求数列前n项和的七种方法

求数列前N 项和的七种方法

1. 公式法

等差数列前n 项和：

11()(1)

22

n n n a a n n S na d ++=

=+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g

，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。

等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =

(

)1111n n a q q S q

-≠=

-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、)1(211+==∑=n n k S n

k n 2、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

3、21

3

)]1(2

1

[+==

∑=n n k

S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得 n

n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n

--1)1(＝

2

11)

21

1(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *

,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

1

1++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当

8

8-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通

项之积

设

n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②

（设制错位）

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列

⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21

}的通项之积

设n n n

S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①

14322

226242221++⋅⋅⋅+++=n n n

S ……………………………② （设制错位） ①－②得14322

22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n

S （错位相减）

1122212+---=n n n

∴ 12

2

4-+-=n n n S

练习：

求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1

解：S n =1+5x+9x 2

+······+(4n-3)x n-1 ①

①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+

n x ）-（4n-3）x n

当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n =

1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x

n

]

3. 反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例5] 求ο

οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

解：设ο

οοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①

将①式右边反序得

ο

οοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x ο

①+②得 （反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

4. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++

=-n a

a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2

)13(n

n + （分组求和）