方波的傅立叶级数合成与分解 信号与系统

电子科技大学 光电信息学院 姜哲

方波的合成与分解 【设计要求】

(1) 熟悉连续周期信号的傅立叶级数定义。 (2) 连续周期方波信号的建模。

(3) 利用MATLAB 工具对方波分解出来的信号进行合成。 【设计工具】MATLAB 【设计原理】

1、 傅立叶级数分析的原理：

任何周期信号都可以用一组三角函数｛sin(n ω0t)，cos(n ω0t)｝的组合表示：

00

()[cos()sin()]jn t

n

n

n n x t a e

a n t j n t ωωω+∞

+∞

=-∞

=-∞

=

=

+∑∑

这表明傅立叶级数可以表示为连续时间的周期信号，也即是连续时间周期信号可以分解为无数多个复指数谐波分量。在这里n a 为傅立叶级数的系数，

02T

π

ω=

称为基波频率。 2、 建立方波信号的模型：

思考：如何建立连续周期方波信号？ ①预置一个周期内的方波信号：

-A

(-T/2

A (0

②对方波信号以周期T 进行平移：

()()n x t x t nT ∞

=-∞

=

-∑

通过以上的两个步骤我们可以建立一个连续周期方波信号，为降低方波信号分解与合成的复杂程度，可以预置方波信号为奇谐信号，此连续时间周期方波信号如下：

0(),(0,2)x sign t t ππ=-∈

()(2),(,)n x t x t n t π∞

=-∞

=

-∈-∞+∞∑

3、 方波信号分解：

根据傅立叶级数分析，其三角函数展开式为：

000411

()(sin sin 3sin 5...)35

A

x t t t t ωωωπ=+++

0141

sin()i A

n t n

ωπ∞

==

∑ n=1，3，5，7，9……

由以上可知道，周期方波信号可以分解为一系列的正弦波信号：4A/π*（sin ω0t ）、4A/π*（sin(3ω0t)/3）、4A/π*（sin(5ω0t)/5）、4A/π*（sin(7ω0t)/7）、4A/π*（sin(9ω0t)/9）……其中ω0为周期方波信号的基波频率，A 为周期方波信号的幅值，此方波信号可以分解为各奇次谐波。 思考：奇谐信号如何分解为各奇次正弦波？ 4、 方波信号合成：

对连续周期方波信号各谐波分量(基波分量、三次波分量、五次波分量……)分别进行求和运算，步骤如下：

①考查一个完整周期(0～2π)这段时间内的信号，画出结果，并显示。 ②画出基波分量1f ，并显示，观察1f 与原周期方波信号的误差大小。 ③将三次谐波3()f t 加到第二步之上，画出结果，并显示，观察1y 与原周期方波信号的误差大小。

113()()()y t f t f t =+

④将五次谐波5()f t 加到第三步之上，画出结果，并显示，观察2y 与原周期方波信号的误差大小。

2135()()()()y t f t f t f t =++

⑤将七次谐波7()f t 与九次谐波9()f t 加到第四步之上，画出结果，并显示，观察3y 与原周期方波信号的误差大小。

313579()()()()()()y t f t f t f t f t f t =++++

思考：当n →∞，对各奇次谐波进行合成，会得到什么样的图形？ 【思考题】

在求解傅立叶级数中，实偶信号对应什么样的信号？实奇信号对应什么样的信号？奇谐信号对应什么样的信号？ 【MATLAB 参考命令】

绘图命令：plot 、subplot 等

符号函数：sign(t)等 一、 方波的定义：

方波是一种非正弦曲线的波形，通常会于电子和讯号处理时出现。理想方波只有“高”和“低”这两个值。电流的波形为矩形的电流即为方波电流。不论时间轴上下是不是对称的，只要是矩形就可叫方波。

方波的性质： 例，方波的图像：

二、对于方波的数学分析：

f (t)

h -h -T

T

t

f (t)

t

h -h

-T

图1 方波图2 三角波

任何具有周期为T 的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：

00

()[cos()sin()]jn t

n

n

n n x t a e

a n t j n t ωωω+∞

+∞

=-∞

=-∞

=

=

+∑∑

或

（其中：T 为周期，ω为角频率。02T

π

ω=称为基波频率；第一项2

a 为直流分量，n a 为傅立叶级数的系数，称为基波频率） 对于上图图1所示方波，我们可以得到他的时域特性函数：

⎪⎩⎪⎨

⎧<≤-

<≤-=)02()2

0()(t T

T

t h h t f ， （周期为T ）

【此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为：

对连续周期方波信号各谐波分量(基波分量、三次波分量、五次波分量……)分别进行求和运算，步骤如下：

①考查一个完整周期内的信号，画出结果，并显示。 运用MATLAB 7.0编辑程序：

程序如下：

function [A_sym,B_sym] = signals syms t n k x;

T = 5;tao = 0.2*T;a = 0.5; if nargin<4;Nf = 6;end if nargin<5;Nn = 32;end

function x = uestcx(t) h = 1;

x1 = sym('Heaviside(t+0.5)')*h; x = x1-sym('Heaviside(t-0.5)')*h;

∑∞

=++=10)

sin cos (21

)(n n n t n b t n a a t f ωω