麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组解释
麦克斯韦方程组解释
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程组,描述了电磁场的运动规律和相互作用。
这个方程组由四个方程组成,包括:
1. 电场线方程:高斯定理,即电场中的垂直于电荷分布方向的电场线密度必须相等。
2. 磁场线方程:法拉第电磁感应定律,即当一个闭合电路的一部分与一个磁体相互作用时,磁体周围会出现磁场。
3. 光速方程:洛伦兹变换,即光速在任何参考系中保持不变。
4. 散度方程:麦克斯韦方程,描述了电场和磁场的散度和动量张量之间的关系。
这些方程描述了电磁场的运动规律和相互作用,包括电场、磁场、光速和动量这四个维度的相互作用。
这些方程在很多领域都有广泛应用,如无线通信、光学、电磁场计算等。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程中，我们可以推断出光波是电磁波。
麦克斯韦方程和洛伦兹力方程构成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了由20个方程和20个变量组成的原始方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
详细介绍
麦克斯韦方程是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场和磁场的四个基本方程。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程
微分形式的方程通常称为麦克斯韦方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场是一个整体。
方程组系统而完整地推广了电磁场的基本规律，预测了电磁波的存在。
核心理念
麦克斯韦的旋涡电场和位移电流假说的核心思想是:变化的磁场激发旋涡电场，变化的电场激发旋涡磁场;电场和磁场不是彼此孤立的，而是相互联系，相互激发，形成统一的电磁场(这也是电磁波的形成原理)。
麦克斯韦进一步整合了电场和磁场的所有定律，建立了完整的电磁场理论体系。
电磁理论体系的核心是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组
一.麦克斯韦方程组的积分形式
磁场
静电场 电 场 感生
电场
一般 电场
高斯定理
SBdS0
环路定理
Hdl
L
S(j D t )dS
SD (1)dSS内 q0V dV
D(2)dS0 S
D D (1 )D (2)
SDdSVdV
E(1)dl 0 L
E(2)dl
B dS
L
t
E E (1 )E (B 2)
解：1） E72 si0 1n50 t ,
D7200 si1n5 0t
jD d d D t 7 2 15 0 00 c1 o50 s t (A m -2)
2）作如图r＝0.01m的环路，
由安培环路定理：
L HdlSjDdS
r
L jD
H2rjD r2 Hj2 D r3.6 0150 0co 15 s0 t
变化电场和极化 电荷的微观运动
无焦耳热， 在导体、电介质、真空 中均存在
共同点
都能激发磁场
P334 问题：比较导体、介质中 j0 ,数jD量级
三. 安培环路定理的推广
1. 全电流 I全I0ID
对任何电路，全电流总是连续的
D
(j )dS0
S1S2
t
I S1
S 2
S
L
2 1K
2. 推广的安培环路定理
大家好
1
§ 11.3 位移电流
对称性
随时间变化的磁场 感生电场（涡旋电场） 随时间变化的电场 磁场
麦克斯韦提出又一重要假设：位移电流
一.问题的提出
稳恒磁场的安培环路定理：
Hdl L
I0
（L内）
世界第一公式：麦克斯韦方程组
世界第一公式：麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
在英国科学期刊《物理世界》发起的“最伟大公式”中，麦克斯韦方程组力压勾股定理，质能转换公式，名列第一。
这里，不细谈任何具体的推导和数学关系，纯粹挥挥手扯扯淡地说一说电磁学里的概念和思想。
1力、能、场、势经典物理研究的一个重要对象就是力force。
比如牛顿力学的核心就是F=ma这个公式，剩下的什么平抛圆周简谐运动都可以用这货加上微积分推出来。
但是力有一点不好，它是个向量vector（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。
很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。
能量energy说到底就是力在空间上的积分（能量=功=力×距离），所以和力是有紧密联系的，而且能量是个标量scalar，加减乘除十分方便。
分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。
在电磁学里，我们通过力定义出了场field的概念。
我们注意到洛仑兹力总有着F=q(E+v×B)的形式，具体不谈，单看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。
那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。
也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。
它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。
更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。
许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。
这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。
这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。
若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。
麦克斯韦方程组的4个方程组
麦克斯韦方程组的4个方程组：麦克斯韦方程组是一套数学方程，可以用于描述物理系统行为而得到簡單的解決方案。
麦克斯韦方程组实际上是一组由腓力波亚斯不变式分解而成的偏微分方程组，其属于常微分方程，即当变量在单个连续的区间中，其导数是连续的时，就可以使用常微分方程来描述物理系统。
麦克斯韦方程组是一个4个方程的系统，下面就分别给出这4个方程组。
1.比热系数估计方程：$$\rho c_V \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla\cdot(\kappa \nabla T) + q_e$$其中，ρ为物质密度，cV为比热容，T为温度，t为时间，Κ为热传导系数，qe为加热来源。
这个方程关系质点温度的变化与时间的变化，也就是说，当物质质点的温度发生变化时，它的一阶导数随着时间的变化而变化。
2.脉冲行为方程：$$\frac{\partial A}{\partial t}+c\frac{\partial A}{\partialx}=0$$这是一个简单的方程，它对应着某种脉冲性的行为。
当某个物质质点的变化和时间的变化满足这个方程式时，它的形成就是一个脉冲式的变化，也就是说，它会一直保持相同的速度，当它运动到一定距离时，它的变化就会停止。
3.热传导方程：$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2T}{\partial x^2}$$这个方程对应着温度在空间上的变化，也就是温差产生在空间之间，其变化是一种二阶导数式的变化，即当某个物质质点温度发生变化的时候，它的二阶导数会随着它的变化而发生变化。
α为热传导系数。
4.动量方程：$$\rho \frac{d\mathbf v}{dt}=-\nabla p+\mathbf f$$这个方程用于研究物体的动力学，换句话说，它可以用于描述物体的加速度和受力的变化与时间的变化。
Ρ为物质密度，∂v/∂t表示加速度，p为静压，f为外力。
麦克斯韦方程组
㈠麦克斯韦方程组描述无源情况下，变化电场与变化磁场之间关系的两个方程分别是t B E ∂-∂=⨯∇/t D H ∂∂=⨯∇/ （4-3-1）如果交变电磁场是时谐场，即电矢量和磁矢量可以写成如下形式：jwt r E t r E )(),(=jwt r H t r H )(),(= （4-3-2）则（4-3-1）式在无源，无损耗和各向同性的非磁介质的情况下可以写成H j E ωμ-=⨯∇E j H ωε=⨯∇ （4-3-3）式中，ε和μ分别是介质的介电常数及磁导率。
20n εε=；n 是介质的折射率；磁导率0μμ≈。
在平面波导中，存在着沿z 方向的一个行波，而在xy 平面内，由于宽度（y 方向）远大于厚度（x 方向），平板波导的光只在一个方向上（x 方向）受到限制，波导的几何结构及折射率沿y 方向是不变的。
因此，相应的光场的电矢量和磁矢量不沿y 方向变化。
上面的),(t r E 和),(t r H 可以分别写成)(),(),(z t j y x E t r E βω-=)(),(),(z t j y x H t r H βω-= (4-3-4)式中β是沿z 方向的传播常数。
将（4-3-4）式的E 与H 代入（4-3-3）式中，并展开运算，注意到0/=∂∂y ，就可以得到电磁场中各分量之间的关系x y H E ωμβ-=y z x H j x E E j ωμβ=∂∂+/z y H j x E ωμ-=∂∂/x y E H ωεβ=z y E j x H ωε=∂∂/ (4-3-5)y z x E j x H H j ωεβ-=∂∂+/以上6个方程，包含了两组独立的方程组，一组含有y E ，x H ，z H ，另一组含有y H ，x E ，z E 。
第一组因为电场只有横向分量，所以称为TE 波，第二组则是磁场只含有横向分量，所以称为TM 波。
根据这些分量的相互关系，只要知道部分分量就可以将其他分量求出。
麦克斯韦方程组详解
麦克斯韦方程组详解
1麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是一组常微分方程，用于描述物体的运动行为。
该方程组的解取决于初始条件，其解可以用来解释物体的速度和加速度，以及所受外力的大小、方向和方向。
该方程组一般由两个方程组成：动量定理和动量法则。
2动量定理
动量定理是一种物理定理，主要用于说明物体质量的变化和受力的关系。
动量定理简要的表达为：物体的动量的变化等于受力的大小×作用时间。
即受力F与时间t的乘积就是物体动量变化的量级。
以此，可以用动量定理来描述物体受力后的运动状态变化。
3动量法则
动量法则是一种物理定理，用于说明物体受到外力时，物体的动量、速度和加速度等变化的规律性。
动量法则简要表达为：物体受外力F时，物体的动量p变化等于外力F和受力时间t的乘积，即Ft。
因此，可以用动量法则来描述物体受力后的变化情况。
4麦克斯韦方程的解
麦克斯韦方程组的解是对于物体的运动情况的描述，主要由动量定理和动量法则组成。
解得麦克斯韦方程组可以得到物体受到外力F 后，物体的动量、速度和加速度等变化情况。
其解又是由物体的初始
条件求得的，通过解麦克斯韦方程组，可以得到物体的运动参数，从而研究物体的运动行为。
麦克斯韦方程组
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例 求 如图不规则的平 面载流导线在均匀磁场中所受 的力，已知 B 和 I . 解 取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转 产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。 若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管 的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都 为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。 问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁 通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
麦克斯韦方程组
D=εE
B=μH
对于正弦时变场，可以使用复矢量将电磁场定律表示为复数形式。 麦克斯韦方程组复数形式：
▽·������ = −������������������（9） ������ =εE（10） B =μH（11） ������ = ������������ +������′（12）
在复数形式的电磁场定律中，由于复数场量和源量都只是空间位置的函数， 在求解时，不必再考虑它们与时间的依赖关系。因此，对讨论正弦时变场来说面 采用复数形式的电磁场定律是较为方便的。 麦克斯韦方程组的意义： (一)经典场论是 19 世纪后期麦克斯韦在总结电磁学三大实验定律并把它与力学 模型进行类比的基础上创立起来的。 但麦克斯韦的主要功绩恰恰使他能够跳出经 典力学框架的束缚：在物理上以"场"而不是以"力"作为基本的研究对象，在数学 上引入了有别于经典数学的矢量偏微分运算符。 这两条是发现电磁波方程的基础。 这就是说， 实际上麦克斯韦的工作已经冲破经典物理学和经典数学的框架，只是 由于当时的历史条件， 人们仍然只能从牛顿的经典数学和力学的框架去理解电磁 场理论。 (二) 我们从麦克斯韦方程组的产生，形式，内容和它的历史过程中可以看到： 第一，物理对象是在更深的层次上发展成为新的公理表达方式而被人类所掌握， 所以科学的进步不会是在既定的前提下演进的， 一种新的具有认识意义的公理体 系的建立才是科学理论进步的标志。第二，物理对象与对它的表达方式虽然是不 同的东西，但如果不依靠合适的表达方法就无法认识到这个对象的“存在” 。第 三， 我们正在建立的理论将决定到我们在何种层次的意义上使我们的对象成为物 理事实,，这正是现代最前沿的物理学所给我们带来的困惑。 (三) 麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美， 这种优美 以现代数学形式得到充分的表达。但是，我们一方面应当承认，恰当的数学形式 才能充分展示经验方法中看不到的整体性(电磁对称性)；另一方面，我们也不应 当忘记，这种对称性的优美是以数学形式反映出来的电磁场的统一本质。因此， 我们应当认识到应在数学的表达方式中"发现"或"看出" 了这种对称性， 而不是从 物理数学公式中直接推演出这种本质。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组本章要点：1. 电磁感应定律及楞次定律2. 动生电动势和感生电动势*3. 自感与互感*4. 磁场的能量5. 麦克斯韦方程组分别讨论了静电场和稳恒磁场的，以及它们和物质相互作用的基本规律。
随着生产发展的需要，人们深入地研究了电磁现象的本质，从而对电磁场的认识有了一个飞跃。
由实验发现，不但电荷产生电场，电流产生磁场，而且变化着的电场和磁场可以相互产生，所以电场和磁场是一个统一的整体——电磁场。
杰出的英国物理学家法拉第于1831年发现了电磁感应现象，被誉为电磁理论的奠基人。
他的丰硕的实验研究成果以及他的新颖的“场”的观念和力线思想，为电磁现象的统一理论准备了条件。
1862年，英国的麦克斯韦完成了这个统一任务，建立了电磁场的普遍方程组，称为麦克斯韦方程组，并预言电磁场以波动形式运动，称为电磁波。
它的传播速度与真空中的光速相同，表明光也是电磁波。
这个预言于1888年由德国的赫兹通过实验所证实，从而实现了电、磁、光的统一，并开辟了一个全新的战略领域——电磁波的应用和研究。
1895年俄国的波波夫和意大利的马可尼分别实现了无线电讯号的传输……本章首先讨论电磁感应现象，引出涡旋电场，从而得到随时间变化的磁场产生电场的基本规律；然后研究非稳恒条件下电流连续性方程，引出位移电流，说明随时间变化的电场产生磁场，从而得出在普遍情况下安培环路定理的推广形式；最后总结出电磁场运动的普遍规律——麦克斯韦方程。
8.1 电磁感应8.1.1 电磁感应现象自从发现了电流产生磁场的现象以后，人们提出一个问题：电流既然能够产生磁场，那么，能不能利用磁场来产生电流呢?下面先通过几个实验说明什么是电磁感应现象，以及产生电磁感应现象的条件。
1. 取一线圈A，把它的两端和一电流计G连成一闭合回路图8-1 (a)，这时电流计的指针并不发生偏转，这是因为在电路里没有电动势。
再取一磁铁，先使其与线圈相对静止，电流计也不发生偏转。
但若使两者发生相对运动，电流计的指针则发生偏转。
麦克斯伟方程组
所以谈不上产生焦耳热
24
如果， I 0 0 这时全电流定律为 E 表示变化的电场 B d r d S 0 0 t 产生磁场 L S 与涡旋电场的环路定理比较
B E dl dS L S t
二者非常对称 表示变化的磁场 产生电场
s1
s2
K
○
0 J 0 ds 0 J 0 ds B d r
L
9
S1
J 0 dS J 0 dS
S2
S1
S2
显然这与实际相矛盾 由图知
S1
J 0 dS i
S1
J 0 dS J 0 dS 0
4
2. 磁场的高斯定理
在一般情况下，磁场可以由
传导电流和变化的电场激发
B B稳恒 B位移
B稳 恒 和 B位 移 都是涡旋场
在任何磁场中，通过任何封闭曲面的磁通量总等于0
B dS 0
S
5
3. 电场的环路定理 在一般情况下，电场可以由
自由电荷和变化的磁场产生
第十一章 麦克斯韦电磁理论与电磁波
§1 麦克斯韦方程组
一.麦克斯韦方程组 二.位移电流（8.5 与变化电场相联系的磁场）
三. 全电流定律
作业：
1
小结
电现象和磁现象
实验定律 场量 场的性质
q内i (1) E dS 0 S (1) E dr 0 L (1) B dS 0
S
J 0 dS
S
是单位时间流入 S的电荷量，
R
麦克斯韦方程组
§11.3 麦克斯韦方程组主要内容：一与变化电场相联系的磁场二麦克斯韦方程组三电磁波麦克斯韦在分析电磁感应现象后，提出了“涡旋电场”的概念,总结出变化磁场激发电场所遵循的规律。
从对称性考虑，变化的电场会不会激发磁场呢？在分析传导电流激发磁场所遵循的安培环路定理后,他又提出“位移电流”假说，对安培环路定理进行了修改和扩充,总结出变化电场激发磁场所遵循的规律,并在此基础上用一组方程概括了电磁场的全部规律。
C安培环路定理:=⋅⎰Ll d H=∑ii I ⎰⎰⋅SSd j 安培环路定律的局限性11.3.1与变化电场相联系的磁场LS 1S 2S 1:以L 为边界的任意曲面:S 2:以L 为边界的任意曲面:⎰=⋅1S CC I S d j⎰=⋅2S C0S d j? 位移电流麦克斯韦大胆假设:思路: 非稳态→q 变化→电场E.D 变化变化的电场也产生磁场！?=q 传导电流S q dSσ=⋅⎰⎰2D σ=d dq I dt=S q D dS=⋅⎰⎰22S =⎰⎰S D dSdt⋅=⎰⎰2——非稳恒情况下，安培环路定理不成立2P 12r Lσ+σ-Ep 12 r 2归纳麦克斯韦方程组的积分形式:⎰⎰⎰⎰⎰=⋅V0SVd 1S d E ρε 0S d B S=⋅⎰⎰S d tBt d d l d E SL⋅∂∂-=-=⋅⎰⎰⎰Φ]S d tDS d j [l d B SSC 0L⋅∂∂+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰μ通量11.3.2 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组积分形式和微分形式dVS d D V0S⎰⎰=⋅ρS d t D S d J l d H SS 0L⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰∂∂S d t B l d E SL ⋅-=⋅⎰⎰∂∂0S d B S=⋅⎰积分形式一有限区域∇∇∇⨯∇微分形式位移电流与涡旋电场的假设导致麦克斯韦提出电磁波的预言,20年后赫兹用实验证实了电磁波的存在.电磁波的能流密度--玻印廷矢量:HE S ⨯=E xH可确定传播方向u11.3 电磁波简述一基本性质1. 电磁波是横波2. E与H同步变化（同相位）二电磁波波谱无线电波和微波：用于远洋长距离通讯。
麦克斯韦方程组(彩图完美解释版)
麦克斯韦方程组关于热力学的方程，详见“麦克斯韦关系式”。
麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations）是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电磁场的基本方程组。
它含有四个方程，不仅分别描述了电场和磁场的行为，也描述了它们之间的关系。
麦克斯韦方程组是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场已经成为一个不可分割的整体。
该方程组系统而完整地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在。
麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场，变化的电场可以激发涡旋磁场；电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系、相互激发组成一个统一的电磁场（也是电磁波的形成原理）。
麦克斯韦进一步将电场和磁场的所有规律综合起来，建立了完整的电磁场理论体系。
这个电磁场理论体系的核心就是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程组，是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
麦克斯韦方程组的地位麦克斯韦方程组在电磁学中的地位，如同牛顿运动定律在力学中的地位一样。
以麦克斯韦方程组为核心的电磁理论，是经典物理学最引以自豪的成就之一。
它所揭示出的电磁相互作用的完美统一，为物理学家树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在更高层次上应该是统一的。
另外，这个理论被广泛地应用到技术领域。
1845年，关于电磁现象的三个最基本的实验定律：库仑定律（1785年），安培—毕奥—萨伐尔定律（1820年），法拉第定律（1831-1845年）已被总结出来，法拉第的“电力线”和“磁力线”概念已发展成“电磁场概念”。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
历史背景麦克斯韦诞生以前的半个多世纪中，人类对电磁现象的认识取得了很大的进展。
1785年，C．A．库仑（Charles A．Coulomb）在扭秤实验结果的基础上，建立了说明两个点电荷之间相互作用力的库仑定律。
1820年H．C．奥斯特（HansChristian Oersted）发现电流能使磁针偏转，从而把电与磁联系起来。
其后，A．M．安培（Andre Marie Ampere）研究了电流之间的相互作用力，提出了许多重要概念和安培环路定律。
M．法拉第（Michael Faraday）的工作在很多方面有杰出贡献，特别是1831年发表的电磁感应定律，是电机，变压器等设备的重要理论基础。
在麦克斯韦之前，关于电磁现象的学说都以超距作用观念为基础。
认为带电体、磁化体或载流导体之间的相互作用，都是可以超越中间媒质而直接进行，并立即完成的。
即认为电磁扰动的传播速度是无限大。
在那个时期，持不同意见的只有法拉第。
他认为上述这些相互作用与中间媒质有关，是通过中间媒质的传递而进行的，即主张间递学说。
麦克斯韦方程组
6. 局限性 （1）是在承认电荷连续分布基础上建立的宏观
经典理论，未和物质微观结构联系起来 . 1895年： 汤姆生发现电子 . 20 世纪初： 洛仑兹建立电磁现象微观理论
经典电子论
量子电磁理论
（2）不完全对称 ？ 不存在磁单极 .
思考：如果存在磁单极，麦克斯韦方程如何修正 ？
=
∫V
ρdV
环路定理
∫r
H
L
⋅
d
r l
r
= ∫S ( j +
∂
r D
∂t
)
⋅
d
r S
∫r
E
(1)
⋅
r dl
=
0
L
∫ ∫ r
E
(2)
⋅
r dl
=
−
∂Br
⋅
r dS
L
∂t
∫ ∫ r
E
=
r E⋅
r E
(1)
+
r dl = −
r E
(2)
r
∂B
⋅
r dS
L
S ∂t
麦克斯韦方程组
积分形式
∫SDr
r ⋅ dS
=
dF r
m
Fm =
q =
vv
×
v B
v Idl
×
v
dFm
v B
v M
=
v Pm
×
v B
第12章
1. 感应电动势的计算
ε = − dψ m
dt
= − N dφm
dt
ε动 = ∫
(vv
麦克斯韦方程组
㈠麦克斯韦方程组描述无源情况下，变化电场与变化磁场之间关系的两个方程分别是t B E ∂-∂=⨯∇/t D H ∂∂=⨯∇/ （4-3-1）如果交变电磁场是时谐场，即电矢量和磁矢量可以写成如下形式：jwt r E t r E )(),(=jwt r H t r H )(),(= （4-3-2）则（4-3-1）式在无源，无损耗和各向同性的非磁介质的情况下可以写成H j E ωμ-=⨯∇E j H ωε=⨯∇ （4-3-3）式中，ε和μ分别是介质的介电常数及磁导率。
20n εε=；n 是介质的折射率；磁导率0μμ≈。
在平面波导中，存在着沿z 方向的一个行波，而在xy 平面内，由于宽度（y 方向）远大于厚度（x 方向），平板波导的光只在一个方向上（x 方向）受到限制，波导的几何结构及折射率沿y 方向是不变的。
因此，相应的光场的电矢量和磁矢量不沿y 方向变化。
上面的),(t r E 和),(t r H 可以分别写成)(),(),(z t j y x E t r E βω-=)(),(),(z t j y x H t r H βω-= (4-3-4)式中β是沿z 方向的传播常数。
将（4-3-4）式的E 与H 代入（4-3-3）式中，并展开运算，注意到0/=∂∂y ，就可以得到电磁场中各分量之间的关系x y H E ωμβ-=y z x H j x E E j ωμβ=∂∂+/z y H j x E ωμ-=∂∂/x y E H ωεβ=z y E j x H ωε=∂∂/ (4-3-5)yz x E j x H H j ωεβ-=∂∂+/以上6个方程，包含了两组独立的方程组，一组含有y E ，x H ，z H ，另一组含有y H ，x E ，z E 。
第一组因为电场只有横向分量，所以称为TE 波，第二组则是磁场只含有横向分量，所以称为TM 波。
根据这些分量的相互关系，只要知道部分分量就可以将其他分量求出。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出电磁波在真空中以光速传播，并进而做出光是电磁波的猜想。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程是经典电磁学的基础方程。
从这些基础方程的相关理论，发展出现代的电力科技与电子科技。
麦克斯韦在1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的：.高斯定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。
电场线开始于正电荷，终止于负电荷（或无穷远）。
计算穿过某给定闭曲面的电场线数量，即其电通量，可以得知包含在这闭曲面内的总电荷。
更详细地说，这定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。
..高斯磁定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在。
所以，没有孤立磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。
磁场线会形成循环或延伸至无穷远。
换句话说，进入任何区域的磁场线，必需从那区域离开。
以术语来说，通过任意闭曲面的磁通量等于零，或者，磁场是一个无源场。
..法拉第感应定律：该定律描述时变磁场怎样感应出电场。
电磁感应是制造许多发电机的理论基础。
例如，一块旋转的条形磁铁会产生时变磁场，这又接下来会生成电场，使得邻近的闭合电路因而感应出电流。
..麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠传导电流（原本的安培定律），另一种是靠时变电场，或称位移电流（麦克斯韦修正项）。
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应用斯托克斯定理，得到全电流定律的积分形式
变化的电场能产生磁场。 变化的电场也看成一种电流。
麦克斯韦方程组
15
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
有时候在全电流中还需要考虑不导电空间电荷运动形成的运流电流。运流 电流密度为
完整的全电 流定律的微 分形式应为
麦克斯韦方程组
全电流定律表明，除传导 电流、运流电流产生磁场 外，位移电流也产生磁场。 传导电流和运流电流都是 电荷的运动。但位移电流 却不是电荷的运动，而只 是电场的变化。
在静止媒质中 e l Ei dl
lE id ls( E i)d S B td S
Ei
B t
图 变化的磁场产生感应电场
感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场 B
是产生 E
的涡旋源，故又称涡旋电场。
i
t
麦克斯韦方程组
9
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
若空间同时存在库仑电场, 即 EEC Ei ,则有
位移电流：
Sd u d u idSJd Sd(d t)C d tic
麦克斯韦方程组
17
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
电容本身是不可能传导电流的，但接入电容器的闭合电路并 不就是等于断开了电路。 电容器仍然起到了传递相互作用的作用。这种相互作用体现 在电容器的充电与放电的过程中。无论是充电还是放电，在电 容器的极板之间的空间中出现了变化的电场，这个变化电场通 过储存和放出能量来响应电路中的电流变化。 如果我们考虑这个变化电场的电通量的时间变化率，就会发 现总是和电路中的电流大小相等。而电位移矢量的时间变化率 的方向总是和电路中的电流的方向一致，那么我们很自然地就 可以把这个变化的电场看成一种等效的电流，而整个电路的电 流就没有因为电容的缘故而断开，而是仍然保持连续性。这个 等效的电流就是位移电流。
16
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
例5-2-1求图所示平行平板电容器中的位移电流密度和位移电流。
解 设电容器极板面积为S，正负极板距离为d,电介质的介 电常数为ε，电容器正负极之间加随时间变化的电压u。
Eu , DEu(t)
d
d
D du
位移电流密度：
Jd t
( ) d dt
位位位移移移电电电流流流密密密度度度
麦克斯韦方程组
感生电动势的参考方向
4
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
根据磁通变化的原因， e 分为三类：
1.回路不变，磁场随时间变化
eddt SB t dS
又称为感生电动势斯韦方程组
5
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
2.磁场不变，回路切割磁力线
麦克斯韦方程组
18
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
5 .3 电磁场的基本方程组
积分形式
全电流定律：麦克斯韦第一 方程，表明传导电流和变化 的电场都能产生磁场。
微分形式
时变电磁场的基本原理
这就是时变场的电流连续性方程 传导电流不再保持连续。
麦克斯韦方程组
13
电磁场理论
2.位移电流
时变电磁场的基本原理
在时变场中，传导电流不再保持连续。
可以看作是一种电流密度，记为 全电流密度为
位移电流密度
麦克斯韦方程组
14
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
3.全电流定律
根据位移电流的假设，麦克斯韦将安培环路定理推广到时 变场，得到全电流定律的微分形式
eddt l(νB)dl
图 动生电动势
称为动生电动势，这是 发电机工作原理，亦称 为发电机电势。
麦克斯韦方程组
6
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
实际上，运动回路中产生感应电动势的原因，同样 是回路中的磁通发生变化。
麦克斯韦方程组
7
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
3. 磁场随时间变化，回路切割磁力线
ed d tl(νB )dlS B tdS
英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变 场的电磁基本特性用统一的麦克斯韦方程组高度概 括。麦克斯韦方程组是研究宏观电磁场现象的理论 基础。
麦克斯韦方程组
2
电磁场理论
时变场的知识结构框图：
时变电磁场的基本原理
高斯定律 磁通连续性原理
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量
正弦电磁场
思考
Hdl JdS0
l
S2
为什么相同的线积分结果不同？电流不连续 吗？原因所在？
2021/3/8
麦克斯韦方程组
11
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
1.时变场的电流连续性
在恒定电场中传导电流是恒定电流。根据恒定电流 的连续性，有
在时变场中，根据电荷守恒原理，有
麦克斯韦方程组
12
电磁场理论
应用散度定理，可得
E B t
表明不仅电荷产生电场，变 化的磁场也能产生电场。
思考
图 变化的磁场产生感 应电场
根据自然界的对偶关系，变化的电场是否会产生 磁场呢？
2021/3/8
麦克斯韦方程组
10
电磁场理论
1.2 全电流定律
时变电磁场的基本原理
问题的提出
l H dl i
经过S1面
Hdl JdSi
l
S1
交变电路用安培 环路定律 经过S2面
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
电磁场理论 麦克斯韦方程
1.1 法拉第电磁感应定律 1.2 全电流定律 1.3 电磁场的基本方程组 1.4 坡印廷定理和坡印廷矢量
2021/3/8
麦克斯韦方程组
1
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
在时变场中，电场与磁场都是时间和空间坐标 的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产 生磁场，电场与磁场相互依存构成统一的电磁场。
实验表明：只要与回路交链的磁通发生变化，回路
e 中就有感应电动势。 与构成回路的材料性质无关
（甚至可以是假想回路），当回路是导体时，有感
应电流产生。
思考 电荷为什么会运动呢？即为什么产生感应电流呢？
2021/3/8
麦克斯韦方程组
8
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
4. 感应电场
麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该 电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场 。
动态位A ,
分界面上衔接条件
达朗贝尔方程
电磁辐射、传输线及波导
麦克斯韦方程组
3
电磁场理论
时变电磁场的基本原理
1.1 法拉第电磁感应定律
电磁感应定律（Faraday’s Law）
当与回路交链的磁通发生变化时，回路中会产生感应电 动势，这就是法拉弟电磁感应定律。
电磁感应定律： e d dt
负号表示感应电流产生的 磁场总是阻碍原磁场的变化。