第五章 傅里叶变换的应用

第一章 傅里叶变换的应用

5.1 内容要点

● 利用傅里叶变换求系统响应 ● 无失真传输的定义和判断

● 理想低通、带通滤波器的传输特性和冲激响应 ● 幅度调制原理及应用

● 调幅信号通过带通系统的分析方法 ● 从抽样信号中恢复原信号的分析方法 ● 连续时间信号的离散处理方法 ● 内插和抽样的基本应用

5.2 公式摘要

1.

线性时不变系统的频域特性

若激励信号

()

x t 的频谱为

()

X j ω，响应

()

y t 的频谱为

()

Y j ω，系统频率响应为

()

H j ω，则

()()()

Y J X J H j ωωω=

2. 无失真传输

（1）定义：相对于激励信号而言，系统响应中各频率分量的相对大小没有变化，相对位置也没有改变。

（2）无失真传输系统的条件

时域：()()0h t K t t δ=-

频域：

()0

j t H j Ke ωω-=

3. 理想低通滤波器

（1）频域特性 频率响应：

(){

0,0,j t c c

e H j ωωωωωω-≤>=

幅频响应：

(){

1,0,c c

H j ωωωωω≤>=

相频特性：

(){

0,0,c c

j t j ωωωωωϕω-≤>=

（2）时域特性

冲激响应：

()()0c

c h t Sa t t ωωπ=

-⎡⎤⎣⎦

阶跃响应：

()()011

2c g t Si t t ωπ=

+-⎡⎤⎣⎦

（3）上升时间r t

和带宽c ω的关系：

2r c t π

ω=

4. 幅度调制

（1）正弦幅度调制 时域：

()()()

0cos y t x t t ω=

频域：

()()(){}

001

2Y jw X j X j ωωωω=

++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

（2）自然抽样的脉冲幅度调制

时域：

()()()

y t x t p t = ， 其中

()()()s

s

n p t u t nT u t nT τ∞

=-∞

=

----⎡⎤⎣⎦

∑

频域：

()()02

s n s n Y j Sa X j n T ωττ

ωωω∞

=-∞⎛⎫

=

-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑，其中2s s T πω=

（3）平顶抽样的脉冲幅度调制

时域：

)]()([)()(τ--*=t u t u t x t y s ,其中

∑∞

-∞

=-=n s s nT t t x t x )

()()(δ

频域：

)]

([)2

(

)(2/s j n s

n j X e Sa T j Y ωωωτ

τ

ωωτ-=

-∞

-∞

=∑

，其中

S

s T π

ω2=

5. 理想抽样信号的内插

∑

∞

-∞

=-=

n s s

s nT t Sa nT x t x )](2

[

)()(ω

其中，s T 为抽样周期，)2

(

t

Sa s ω为理想低通的冲击响应。

5.3 例题分析

例5.1 利用频率响应求系统响应

已知系统的频率响应 ω

ωj j H +=11)(，系统激励 )()1()(t u e t x t

-+=，求系统响应y

（t ）。

解 利用系统频率响应求系统响应是傅里叶变换的基本应用之一。在这类问题中，一般

是先求出激励信号的傅里叶变换，再求出响应的傅里叶变换，最后求逆变换而得到系统响应。因此，这类问题需要掌握求傅里叶变换和逆变换的基本方法，同时也需要理解频率响应是对输入信号中不同频率分量进行加权的物理含义。 在本例中，可求得激励信号的傅里叶变换为

ω

ωπδωωj j t u e f t u f t u e f j X t t +++=

+=+=--11)(1)]([)]([)]()1[()(

于是，系统响应的傅里叶变换为

2

)

1(1

)(11111

11)(1)()()(ωωπδωωωωωπδωωωωj j j j j j j H j X j Y ++++⋅=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++==

在 )(ωj Y 中有两项是有理分式之积。为求得它们的逆变换，需要将它们分解为简单分式后求解或利用性质求解，即

⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-----ωωωωωωωj d d j f j f t u e t j j f j j f t 11)1(1)()sgn(2

11111111

2111