电动力学习题及解答

第五章 电磁波的辐射

1. 若把麦克斯韦方程租的所有矢量都分解为无旋的（纵场）和无散的（横场）两部分，写出E 和B 的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场。 解：真空中的麦克斯韦方程组为

t ∂-∂=⨯∇/B E ， （1）

0/ερ=⋅∇E ， （2） t ∂∂+=⨯∇/000E J B εμμ， （3） 0=⋅∇B （4）

如果把方程组中所有矢量都分解为无旋的纵场和无散的横场，并分别用角标L 和T 表示，则：由于0=⋅∇B ，所以B 本身就是无散场，没有纵场分量，即

0=L B ，T B B =；

T L E E E +=，0=⨯∇L E ，0=⋅∇T E ； T L J J J +=，0=⨯∇L J ，0=⋅∇T J ；

由（1）得：t T T T L ∂-∂=⨯∇=+⨯∇/)(B E E E （5）

由（2）得：0/)(ερ=⋅∇=+⋅∇L T L

E E E （6）

由（3）得：t L L T L T ∂+∂++=⨯∇/)()(000E E J J B εμμ

)/()/(000000t t T T L L ∂∂++∂∂+=E J E J εμμεμμ （7）

由电荷守恒定律t ∂-∂=⋅∇/ρJ 得：)/(/0t t L L ∂∂⋅-∇=∂-∂=⋅∇E J ερ 又因为 )/(00t L L ∂∂⨯-∇==⨯∇E J ε，所以 t L L ∂∂-=/0E J ε，即

0/0=∂∂+t L L E J ε （8）

（7）式简化为t T T T ∂∂+=⨯∇/000E J B εμμ （9）

所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=∂∂+==⋅∇∂∂+=⨯∇∂-∂=⨯∇0

/0///00

000t t

t

L L L L T T T T T E J B E E J B B E εερεμμ （10） 由0=⨯∇L E 引入标势ϕ，ϕ-∇=L E ，代入0/ερ=⋅∇L E 得，

02/ερϕ-=∇

上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以L E 对应静止电荷产生的库仑场。 2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若0=ρ，0=J ，则E 和B 可完全由矢势A

决定。若取0=ϕ，这时A 满足哪两个方程？ 解：在线性各向同性均匀非导电介质中，若0=ρ，0=J ，则麦氏方程表示为： t ∂-∂=⨯∇/B E （1）

t ∂∂=⨯∇/D H （2） 0=⋅∇D （3） 0=⋅∇B （4）

其中，E D ε=，μ/B H =，由于（4）式，引入矢势A ，使

A B ⨯∇= （5）

即B 可完全由矢势A 决定。

将（5）代入（1），得：

0)/=∂∂+⨯∇t A E （， （6）

由此引入标势ϕ，使ϕ-∇=∂∂+t /A E ，即

t ∂∂--∇=/A E ϕ （7）

将（7）式代入（3）得：

0)(/2=⋅∇∂∂+∇A t ϕ （8）

所以，ϕ可由A 决定，进而，E 也可完全由矢势A 决定。 如果取0=ϕ，由（8）式得：

0=⋅∇A （9）

将（5）、（7）代入（2），并注意到0=ϕ，得：

0222

=∂∂-∇t

A

A με （10）

（9）、（10）即为0=ϕ时A 满足的两个方程。

3. 证明沿z 轴方向传播的平面电磁波可用矢势)(ωτA 表示，其中c z t /-=τ，A 垂直于

z 轴方向。

证：平面电磁波在没有电荷分布的空间中传播，势的方程为

⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂-∇=∂∂-∇0

/0

/2

200222002t t ϕεμϕεμA A 沿z 轴方向传播的平面波解为

)(0t kz i e ω-=A A ， )(0t kz i e ωϕϕ-=

A 与ϕ满足洛伦兹条件：0/00=∂∂+⋅∇t ϕεμA 。所以000=-⋅ϕεωμi i A k ，即

ωϕ/2A k ⋅=c

因此，只要给定A ，就可以确定ϕ，从而E 和B 随之确定。由于

A k A

B ⨯=⨯∇=i ， n B E ⨯=c

所以E 和B 只与矢势的横向分量有关，即平面电磁波可由⊥A 来表示，即

⊥⊥⨯=⨯∇=A k A B i ， n B E ⨯=c

其中ωτωωi c z t i t kz i e e e

-⊥--⊥-⊥⊥===0)/(0)

(0A A A A 根据题意⊥A 可记为)(ωτA ，其方向与z 轴垂直。 4. 设真空中矢势A 可用复数傅里叶展开为∑⋅-⋅+=k

i k i e t e t t ])()([),(*

x k x k k

a a

x A ，其中*k

a 是k a 的复共轭。

（1）证明k a 满足谐振子方程0)()(d d 2

222=+t c k t t

k k a a 。

（2）当选取规范0=⋅∇A ，0=ϕ时，证明0=⋅k a k 。

（3）把E 和B 用k a 和*

k a 表示出来。

解：（1）证明：因为∑⋅-⋅+=

k

i k i e t e t t ])()([),(*

x k x k k

a a

x A

所以，根据傅立叶级数的正交性，必有：

x x A a x k k d ),()(⋅⎰=i e t t

x x A a x

k d ),(d )(d 2

222⋅⎰∂∂=∴i k e t

t t t （1） 在洛伦兹规范下，J A A 02

2002/μεμ-=∂∂-∇t ，考虑到真空中0=J ，

故，2

2002/t ∂∂=∇A A εμ，所以（1）式化为

x A a x k d )d )(d 222

2⎰∇=∴⋅c e t t i k （ （2） 而 x x A a x

k k d ),()(2222⋅⎰=i e t c k t c k

于是 x x A A a a x k k d )],([)(d )(d 2

2222222⎰+∇=+⋅t c k c e t c k t

t i k （3） 因为 ∑⋅-⋅+=k

i k i e t e

t t ])()([),(*

x k x k k a a x A ，所以 ),(),(22t k t x A x A -=∇

所以（3）式右边积分中，被积函数为0，积分为0。所以k a 满足谐振子方程

0)(d )(d 2

22

2=+t c k t

t k k a a 。 （2）当选取规范0=⋅∇A ，0=ϕ时

∑∑⋅-⋅⋅-⋅∇⋅+∇⋅=+⋅∇=⋅∇k

i k i k

i k i e t e t e t e t x k x k k x k x k k a a a a A )()([])()([*

*

0])()([*

=⋅-⋅=∑⋅-⋅k

i k i e t i e t i x k x k k a k a k 因为)(t k a ，)(*

t k a 是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有

0)()(*=⋅=⋅t t k a k a k k

（3）已知∑⋅-⋅+=

k i k i e t e t t ])()([),(*

x k x k k

a a

x A ，所以

∑⋅-⋅⨯-⨯=⨯∇=k

i k i e t i e t i ])()([*

x k x k k a k a k A B

∑⋅-⋅+-=∂∂--∇=k

i k i e dt t d e dt t d t ])()([*

x k x k k a a A

E ϕ

5. 设A 和ϕ是满足洛伦兹规范的矢势和标势。

（1）引入一矢量函数),(t x Z （赫兹矢量），若令Z ⋅∇=ϕ，证明t

c ∂∂=

Z

A 21。

（2）若令P ⋅-∇=ϕ，证明),(t x Z 满足方程P Z

Z 022

22

2

1μc t

c -=∂∂-∇，写出在真空中的推迟解。