人教版九年级数学 阴影问题解题方法及其训练
九年级数学求阴影部分的面积
在处理不规则多边形或复杂组合图形 时，可以通过分割法将其划分为几个 三角形、矩形等简单图形，然后利用 基本图形的面积公式进行计算。
添补法简化计算过程
添补法原理
在组合图形中添加一些辅助线或基本图形，使得阴影部分形成一个规则的、易于 计算面积的基本图形，然后减去添加部分的面积，得到阴影部分的面积。
提高综合运用能力，培养创新思维
综合运用多种方法
在实际问题中，可能需要综合运用多种方法来求解阴影部分面积。因此，要熟练掌握各种方法，并能够根据问题 的特点选择合适的方法。
培养创新思维
在求解阴影部分面积时，要敢于尝试新的方法和思路。通过不断地尝试和创新，可以锻炼自己的思维能力和创新 能力。
06 练习题与答案解析
添补法应用举例
在处理一些具有对称性或旋转性的组合图形时，可以通过添补法将其转化为一个 完整的、规则的图形，然后利用基本图形的面积公式进行计算。
等积变换思想在解题中体现
等积变换原理
通过图形的平移、旋转、对称等变换， 使得阴影部分与某个已知面积的基本 图形重合或相等，从而直接得到阴影 部分的面积。
等积变换应用举例
1 2
圆的定义及性质
圆是平面上所有与给定点（中心）距离相等的点 的集合。
扇形的定义
由两个半径和它们所夹的弧围成的图形叫做扇形。
3
圆心角、弧长与半径的关系
圆心角的度数等于它所对弧长与半径的比值乘以 180。
弧长、圆心角及扇形面积计算
弧长公式
应用举例
弧长 = (圆心角/360°) × 2πr，其中r 为半径。
分。
02
三角形中的阴影部分
当三角形中有一部分被其他图形遮挡时，被遮挡的部分即为阴影部分。
初中数学几何阴影面积的三种解法
初中数学几何阴影面积的三种解法，必须掌握一、公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。
简单举出2个例子
二、和差法
攻略一直接和差法
这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。
只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。
攻略二构造和差法
从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。
三、割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。
尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平
移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。
攻略一全等法
攻略二对称法
攻略三平移法
攻略四旋转法。
九年级数学人教版(上册)小专题15 四种方法求阴影部分的面积
方法 2 和差法 ★直接和差法
将不规则阴影部分的面积看成是以规则图形为载体的一部分， 其他部分空白且为规则图形，此时采用整体作差法求解.如图：
⇨S 阴影＝S△ABC－S 扇形 CAD
⇨ S阴影＝S△ABO－S扇形COD
2（. 2021·包头）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝ 5，
方法 4 容斥原理
有的阴影部分面积是由两个基本图形互相重叠得到的.常用的方 法是：两个基本图形的面积－被重叠图形的面积＝组合图形的面积.
10.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝ 3，
分别以点 A，B 为圆心，AC，BC 的长为半径画弧，分别交 AB 于点
D，E，则图中阴影部分的面积是51π2－
与 AB 相交于点 F，连接 OE，OF，则图中阴影部分的面积是
7 2
3－43π .
★构造和差法
先将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为 规则图形，再进行面积和差计算.如图：
4（. 2021·吉林）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝2.以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 D， E，则图中阴影部分的面积为 23π－ 3 （结果保留 π）.
3 2
.
11.如图，正方形 ABCD 的边长为 3，以点 A 为圆心，2 为半径 作圆弧，以点 D 为圆心，3 为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分 别为 S1，S2，则 S1－S2＝134π－9 .
BC＝2，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 D，交 AC
于点 C，以点 B 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB 于点 E，交 BC
中考复习专题：阴影部分的面积计算(共15张ppt)
中考复习专题
阴影部分面积的计算
专题解读
阴影部分面积的计算是中考的必考考点之一，这类问题中 的图形通常比较复杂，涉及的知识点有三角形、四边形、圆、 扇形、正多边形等，具有很强的综合性．阴影部分面积的计算 在选择题和解答题中均有涉及，考查形式也比较灵活，经常在 图形变换背景下进行考查．根据涉及的图形可分为两类：一类 是与扇形有关的阴影部分面积，另一类是与多边形有关的阴影 部分面积．当阴影部分是基本图形时，可直接应用公式进行计 算；当阴影部分为不规则图形时，要灵活运用“割补”“拼凑 ”“等积变形”“去重”等常用方法将不规则图形转化为规则 图形面积的和与差求解，关键是分析清楚阴影部分与背景图形 的关系．
例4 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3，以斜边 AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′， 则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为( C )
A． 3 C．9
4
B． 3＋1 D．15
4
归纳总结 解答类似问题时，要注意分析已知多边形具备的条件，除了常规“
4
典题精讲
类型一：与扇形有关的阴影部分面积的计算 例1 (2019·重庆)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为 圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部 分的8面积2－是8 8－8 ．
【思路分析】 连接 AE，可以求得∠BAE＝∠DAE＝45°，根据图形可知阴影部分的面积＝S 矩形 ABCD－S 扇形 BAE－S△ADE＋S 扇形 EAF－S△ADE，而 S 扇形 BAE＝S 扇形 EAF，S ＝S 阴影部分 矩形 ABCD－2S△ ADE 可求解．
初中数学阴影面积答题技巧
初中数学阴影面积答题技巧对于一些简洁求阴影局部面积的题目,其根本思路是找寻阴影局部图形与规那么图形之间的关系,然后利用面积和差进展计算即可. 但有些题目是无法干脆利用和差求解的,必需要对图形进展视察分析,选择适当的方法进展计算,下面是我为大家带来的初中数学阴影面积答题技巧大全，盼望大家能够喜爱！初中数学阴影面积答题技巧所谓分割策略，又称“化整为零”，是将一个图形分割成假设干个有逻辑联系的、较简洁或较熟识的、能够应用根本公式进展面积计算的图形，从而解答阴影图形的面积的策略。
分割策略是解答“阴影面积问题”的最重要的策略。
理论上，中小学中的任何图形都可分割为假设干三角形和扇形，因而都是可用公式进展计算的。
在实践中，分割策略一般具有两种功能：(1)为利用几何性质和定理进展补整或拼图缔造条件;(2)为图形之间的转换缔造条件。
在详细运用分割策略时，一般遵照由外到内、由大到小的次序进展分割，以实现规那么图形的最大化，减小计算量。
例2.△ABC为一住宅区的平面示意图，其周长为800m，打算把住宅区外5m内(图2中△ABC与三段圆弧和分别与之相切的三条公切线所围成的阴影局部)作为绿化带，求此绿化带的面积。
分析：作为一个整体，阴影图形(绿化带)的面积很难干脆求出，依据题目中“圆弧”、“相切”等信息，可以运用分割策略，将阴影图形分割为三个矩形和三个扇形。
然后再运用“补整策略”将三个扇形合并为一个圆，将三个矩形合并为以△ABC周长800m为边，5m为高的矩形。
于是，S阴影=S圆+S矩形。
初中数学几何做协助线技巧协助线在平行四边形中的恰当运用平行四边形主要包括正方形、菱形，以及矩形，这些图形的两组对边、对角等具有的性质都有必须的相像之处，所以，协助线在这些图形中的添加方法一般都具有较大的相像性，往往都是为了实现线段的垂直与平行，在此根底上构成相应的全等、相像三角形。
通常状况下，都是平移、连接图形对角线，或者是结合实际状况连接其中一边的中点与顶点等方式，从而将平行四边形奇妙转化成相应的矩形、三角形等图形，这样再分析解决其该题目那么更加便捷。
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法01和差法对于不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．贵港中考如图1，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA= 4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) ．图1解析: 图形中的阴影部分是不规则图形，较难直接计算．注意到阴影部分是环形BECA的一部分，因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积，又图形DCA的面积等于扇形DOA 的面积减去△ODC的面积．图2如图2，连接OD交弧CE于M．因为OA=4，C是OA的中点，CD⊥OA，所以OD=4，OC=2，DC=2√3，所以∠ODC=30°，∠DOC=60°02割补法对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形会，再求面积.吉林中考如图3，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是( 结果保留π) ．图3解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后，可以补到上方两个空白的新月形的位置．是否能够完全重合，通过计算验证即可．图4如图4，过点O作OD⊥AB于D，连接OA、OC、OB．由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO，03等积变形法运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.天水中考如图5，以AD为直径的半圆O经过Ｒt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E 是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π/3，则阴影部分的面积为图5解析: 阴影部分是Ｒt△ABC的一部分，运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积．连接BD、BE、BO、OE，如图6．图6因为点E、B是半圆弧的三等分点，所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°，所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°，所以BE∥AD．04平移法一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算．2019年黄石中考模拟如图7，从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上)，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN，已知AB=12cm，则阴影部分的面积是．图7解析: 因为AB∥MN，由平行线间的距离处处相等，可以平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，这样不规则的阴影图形就变成一个环形.图8如图8．过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OB，设大半圆的半径为Ｒ，小半圆的半径为r.05旋转法一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．安顺中考如图9，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为图9解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐，根据已知条件及圆的旋转不变性，利用图形的旋转可实现解题．图10如图10，连接OE 交BD于M．因为CD 是⊙O 的切线，所以OE⊥CD，又AB∥CD，则OE⊥AB，而OE=OB，易知△OBM ≌△EDM，把△OBM绕点M旋转180°就会转到△EDM，阴影部分就转化为扇形BOE，恰好是半径为2的圆的四分之一，06对称法一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．赤峰中考如图11，反比例函数y=k/x( k＞0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点，且A( 1,√3) ，图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) ．图11解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性———既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积．过点A作AD⊥x轴于D，如图12．图12因为A( 1，√3) ，所以∠AOD=60°，OA=2，又因为点A、B关于直线y=x对称，所以∠AOB=2×( 60°－45°)=30°．07整体法当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．安徽中考如图13，半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离，A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点，则图中阴影部分的面积是图13解析: 由已知条件，分别求阴影部分的圆心角不易求得，但将五个扇形的圆心角合为一整体，它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°，所以阴影部分面积是一个整圆的面积，所以S阴影=π．08方程法有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．2019年武汉模拟如图14，在边长为2的正方形ABCD 中，分别以2为半径，A、B、C、D 为圆心作弧，则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) ．图14解析: 仔细观察图形，有两种相同特征的图形在正方形内部，一起围成所求的阴影部分．设弧AC与弧BD交于点G，连接BE、EC，如图15．图15设形如AED 图形的面积为x，形如DEG 图形的面积为y，那么S阴影= S正-4 ( x+y) ，只需求出(x+y)的结果即可．09推算法某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．南宁中考如图16，Ｒt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为平方单位．图16解析: 设左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，整个图形的面积可以表示成: 以AC 为直径的半圆+ 以BC为直径的半圆+△ABC．也可以表示成: S1+S2+以AB为直径的半圆。
初中数学阴影面积求解小技巧
初中数学阴影面积求解小技巧
阴影部分面积计算是全国中考的高频考点，常在选择题和填空题中考查。
求阴影部分面积的常用方法有以下三种：
一、公式法（所求面积的图形是规则图形）
二、和差法（所求图形面积是不规则图形，可通过添加辅助线转化为规则图形的和或差）
（1）直接和差法
（2）构造和差法
三、等积变换法（直接求面积无法计算或者较复杂，通过对图形的平移、选择、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件）（1）全等法
（2）对称法
（3）平移法
（4）旋转法
练习题。
与圆有关的计算求阴影部分面积-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
与圆有关的计算求阴影部分面积 题型解读｜模型构建｜通关试练模型01 阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键． 模型02 阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形=n 360πR 2或S 扇形=12lR （其中l 为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键. 模型03 与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.求阴影部分面积方法总结 方法一 直接利用公式法求阴影部分面积方法二 直接或构造和差法求阴影部分面积 方法三 利用等积转换法求阴影部分面积方法四 利用容斥原理求阴影部分面积模型01 阴影部分面积计算 考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.答｜题｜技｜巧 第一步： 确定弧所对的圆心，（找圆心）第二步： 连接圆心与弧上的点；（连半径） 第三步： 确定圆心角度数（有提示角度的话注意求解相应角，没有提示角度的话一般为特殊角，大胆假设小心论证）第四步： 把不规则图形面积转化为规则图形面积进行求解例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm −【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+−⋅ 21164π410442=⨯+⨯−⨯⨯244π20=+−4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为 ．【答案】5π−/5π−+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形， 又OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，A C B E C O ∠=∠，∴ACB ECO ∠∽， ∴AC AB EC EO =，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =−=−， ∴636r r =−，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====， 90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒−︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S −−=⨯⨯−−=−正方形，故答案为：5π−．模型02 阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.答｜题｜技｜巧第一步： 观察图形特点，确定弧长和线段长；第二步： 利用弧长公式求长度；第三步： 求图形中其它边的长度；例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为 ，阴影部分①②的总面积为 ．【答案】 2π+ 2233π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC ===，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin602PF PB =⋅︒=∴阴影部分①的周长AP BP l l AB =++ 3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=−−⨯⎣⎦扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=−−⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦ 23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为 ．【答案】a π 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，边长为a ，AB CB AD CD a ∴====，90B D ∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a a ππ⋅=⨯=．故答案为：a π． 模型03 与最值相关的计算 考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题. 答｜题｜技｜巧 第一步： 观察图形特点，确定变量和不变的量（一般情况下弧长固定，线段长变化）第二步： 利用将军饮马或者“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等知识点进行转化 第三步： 牢记弧长公式，求对弧长和线段长；第四步： 利用数形结合思想注意确定最值；例1．（2023·江苏）如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若1OA =，则阴影部分面积的最小值为（ ）A ．3144πB ．142π−C ．24πD ．184π− 【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可， 从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，12OD AB ∴===，1DC OC OD ''∴=−=，1111122AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⎝⎭四边形， 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==， ∴阴影部分面积的最小值42π=−，故选：C ． 例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．323π−【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴，∵OA'=OB'=∴=，∴tan ∠A'OP=tan ∠，∴∠A'OP=∠B'OP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=()212042132462236023ππ−=− ，故答案为：D ． 例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP +=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==， ∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒. 故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（ ）A ．12B ．π3C ．35π4−D ．15036π4949− 【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =−=−． ∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽， ∴CE OE CA AB = ， ∴443x x −= ， 解得127x = ，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =−−+阴影正方形扇形扇形 22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯−− ⎪⎝⎭ 150364949π=−．故选D ．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（ ）．A ．13πB ．43πC ．23π D3− 【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OFA＝2 6022= 3603 p p.故选：C．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O重合，且AB BC=，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A B C D【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB =∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△，则阴影部分面积与圆的面积之比为23π=， 故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（ ）A ．2π﹣4B ．4π﹣8 CD【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB=2120·41-23602π⨯= ，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（ ）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（ ）A ．13πB ．43πC ．23πD ．23π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒， ∴260223603OFA S S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积 （结果保留π）【答案】4π8−【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，， ∴14482ABC S =⨯⨯=△，4542CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯−=−空白， ∴()816448ABC S S S ππ=−=−−=−阴影空白，故答案为：48π−．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是 ．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠A=90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE = ∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒−︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒−∠=︒−︒=︒∵OB OF =∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒−︒−︒=︒∴BF 的长==，4BF ==，∴ 阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是圆的切线；(2)已知4sin 5OCD ∠=，AB =AC 长度及阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC=∠BDE∴∠A=∠EDB∵∠AOB=90°∴∠A+∠ABO=90°∴∠ODB+∠BDE=90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC=90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD=OB=4x ，则OC=5x ，∴3CD x∴AC=3x∴OA=OC+AC=8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x += 解得1x =，（-1舍去）∴AC=3，OC=5，OB=OD=4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD ∠==∴设OE=4y ，则CE=5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y += 解得53y =，（53−舍去） ∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影 ∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π 【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S 半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE=2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE)+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π 故选D.2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 是AB 中点，在AD 上取一点G ，以点G 为圆心，GD 的长为半径作圆，该圆与BC 边相切于点F ，连接DE ，EF ，则图中阴影部分面积为（ ）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD＝GF＝CD＝CF＝4∴BF＝BC﹣FC＝2∵S阴影＝（S四边形ABFD﹣S△AED﹣S△BEF）+（S扇形GDF﹣S△GDF）∴S阴影＝（(26)4116222222+⨯−⨯⨯−⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B．3．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画AB，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，求阴影部分面积( )A ．4π−B ．6πC ．42π−−D ．43π−−【答案】C【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴∠EBC=60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM=EM MC =tan30°=，∴，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM=EMBM∴BM=，∵BM+MC=BC=4，∴=4，∴EM =∴BM=1==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC=90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE=BM=1，∵AB=BC=4，∠ABC=90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABCS AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=−−=−−△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）A ．（π）cm 2B ．（πcm 2C ．（2π）cm 2D ．（2π-cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF=1226023360π⨯⨯2π)cm2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（ ）A ．πB ．5π+C ．524π−D ．724π− 【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴AB 由旋转，得EOF BOA ≌，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积−扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+−5124π=−故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中，2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）A ．23πB ．213π−C ．3πD ．132π− 【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==， ∵290603BOC ︒︒=⨯=∠， ∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴ 2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+−=+⨯⨯−⨯⨯=−△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π−．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S −为（ ）A ．13124π−B ．9124π−C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S −+=−矩形扇形扇形， ∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯−=⨯−−=−， 故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（ ）A ．44π−B ．4πC ．24π−D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值， ∵24OA OD ==， ∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB=90°，∴tan OE OA OAE =⋅∠=，∴4OAE OAB S S S π=−=阴影扇形， 故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积= ．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA =，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S =，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA ==，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA =，AOF ∴是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB 相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为 ．【答案】223π+ 【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =∴6tan 30BC AC ===︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE+S △DEF∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG=∠EOG=30°，∠DGO=90°，∴cos302OG OD =⋅︒==，2GF OG OF =+=，∴S 阴影= S 扇形ODE - S △DEO +S △DEF=260211222(22360223ππ⨯⨯−⨯⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为 ．【答案】42π−【详解】取弧AB 的中点C′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D1222OD AB ∴===12DC OC OD ''∴=−=−1111(122AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+=四边形扇形AOB 的面积29013604ππ⨯== ∴阴影部分面积的最小值为4π=故答案为：4π．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值= ．【答案】【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P，∴OP=2．∵OA'=OB'=4，∴∴tan ∠A'OP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠A'OB'=120°，∴S 阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB'=2120π4360⋅⋅﹣122⋅．故答案为：．13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于 ．【答案】【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ， 由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小， ∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒， 又OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则tan ADC ∠= ．故答案为：．14．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为 ．【答案】13π16−+【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME=MD=MC=R ，∠MDO=∠MEO=90°，结合MO=MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD=∠MOE=12∠AOB=120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME=90°-∠MOE=30°，∴OE=ME=R ，OM=2OE=R ，又∵OA=OC=OB=1，∴OM+MC=1，即R+R=1，解得R=3，∴OE=2BE=OB -1，∵∠MOE=60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME=30°，∴∠CME=180°-∠OME=180°-30°=150°，15015015223603606EC ME R πππ=⨯⨯=⨯⨯=−，则阴影部分的周长为：BE+BC +EC 1+13π+156π−=1316π−，故答案为：1316π−．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为 ．【答案】534π+ 【详解】解：∵32CD AB ==，AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==，BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+． 故答案为534π+． 16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)23π【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒−︒=︒，CA CD =，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒−︒−︒=︒，∴AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA =， ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 60CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积260212236023ACD ACD S S ππ⋅⋅=−=−⨯=扇形17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC , 以AB 为直径作圆O ，分别交AC , BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)23π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∴AE ⊥BC ，∵AB=AC ，∴BE=CE ；（2）∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40° ∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE=90°-∠BAE=70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE=180°-∠ABE=110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ−⨯⨯阴影部分扇形． 18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π−【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯−163π=．。
初中数学专题辅导：阴影面积求法9种方法(不规则图形)
阴影面积求法阴影部分的图形一般是不规则图形或没有可直接利用的公式，因此，同学们常感到困难。
本文指出：求解这类问题的关键是将阴影部分图形转化为可求解的规则图形的组合。
如何转化呢?这里给出常用的9种转化方法。
1. 直接组合例1. 如下图，圆A 、圆B 、圆C 、圆D 、圆E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）A. B. 1.5 C. 2 D. 2.5ππππ（02年河南省中考）分析：由于每个扇形圆心角的具体角度未知，故无法直接进行计算。
因为五边形ABCDE 的内角和=540°=360°+180°，从而可知所求阴影部分的面积可以重新组合成一个圆和一个半圆的面积，即1.5个圆的面积：，选（B ）。
ππ5.1)1(5.12=⋅⨯ 2. 圆形分割例2. 如下图，ΔABC 中，∠C 是直角，AB=12cm ，∠ABC=60°，将ΔABC 以点B 为中心顺时针旋转，使点C 旋转到AB 边延长线上的点D 处，则AC 边扫过的图形（阴影部分）的面积是_________（=3.14159……，最后结果保留三个有效数字）。
2cm π（03年济南市中考）解：在中，ABC Rt ∆所以cm AB BC BAC ABC 6213060==︒=∠︒=∠又易证 ，EBD Rt ABC Rt ∆≅∆。
，，所以︒=∠=∠︒=∠=∠=∆∆12060CBD ABE EBD ABC S S EBD ABC 故所求阴影面积为整个图形的总面积减去空白图形的面积，即）。
（＝＝＝）（）＝（扇形扇形扇形扇形阴影22211336636012012360120cm S S S S S S S BCDBAE ABC BCD EBD BAE ≈⋅-⋅-+-+∆∆πππ3. 平移例3. 如下图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为________________。
新人教版九年级数学下册《求阴影面积专题训练》课件_2
• 4.（2015广东，第16题）如题16图，△ABC三边的
中线AD，BE，CF的公共点G，若 ，则图中阴影部
分面积是
.
• 【提示】等底等高的三角形面积相等。
• •
SBFG
1 3
SABD
1 6
SABC
1 6
12
2
同理，SCEG 2
S阴影 SBFG SCEG 2 2 4
题4图
• 归纳：本题利用了规则图形面积的几分之几进行解题。
• 9.（2018包头）如图，在⊿ABC中，AB=2，BC=4，
∠ABC=30゜，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交
BC于点D，则阴影部分的面积为（ A ）
•
A.
2-
B. 2 -
C.
4-
3
6
3
• 【提示】作⊿ABC的高AE。
D.
4-
6
• 10.（2018黄冈）如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90゜，
• 在近十年的广东中考题中反复出现，如2012、2013、 2014、2015年连续四年均有出现，间隔了2016、 2017年没出现后，2018年又再出现，占分3—5分， 具体的请同学们浏览下面的1-5题。
• 按照三年一轮回的规律，估计2019年的中考还会出 现。期望通过本节课的复习，同学们能够掌握这类题 的思想方法，在中考时遇到这类题能做到得心应手、 轻松解决。
• 求解的方法很多,如割补法、全等变换法、相似变换 法、等积变换法、和差变换、整体变换等方式转化 成三角形、平行四边形（矩形、菱形、正方形）、 圆、扇形、弓形等特殊图形的面积.
二、复习巩固基础规则图形的面积计算公式：
• 1.三角形面积 • （1）普通三角形面积： • （2）特殊三角形面积：
数学人教版九年级上册求阴影部分的面积
课题: 求图形阴影部分的面积本节课是学完《圆》后的一节复习课，在求解阴影部分面积时综合运用了其它的几何知识。
一、主要设计意图：通过割补、几何变换、等积、整体代入等方法，把不规则图形面积求解问题转化成规则图形面积的求解问题，从而提高学生解题的灵活性。
让学生通过感受计算组合图形面积的必要性，产生积极的数学学习情感。
二、典型例题：1、如图所示，分别以三角形的三个顶点为圆心，作半径为2的圆，则阴影部分的面积为 .2、设计一个商标图案（阴影部分），在矩形ABCD 中，AB=2BC,且AB=8cm ，以A 为圆心，AD 为半径作弧交BA 于F ，求阴影部分的面积3、矩形ABCD 中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ，则阴影部分面积是______4、在ABC 中，AB=BC=4，以AB 为直径作半圆交AC 于点E,求图中阴影部分的面积。
5、如图所示，AB 是半圆的直径，AB=2R ，C 、D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．三、闯关训练：1、如图①正比例函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，分别以A 、B 两点为圆心画与y 轴相切的两个圆，若 A （2，3），则图中阴影部分的面积 为 。
2、如图②直线y=kx+b 与坐标轴交点为A （ ，0）、B （0, 3）,以AB 为直径作⊙C ，则此圆与y 轴围成的阴影面积为______3、如图④在Rt ABC 中，AB=5,BC=4,若扇形GAE 与扇形FBE 关于点E 中心对称，则图中阴影部分的面积为（ ）A.20B.15C.12D.64、如图所示，⊙O的半径为5cm，弦AB=6cm，CD=8cm，求图中阴影部分的面积．5、如图所示，⊙O的直径为AB=10cm，弦CD=EF=5cm，且CD∥EF∥AB，P为AB上的一点，求图中阴影部分的面积。
6、在半径为5，圆心角等于45°的扇形AOB内部做一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上，则阴影部分的面积是___________（结果保留π）四、小结：通过多种方法，把不规则图形面积求解问题转化成规则图形面积的求解问题。
人教版九年级数学上册《期末提分练案》8.2 技巧训练 求阴影部分面积的六种常用技巧
技巧训练 【点拨】作 FH⊥BC 于 H，连接 AE，如图所示．
∵点 E 为 BC 的中点，点 F 为半圆的中点，
∴BE＝CE＝CH＝FH＝6. ∴AE＝ 62＋122＝6 5.
易得△ABE≌△EHF，∴∠AEB＝∠EFH，AE＝EF.
而∠EFH＋∠FEH＝90°，∴∠AEB＋∠FEH＝90°.
∴∠AEF＝90°.
此时点 A′的坐标为__(_2_，__1_)___，阴影部分的面积 S＝ ___6_____．
技巧训练
(2)求 BC 的长． 解：如图，连接 AC，作 AD⊥BC 于点 D，则 BC＝2DC. 由 A(5，1)可得 AD＝1. ∵半径 AC＝2， ∴在 Rt△ADC 中， DC＝ AC2－AD2＝ 22－12＝ 3. ∴BC＝2 3.
分的面积是(结果保留 π)( C )
A．8－π
B．16－2π
C．8－2π
D．8－12π
【点拨】S 阴影＝S△ABD－S 扇形 BAE＝12×4×4－453π6×042＝8－2π.
技巧训练 2．(2018·威海)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝12，点 E 为 BC
的中点，以 CD 为直径作半圆 CFD，点 F 为半圆的中点，连 接 AF，EF，则图中阴影部分的面积是( ) A．18＋36π B．24＋18π C．18＋18π D．12＋18π
【点拨】连接 OC.易知△AOB 和△AOC 关于
OA 所在直线对称，所以 S△AOB＝S△AOC，
从而将阴影部分的面积转化为扇形 OAC 的面积．
技巧训练 5．如图，在平面直角坐标系中，以 A(5，1)为圆心，以 2 个单位
长度为半径的⊙A 交 x 轴于点 B，C，解答下列问题： (1)将⊙A 向左平移___3___个单位长度与 y 轴首次相切得到⊙A′，
新人教版九年级上册数学8.2技巧训练求阴影部分面积的六种常用技巧优质课件
4．(2019·通辽)如图，等边三角形 ABC 内接于⊙O，若⊙O 的半
径为 2，则图中阴影部分的面积等于( C )
A．π3
B．23π
C．43π
D．2π
【 】连接OC.易知△AOB和△AOC关于OA所在直线对称，所以
S△AOB＝S△AOC，从而将阴影部分的面积转化为扇形OAC的
面积．
新人教版九年级上册数学 8.2 技巧训练 求阴影部分面积的六种常用技巧 优 质课件
科 目：数学
适用版本：新人教版
适用范围：【教师教学】
人教版 九年级上
期末提分练案
第8讲 与圆有关的计算
第2课时 技巧训练 求阴影部分面积的六种常用技 巧
第一页，共十一页。
1．(2019·枣庄)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，以点 B 为
第九页，共十一页。
解：如图，连接 AC，作 AD⊥BC 于点 D，则 BC＝2DC. 由 A(5，1)可得 AD＝1. ∵半径 AC＝2，∴在 Rt△ADC 中， DC＝ AC2－AD2＝ 22－12＝ 3. ∴BC＝2 3.
第十页，共十一页。
6．如图，三个小正方形的边长都为1，求图中阴影部分面积的和 (结果保留π)．
第三页，共十一页。
【点拨】作 FH⊥BC 交 BC 的延长线于 H，连接 AE，如图所示． ∵点 E 为 BC 的中点，点 F 为半圆的中点， ∴BE＝CE＝CH＝FH＝6. ∴AE＝ 62＋122＝6 5. 易得△ABE≌△EHF， ∴∠AEB＝∠EFH，AE＝EF.
第四页，共十一页。
而∠EFH＋∠FEH＝90°，∴∠AEB＋∠FEH＝90°. ∴∠AEF＝90°. ∴图中阴影部分的面积为 S 正方形 ABCD＋S 半圆形－S△ABE－S△AEF ＝12×12＋12×π×62－12×12×6－12×6 5×6 5＝18＋18π.
人教版九年级数学 阴影问题解题方法及其训练
人教版九年级数学阴影问题解题方法及其训练在学习圆的相关知识时，同学们经常遇到求圆中阴影部分的面积问题，并且每位同学都希望自己是破解这类问题的高手，也许下文的内容，能帮你实现这个梦想。
细心品读试一试。
1、平移三角形的顶点到圆心，利用三角形的等积变形求阴影部分的面积例1、如图1所示，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD//BC ，AC 平分BCD ∠，120ADC =∠，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（ ）A .B .C .D .分析：由AD ∥BC ，可以知道四边形ABCD 是等腰梯形，因此，AB=CD ，∠ADC=∠DAB=120°, ∠ABC=∠DCB=60°，由AC 平分BCD ∠，可以知道∠ACD=∠ACB=30°， 由AD ∥BC ，可以知道∠DAC=∠ACB=30°， 因此，AD=CD ，∠BAC=90°， 所以，BC=2AB ，由四边形ABCD 的周长为10cm ，得到AB+BC+CD+DA=10， 即5AB=10，所以，AB=2,因此，圆的半径是2cm ，如图2所示，将三角形ADC 的顶点C 平移到圆心O 的位置上，则三角形AOD 与三角形ACD 是同底等高的三角形，因此，这两个三角形的面积相等， 而三角形AOD 的面积比三角形ACD 的面积好求，根据圆心角与圆周角的关系定理，得到：∠AOD=60°， 所以，三角形AOD 是边长为2的等边三角形，因此，三角形的高为：122-=3，因此，三角形AOD 的面积是：3221⨯⨯=3， 所以，阴影部分的面积是3。
解：选择B 。
2、利用对称性求阴影部分的面积例2、如图3-1所示，A ⊙和B ⊙都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ．分析：根据反比例函数、圆都是关于原点对称，只需把第一象限内的阴影面积，根据对称性，补到第三象限图像中空白上，从而使阴影部分的面积形成一个完整的圆，只需求出圆的半径即可。
初中数学几何阴影面积的三种解法
初中数学几何阴影面积的三种解法，必须掌握一、公式法
这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。
简单举出2个例子
二、和差法
攻略一直接和差法
这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。
只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。
攻略二构造和差法
从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。
三、割补法
割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。
尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平
移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。
攻略一全等法
攻略二对称法
攻略三平移法
攻略四旋转法。
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人教版九年级数学阴影问题解题方法及其训练
在学习圆的相关知识时，同学们经常遇到求圆中阴影部分的面积问题，并且每位同学都希望自己是破解这类问题的高手，也许下文的内容，能帮你实现这个梦想。
细心品读试一试。
1、平移三角形的顶点到圆心，利用三角形的等积变形求阴影部分的面积
例1、如图1所示，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD//BC ，AC 平分BCD ∠，120ADC =∠，四边形ABCD 的周长为10cm ．图中阴影部分的面积为（ ）
A .
B .
C .
D .
分析：
由AD ∥BC ，可以知道四边形ABCD 是等腰梯形，因此，AB=CD ，∠ADC=∠DAB=120°, ∠ABC=∠DCB=60°，
由AC 平分BCD ∠，可以知道∠ACD=∠ACB=30°， 由AD ∥BC ，可以知道∠DAC=∠ACB=30°， 因此，AD=CD ，∠BAC=90°， 所以，BC=2AB ，
由四边形ABCD 的周长为10cm ，得到AB+BC+CD+DA=10， 即5AB=10，所以，AB=2,因此，圆的半径是2cm ，
如图2所示，将三角形ADC 的顶点C 平移到圆心O 的位置上，
则三角形AOD 与三角形ACD 是同底等高的三角形，因此，这两个三角形的面积相等， 而三角形AOD 的面积比三角形ACD 的面积好求，
根据圆心角与圆周角的关系定理，得到：∠AOD=60°， 所以，三角形AOD 是边长为2的等边三角形，
因此，三角形的高为：122
-=3，因此，三角形AOD 的面积是：
322
1
⨯⨯=3， 所以，阴影部分的面积是3。
解：选择B 。
2、利用对称性求阴影部分的面积
例2、如图3-1所示，A ⊙和B ⊙都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1
y x
=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ．
分析：
根据反比例函数、圆都是关于原点对称，只需把第一象限内的阴影面积，根据对称性，补到第三象限图像中空白上，从而使阴影部分的面积形成一个完整的圆，只需求出圆的半径即可。
解：
设点A 的坐标是（a ，b ）, 因为，A ⊙与x 轴和y 轴相切， 所以，a=b ，
因为，圆心A 在反比例函数1
y x
=的图象上， 所以，ab=1，即2
a =1，
所以，a=1，也就是圆的半径是1，
如图3-2所示，所以，阴影部分的面积是：2
1⨯π=π。
3、平移圆心到圆心，利用特殊位置的阴影面积求弦长
例3、如图4-1所示，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ） A ．3
B ．4
C ．6
D ．9
分析：
当我们将圆心P 平移到圆心O 的位置上，如图4-2所示，不难发现图1中的阴影部分面积，与图2中圆环面积是相等的，
由点C 是切点，得到OC ⊥AB ，所以，三角形AOC 是直角三角形， 根据勾股定理，得：AC 2=OA 2-OC 2
,
所以，圆环的面积等于：π×OA 2-π×OC 2=π×AC 2
=9π， 所以，AC 2
=9，
所以，AC=3，
根据垂径定理，得到：AB=2AC=6。
解：选择C 。
4、利用旋转求阴影部分的面积，求半径
如图5-1所示，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ． （1）求证：AC=BD ；
（2）若图中阴影部分的面积是2 4
3
cm π，OA=2cm ，求OC 的长．
分析：
由∠COD=∠AOB=90°，∠AOD 是公共角， 因此，∠COD-∠AOD=∠AOB-∠AOD ，
即∠COA=∠DOB ，再利用同圆的半径相等，易证三角形COA 与三角形DOB 是全等三角形，这样问题就获得解决。
问题2在解答时，只需将三角形COA 绕点O 按照逆时针方向旋转90°，就将不规则的阴影部分面积转化成扇环的面积，这样就易求多了。
解：
（1）证明：
因为，∠COD=∠AOB=90°，∠AOD 是公共角， 所以，∠COD-∠AOD=∠AOB-∠AOD ， 即∠COA=∠DOB ，
因为，OC=OD ，OA=OB ， 所以，△COA ≌△DOB ， 所以，AC=BD 。
（2）如图图5-2所示，根据题意得：
360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=
-=πππ阴影
； 所以，360
)2(904
32
2OC -=ππ
解得：OC ＝1cm ． 5、跟踪练一练
a 、如图6所示，⊙O 的半径为2，C 1是函数y=12x 2的图象，C 2是函数y=-12
x 2
的图象，则阴影部分的面积是 .
b 、（1）如图7，圆内接△ABC 中，AB =BC =CA ，OD 、OE 为⊙O 的半径，OD ⊥BC 于点F ，OE ⊥AC 于点G . 求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC 面积的
3
1
. （2）如图8，若∠DOE 保持120º角度不变.
求证：当∠DOE 绕着O 点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC 面积的
3
1.
6、参考答案 a 、2π。
b、。