得2S===2009 2008所以S=即原式=（2）原式===-1004【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：所以，本题也可用这个计算公式计算．有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．6.计算【答案】解：原式==1-= =【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。
初一绝对值及有理数巧算
第一讲绝对值一. 学习目标理解绝对值的含义，会做绝对值的相关题型。
二. 重点、难点重点：深刻绝对值的意义，会比较有理数的大小.难点：有理数绝对值意义的理解和运用.三. 知识要点1、绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．2、绝对值运算法则：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即：3、绝对值性质：任何一个实数的绝对值是非负数．四、典型例题（一）去绝对值符号例1. （1）a＞0时，|2a|=________；当a＞1时，|a-1|=________；（2），则；|1-x |=1，则x=_______．练习：（1）若|x-1| =0，则x=____；，则．（2）如果，则，．例2、有理数、、在数轴上的位置如图, （1）判断正负,用“>”或“<”填空—＿＿0, —＿＿0, +＿＿0（2）化简:.练习：1、数、、c 在数轴上的位置如图所示，则| c 一|―|一|=_________；2、已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b（二）绝对值非负性：任何一个实数的绝对值是非负数． 例3 、1、 += 0, 求2-+y x 的值。
2、已知|x|＝4，|y|＝2，求x ＋y ，y x -的值.练习： 1、已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，求a 、b 的值．2、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c=3、已知│x │=2003，│y │=2002,且x ＞0，y ＜0，求x+y 的值。
（三）绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例4、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-， 3与5， 2-与6-， 4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ；练习： x 与-2之间的距离表示为： ； X 与3之间的距离表示为： ； a 与b 之间的距离表示为： ；（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 __ .分析：2-x 即x 与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与2之间的距离。
第1讲-绝对值、有理数的巧算专题
第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++Λ.3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++Λ，求333333028642+++++Λ的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++Λ例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+-Λ的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。
北师大版七年级数学上册《绝对值》有理数及其运算PPT优质课件(第1课时)
.探究新知
做一做
|+2|=___2_____， |-2|=____2____， -|-2|=__-_2_____，-|+2|=___-_2____，
|0|=___0_____.
思考: 一个数的绝对值与这个数有什么关系？
(1)正数的绝对值是它本身; (2)负数的绝对值是它的相反数; (3) 0的绝对值是0.
探究新知
练一练
判断题，看谁回答的又对又快！
(1)-10是10的相反数。 ( √ )
(2)10是-1的相反数。
( × )相 符反号数不的同绝，对所值以是10相是等-1的0的，相只反是数.
(3)1.5与-1.5互为相反数。( √ )
(4)-2是相反数。
(
×
)
相反数是成对出现的， 所以-2是2的相反数.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 “+3的绝对值等于3” 用数学符号表示为：│+3│=3. -3的绝对值呢？ │-3│=3. 0的绝对值呢？ │0│=0.
探究新知 想一想
问题1：如果a表示有理数，那么│a│有什么含义？ 问题2：互为相反数的两个数的绝对值又有什么关系呢？
结论： 1.│a│就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 2.互为相反数的两个数的绝对值相等.
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知识点 2 绝对值
观察下列每对数，并把它们在数轴上标出:
6和- 6，2和 -2，1和-1
-6
-2 -1 1 2
6
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
表示每对数的两个点在数轴上有什么特点？ 表示每对数的两点分别位于原点的两边且到原点的距离相等.
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两只狗分别 距原点多远?
培优(2)——— 绝对值及有理数的运算(1)
培优（2）——— 绝对值及有理数的运算知识回顾:1.利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
2.有理数的加、减运算的法则及混合运算（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。
（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
基础练习:1.列式并计算：一个数是16，另一个数比16的相反数小-2，求这两个数的差（大数减小数）2.计算：3211(1)(6)()(1)(1)4343+-++--+--()4.045.14.095.1181876597)2(⨯+⨯--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-111111(3)20072006200520041232323-+-+-例题讲解：一、 绝对值有关化简问题例1．已知ab ab b a -===,8,5，试求a+b 的值。
例2. 已知a ，b ，c 都是有理数，且满足++＝1，求6﹣的值变式： 已知a 、b 、c 均为非零的有理数，且＝﹣1，求++的值二、 绝对值与数轴数形结合”是一种重要的数字方法．如在化简|a |时，当a 在数轴上位于原点的右侧时，|a |＝a ；当a 在数轴上位于原点时，|a |＝0；当a 在数轴上位原点的左侧时，|a |＝﹣a ．试用这种方法解决下列问题．（1）当a ＝1.5，b ＝﹣2.5时，＝ ； （2）请根据a 、b 、c 三个数在数轴上的位置①求++的值．②化简：|a ﹣b |﹣2|a +b |+|b +c |．三、 绝对值的最值结合数轴与绝对值的知识解答下列问题：（1）数轴上表示3和2两点间的距离是 ；表示﹣3和2两点间的距离是；一般地，数轴上表示数m和n两点间的距离＝；（2）如果在数轴上表示数a的点与﹣2的距离是3，那么a＝；（3）如果数轴上表示数a的点位于﹣4和2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（4）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值为多少？请说明理由；（5）直接回答：当式子|a+9|+|a+1|+|a﹣5|+|a﹣7|取最小值时，相应的a取值范围是什么？最小值是多少？(6)求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|…|x﹣21|的最小值．四、有理数的运算应用已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝；（2）当x＝时，点P到点A、点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN＝|x1﹣x2|．若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动秒时，点P到点E，点F的距离相等．反馈练习：1.如图所示：A，B，C，D四点表示的数分别为a，b，c，d，且|c|＜|b|＜|a|＜|d|．（1）比较大小：﹣b c，d﹣a c﹣b；（2）化简：|a﹣c|﹣|﹣a﹣b|+|d﹣c|．2.求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）3．【归纳】（1）观察下列各式的大小关系：|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|，|﹣6|+|3|＞|﹣6+3||﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|，|0|+|﹣8|＝|0﹣8|归纳：|a|+|b||a+b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）【应用】（2）根据上题中得出的结论，若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，求m的值．【延伸】（3）a、b、c满足什么条件时，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|．。
七年级数学上册有理数--绝对值问题的解题策略与方法专题讲解.doc
绝对值问题的解题策略与方法策略一去掉绝对值符号根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号，是解决绝对值问题的常用策略方法.例1三个有理数。
、b、c的积是负数，它们的和是正数，且工=回+叫+ M时，求a b c代数式-x2016 + 2x + 2016的值.分析由三个有理数。
、b.。
的积是负数，它们的和是正数，确定出负因数的个数,\b\ c然后可以把尤=口 + 口 + 一中的绝对值去掉，求出尤，再代入代数式求值.a b c解T a、b、c的积是负数，它们的和是正数，「・。
、b、。
必是一负两正.不妨设ovO, Z?>0, c>0 ,rll -a h c t则尤=——+ —+ —= 1, a b c..・原式=一12°】6+ 2 + 2016 = 2017.例2关于工的方程尸_4|』+ 5 =，〃有四个全不等的实根，求实数机取值范围.分析先分两种情况：工20和x<0去掉绝对值，再把方程左、右两边分别看作函数且作出图象，观察图象求解.解设y = /_4尤+5,则(1)当X 2 0 时，y = x2 -4x + 5;(2)当x v()时，y = r +4尤 + 5.作出〃=尤2一4工+5图象，如图1图1要使尤2 -4x+5 = m有四个全不相等的实根，需使函数Y >的图象与直线y - m有四个不同的交点，由图象，可知1 <m<5.策略二添加绝对值符号利用后=叫2,把关于。
的问题转化关于为的问题，可以达到出奇制胜的效果.例3 解方S:X2-3|X|-10=0.分析此题可以分尤20和尤vO两种情况，先去掉绝对值再解方程.若把原方程中的F项的工添加绝对值符号，把原方程转化为关于|尤|的方程来解，则更简捷.解方程可化为”一3工一10 = 0则(|x|-5)(|x| + 2) = 0,乂 = 5 ,或国=一2（舍去）,二工］=5 , X2=—5.例4关于x的方程%2 - 2 x + 2 = zn有三个实根，求m的值.解方程化为:旧_2同+ 2 =初,且设它的两个根为时,原方程有三个实根，则孔，工，中必有一个大于0, —个等于0, 1 乙把同=0代入原方程，得m = 2.当〃2 = 2 时，x2—2 x = 0 ,工=0, x = 2>0..・.工|=0,易=2，工3=一2，方程有三个实根，..・，〃 =2即为所求.策略三运用绝对值的几何意义a\是数轴上表示数。
第一讲-七年级有理数的巧算
第一讲 有理数（1）一、知识提要1、 整数和分数统称为有理数。
2、 有理数还可以这样定义： 形如mp （其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。
这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。
3、 有理数的数系表：正整数 正整数 整数 零 正有理数负整数 正分数 有理数 正有限小数 或 有理数 零正分数 负整数 正无限循环小数 负有理数分数 负分数负有限小数负分数负无限循环小数4、 有理数可以用数轴上的点表示。
5、 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。
6、 如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。
如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。
7、 有理数的运算法则：（1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。
（2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘， 积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为na 。
（4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
8、有理数的运算律：加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；乘法交换律：c b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯；乘法分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(；9、有理数具有以下性质①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。
②如果a < b , 那么b > a 。
③如果a < b , b < c , 那么 a < c④如果a = b , b = c , 那么 a = c⑤如果a = b , 那么 b = a⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——练习题一、第1讲有理数的巧算(练习题部分)1.2.3.4. 3.825 ×−1.825+0.25×3.825+3.825×5.−7.2×0.125+0.375×1.1+3.6×−3.5×0.3756.7.8.9.10. 9+99+999+9999+99999+99999911.12.13.14.15.16.17.答案解析部分一、第1讲有理数的巧算(练习题部分)1.【答案】解：原式=（31+4）+（-22+11）=36-1125.【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.2.【答案】解：原式=（5-3-2）+（8-3.125）+（6-7-3），=0+5-5，=0.【解析】【分析】根据有理数加法交换律和结合律，把分母相同的放一起，利用有理数加减法法则计算即可得出答案.3.【答案】解：原式=-××（-）×（-）××（-），=.【解析】【分析】根据有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，化成乘法之后，再根据乘法法则计算即可得出答案.4.【答案】解：原式=3.825×0.25-1.825+0.25×3.825+3.825×0.5，=3.825×（0.25+0.25+0.5）-1.825，=3.825×1-1.825，=3.825-1.825，=2.【解析】【分析】根据乘法分配律先计算再根据有理数减法法则计算即可得出答案.5.【答案】解：原式=3.6×（-2）×0.125+0.375×1.1+3.6×-3.5×0.375，=3.6×（-2×0.125+0.5）+0.375×（1.1-3.5），=3.6×（-0.25+0.5）+0.375×（-2.4），=3.6×0.25+0.375×（-2.4），=0.9-0.9，=0.【解析】【分析】根据乘法分配律先计算，再根据有理数乘法和减法法则计算即可得出答案.6.【答案】解：原式=，=，=.【解析】【分析】由里往外，逐层计算，根据分数除法和减法的法则计算即可.7.【答案】解：原式=1++3++5++7++9+，=（1+3+5+7+9）+（++++），=25+，=25.【解析】【分析】先将带分数化成整数+分数的形式，再利用加法交换律和结合律计算即可得出得出答案.8.【答案】解：原式=，=，=999.【解析】【分析】先根据分数加法法则：同分母的分数相加，分母不变，分子相加，再由高斯定理计算即可.9.【答案】解：原式=（7-5）+（9-7）+（11-9）+……+（101-99），=2+2+2 (2)=2×48，=96.【解析】【分析】利用加法交换和结合律得出有48个2，计算即可得出答案.10.【答案】解：原式=（10-1）+（100-1）+（1000-1）+（10000-1）+（100000-1）+（1000000-1），=（10+100+1000+10000+100000+1000000）-（1+1+1+1+1+1），=1111110-6，=1111104.【解析】【分析】先将各数分拆，再利用加法交换、结合律计算即可得出答案.11.【答案】解：原式=3×31999-5×31999+2×31999，=31999×（3-5+2），=31999×0，=0.【解析】【分析】根据幂的运算性质拆分，再利用乘法分配律计算即可得出答案.12.【答案】解：原式=1-1+1-1，=0.【解析】【分析】根据负数的偶次幂为正，奇次幂为负，计算即可得出答案.13.【答案】解：原式=×（-）+×（-）+×（-）+……+×（-），=×（-+-+-+……+-），=×（-），=×，=.【解析】【分析】先把每一项裂项，之后抵消，计算即可得出答案.14.【答案】解：原式=2002+-2001-+2000+-1999-+……+2+-1-，=（2002-2001）+（-）+（2000-1999）+（-）+……+（2-1）+（-），=1++1++……+1+，=1×1001+×1001，=1001×（1+），=.【解析】【分析】先将带分数拆成整数+分数形式，再利用加法交换、结合律计算，之后利用乘法分配律计算即可.15.【答案】解：原式=，=，=.【解析】【分析】分子分母先提起公因式，再约分，即可得出答案.16.【答案】解：原式=1+2++3++4++5++6++7+，=（1+2+3+4+5+6+7）+（+++++），=28+（-+-+-+-+-+-），=28+（-），=28+，=28.【解析】【分析】先将带分数拆成整数+分数形式，再利用加法交换、结合律，利用裂项相消计算即可.17.【答案】解：∵，∴原式=2×（1-）+2×（-）+2×（-）+……+2×（-），=2×（1-+-+-+……+-），=2×（1-），=2×，=.【解析】【分析】由展开计算即可得出答案.。
2019-2020年初中数学竞赛辅导(初1)第01讲有理数的巧算
r 13547一23 502019-2020年初中数学竞赛辅导（初1）第01讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础. 它要求同学们在理解有理 数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运 算.不仅如此，还要善丁根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙 地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷 性与灵活性.1.括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以 此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单.例1计算：(1)分析中学数学中，由丁负数的引入，符号“ +”与“-”具有了双重 涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符 号.因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则， 尤其是 要注意去括号时符号的变化.解(1)原式=卜2& +046 \ 4o /{ 幻 647 - 1&75-1 十 二 x2— +0他(2)原式=(罚-12 +—r-X 1(-8) +12x4~5~5~—x —40 25 16 3= 40 小—=40 x 1~—25™.25 16 25 5 16注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便丁计算.例2计算下式的值：211 X 555+445X 789+555X 789+211X 445.分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.解原式=(211 X 555+211X 445)+(445 X 789+555X 789)=211X (555+445)+(445+555) X 789=211X 1000+100OX 789=1000X (211+789)=1 000 000 .说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧.例 3 计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1 - n.分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1” .如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“ -1”，丁是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法.解S=(1 -2)+(3-4)+ …+(-1)n+1 - n.下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n/2个(-1)的和，所以有n = 1 n + 1当n为奇数时，上式是(n-1)/2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1- n=n,所以有例4在数1, 2, 3,…，1998前添符号“ +”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1, 2, 3,…，1998之前任意添加符号“ +”或“-”，不会改变和的奇偶性.在1, 2, 3,…，1998中有1998士2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“ +”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小丁 1.现考虑在自然数n, n+1, n+2, n+3之间添加符号“ +”或“-”，显然n-(n+1) -(n+2)+(n+3)=0 .这启发我们将1, 2, 3,…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1 -2-3+4)+(5 -6-7+8)+ - +(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1所以，所求最小非负数是1.说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化.2.用字母表示数我们先来计算(100+2) X (100-2)的值：(100+2) X (100-2)=100 X 100-2 X 100+2X 100-4=1002-22.这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a -b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.丁是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a -b)=a2-b2, ①这个公式叫平■方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算.例5计算3001 X 2999的值.解3001 X 2999=(3000+1)(3000 -1)=300C2-12=8 999 999 .例6计算103 X 97 X 10 009的值.解原式=(100+3)(100 -3)(10000+9)=(1002-9)(100 2+9) =1004-92=99 999 919 .例7计算：24 690123462 -12 345x12 347分析与解直接计算繁.仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345, 12 346, 12 347.可设字母n=12 346,那么12 345=2,12 347=n+1, 丁是分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平■方差公式化简得2 2 2 2 2 .n-(n -1 )=n -n+1=1,即原式分母的值是1,所以原式=24 690.例8计算：(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)(2 16+1)(2 32+1).分析式子中2, 22, 24,…每一个数都是前一个数的平■方，若在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a -b)=a2-b2了.解原式=(2-1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) X (2 16+1)(2 32+1) =(22-1)(2 2+1)(2 4+1)(28+1)(2 16+1) X (2 32+1) =(2 4-1)(2 4+1)(2 8+1)(2 16+1)(2 32+1)=• •… =(232-1)(2 32+1)=2 64-1.例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a -b)=a2-b2.这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a -b).本题就是一个例子.解原式=(】+外可(司(T…-卜止并瑚国[3 4 5 10 111T1 2 3 8 9 1=—* .—* —* ..，■•——*——一•_ * —♦电»—•——[2 3 4 9 9 北2 3 4 9 10j11 1 11=T * 10 * 20通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化.例10计算：—皿1…上)2 3 1999八2 1998J分析四个括号中均包含一个共同部分:石+ …+,£ 3 I y y o我们用一个字母表示它以简化计算.解湫=?+?+•••+嘉，则原式中+矗+ A +焉）A=\ + + —1 -L + A2 + 土）=工{ 1999 199刃{1999） 19993.观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分.87, 91, 94, 88, 93, 91, 89, 87, 92, 86, 90, 92, 88, 90, 91, 86, 89, 92, 95, 88.分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算.所以总分为90X 20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+( -3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=18001=1799,半均分为90+( -1) - 20=89.95 .例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999 的值.分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2;其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000,于是可有如下解法.解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+•+1997+1999. ①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+-+3+1. ②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+ •••+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500 个2000)=2000X 500.从而有S=500 000 .说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997,都等于2),那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.例13 计算1+5+52+53 ------------- 599+5100 的值.分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5,所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，丁是两式相减将使差易丁计算.解设S=1+5+52+…+599+5100,①所以5S=5+5+53+…+510°+5101. ②②一①得4S=501-1,5^-1所以说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等丁5）,那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决.例14计算：111^ 1VC2+2X 3 + 30133 +，，，+1998X 1999分析一般情况下，分数计算是先通分.本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式1 1 1+1) k k + 1来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法.解由丁111 111 1111X2 = 2 -3-4P所以原式=1 19981999 ：丽说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用.练习一1.计算下列各式的值:(1) -1+3-5+7-9+11-• • -1997+1999;⑵ 11+12-13-14+15+1617-18+…+99+100;(3)1991 X 19991990X 2000;⑷472634 2+472 6352-472 633 X 472 635-472 634 X 472 636 ;(5) -------- + ----- + ----- --------------------1X3 3X5 5X7 1997X1999(6)1+4+7+ •+244;f 1 1 1 1 1—1 7 9 11 13 153 12 20 30 42 562.某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分.81, 72, 77, 83, 73, 85, 92, 84, 75, 63, 76, 97, 80, 90, 76, 91, 86, 78, 74, 85.。
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第一讲 绝对值、有理数的巧算专题
一、知识梳理
1.非负数
一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥
2.裂项常用到的关系式
（1）b
a a
b b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2
)1(321n n n ⨯+=++++ .
3.绝对值表示距离的应用
n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321 ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321- 的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321- 是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.
（1）当n 为偶数时，若1
22+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；
（2）当n 为奇数时，若2
1+=n a x ，则原式有最小值.
4.乘方中的计算公式
（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n
)( 二、典例剖析
专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——a
a 例题1 用a 、
b 、
c 表示任意三个非零的有理数，求c
c b b a a ++的值.
【活学活用】
1.设0<a ,且x ≤a a
,则=--+21x x .
2.若0≠ab ，则b
b a a
+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-2
3.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则ab
ab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1
★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c c
b b
a a
++时，代数式
29219+-x x 的值为 .
5.已知
1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.
6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abc
abc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .
7.已知0≠abc ，且M=abc abc
c c
b b
a a
+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）
A ．惟一确定的值
B ．3种不同的取值
C ．4种不同的取值
D ．8种不同的取值
专题二：绝对值的非负性——0≥a
引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)
(b a += .
例题2 若,,a b c 为整数，且19191a b
c a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.
【活学活用】
1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.
2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .
3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .
★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）
A.x --2
B.x +2
C.x
D.x -
★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________
★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）
A.负数
B.非负数
C.正数
D.非正数
★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）
A.x ＞2
B.x ＜2
C.x ≥ 2
D.x ≤2
8.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.
9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b
的值为？
★10..已知55)(2
+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.
专题三：绝对值表示距离的应用
解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）
若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.
例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）
【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.
m 0 n
B A
试化简：a b a c b c c +--++-.
例题4 绝对值表距离的应用
（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .
（3）421-+-++x x x 的最小值是 .
（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.
（5）试求2010321-++-+-+-x x x x 的最小值.
（6）试求2011321-++-+-+-x x x x 的最小值.
【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.
专题四：乘方中的计算公式——n
n n b a b a ⨯=⨯)(
c b 0 a
例题5 已知14400151432133333=+++++ ，求333333028642+++++ 的 值.
专题五：整数的分解
例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.
【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求
d c b a +++的值.
专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元
例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求
111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.
【活学活用】
1.已知|321(2)0x y -+-=，求
111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.
2.2012
20091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 计算
.
3.计算1
111131517192153042567290110-+-+-+
例题8 计算：1＋
211+＋3211++＋…＋100993211+++++
例题9 计算
8989889988999889999833333
++++
【活学活用】
1.计算2005×0.5-2006×
2.5-2007÷12.5．
2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）
A.-818181810
B.-81818189
C.81818189
D.818181810
三、家庭作业
★1.已知ab 2c 3d 4e 5
<0,下列判断正确的是 （ ）
A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4
e<0
2.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）
A.-22003
B.22003
C.-22004
D.2
2004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.
4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .
5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .
6.计算：
2010
120071200712008120081200912009120101---+-+-.
7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009
+
8.求)2009120101()2008120091(
)4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+- 的 值.
9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求
c xy b a 3
12-++的值.
10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()
()(mn b a mn b a x -+++++-的值.
11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)16
1(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。