第五章 傅里叶变换的应用

第一章 傅里叶变换的应用5.1 内容要点● 利用傅里叶变换求系统响应 ● 无失真传输的定义和判断● 理想低通、带通滤波器的传输特性和冲激响应 ● 幅度调制原理及应用● 调幅信号通过带通系统的分析方法 ● 从抽样信号中恢复原信号的分析方法 ● 连续时间信号的离散处理方法 ● 内插和抽样的基本应用5.2 公式摘要1.线性时不变系统的频域特性若激励信号()x t 的频谱为()X j ω，响应()y t 的频谱为()Y j ω，系统频率响应为()H j ω，则()()()Y J X J H j ωωω=2. 无失真传输（1）定义：相对于激励信号而言，系统响应中各频率分量的相对大小没有变化，相对位置也没有改变。

（2）无失真传输系统的条件时域：()()0h t K t t δ=-频域：()0j t H j Ke ωω-=3. 理想低通滤波器（1）频域特性 频率响应：(){0,0,j t c ce H j ωωωωωω-≤>=幅频响应：(){1,0,c cH j ωωωωω≤>=相频特性：(){0,0,c cj t j ωωωωωϕω-≤>=（2）时域特性冲激响应：()()0cc h t Sa t t ωωπ=-⎡⎤⎣⎦阶跃响应：()()0112c g t Si t t ωπ=+-⎡⎤⎣⎦（3）上升时间r t和带宽c ω的关系：2r c t πω=4. 幅度调制（1）正弦幅度调制 时域：()()()0cos y t x t t ω=频域：()()(){}0012Y jw X j X j ωωωω=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（2）自然抽样的脉冲幅度调制时域：()()()y t x t p t = ， 其中()()()ssn p t u t nT u t nT τ∞=-∞=----⎡⎤⎣⎦∑频域：()()02s n s n Y j Sa X j n T ωττωωω∞=-∞⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑，其中2s s T πω=（3）平顶抽样的脉冲幅度调制时域：)]()([)()(τ--*=t u t u t x t y s ,其中∑∞-∞=-=n s s nT t t x t x )()()(δ频域：)]([)2()(2/s j n sn j X e Sa T j Y ωωωττωωτ-=-∞-∞=∑，其中Ss T πω2=5. 理想抽样信号的内插∑∞-∞=-=n s ss nT t Sa nT x t x )](2[)()(ω其中，s T 为抽样周期，)2(tSa s ω为理想低通的冲击响应。

5.3 例题分析例5.1 利用频率响应求系统响应已知系统的频率响应 ωωj j H +=11)(，系统激励 )()1()(t u e t x t-+=，求系统响应y（t ）。

解 利用系统频率响应求系统响应是傅里叶变换的基本应用之一。

在这类问题中，一般是先求出激励信号的傅里叶变换，再求出响应的傅里叶变换，最后求逆变换而得到系统响应。

因此，这类问题需要掌握求傅里叶变换和逆变换的基本方法，同时也需要理解频率响应是对输入信号中不同频率分量进行加权的物理含义。

在本例中，可求得激励信号的傅里叶变换为ωωπδωωj j t u e f t u f t u e f j X t t +++=+=+=--11)(1)]([)]([)]()1[()(于是，系统响应的傅里叶变换为2)1(1)(1111111)(1)()()(ωωπδωωωωωπδωωωωj j j j j j j H j X j Y ++++⋅=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++==在 )(ωj Y 中有两项是有理分式之积。

为求得它们的逆变换，需要将它们分解为简单分式后求解或利用性质求解，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-----ωωωωωωωj d d j f j f t u e t j j f j j f t 11)1(1)()sgn(2111111112111于是，利用频域微分性质求得[])()(111t u te t u jte j j d d j f tt ---=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωω 而[]21)(1=-ωπδf，故求得系统响应)()1()(21)()sgn(21)(t u te e t u te t u e t t y t t t t ----+-=++-=例5.2 频率响应对输入信号的影响有一因果LTI 滤波器，其频率响应)(ωj H 如图5.1所示。

对一下给定的输入，求经过滤波后的输出)(t y ： （1）tj et x 21)(=（2）)(sin )(1t u t t x ⋅= （3）)3(1)(3ωωωj j j X +⋅=（4）ωωj j X +=21)(4解 本例用来说明系统频率响应对输入信号的影响。

（1）本题有两种解法：一是利用傅里叶变换求解；二是用频率响应的概念来求解。

所谓傅里叶变换求解，就是要先求出输入信号的傅里叶变换，然后再利用公式)()()(ωωωj H j X j R =求得响应的傅里叶变换，最后再求逆变换而得系统响应。

对本题而言，可求得)2(2)(1-=ωπδωj X而由图5.1可知ωωj j H 2)(-=故系统响应的频谱为())2(8)2()2(2)()(11--=-⋅-==ωπδωωπδωωωj j j H j X j Y求其逆变换而得系统响应t j je t y 214)(-= (5.1)由于本题的输入信号tj et x 21)(=是一个频率2=ω的单频信号，因此，本题也可用频率响应的概念求解。

所谓频率响应，就是系统对输入信号中不同的频率分量进行加权的值。

由图5.1可知，系统频率响应在2=ω的函数值为j 4-，即j j H 4)2(-=，这也是该系统对输入信号中2=ω的频率分量的加权值，因此，可以直接写出该频率响应如式（5.1）所示。

推而广之，若输入信号中含有0ωω=的频率分量tj Ae 0ω，则系统对该频率分量飞响应就是tj ej AH 0)(0ωω。

（2）虽然输入信号)(sin )(2t u t t x ⋅=貌似一个单频信号，但由于)(t u 的存在而使得该信号并不是一个单频信号，因此，本题需要用傅里叶变换的方法求解。

为此，先求出输入信号的傅里叶变换[][][][][]2211)1()1(2)(1)1()1(21)(sin 21)(sin )(ωωδωδωωπδωωδωδπππω-+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*--+=*=⋅=j j j t u f t f t u t f j X于是，系统响应[][]⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-++-=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--+==22221)1()1(22)2(11)1()1(2)()()(ωωωδωδπωωωδωδπωωωj j j j H j X j Y求其逆变换而得系统响应)(cos 2)(2t u t t y ⋅-=（3）和上面求解的方法相同，由于)3(1)(3ωωωj j j X +=，故ωωωωj j H j X j Y +-==32)()()(33求逆变换而得系统响应)(2)(33t u e t y t --=（4）由于ωωj j X +=21)(4，故ωωωωωj j j H j X j Y +-==22)()()(44为求得逆变换，需要对此式进行如下分解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=ωωωωj j j j Y 221222)(4 因此，系统响应为)(4)(2)(24t u e t j y t -+-=δω实际上，由于本例系统的频率响应ωωj j H 2)(-=，联想到傅里叶变换的微分性质可以知道，这个系统是一个微分系统，其响应就是对输入信号进行微分后再乘以-2。

例如，在题（2）中，)(sin )(2t u t t x ⋅=，故系统响应[])(cos 2)(sin 2)(2)(22t u t t u t dtddt t dx t y ⋅-=⋅-=-= 同样，对其他几个小题也可用此法求出，所得结果相同。

例5.3 调幅信号通过贷通滤波器的响应已知带通系统的频率响应为()()4410111011)(+++-+=ωωωj j j H（1）求系统的冲激响应)(t h ；（2）粗略画出ω)(j H 幅频特性和相频特性曲线；（3）若系统激励为tt t t x 410cos 3cos 31cos 1)(⎪⎭⎫⎝⎛-+=，求系统响应)(t y 。

解 在“信号与系统”教材中，一般只对低通滤波器的特性比作比较详细的讨论，而对带通和高通未做讨论。

这样安排是的原因是因为带通和高通滤波器的特性与低通滤波器有着密切的关系。

本例将讨论调幅信号通过带通滤波器后响应的求解方法，并说明带通滤波器和低通滤波器之间的联系。

（1）本题冲击响应应有多种求法，这里用卷积的方法求解。

设()ωωjjH+=111，则()()()()[]4411010++-*=ωδωδωωjHjH于是，利用频域卷积性质求得系统冲击响应()()[]()()[]()()[]{}()ttuefjffjHft ht444114411110cos2101011210102-----=++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++-=ωδωδπωωδωδωπ这个结果表明，带通滤波器的冲击响应()t h是冲击响应()th1对载波信号t410cos进行调制的结果。

（2）如果直接从()ωjH的表达式画出系统的幅频和相频特性曲线是比较麻烦的，然而，从题（1）的求解可以知道，()ωjH是对()ωjH1进行频移的结果。

因此，我们可以先画出()ωjH1的幅频和相频特性（图5.2），然后将它们分别搬移到中心频率srad/104±=ω处，从而得到()ωjH的频谱，如图5.3所示。

为画出()ωj H 1的频谱，可将()ωj H 1表示为()()ωωωωarctan 211111j e j j H -+=+=其幅频和相频特性分别是()2111ωω+=j H ,()()ωωϕarctan 1-=j从图5.2和图5.3可以看到，()ωj H 1是一个低通滤波器，而()ωj H 是一个带通滤波器。

这表明，通过调制可以将一个低通滤波器转换为一个带通滤波器。

通常将这种低通滤波器称为带通滤波器的等效低通滤波器。

（3）本题将介绍一种求带通滤波器响应的简单方法。

从题中所给条件可知，激励信号是一个调频符号，其基带信号有直流以及频率分别为1rad/s 和3rad/s 的余弦信号组成，而载波频率为410。

对于这种载波频率远远高于基带频率的信号我们称之为窄带调幅信号，而带通滤波器对这种窄带调幅信号的响应可以利用等效低通滤波器对基带信号的处理结果。

具体而言，就是先求出低通滤波器对基带信号的响应，然后再将这个响应乘以载波信号，其结果就是调幅信号通过带通滤波器的响应。