高三上学期第一次考试试题(数学)

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福建省七地市2024届高三上学期第一次质量检测数学含答案解析

厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。

河南省2023届高三上学期第一次考试数学理科试题(解析版)

“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}223,N ,18400A x x n nB x x x ==+∈=--<∣∣，则A B 中的元素个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A x x n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B 中的元素个数为9.故选：B 2.已知复数33i2i z =+，则z =（）A.1B.35C.355D.3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为()()()33i 2i 3i 3i 36i 2i 2i 2i 2i 55z +====-++--+，因此，5z ==.故选：C.3.已知非零向量a 、b满足a b =r r ，且()2a b b +⊥ ，则,a b <>= （）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由已知可得出()20a b b +⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出cos ,a b <> 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为()2a b b +⊥ ，则()222cos ,0a b b a b a b b +⋅=⋅<>+= ，a b = ，可得1cos ,2a b <>=- ，因为0,πa b ≤<>≤ ，因此，2π,3a b <>= .故选：C.4.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A.2732B.916C.2764D.932【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】解：因为每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，所以连续射击3次，至少命中两次的概率322333327C 144432P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.5.已知函数()2sin 3cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（）A.13 B.13C.13-D.31313-【答案】A 【解析】【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+，其中θ为锐角，sin 13θ=.因为当x ϕ=处取得最大值，所以22πϕθπ+=+k ，k Z ∈，即22πϕθπ=-+k ，k Z ∈，所以313cos cos 2sin 213πϕθπθ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭k .故选：A6.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，且当[2,2)x ∈-时，2()4f x x =-，则(2021)f =（）A.3-B.1- C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨出函数()f x 的周期，再结合已知函数式求解作答.【详解】因R 上的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，即有()()()4f x f x f x -=-=--，则(8)(4)()f x f x f x -=--=-，因此，函数()f x 是周期为8的周期函数，2(2021)(25285)(5)(1)[(1)4]3f f f f =⨯+==--=---=.故选：D7.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（）（注:1丈=10尺，π取3）A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺【答案】B 【解析】【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则11,2·48BC AB π==，即8AB =，假设点D 为圆柱外接圆的圆心，即AD 为外接圆的半径，且112BD DC ==，在Rt ABD △中，222AB BD AD +=，解得294.25AD =，则外接球的表面积241131S AD π=⋅=，故选：B.8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A.28种B.32种C.36种D.42种【答案】C 【解析】【分析】先将甲、乙看成一个元素，然后先分组后排列可得.【详解】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C9.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,4)m -，其中0m <，若7cos 225α=-，则πtan 2m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2B.12-C.43-D.34-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求出tan α，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.【详解】依题意，4tan 0mα=->，又22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===-++，解得4tan 3α=，从而得3m =-，所以3πsin()π3πcos 132tan(tan()3π22sin tan 4cos(2m ααααααα-+=-===-=---.故选：D10.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1-的直线交C 于A 、B （其中A 在x轴上方）两点，交C 的准线于点M ，且16AB =，O 为坐标原点，则OM =（）A.2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出p 的值，可求得点M 的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得OM 的值.【详解】抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，直线AB 的方程为2⎛⎫=--⎪⎝⎭p y x ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222p y x y px⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得22304p x px -+=，2290p p ∆=->，由韦达定理可得123x x p +=，则12416x x p A p B =++==，可得4p =，联立22p x p y x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩可得2p x y p ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点()2,4M -，因此，OM ==.故选：D.11.已知32()2(2)3f x x a x x =+--是奇函数，则过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出a ，再求出函数()f x 的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数()f x 是奇函数，则由()()0f x f x -+=得()2220a x -=恒成立，则2a =，即有3()23f x x x =-，2()63'=-f x x ，设过点(1,2)P -向曲线()y f x =所作切线与曲线()y f x =相切的切点为3000(,23)Q x x x -，而点(1,2)P -不在曲线()y f x =上，则320000232631x x x x ---=+，整理得32004610x x +-=，即2000(21)(221)0x x x ++-=，解得012x =-或0132x -±=，即符合条件的切点有3个，所以过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是3.故选：C12.设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)F c F c -，过点(2,0)P c -且斜率为12的直线与双曲线的左、右两支分别交于,M N 两点，若||3||PN PM =，且直线2F N 的斜率为3，则Γ的离心率为（）A.132B.2C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】通过题意可以得到直线PN 和直线2NF 的方程，两条方程联立可以得到N 的坐标，代入双曲线即可求出答案【详解】解：由题意可得直线PN 的方程为()122y x c =+，直线2NF 的方程为()3y x c =-，所以()()1223y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得8595c x cy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线可得2222648112525c c a b-=即()22222648112525c c a c a -=-，所以2264811125251e e -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1,e >所以e =故选：B二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(1,0)-【解析】【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解【详解】解：由对数函数的性质，可得()f x 为单调递增函数，且函数()f x 在(2,3)上有且仅有一个零点，所以()()230f f ⋅<，即(1)0a a ⋅+<，解得10a -<<，所以实数a 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【答案】12log x （不唯一）【解析】【分析】根据对数函数性质即可做出判断.【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01a <<即可，性质③只需将自变量x 加绝对值即变成偶函数.故答案为：12log x （不唯一）15.已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，则点P 到x 轴的距离最大值为_____.【答案】【解析】【分析】设(,)P x y ，然后根据题意列方程化简可得点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，为半径的圆，从而可求得答案.【详解】设(,)P x y ，因为动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，2=，22223(2)4x y x y +=-+，2222443(44)3x y x x y +=-++，221212x y x ++=22(6)48x y ++=，所以点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，所以点P 到x 轴的距离最大值为故答案为：16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在,A B 处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m ，甲观察无人机的仰角为45︒，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC ，则这两个角可以是_____.（写出所有符合要求的编号）①BAC ∠和ABC ∠；②BAC ∠和PAB ∠;③PAB ∠和PBA ∠；④PAB ∠和ABC ∠.【答案】①③④【解析】【分析】①：根据已知先解ABC 得AC ，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解PAB △得PA ，然后可得；④：先由最小角定理的BAC ∠，解ABC 可得AC ，然后可得.【详解】①：当已知BAC ∠和ABC ∠时，在ABC 利用内角和定理和正弦定理可得AC ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故①正确；②：当已知BAC ∠和PAB ∠时，在ABC 已知一角一边，在PAB △中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知PAB ∠和PBA ∠时，在PAB △中已知两角一边，可解出PA ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故③正确；④：当已知PAB ∠和ABC ∠时，可先由最小角定理求得BAC ∠，然后解ABC 可得AC ，最后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故④正确.故答案为：①③④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知251,15a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若23log 2n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-（2）1(25)210n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组直接求解可得；（2）由错位相减法可得.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由题设可得111,51015a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112,a d =-⎧⎨=⎩所以1(1)223n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由（1）知2log 23n b n n =-，所以223nn bn =-可得(23)2nn b n =-⨯，所以231121232(25)2(23)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①23412121232(25)2(23)2n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②②减①可得:341112222(23)2n n n T n ++=⨯----+-⨯ 118(12)(23)2212n n n -+⨯-=-⨯+--1(25)210n n +=-⨯+18.某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件，它们的质量指标值m 统计如下:质量指标值m [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931（1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数;（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表（表中数据单位:件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60m <60m ≥合计甲车间乙车间合计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k≥0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）58；（2）列联表见解析，有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.【解析】【分析】（1）根据给定的数表，求出各组数据的频率，再列式计算作答.（2）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值比对作答.【小问1详解】由所给数据，各组的频率分别为0.1，0.15，0.2，0.35，0.2，所以该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数的估计值为：100.1300.15500.2700.35900.258⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】22⨯列联表如下：60m <60m ≥合计甲车间6040100乙车间3070100合计90110200所以22200(60704030)18.18210010090110K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,24,ACB AA AC BC M ︒∠====为棱1AA 上靠近1A 的三等分点，N 为棱AC 的中点，点P 在棱BC 上，且直线PN ∥平面1BMC .（1）求PC 的长;（2）求二面角1P BM C --的余弦值.【答案】（1）23PC =（2）22110【解析】【分析】(1)在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，根据面面平行判定定理证明平面PQN平面1BMC ，再根据面面平行性质定理确定CQ 的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBM ，平面1BC M 的法向量，根据二面角向量公式求二面角1P BM C --的余弦值.【小问1详解】在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，连接,PQ NQ .由已知得11CC AA CB ==，所以1CQ CPCC CB=所以1PQ BC ∥.因为PQ ⊄平面1BMC ，1BC ⊂平面1BMC ，所以PQ ∥平面1BMC .又因为PN ∥平面1,BMC PN PQ P ⋂=，,PN NQ ⊂平面PQN ，所以平面PQN 平面1BMC .平面11ACC A 平面PQN QN =，平面11ACC A 平面11BC M MC =，根据面面平行的性质可知1//MC QN .在矩形11ACC A 中，可得11CQN A MC ∽，所以11123A M CQ CN A C ==，所以2233PC CQ CN ===.【小问2详解】以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则182(0,0,0),(0,0,4),(0,4,0),2,0,,0,,033C C B M P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.114(0,4,4),2,0,3C B C M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，8102,4,,0,,033BM BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1C MB 的法向量为()111,,m x y z =r，则110,0,C B m C M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111440,420,3y z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取13z =得()2,3,3.m = 设平面PMB 的法向量为()222,,n x y z =r ，则0,0,BM n BP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 所以22228240,3100,3x y z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取23z =-，得()4,0,3.n =- 所以22cos ,110m n m n m n ⨯++⨯-⋅===-⋅结合图可知二面角1PBM C --的余弦值为110.20.过椭圆22:143x y C +=上任意一点P 作直线:l y kx p=+（1）证明:2234p k + ;（2）若0,p O ≠为坐标原点，线段OP 的中点为M ，过M 作l 的平行线,l l ''与C 交于,A B 两点，求ABP △面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）32.【解析】【分析】（1）联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，由题意，该方程有解，则判别式大于等于零，可得答案.（2）设出题目中的两点，根据平行，设出另一条直线，根据中点，找出两直线的截距之间的关系，联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，根据三角形的等积变换，利用分割法，整理函数，根据（1），可得答案.【小问1详解】联立221,43,x y y kx p ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kpx p +++-=，因为点P 在C 上，所以()()2222644412340,k p p k ∆=--+ 化简得2234p k + .【小问2详解】设:l y kx m '=+，点()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由已知得00y kx p =+，所以00222y x p k =⋅+，即点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭满足方程2p y kx =+，所以2p m =.由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++.所以122.34x x k-==+∣所以121||2ABPABOSS m x x ==-==令2234m t k =+，因为2223444p k m += ，所以10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以32ABPS ==所以ABP △面积的最大值为32.21.设函数()()e xf x mx m m =--∈R .（1）讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点1x 和2x ，设1202x x x +=，证明：()00f x '>（()f x '为()f x 的导函数）.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0m ≤、0m >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由函数零点的定义可得出1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得出1212e e x x m x x -=-，将所证不等式等价变形为12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，构造函数()e e 2t t g t t -=--，其中0t >，利用导数分析函数()g t 的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：因为()e x f x mx m =--，则()e xf x m '=-，若0m ≤，对任意的x ∈R ，则()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；若0m >，令()e 0xf x m '=-=，得ln x m =，当ln x m <时，()0f x '>，当ln x m >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当0m >时，函数()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.【小问2详解】证明：不妨令12x x >，由题设可得1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，两式相减整理可得1212e e x x m x x -=-.所以()1212121222012e e ee 2x x x x x x x xf x f m x x ++''+-⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭，要证()00f x '>，即证1212212e e e 0x x x x x x +-->-，即证12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，其中0t >，构造函数()e e 2ttg t t -=--，其中0t >，则()e e 220t t g t -'=+->=，所以，函数()g t 在()0,∞+上单调递增，所以，当0t >时，()()00g t g >=，即e e 2t t t -->，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(cos sin )(,0),(cos sin )x m m y m ϕϕϕϕϕ=-⎧≠⎨=+⎩为参数以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 504πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）写出l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 只有一个公共点，求m 的值.【答案】（1）50x y +-=（2）102=±m 【解析】【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线l 的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求解.(2)先得出曲线C 的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.【小问1详解】由l 的极坐标方程可得sin cos 50ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可知，直角坐标方程为：50x y +-=.【小问2详解】由C 的参数方程可得2222x y m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程为222480x y m +-=.联立方程22250480x y x y m +-=⎧⎨+-=⎩得：2254010080x x m -+-=，因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以()222404510081604000m m∆=-⨯⨯-=-=，解得：2=±m .[选修4-5:不等式选讲]23.已知,,a b c 均为正实数，且1abc =.（1）求124a b c++的最小值;（2）证明:222++≥+++++bc ac ab b c a c a b.【答案】（1）6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式证明即可得到答案.【小问1详解】由基本不等式可知1246++≥==a b c ，当且仅当124a b c ==，即1,1,22a b c ===时等号成立，所以124a b c++的最小值为6.【小问2详解】因为1abc =，所以111bc ac ab a b c++=++.11242+≥=≥=++a b a b a b .同理可得114b c b c+≥+，114a c a c+≥+所以4111442⎛⎫++≥++⎪+++⎝⎭a b c b c a c a b，当且仅当a b c==时等号成立.所以111222++≥+++++a b c b c a c a b，即222. ++≥+++++ bc ac abb c a c a b。

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期调研考试(一)数学试题(解析版)

2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。

【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。

浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≥，{}22530B x x x =--<，则A B =U （）A ．{}1x x ≥B ．12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C ．312x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{}13x x ?2．已知复数z 满足5382i z z +=-，则z =（）A ．1B ．2C D ．3．已知等比数列{}n a 的前2项和为12，136a a -=，则公比q 的值为（）A ．12B ．2C ．13D ．34．已知平面向量,m n r r 满足：2m n ==r r ，且m r 在n r 上的投影向量为12n r ，则向量m r与向量n m-r r 的夹角为（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,最小正周期为π，函数()sin2g x x =，则将()f x 的图象向左平移（）个单位长度后可以得到()g x 的图象A ．π12B ．π6C ．5π6D ．11π126．已知圆锥的底面半径为1，高为3，则其内接圆柱的表面积的最大值为（）A ．7π4B ．2πC ．9π4D ．5π27．已知,A B 是椭圆22143x y +=与双曲线22143x y -=的公共顶点，M 是双曲线上一点，直线,MA MB 分别交椭圆于,C D 两点，若直线CD 过椭圆的焦点F ，则线段CD 的长度为（）A ．32B ．3C ．D8．正三棱台111ABC A B C -中，11122AB A B AA ===，点D 为棱AB 中点，直线l 为平面111A B C 内的一条动直线．记二面角C l D --的平面角为θ，则cos θ的最小值为（）A ．0B ．18C D ．17二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，σ越小，表示随机变量X 分布越集中B ．数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C ．线性回归分析中，若线性相关系数r 越大，则两个变量的线性相关性越弱D ．已知随机变量1~7,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()72E X =10．设函数()f x 与其导函数f ′ x 的定义域均为R ，且()2f x '+为偶函数，()()110f x f x +--=，则（）A ．()()11f x f x +='-'B ．()30f '=C ．()20250f '=D ．()()()2222f x f x f ++-=11．已知正项数列{}n a 满足()()()*121211,N ,n n n n n n a a a a a a a n ++++=-=-∈记12231n n n T a a a a a a +=+++L ，124T =．则（）A ．{}n a 是递减数列B ．202462029a =C ．存在n 使得43n T =D ．100110i i a =>∑三、填空题12．321x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为．13．已知正实数a 满足a<a 的取值范围是．14．将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张．第1组的卡牌左上角都标1，右下角分别标上1，2，3，4；第2组的卡牌左上角都标2，右下角分别标上2，3，4，5；第3组的卡牌左上角都标3，右下角分别标上3，4，5，6．将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取3张，则左上角数字依次．．不减小且右下角数字依次．．构成等差数列的概率为．四、解答题15．已知在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足,a a c =>，()()sin cos cos A B C B C ++=-； (1)求角C 的值；(2)若ABC V 的面积为14，求ABC V 的周长.16．已知三棱锥P ABC -满足,,AB AC AB PB AC PC ⊥⊥⊥，且3,AP BP BC ==(1)求证：⊥AP BC ；(2)求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值，17．已知函数()()224,2ln 25f x x x g x x x =++=++．(1)判断函数()g x 的零点个数，并说明理由； (2)求曲线y =f x 与y =g x 的所有公切线方程.18．如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点()1,2P -作一条不经过F 的直线l ，若直线l 与抛物线交于异于原点的,A B 两点，点B 在x 轴下方，且A 在线段PB 上．(1)试判断：直线,FA FB 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．(2)过点B 作PF 的垂线交直线AF 于点C ，若FBC V 的面积为4，求点B 的坐标， 19．对于一个四元整数集{},,,A a b c d =，如果它能划分成两个不相交的二元子集{},a b 和{},c d ，满足1ab cd -=，则称这个四元整数集为“有趣的”．(1)写出集合{}1,2,3,4,5,6,7,8的一个“有趣的”四元子集：(2)证明：集合{}1,2,3,4,5,6,7,8不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：(3)证明：对任意正整数()2n n ≥，集合{}1,2,3,,4n L 不能划分成n 个两两不相交的“有趣的”四元子集．。

山东省2025届高三上学期第一次诊断考试数学含答案

山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。

试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。

考试时间120分钟。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题及答案

大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,04.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A.21B.19C.12D.425.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D.820人6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π37.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ，求CD 的长．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张1.9 1.982.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣，故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=，故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 64αβαβ⋅+⋅=，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+，即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +−的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ，所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞.故答案为：()()1,01,−∪+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ∠=∈ ，由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =−，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =． 16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−．函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． ②若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤−，解得1k ≤−．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥，所以当232ι=时，线段PQ .【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=.直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−−代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=，220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t +（2）433774n n P =+⋅− （3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,a b 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新，12345678959t ++++++++=新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×，所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−，所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

河南省信阳市2024-2025学年高三上学期第一次质量检测试题数学含答案

2024-2025学年普通高中高三第一次教学质量检测数学（答案在最后）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B 铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2230A x x x =--=∣，{1,}B a =，若{3}A B ⋂=，则A B = （）A.{1,3}B.{1,3}-C.{}113-,, D.{3,1,3}--2.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1620a a +=，39a =，则10S =（）A.60B.80C.140D.1603.已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.x y z <<B.y z x <<C.z y x<< D.z x y<<4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把()36511%+看作是经过365天的“进步值”，()36511%-看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：lg101 2.0043≈，lg 99 1.9956≈）A.100B.230C.130D.3655.若p ：实数a 使得“2000R,20x x x a ∃∈++=”为真命题，q ：实数a 使得“[)0,+,20x x a ∞∀∈->”为真命题，则p 是q 的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x ax =+，则()2025f =（）A.0B.1C.2D.20257.已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.3a >-B.49103a -<<-C.4933a -<<- D.103a -<<-8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()32xf x x =+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x在区间(.-∞-内单调递增C.()f x 在区间()1,+∞内单调递减D.()f x 有极大值10.已知0a >，0b >，2a b +=，则（）A.222b a a b+≥ B.222a b b a+≥C.2232a b ab +-≥D.224a b ab ++<11.设函数32()1f x x x ax =-+-，则（）A.当1a =-时，()f x 有三个零点B .当13a ≥时，()f x 无极值点C.a ∃∈R ，使()f x 在R 上是减函数D.,()a f x ∀∈R 图象对称中心的横坐标不变第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知不等式()220ax a x c +++>的解集为{|12}x x -<<，则函数y =__________.13.曲线e x y =在0x =处的切线恰好是曲线()ln y x a =+的切线，则实数a =______.14.函数()f x 满足：任意()*N ,5n f n n ∈≥.且()()()10f x y f x f y xy +=++.则101()i f i =∑的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知{}n a 是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，且21373,,,a a a a =成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）定义在数列{}n a 中，使()3log 1n a +为整数的n a 叫做“调和数”，求在区间[1,2024]内所有“调和数”之和．16.某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA 、OB 、AC 及曲线段BC 围成.经测量，90AOB ∠=︒，100OA OB ==米，曲线BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA 、OB 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在曲线段BC 上，点E 、F 分别在线段OA 、OB 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF x =米，游乐场的面积为S 平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程；（2）求面积S 关于x 的函数解析式()S f x =；（3）试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大.17.已知函数()()22log log 1442x x f x x =⋅≤≤，()44221x x x xg x a a --=+-⋅-⋅+.（1）求函数()f x 的最大值；（2）设不等式()0f x ≤的解集为A ，若对任意1x A ∈，存在[]20,1x ∈，使得()12x g x =，求实数a 的值.18.已知()()21ln 12f x ax x x =-+-+，其中0a >．（1）若函数()f x 在3x =处的切线与x 轴平行，求a 的值；（2）求()f x 的极值点；（3）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．19.若数列()12:,,,3n A a a a n ≥ 中()*N 1i a i n ∈≤≤且对任意的1121,2k k k k n a a a +-≤≤-+>恒成立，则称数列A 为“U -数列”.（1）若数列1,,,7x y 为“U -数列”，写出所有可能的x y ､；（2）若“U -数列”12:,,,n A a a a L 中，121,1,2017n a a a ===，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U -数列”012:,,,n A a a a ，记{}012max ,,,n M a a a = ，其中{}12max ,,,s x x x L 表示12,,, s x x x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.2024-2025学年普通高中高三第一次教学质量检测数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ABD 【11题答案】【答案】BD第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】()0,2【13题答案】【答案】2【14题答案】【答案】1925四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）1n a n =+（2）1086【16题答案】【答案】（1）()2110005050y x x =-+≤≤（2）3110050S x x =-+，3050x ≤≤.（3）点D 在曲线段BC 上且到OB 的距离为5062米时，游乐场的面积最大.【17题答案】【答案】（1）2（2）12【18题答案】【答案】（1）14 a=；（2）答案见解析；（3）[)1,+∞．【19题答案】【答案】（1）12xy=⎧⎨=⎩或13xy=⎧⎨=⎩或24xy=⎧⎨=⎩（2）65（3）200288n n-+。

浙江省浙南名校联盟2025届高三上学期第一次联考(10月)数学试题含答案

2024学年第一学期浙南名校联盟第一次联考高三数学试题（答案在最后）审题考生须知：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1.已知复数121i,2i z z =-=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法及乘法化简,得出复数即可求出对应点,进而得出所在象限即可.【详解】()()()()2121i 2i 1i 2i 2i i 31i 2i 2i 2i 555z z -+-+--====---+，复数12z z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,点位于第四象限.故选：D ．2.已知集合1{(,)|||},(,)|||A x y y x B x y y x ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{1,1}-B.{(1,1),(1,1)}- C.(0,)+∞ D.(0,1)【答案】B 【解析】【分析】先解方程组，得出点的坐标即可得出交集.【详解】,1y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得1,1x y =⎧⎨=⎩，或1,1x y =-⎧⎨=⎩，所以{(1,1),(1,1)}A B =- ，故选：B ．3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正⇒令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行⇒身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C ．4.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，1()1f x a x =-+．若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞ C.(,1)-∞ D.(,1]-∞【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性列出相应不等式，即可求得答案.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，若()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，故只需11001a a -=-≤+，即1a ≥，故选：A ．5.将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）A.20种B.40种C.80种D.160种【解析】【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可.【详解】一侧的种植方法有3262C A 20240=⨯=种排法，另一侧的种植方法有22A 2=种排法再由分步计数原理得不同的种植方法共有40280⨯=种排法，故选:C.6.将函数()*π()cos N 12g x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）A .2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据伸缩变换规则可得()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果.【详解】由题可知()*π()2cos 2N 12f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，当π02x <<时，πππ2π121212x ωω<+<+，若()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上只有一个极大值点，则由2cos y x =的图像可得π2ππ4π12ω<+≤，解得23471212ω<≤，因为*N ω∈，所以ω的最大值为3.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（）A.B.1C.D.1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8.已知0x 为函数222()e e ln 2e x f x x x =+-的零点，则00ln x x +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由题意确定0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，构造函数()e (0)x g x x x =>，由其单调性即可求解.【详解】由()0f x =得222e 2e e ln xx x =-，即22e e (2ln )xx x =-，即222ee e ln xx x=，因为0x >，所以22e e e ln xx x x =，所以0x 为方程22e e e ln xx x x=的根，令()e (0)x g x x x =>，则()e (1)0x g x x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，又222e e e ln ln g x xx ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以2e ln 2ln x x x ==-，即002ln x x =-，即00ln 2x x +=，故选：B ．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9.已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（）A.若()0a b c ⋅=，则b c ⊥ B.若()(),a b a b +⊥-则||||a b = C.若a c b c ⋅=⋅ ，则a b= D.向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用数乘向量的定义得到0b c ⋅=，即可判断选项A 的正误；选项B ，根据条件，利用数量积的运算及模的定义，即可判断选项B 的正误；选项C ，根据条件，利用数量积的定义，得到||cos ,||cos ,a a c b b c =，即可求解；选项D ，根据条件，结合数量积的运算律，得到[()()]0a b c a c b a ⋅-⋅⋅=，即可求解.【详解】对于选项A ，因为a为非零向量，若()0a b c ⋅= ，则0b c ⋅= ，故b c ⊥ ，所以选项A 正确，对于选项B ，若2222()()||||0a b a b a b a b +⋅-=-=-= ，故||||a b =，所以选项В正确，对于选项C ，若a c b c ⋅=⋅ ，则||||cos ,||||cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅ ，得到||cos ,||cos ,a a c b b c = ，不能确定a b= ，所以选项C 错误，对于选项D ，[()()]()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a a b c a a b c a ⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故[()()]a b c a c b a ⋅-⋅⊥，所以选项D 正确，故选：ABD ．10.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中4AB =，M ，N ，D ，Q 分别为棱111,,,AB AC B C AA 的中点，DQ QM ⊥，则以下结论正确的是（）A.11//B C 平面QMNB.1AA =C.点Q 到平面DMN 的距离为D.三棱锥D QMN -的外接球表面积为131π18【答案】AC 【解析】【分析】应用线面平行判定定理判断A,应用勾股定理计算判断B,应用等体积求出点Q 到平面DMN 的距离判断C ,利用补形及直三棱柱的外接球公式计算外接球半径即可判断D .【详解】由题，11//,//MN BC BC B C ，所以11//,MN B C MN ⊂平面QMN ,11B C 不在平面QMN 内，故11//B C 平面QMN ，A 正确；由题可得，,QM QN DM DN ==，设12AA a =，易得22224,12QM a QD a =+=+，2244DM a =+，因为222DM QD QM =+，即22244124a a a +=+++，解得a =，故1AA =，B 错误；因为222DM QD QM =+，所以222DN QD QN =+，所以,,,DQ QN QN QM Q QN QM ⊥⋂=⊂平面QMN ,MN ⊂平面QMN ,得出DQ ⊥平面QMN ，112322QMNS MN ==⨯= ，所以13Q DMN D QMN QMN V V S DQ --==⋅=△133⨯⨯=又12DMNS MN == ，设点Q 到平面DMN 的距离为d，则13Q DMN DMN V S d -===△，得d =，C 正确；将三棱锥D QMN -补成以QMN 为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥D QMN -的外接球，其球心O位于上下底面外心的中点，sin 10QMN ∠=，故QMN 的外接圆半径152sin 3QN r QMN =⨯=∠，设外接球半径为R，则22251313218R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以三棱锥D QMN -的外接球表面积2262π4π9S R ==，D 错误．故选：AC ．11.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，A ，B ，P 为抛物线C 上的点，cos ,1FA FB 〈〉=-，若抛物线C 在点A ，B 处的切线的斜率分别为12,k k ，且两切线交于点M ．N 为抛物线C 的准线与y 轴的交点．则以下结论正确的是（）A.若4AF BF +=，则1AF BF ⋅=-B.直线PN 的倾斜角π4α≥C.若122k k +=，则直线AB 的方程为10x y -+=D.||MF 的最小值为2【答案】BCD 【解析】【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点20,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分000,0x x ≤>两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，结合焦半径公式计算最小值判断D.【详解】由题cos ,1FA FB 〈〉=- ，则向量,FA FB的夹角为π，故F ，A ，B 三点共线，设:1AB y kx =+，与C 的方程联立得2440x kx --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124x x k +=，124x x =-，故1221242,1k y y y y =+=+，由抛物线的定义得12||1,||1AF y BF y =+=+，故21224440AF BF y y k k +=++=+==，，·4FA FB =-，所以A 错误；设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1)N -，当00x ≤时，直线PN 倾斜角大于等于π2，当00x >时，200011414PNx x k x x +==+≥=，所以直线PN 的倾斜角π4α≥，B 正确；记直线AB 的斜率为k ，令21()4f x x =，则1()2f x x '=，则()()11122211,22k f x x k f x x '=='==，又()222121212121144x x y y k x x x x x x --===+--，所以122k k k +=，所以1k =，又直线AB 过点(0,1)F ，故直线AB 的方程为10,C x y -+=正确；()111:2x MA y y x x -=-，又2114x y =，所以211:24x x MA y x =-，同理222:24x x MB y x =-，联立解得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，即(2,1)M k -，又(0,1)F ，所以||2MF =≥，当0k =时，等号成立，所以MF 的最小值为2，D 正确；故选:BCD.【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知1πsin ,cos()26ααα=+=______________．【答案】14-##0.25-【解析】【分析】利用辅助角公式得到π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再整体法用诱导公式求出答案.【详解】1sin 2αα=，即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππππ1cos sin sin 62634ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：14-13.已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg ，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W （kg ）作为样本，则样本的方差为______．【答案】13【解析】【分析】先根据分层抽样的平均数公式求出平均数为52，再代入方差公式计算得出方差.【详解】3个年级抽取的学生数分别为3，3，4人，则()13483524555210W =⨯+⨯+⨯=，故22223344(4852)10(5252)1(5552)13101010s ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦．故答案为：13.14.“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为2100414347⨯+⨯+⨯=；四进制数0033转换为十进制数为32100404343415⨯+⨯+⨯+⨯=；四进制数1230转换为十进制数为321014243404108⨯+⨯+⨯+⨯=；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______．【答案】13【解析】【分析】根据四进制与十进制的转换规则，利用二项式定理将4的高次方展开并求得除以3之后的余数，令余数能被3整除即可得出所有数字组合种类数，可求得概率.【详解】设{},,,1,2,3a b c d ∈，则4位四进制数转换为十进制为3232444(13)(13)(13)a b c d a b c d⨯+⨯+⨯+=⨯++⨯++⨯++()()01223301223333222C C 3C 3C 3C C 3C 33a b c c d =+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+++()()1223312233322C 3C 3C 3C 3C 33a b c a b c d =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+++++，若这个数能被3整除，则+++a b c d 能被3整除．当这个四进制数由1，2，3，3组成时，有24A 12=个；当这个四进制数由1，1，2，2组成时，有24C 6=个；这个四进制数由1，1，1，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数由2，2，2，3组成时，有14C 4=个；这个四进制数都由3组成时，有1个．因为由1，2，3组成的4位四进制数共有4381=个，所以能被3整除的概率1264411813P ++++==．故答案为：13.【点睛】关键点点睛：本题关键在于将4进制转化为10进制之后，利用二项式定理来求解能否被3整除的问题，得出所有可能的组合即可求得相应概率.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，三棱台111ABC A B C -中，ABC V 是正三角形，1A A ⊥平面ABC ，111224AB A A A C ===，M ，N 分别为棱1,AB B B 的中点.（1）证明：1B B ⊥平面MCN ；（2）求直线1C C 与平面MCN 所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出CM ⊥平面11,A ABB 再应用线面垂直性质得出线线垂直，即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，应用空间向量法求线面角正弦值即可.【小问1详解】因为ABC V 是正三角形，M 为AB 中点，所以CM AB ⊥，因为1A A ⊥平面,ABC CM ⊂平面ABC ，所以1CM A A ⊥，又11,,A A AB A A A AB =⊂ 平面11,A ABB 所以CM ⊥平面11,A ABB 又因为1B B ⊂平面11A ABB ，所以1CM B B ⊥，连接1AB ，易得11AB B B ==，所以22211AB AB B B =+，所以11AB B B ⊥，又因为1//AB MN ，所以1MN BB ⊥，因为MN CM M = ，,MN CM ⊂平面MCN ，所以1B B ⊥平面MCN .【小问2详解】取AC 中点O ，连接1,BO C O ，易知1,,OB OC OC 三条直线两两垂直，以O 为坐标原点，1,,OB OC OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则111,2),(0,2,0),(0,0,2)B B C C -，由（1）知平面MCN的一个法向量为12)B B =- ，又1(0,2,2)C C =- ，所以1111113cos ,4B BC C B B C C B B C C ⋅==⋅ ，因为直线1A B 与平面FMN 所成的角为直线1B B 与1C C 所成角的余角，所以直线1A B 与平面FMN 所成的角的正弦值为34．16.已知0b >，函数2()((ln )1)f x x x x bx =---在点()(1,)1f 处的切线过点()0,1-.（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()0,∞+上单调递增；（3）若对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1b =（2）证明见解析（3）(,1]-∞【解析】【分析】（1）先求导函数再写出切线方程代入点得出参数值；（2）求出导函数1()2ln 2f x x x x'=+--，再根据导函数求出()(1)10f x f ''≥=>即可证明单调性；（3）根据函数解析式分1x =和1x >两种情况化简转化为ln x x a -≥恒成立，再求()ln (1)h x x x x =->的单调性得出最值即可求出参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为1(0,),()2ln()2f x x bx x'+∞=+--，故(1)1ln f b '=-，又(1)0f =，所以()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为(1ln )(1)y b x =--，将点(0,1)-代入得1ln 1b -=，解得1b =．【小问2详解】由（1）知2()(1)ln f x x x x x =---，则1()2ln 2f x x x x'=+--，令1()()2ln 2g x f x x x x '==+--，则22221121(1)(21)()2x x x x g x x x x x---+'=--==，当01x <<时，()0,()g x g x <'单调递减；当1x >时，()0,()g x g x >'单调递增，所以()(1)10f x f ''≥=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．【小问3详解】对())1,1(x f x a x ∀≥≥-恒成立，即对1,(1)(1)ln (1)x x x x x a x ∀≥---≥-恒成立，当1x =时，上式显然恒成立；当1x >时，上式转化为ln x x a -≥恒成立，设()ln (1)h x x x x =->，则11()10x h x x x'-=-=>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增；所以()(1)1h x h >=，故1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞．17.如图，四边形ABCD 中，1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=．（1）求BAD ∠；（2）P 为边BC 上一点，且PCD △ABP 的外接圆半径．【答案】（1）2π3（2）4【解析】【分析】（1）根据题意，在ABD △和BCD △中，利用余弦定理，分别求得2BD 的表达式，两式作差求得1cos 2BAD ∠=-，即可求解；（2）由（1）求得BD =PCD ∠，结合题意，求得2PC =，进而求得2PD =，再在ABD △和BCD △中，求得cos cosABD DBC ∠=∠1cos 7ABP ∠=，得到sin 7ABP ∠=，利用正弦定理，即可求解.【小问1详解】解：因为πBAD BCD ∠+∠=，所以cos cos BAD BCD ∠∠=-，在ABD △中，由余弦定理得：2222cos 54cos BD AB AD AB AD BAD BAD =+-⋅∠=-∠，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos 1312cos BD BC CD BC CD BCD BAD =+-⋅∠=+∠，两式作差得：816cos 0BAD +∠=，解得1cos 2BAD ∠=-，因为(0,π)BAD ∠∈，所以2π3BAD ∠=．【小问2详解】解：因为1,2,3,πAB CD AD BC BAD BCD ====∠+∠=由（1）知22π54cos73BD =-=，可得BD =π3PCD BCD ∠=∠=，则1sin 22PCD S PC CD PCD =⋅∠==△所以2PC =，在PCD △中，可得2222cos 4PD CD PC CD PC PCD =+-⋅∠=，所以2PD =，在ABD △中，可得222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⨯⨯在BCD △中，可得222cos 2BD BC CD DBC BD BC +-∠===⨯⨯可得ABD DBC ∠=∠,所以27cos 2cos 11ABP ABD ∠∠-==，则sin 7ABP ∠=，所以222122cos 7AP AB BP AB AP ABP =+-⋅∠=，解得7AP =，设ABP 的外接圆半径为R ，由正弦定理得772sin 2437AP R ABP ==∠，解得74R =，所以ABP的外接圆半径为4．18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点(1,3P 在椭圆上，且直线1PF 与2PF 的斜率之积为23-．（1）求C 的方程；（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．（ⅰ）若A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，求直线l 的方程；（ⅱ）若点B 与点1F 重合，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求1||||MN QF 的值．【答案】（1）2213x y +=（2）（i ）3535y x =+；（ii【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上及斜率积列方程组计算22,a b 即可得出椭圆方程；（2）（i ）设()()1122,,,M x y N x y 结合1()2OA OB OM =+ ，1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标，即可求出直线方程；（ⅱ）设方程:(l y k x =+联立方程组，韦达定理结合弦长公式计算求解.【小问1详解】将点1,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入C 的方程得：221213a b +=①，设C 的焦距为2(0)c c >，则12(,0),(,0)F c F c -，故12233113PF PF k k c c ⋅=⨯=-+-，解得c =又222a b c =+③，由①②③解得21b =或23a =，所以C 的方程为2213x y +=．【小问2详解】（ⅰ）由题，(0,),,0m A m B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()()1122,,,M x y N x y ，O 为坐标原点，因为A ，B 恰为弦MN 的两个三等分点，所以BA NB AM == ,则1()2OA OB OM =+ ，即110,12m x k y m ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得112m x k y m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以,2m M m k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又1()2OB OA ON =+ ，即222,1022m x k m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222,m x k y m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以2,,m N m k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将点M ，N 的坐标代入C 的方程得22222241,3413m m k m m k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211,35k m ==，因为0,0k m >>，所以,35k m ==，所以直线l的方程为35y x =+．（ⅱ）由题直线l过点1(F，所以:(l y k x =+，与椭圆方程联立22(13y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()222213630k x x k +++-=，212120k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y，则2212122263,1313k x x x x k k--+==++，所以21MN x =-=22113k k+=+，又(21212221313y y k x x k k k ⎛-+=++=+= ++⎝，所以MN 中点为222322,1313k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，所以MN的垂直平分线方程为22211313y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭，令0y =得2213x k -=+，故22,013Q k ⎛⎫- ⎪ ⎪+⎝⎭，所以212113k QF k +==+，所以1MN QF =【点睛】关键点点睛：（2）（i ）解题的关键点是应用1()2OA OB OM =+ 1()2OB OA ON =+ 向量关系列方程求出点的坐标即可求出直线方程；19.密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n ，将小于等于n 且与n 互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为n a ．（1）求数列{}n a 的前5项和；（2）求2(N )n a n *∈的表达式和3137a ⨯的值；（3）记22()nn n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，证明16n S <．【答案】（1）10（2）122n n a -=，31371080a ⨯=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列定义求出前5项即可求和；（2）先根据定义得出122n n a -=，再求出3137a ⨯即可；（3）应用错位相减法计算得出2158162n n n n S -++=-即可证明.【小问1详解】由题，11a =；小于等于2且与2互质的正整数有1，所以21a =；小于等于3且与3互质的正整数有1，2，所以32a =；小于等于4且与4互质的正整数有1，3，所以42a =；小于等于5且与5互质的正整数有1，2，3，4，所以54a =．所以数列{}n a 的前5项和为1122410++++=．【小问2详解】若2为质数，则小于等于2n 的正整数中，只有2的倍数不与2互质，又因为小于等于2n 的正整数中，2的倍数有12n -个，所以112222n n n n a --=-=．在小于等于31×37的正整数中，31的倍数有37个，37的倍数有31个，所以()()31373137313713113711080a ⨯=⨯--+=--=．【小问3详解】由（2）知122n n a -=，所以212n n n n b -+=，所以222201211122332222n n n n S -++++=++++ ，故222223111223322222n n n n S ++++=++++ ，作差得：2012111232222222n n n n n n S -+⎛⎫=++++- ⎝⎭，所以201211123422222n n n n n n S --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ．令01211232222n n n T -=++++ ，则23112322222n n n T =++++ ，作差得：2311111111221212222222212n n n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++++-=-=-- ，所以1242n n n T -+=-，故221112584(4)16222n n n n n n n n n S ---++++=⨯--=-，因为*N n ∈，所以215802n n n -++>，所以16n S <得证．。

陕西省西安2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案

陕西省西安高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分命题人：）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A.{}10x x -≤≤ B.{}10x x -<≤ C.{}10x x -≤< D.{}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4.已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6.已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}e B.[)e,+∞ C.{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.{}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=的图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,3-∞-，)3+∞上单调递增，(,)33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大的根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211()x x '=-B.(e )e x x--'= C.21(tan )cos x x'=D.1(ln )x x'=【答案】ACD 【解析】【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x +''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16.为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x123456体重超标人数y987754483227ln z y = 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆn i i i n i i x y nx yb x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83e x y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b 则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i ii i i x z x zb x x ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83a z bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83z y x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17.已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或224t +≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<<1，则+1≥(2−1)22−1>0，∴42−5≤0>12⇒12<≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ单调递减，当4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U <--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或2.4t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得24t ±=，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒224t +=；②在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有>0Δ>0−1<−12<2o −1)>0o2)>0或<0Δ>0−1<−12<2o −1)<0o2)<0，解得214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或2.4t ≥18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16（2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，121010320C C 15(2)C 38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P 21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19.已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x 二次求导，判断()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e 2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题含答案

高三数学试卷（答案在最后）试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试装、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}21,Z |M x x n n ==+∈，{}31,Z |N x x n n ==+∈，{}61,Z |P x x n n ==+∈，则（）A.M P⊂ B.N P⊂ C.P M N = D.M N =∅2.已知b ，R λ∈，虚数1i z b =+是方程2230x x λ++=的根，则λ=（）A.4- B.2- C.4D.23.已知向量(cos ,sin )m θθ= ，(1,2)n = ，若//m n，则2sin 2cos θθ+=（）A.2B.85C.1D.04.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是（）cm.A.5400πB.90πC.180πD.40π5.已知随机变量()2~2,N ξσ，且()()1P P a ξξ≤=≥，则19(0)x a x a x+<<-的最小值为（）A.5B.112C.203D.1636.已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（）A.147π4B.3433π16C. D.48π7.设函数320.5()()log ()f x x ax x a x b =-+-+，若()0f x ≤，则a ，b 满足的关系式为（）A.a b= B.a b=- C.1a b += D.1b a -=8.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为()01p p <<，他掷了k 次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X 表示每掷N 次骰子出现1点的次数，现以使()6P X =最大的N 值估计N 的取值并计算()E X .（若有多个N 使()6P X =最大，则取其中的最小N 值）.下列说法正确的是（）A.()6E x >B.()6E X <C.()6E X = D.()E X 与6的大小无法确定二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()332f x x x =--，则（）A.()f x 的极小值点为1B.()f x 有三个零点C.点()0,2-为曲线()y f x =的对称中心D.过点()0,2可以做曲线()y f x =的两条切线10.受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的关系都符合函数sin()y A x h ωϕ=++（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<，R h ∈）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确的有（）A.水深y （单位：米）与时间x （单位：时）的函数关系为ππ3sin 766y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[0,24)x ∈B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：0011.已知圆()22:201M x ax y a -+=>-，过点()2,0P -向圆M 引切线l，切点为Q ，记Q 的轨迹为曲线C ，则（）A.曲线C 关于x 轴对称B.C 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为1-C.C 的渐近线为1x =D.当点()00,x y 在C 上时，0y ≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在()3nx -的展开式中，若2x 的系数为()2n a n ≥，则2323333nna a a +++= --_____.13.M 、N 分别为曲线e 2xy x =+与直线31y x =-上的点，则MN 的最小值为______.14.将椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>上所有的点绕原点逆时针旋转π02θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭角，得到椭圆2C 的方程：223x y xy +-=，椭圆2C 的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin b C B +=.（1）求角C 的大小；（2）若c =2b a -=，求AB 边上的中线长.16.（本题满分15分）已知平面内一动圆过点()2,0P ，且在y 轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）若过点()4,0Q 的直线l 与曲线C 交于点M ，N ，问：以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.17.（本题满分15分）某学校有A ，B 两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去A 餐厅用餐的概率是23.如果第1天去A 餐厅，那么第2天继续去A 餐厅的概率为13；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为12，如此往复.（1）计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.（2）记王同学第n 天去A 餐厅用餐概率为n P ，求n P ；（3）求九月（30天）王同学去A 餐厅用餐的概率大于去B 餐厅用餐概率的天数.18.（本题满分17分）已知函数()()()2ln 1cos 2g x t t =--+--.（1）函数()f x 与()g x 的图像关于1x =-对称，求()f x 的解析式；（2）()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，*N n ∈.19.（本题满分17分）类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）S 的方程，若曲面S 和三元方程(),,0F x y z =之间满足：①曲面S 上任意一点的坐标均为三元方程(),,0F x y z =的解；②以三元方程(),,0F x y z =的任意解()000,,x y z 为坐标的点均在曲面S 上，则称曲面S 的方程为(),,0F x y z =，方程(),,0F x y z =的曲面为S .已知曲面C 的方程为2221114x y z +-=.（1）写出坐标平面xOz 的方程（无需说明理由），并说明xOz 平面截曲面C 所得交线是什么曲线；（2）已知直线l 过曲面C 上一点()1,1,2Q ---，以()1,0,2d =为方向量，求证：直线l 在曲面C 上（即l 上任意一点均在曲面C 上）；（3）已知曲面C 可视为平面xOz 中某双曲线的一支绕z 轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面C 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面C 上.设直线l '在曲面C 上，且过点()1,0,0T ，求异面直线l （第二间中的直线l ）与l '所成角的余弦值.2024年高三9月起点考试高三数学答案1234567891011C AC BD ACBACABDABD12.()181n n-13.514.31.因为6为2和3的公倍数，故P M N= 2.1i z b =+是方程的根，则方程另一根为1i z b =-，故242λλ-=⇒=-.3.由于//sin 2cos tan 2m n θθθ⇒=⇒=，2222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 2sin cos cos 1sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθ+++=+===++.4.大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动453302=周，当大轮的转速为180/min r 时，小轮转速为2180270/min 3r ⨯=，小轮周上一点每1s 转过的弧度数为：2702π609π⨯÷=.又小轮的半径为10cm ，所以小轮周上一点每1s 转过的弧长为：9π1090cm ⨯=.5.143a a +=⇒=，1911913916(3)1033333x x x x x a x x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+-+=++≥⎪⎪---⎝⎭⎝⎭，当且仅当393x x x x -=-，即34x =时取等. 6.四台轴截面等腰梯形底角为60°，高为732，边长为12的正三角形内切圆半径为4>，故能放入最大球半径为4，表面积为42147π4π44⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭7.3220.50.5()()log ()(1)()log ()f x x ax x a x b x x a x b =-+-+=+-+，且210y x =+>恒成立， y x a =-在定义域上单调增且零点为x a =，()0.5log y x b =+在定义域上单调减且零点为1x b =-，故y x a =-与()0.5log y x b =+在定义域内函数值正负相反且零点重合，则11a b a b =-⇔+=.8.X 服从二项分布(),B N P ，则666(6)C (1)N N P X p p -==-，()6P X =最大即为满足66666511C (1)C (1)N N N N p p p p --++-≥-的最小N ，即为6666651C (1)15611111C (1)N N N N p p N N p N p p p -----≥⇔⋅≥⇔≥--+-，又N N +∈，故61p -为整数时，61N p=-，()6E X Np =<；61p -不为整数时N 为大于61p -的最小整数，为6p的整数部分，()6E X Np =<.故()6E X <，9.2()3301f x x x '=-=⇒=±，其中1-为极大值点，1为极小值点，A 对；()10f -=，()14f =-，故()f x 有两个零点，B 错；()600f x x x ''==⇒=，()02f =-，故()0,2-为曲线()y f x =的对称中心，C 对；()0,2在对称中心()0,2-处的切线上方，故只能做一条切线，D 错.10.依题意3A =，10472h +==，2π142ω=-，解得π6ω=，显然函数3sin 76y x πϕ=+⎛⎫⎪⎝⎭+的图象过点()2,10，即πsin 13ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又ππ22ϕ-<<，因此π6ϕ=，所以函数表达式为ππ3sin 766y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[0,24]x ∈.故A 对依题意，ππ3sin 76 2.566024x x ⎧⎛⎫++≥+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩，整理得ππ1sin 662024x x ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩，即有πππ5π2π2π(Z)6666024k x k k x ⎧+≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩，即12412(Z)024k x k k x ≤≤+∈⎧⎨≤≤⎩解得04x ≤≤或1216x ≤≤，所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.故B 对.该船卸完货后符合安全条例的最小水深为5.5，19时水深为ππ3sin 1977 5.5662y ⎛⎫=⨯++=+<⎪⎝⎭，故C 错，该船0点进港即可以开始卸货，设自0点起卸货x 小时后，该船符合安全条例的最小水深为0.36 2.5y x =-++函数0.36 2.5y x =-++与ππ3sin 766y x ⎛⎫⎪⎝⎭=++的图像交于点()5,7，即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，下次水深为7米时刻为11点，故该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，综上，该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.故D 对.11.圆222:()M x a y a -+=，圆心(,0)M a ，半径a ，且1a >-，且0a ≠.()2240440a a -++=+> ，则点()2,0P -在圆M 外.由题意知MQ PQ ⊥，设(),Q x y ，则22(,)(2,)(2)20MQ PQ x a y x y x y a x a ⋅=-⋅+=++--= ①又点Q 在圆M 上，则2220x ax y -+=②，①-②得，()22a x a +=，解得22xa x=-③，由1a >-且0a ≠，解得22x -<<，且0x ≠将③代入②消a 得，22(2)2x x y x+=-，(2,0)(0,2)x ∈- 即为曲线C 的方程.设2(2)()2x x f x x +=-，[2,2)x ∈-，则222(24)()(2)x x x f x x --'=--，令()0f x '=解得1x =-，或0x =，或1x =+当21x -<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当10x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增.且()20f -=，()00f =，当2x →时，y →+∞.且当0y ≥时，函数()g x =与()f x 单调性相同，且()20g -=，()00g =，当2x →时，y →+∞.故()g x 的大致图象如下图，又由方程22(2)2x x y x+=-可知曲线C 关于x 轴对称，2x ≠-且0x ≠.故曲线C的大致图象为如下图，故C 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为15-，浙近线为2x =，A 、B 项正确，C 错误；D 项，当点00(,)x y 在C 上时，则2200022x y x x +=⋅-由020x -<<，或002x <<.得2004x <<，又00202x x +>-，2200000022422x x y x x x ++=⋅<⋅--，则00022x y x +<-，所以000222x y x +≤-D 正确；12.由二项式定理通项公式得222(1)332n n n n n n a C ---==⋅，则2323181818(1)1(1)3n n n n a n n n nn n -⋅===----⋅，则23233331818181818181818(1)182123131n n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=--- .13.x()e 2(31)e 10xf x x x x =+--=-+>恒成立，则曲线e 2x y x =+在直线31y x =-上方，则当M 处切线与直线31y x =-平行时MN 最小，e 2x y x =+求导得e 230x y x '=+=⇒=，此时点()0,1M 到直线距离即为最短距高，此时5MN ===∣∣.14.设点(),P x y 在该椭圆上，则其关于y x =的对称点(),P y x '代入椭圆方程有223y x yx +-=，即223x y xy +-=，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于y x =-的对称点(),P y x '--也位于椭圆方程上，则223x y xy +-=关于y x =±对称，将y x =代入223x y xy +-=可得23x =，可得椭圆长轴的顶点为，(，所以a ==将y x =-代入223x y xy +-=可得21x =，可得椭圆短轴的顶点为(1,1)-，(1,1)-，所以b ==，则2c ==，则e3c a ===.15.（1）π3C =（2解：（1）因为()1cos sin b C B +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin B C C B +=.又因为()0,πB ∈，则sin 0B ≠，所以1cos C +=.整理得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,πC ∈，所以ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66C -=，所以π3C =.（6分）（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，且c =则有22252()a b ab a b ab =+-=-+，又2b a -=，故48ab =.（8分）设AB 边上中线为CM ，则1()2CM CA CB =+∣，222211()[()3]3744CM a b ab a b ab =++=-+= ，故AB （13分）16.（1）24y x =；（2）过定点，定点为原点.解：（1）设动圆圆心(),x y ，当0x ≠=24y x =；当0x =时，点C 的轨迹为点()0,0，满足24y x =.综上可知，点C 的轨迹方程为24y x =.（5分）（2）设直线l 方程为：4x my =+，则22441604x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，0∆>恒成立，1212416y y m y y +=⎧⇒⎨=-⎩，设圆心为P ，则2p y m =，224p x m =+，2(24,2)P m m +，（8分）直径12MN y =-=，故圆P 的方程为222222[(24)](2)4(1)(4)2MN x m y m m m ⎛⎫-++-==++ ⎪⎝⎭，由对称性可知，若存在定点，则必在x 轴上，令0y =，则22222[(24)](2)4(1)(4)x m m m m -++=++，（12分）化简得：()22420x m x -+=对R m ∀∈恒成立，故0x =，∴存在定点()0,0，故以MN 为直径的圆过定点()0,0.（15分）17.（1）718；（2）13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭；（3）1天.解：（1）设1A 表示第1天去A 餐厅，2A 表示第2天去A 餐厅，则1A 表示第1天去B 餐厅，根据题意得，12()3P A =，()113P A =，()2113P A A =，()2111122P A A =-=，所以()()()()()212112121117333218P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=.（4分）（2）设n A 表示第n 天去A 餐厅用餐，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，根据题意得，()113n n P A A +=∣，()111122n n P A A +=-=，由全概率公式得，()()()()()()111111113262n n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A P P +++=+=+-=-+，即11162n n P P +=-+，（7分）整理得，1313767n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又1350721P -=≠，所以37n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以521为首项，16-为公比的等比数列，13517216n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（10分）（3）由题意，只需1n n P P >-，即1(1,2,,10)2n P n >= ，则1351172162n -⎛⎫+⨯-> ⎪⎝⎭，即113(1,2,,30)610n n -⎛⎫->= ⎪⎝⎭ ，显然n 必为奇数，n 为偶数时不成立，当1,3,,29n = 时，考虑111136610n n --⎛⎫⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解，当1n =时，3110>显然成立，当3n =时，2130610⎛⎫-< ⎪⎝⎭，不成立，由116n y -⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减得，5,7,,29n = 时，也不成立，综上，该同学只有1天去A 餐厅用餐的概率大于去B 餐厅用餐概率.（15分）18.（1）()()2ln 1cos f x x x =++，()1x >-；（2）2a =；（3）证明见解析.解：（1）依题意，设()f x 图像上任意一点坐标为()00,x y ，则其关于1x =-对称的点()002,x y --在()g x 图像上，则000()(2)y f x g x ==--，则0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++，0(1)x >-故()()2ln 1cos f x x x =++，()1x >-；（5分）（2）令()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--，()1x >-，则在()0h x ≤在)1(,x ∈-+∞恒成立，又()00h =，且()h x 在)1(,x ∈-+∞上是连续函数，则0x =为()h x 的一个极大值点，2()sin 1h x x a x '=--+，(0)202h a a '=-=⇒=，下证当2a =时，()0h x ≤在)1(,x ∈-+∞恒成立，令()ln(1)x x x ϕ=+-，1()111x x x x ϕ'=-=-++,当()1,0x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，当,()0x ∈+∞，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，故()()00x ϕϕ≤=，()ln 1x x +≤在()1,-+∞上恒成立，又cos 1x ≤，则2a =时，()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣恒成立，综上，2a =.（11分）（3）证明：由（2）可知：()12f x x -≤，则11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则211111122122n k n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭∑，又由（2）可知：()ln 1x x +≤在()1,-+∞上恒成立，则ln 1x x ≤-在()0,+∞上恒成立且当且仅当1x =时取等，令(0,1)1n x n =∈+，*N n ∈，则1ln 1111n n n n n -<-=+++，即11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++，则111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n +++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=，综上，21112ln 2ln 42nk n f n =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑，即证.（17分）19.（1）0y =，双曲线：（2）证明见解析：（3）810+.解：（1）根据坐标平面xOy 内点的坐标的特征可知，坐标平面xOz 的方程为0y =，已知曲面C 的方程为2221114x y z +-=，当0y =时，xOz 平面截曲面C 所得交线上的点(),0,M x z 满足2214z x -=，从而xOz 平面截曲面C 所得交线是平面xOz 上，以原点O 为对称中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，虚轴长为4的双曲线.（4分）（2）设000(,,)P x y z 是直线l 上任意一点，由()1,0,2d = ，QP 均为直线l 的方向向量，有//QP d ，从而存在实数λ，使得//QP d λ ，即()()0001,1,21,0,2x y z λ+++=，则00011022x y z λλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得01x λ=-，01y =-，022z λ=-，所以点p 的坐标为()1,1,22λλ---，于是22222(1)(1)(22)211(21)1114λλλλλλ---+-=-++--+=，因此点P 的坐标总是满足曲面C 的方程，从而直线l 在曲面C 上.（10分）（3）直线l '在曲面C 上，且过点()1,0,0T ,设()111,,M x y z 是直线l '上任意一点，直线!的方向向量为(,,)d a b c '= ，由d ' ，TM 均为直线l '的方向向量，有//TM d ' ，从而存在实数t ，使得TM td '= ，即()()1111,,,,x y z t a b c -=，则1111x at y bt z ct -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得11x at =+，1y bt =，1z ct =，所以点M 的坐标为()1,,at bt ct +，111(,,)M x y z 在曲面C 上，222(1)()()1114at bt ct +∴+-=，整理得2222204c a b t at ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，由题意，对任意的t ，有2222204c a b t at ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭恒成立，22204c a b ∴+-=，且20a =，2c b ∴=或2c b =-，不妨取1b =，2c =或2-，(0,1,2)d '∴= ，或(0,1,2)d '=- ，又直线l 的方向向量为(0,1,2)d =则异面直线l 与l '所成角的余弦值均为45d d d d '⋅==' .（17分）。

四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题(含答案)

树德中学高2022级高三开学数学考试试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.“”的否定是（）A.，使得B.C.，使得D.2.已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.2B.4C.8D.163.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（）A. B.C. D.5.一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选.已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为.经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（）A.B. C. D.2,210x x x ∀∈++>R 0x ∃∈R 200210x x ++…2,210x x x ∀∈++<R 0x ∃∈R 200210x x ++<2,210x x x ∀∈++R …{}1,2,3,4,5,6,7U ={}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6A B =={}n a d n n S 0d …{}n S ()10mx y m -+=∈R 222x y +=9:15%2%85585785710001712009106.某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文､数学､外语三门统考科目和思想政治､历史､地理､物理､化学､生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为，共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（）参考数据：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到.可供查阅的（部分）标准正态分布表：1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.0 2.1 2.2 2.32.4 2.5 2.6 2.7 2.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974A.57B.64C.71D.777.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于反射镜对称轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（）A.B. C. D.,,,,A B B C C ++,,D D E +3%,7%,16%,24%,24%16%,7%,3%A E [91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]()50,256X N ~B +()2,X N μσ~X Z μσ-=()0,1Z N ~()()10P X X P Z Z = 0Z ()0P Z Z 0Z ()0P Z Z …22y px =()4,4A 2742142542948.若对任意的恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某科技企业为了对一种新研制的专利产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价元405060708090销量件5044433528由表中数据，求得线性回归方程为，则下列说法正确的是（）A.产品的销量与单价成负相关B.为了获得最大的销售额（销售额单价销量），单价应定为70元或80元C.D.若在这些样本点中任取一点，则它在线性回归直线左下方的概率为10.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若的最小值为11.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线上一点，下列说法正确的是（）A.若直线交双纽线于三点（为坐标原点），则B.双纽线上满足的点有2个[)1221121212e e ,1,0,,x x x x x x x x a x x -∈-<<-a 21e -1e -22e -2e-(x )(y )m0.466ˆyx =-+=⨯40m =13,,a b c ∈R 0a b >>b b c a a c+<+22ac bc >a b >12a b >>xOy ()()12,0,,0F a F a -2(0)a a >(),P x y 1a =C 12F F C ,,A B O O AB =C 12PF PF =C.的面积的最大值为D.的周长的取值范围为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.若，则__________；__________.13.若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为__________.14.设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为__________.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若，对，使得成立，求的取值范围.16.2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.年级名次是否近视近视4030不近视1020（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，12PF F V 1212PF F V (4,2+443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++0a =13024a a a a a +=++3x a -…17x -……a ()3f x x x =-,a b ()()2f a f b b +=-221a b λ+…λ()()21,1f x x g x x =+=-a ∈R ()()0af x g x +<3b …[][]121,2,4,5x x ∀∈∃∈()()()1218bf x f x g x b +=++b 1100~1011000~根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在名的概率.0.100.050.0250.0100.0052.7063.841 5.024 6.6357.879，其中.17.在三棱台中，平面，且为的中点，是上一点，且.（1）求证：平面；（2）已知，且直线与平面时，求平面与平面所成夹角的余弦值.18.如图，双曲线的左､右焦点分别为双曲线的左､右顶点，过点的直线分别交双曲线的左､右两支于两点，交双曲线的右支于点（与点不重合），且与的周长之差为2.（1）求双曲线的方程；1100~()2P K k…k()()()()22()n ad bcKa b c d a c b d-=++++n a b c d=+++DEF ABC-CF⊥,ABC AB BC⊥,2,BA BC AC DF M==ACP CF(1)CF MCDF CPλλ==>CD⊥PBM1CP=BC PBM EFM PBM22122:1(0,0)x yC a ba b-=>>12,F F22222:144x yCa b-= 1F1C,A B2C M2F 12BF FV2ABFV1C（2）若直线交双曲线的右支于两点.①记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；②试探究：是否为定值？并说明理由.19.设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③（1）证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；（2）已知函数恰有两个零点.（i ）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；（ii ）求的取值范围.2MF 1C ,D E AB 1k DE 2k 12k k DE AB -()200ax bx c a ++=≠12,x x ()()120a x x x x --=()212120ax a x x x ax x -++=1212,,b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()3200ax bx cx d a +++=≠123,,x x x 123122331123b x x x ac x x x x x x ad x x x a ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩()321(0)f x ax bx x a =+++<()f x 2-a b +树德中学高2022级高三开学数学考试试题参考答案1.A2.B3.B4.C5.A6.C7.C8.D9.ACD 10.BC11.ACD8.【详解】因为，所以，则可化为，整理得，因为，所以，令，则函数在上单调递减，则在上恒成立，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，则在上单调递减，所以，故，所以得最小值为.11.【详解】由双纽线的定义可得：，即，化简得：，当时，点的轨迹方程为，令，解得，所以，故A 正确；因为，若满足，则点在轴上，在方程中令，解得，所以满足的点为，只有一个，故B 错误；，故C 正确；因为，12x x <120x x -<122112e e x x x x a x x -<-()122112e e x x x x a x x ->-122211e e x x x ax x ax +>+120x x >121122e e x x a a x x x x +>+()e x af x x x=+()f x [)1,0-()()2e 10x x af x x--='…[)1,0-()e1xx a -…[)1,0-()()e 1xg x x =-()()e 1e e 0x x x g x x x =-+=<'[)1,0-()()e1xg x x =-[)1,0-()()21eg x g -=-…2e a -…a 2e-212PF PF a ⋅==22224()()x a y x a y a ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦()()2222222x ya x y +=-1a =P ()()222222x y x y +=-0y =x =0x =AB =()()12,0,,0F a F a -12PF PF =P y ()()222222x y x y +=-0x =0y =12PF PF =P ()0,0P 12121212111sin sin 222F PF S PF PF F PF F PF ∠∠==V …121212122PF F C PF PF F F PF PF =++=++V又，且，所以，接下来先证明在中，由余弦定理可得，所以.又因为，所以所以，即，整理可得，所以；所以如图以为邻边作平行四边形，则，所以，所以，即的周长的取值范围为，故D 正确.12.，13. 14.14.【详解】因为，所以，又，所以，即，因为，所以，所以，所以，又，即，所以，所以，令，则，所以121PF PF =12122PF PF F F +>=121224PF F C PF PF =++>V :PO …12F PF V 222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∠=+-⋅⋅2222121242cos PF PF a a F PF ∠+=+122PO PF PF =+ ()2212(2)PO PF PF =+2222121211221222cos PF PF PF PF PF PF PF PF F PF ∠=++⋅=++⋅22222212121212121(2)2cos 2PO F F PF PF PF PF F PF PF PF PF ∠+=++⋅++-⋅()2221212cos 2PF F PF PF PF ∠⋅=+()2222124||4242cos PO a a a F PF ∠+=⨯+222212||cos 2PO a a F PF a ∠=+…PO …PO 12PF PF ､12PFGF 12GF PF =12112PF PF PF GF PG PO +=+<=…121222PF F C PF PF =++<+V 12PF F V (4,2+164041-()4,∞+2+()3f x x x =-()()33,f a a a f b b b =-=-()()2f a f b b +=-332a a b b b -+-=-33a b a b +=-0,0a b >>330a b +>0a b >>331a b a b+=-221a b λ+...3322a b a b a b λ++-...322b a b b a b λ+- (2)22211a b a b a ab b b λ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=--…a t b =1t >2221112211111a t tb t a t t t b⎛⎫+ ⎪+-+⎝⎭===++----，当且仅当，即时取等号，所以，所以，则实数的最大值为.15.（1）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；（2）16.【详解】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为人第五组的频数为人所以前四组的频数和为人而前四组的频数依次成等比数列故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人所以中位数落在第四组，设为，因此有或解得所以中位数是4.74（2）因为，所以因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名的分别有2人和4人，从6人中任意抽取2人的基本事件共15个至少有1人来自于名的基本事件有9个，所以至少有1人的年级名次在名的概率为.17.（1），且是的中点，则.平面平面.又平面平面，因为平面.①()212221t t =-+++=+- (2)11t t -=-1t =)222min21b a ab b ⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭2λ+…λ2+2a <{11}xx a -<<-∣2a =∅2a >{11}xa x -<<-∣52b ……1000.80.216⨯⨯=100 1.20.224⨯⨯=()100241660-+=x ()5048164.6(0.232x -++-=()1.6 4.60.22)x -=4.7375x =22100(40203010)1004.7625050703021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯2 3.841K >1100~1100~93155P ==BA BC = M AC BM AC ⊥CF ⊥ ,ABC BM ⊂,ABC CF BM ∴⊥,,CF AC C CF AC ⋂=⊂,ACFD BM ∴⊥ACFD DC ⊂,ACFD DC BM ∴⊥，则.在平面中.②平面由①②知平面.（2）由题意得平面，平面.由（1）可知，故为坐标原点.如图，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系..，由棱台的性质得.由（1）可知平面的一个法向量为，且.直线与平面，，，解得平面的一个法向量为，且.平面的法向量为.，，即，当时，平面的一个法向量为π,,2CF MC CFDMCP CFD MCP DFCP ∠∠===∴~V V PMC FCD ∠∠=ππ,,22ACD FCD PMC ACD ∠∠∠∠+=∴+=∴ ACFD DC PM ⊥,,BM PM M BM PM ⋂=⊂ ,PBM ∴DC ⊥PBM DM∥,CF CF ⊥ABC DM ∴⊥ABC BM AC ⊥M ,,MB MC MD ,,x y z 2,1,CF DFCP CM DF DM CF DF CPλλλ===∴====()()()()20,0,0,,0,0,0,,0,0,0,.2M B C D AC DF λλλ∴= ∴()22,,,0,,,22BC EF BC ME λλλλλ⎛⎫==-∴= ⎪⎝⎭ PBM CD()20,,CD λλ=- BC PBM cos ,0)BC CD BC CD BC CDλ⋅∴==>⋅ =λ=∴PBM CD()0,2CD = EFM (),,n x y z =()2,2ME MF ⎫==⎪⎪⎭2020n ME x y z n MF z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩1z =-x y ==∴MEF ||1)|cos ,|||||n CD n n CD n CD ⋅=-⋅===平面与平面.18.（1）解：设，因为与的周长之差为2，所以，即，又因为分别为双曲线的左､右顶点，所以，联立方程组，解得，所以，故双曲线的方程为.（2）解：①由（1）知，双曲线的方程为，设，则，可得，则.②为定值4.理由如下：由（1）得直线的方程为，联立方程组，整理得，设，则，∴EFM PBM 122F F c =12BF F V 2ABF V 11222BF F F AB AF +--=222c a -=12,F F 22222:144x yC a b-=2c a =12c a c a-=⎧⎨=⎩1,2a c ==2221b c a =-=1C 2213yx -=2C ()()22121,2,0,2,0412x yF F -=-()00,M x y 22001412x y -=()220034y x =-20001220003224y y y k k x x x ⋅=⋅==+--DE AB -AB ()12y k x =+()122213y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩()222211134430k x k x k ----=()()1122,,,A x y B x y 221112122211443,33k k x x x x k k --+==--因为位于双曲线的左､右两支，所以，即，可得，又因为，所以直线的方程为，根据双曲线的对称性，同理可得，所以，故为定值4.19.（1）证明：因为方程有三个根，所以方程即为，变形为，比较两个方程可得.（2）（i ）证明：有两个零点，有一个二重根，一个一重根，且由（1）可得，由可得.,A B 2112214303k x x k --=<-213k <()2121613k AB k +===-123k k ⋅=DE ()132y x k =-()2211221136129333k k DE k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦==-⎛⎫- ⎪⎝⎭()()221122112961433k k DE AB k k ++-=-=--DE AB -()3200ax bx cx d a +++=≠123,,x x x ()3200ax bx cx d a +++=≠()()()1230a x x x x x x ---=()()321231223311230ax a x x x x a x x x x x x x ax x x -+++++-=123122331123b x x x ac x x x x x x ad x x x a ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩()f x ()0f x ∴=1x 2x 120,0,x x ≠⎧⎨≠⎩1221122122121b x x ax x x a x x a ⎧+=-⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩2112120x x x a +=<120x x <由可得.联立上两式可得，解得，又，综上.（ii ）解：由（i ）可得，令，则，，当时，，在上单调递增，，.21210x x a⋅=->2120,0x x x >∴<<22112122x x x x x +=-⋅1212x x x =-+2110,02x x x >∴>-<1220x x -<<<123231211112122222121211111211222421123x a x x x x x x x x b x x x x x x x x x +⎧=-==+⎪⎪⎨+--⎪==+=+=--⎪⎩32111222a b x x x ∴+=--()1111,2,0,,2t x t x ∞⎛⎫=∈-∴∈-- ⎪⎝⎭ ()()322g t t t t =--()()()()2232123110g t t t t t =--=+-'> 12t <-()0g t '>()g t ∴1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭()1124g t g ⎛⎫∴<-= ⎪⎝⎭1,4a b ∞⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭。

浙江省名校新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考(暑假返校考)数学试题(解析版)

Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2025届高三第一次联考数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方．3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220,{230}A x x xB x x =--≤=-<∣∣，则A B = （）A.[]2,1- B.31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.(],1-∞-【答案】B 【解析】【分析】根据题意求集合,A B ，再结合交集运算求解.【详解】由题意可得：{}3|12,|2A x x B x x ⎧⎫=-≤≤=<⎨⎬⎩⎭，所以3|12A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B ．2.7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中21x 项的系数是（）A.672B.420- C.84D.560-【答案】D【解析】【分析】根据题意结合二项式定理可得()7731712C rr rr r T x --+=-⋅⋅⋅，令732r -=-运算求解即可.【详解】由题意可知：7212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()777317721C 212C ,0,1,,7rrr rr rr r T x x r x ---+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令732r -=-，解得3r =，所以21x项的系数是()343712C 560-⋅⋅=-.故选：D ．3.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若751213a a =，则139SS =（）A.913B.1213 C.75D.43【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列前n 项和公式、等差数列性质计算即得.【详解】在等差数列{}n a 中，由751213a a =，得113137199513()131312429()991332a a S a a a S a +===⨯=+.故选：D4.已知随机变量X 的分布列如下表所示，则()21E X +=（）X123P13a16A.116B.113C.143D.223【答案】C 【解析】【分析】根据分布列的性质可得12a =，进而可得11()6E X =，再根据期望的性质分析求解.【详解】由分布列可得11136++=a ，解得12a =，则11111()1233266E X =⨯+⨯+⨯=，所以14(21)2()13E X E X +=+=.故选：C ．5.已知函数22)()log ,(f x x ax a =-∈R ，则“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在(1,)+∞上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，得1210a a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得1a ≤，所以“2a ≤”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的必要不充分条件.故选：B6.函数π()cos(0)6f x x ωω=+>的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（）A.π2π(,]63 B.π4π(,]63C.π4π(,33D.π7π(,]33【答案】C 【解析】【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得.【详解】由(0,1)x ∈，得πππ666x ωω<+<+，由()f x 的图象在区间(0,1)上恰有一个对称中心，得ππ3π262ω<+≤，所以π4π33ω<≤.故选：C7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的余弦值为13，则此圆台与其内切球的体积之比为（）A.74B.2C.32D.53【答案】A 【解析】【分析】将圆台还原成圆锥，作出圆锥的轴截面，再结合给定角求出圆锥底面圆半径、高与内切球半径的关系即可计算得解.【详解】将圆台母线延长交于点S ，得圆锥1SO ，作圆锥1SO 的轴截面，等腰梯形ABCD 为圆台的轴截面，截内切球O 得大圆，并且是梯形ABCD 的内切圆，令SA 切圆O 于T，如图，设底面圆直径2AB R =，依题意，11cos 3SAO ∠=，3SA R =，1SO =，设内切球半径为r ，则12OT OO OO r ===，1cos 3SOT ∠=，3SO r =，14SO r ==，于是=R ，且2O 为1SO 的中点，而内切球体积314π3V r =，圆台的体积222321111117π7πππ())43322243V R SO R SO r r =⋅-⋅=⋅=,所以圆台与其内切球的体积比为2174V V =.故选：A8.设函数2π()(1)1,()cos 22xf x a xg x ax =--=-，若函数()()()h x f x g x =-在区间(1,1)-上存在零点，则实数a 的取值范围是（）A.2a ≤B.112a <≤C.122a <≤ D.12a <≤【答案】C【解析】【分析】利用函数零点的定义，转化为函数2()1F x ax a =+-，π()cos 2xG x =在(1,1)-上的图象有公共点求解.【详解】由()()()0h x f x g x =-=，得2π(1)1cos22xa x ax --=-，依题意，2π1cos2x ax a +-=在(1,1)-上有解，记2()1F x ax a =+-，π()cos 2x G x =，因此函数(),()F x G x 在(1,1)-上的图象有公共点，0()1G x <≤，如图，当0a ≤时，2()11F x ax a =+-≤-，显然函数(),()F x G x 在(1,1)-上的图象无公共点，当0a >时，函数(),()F x G x 图象都关于y 对称，得(0)(0)(1)(1)F G F G ≤⎧⎨>⎩，即11210a a -≤⎧⎨->⎩，解得122a <≤，所以实数a 的取值范围是122a <≤.故选：C【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f (x )=0的解；(2)图象法：作出函数f (x )的图象，观察与x 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知正实数,,a b c 满足2510a b c ==，则（）A.b c a +=B.a b c >>C.111a b c+= D.49a b c+≥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：设25101a b c t ==>=，可得2510log ,log ,log a t b t c t ===，结合对数函数性质分析判断；对于C ：利用换底公式分析判断；对于D ：可得111c a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合基本不等式运算求解.【详解】对于选项A ：若1,2510a b c ===，则25log 10,log 10a b ==，则25log 10log 101a b c =≠+=+，故A 错误；对于选项B ：因为0a b c >,,，设25101a b c t ==>=，则2510ln ln ln log ,log ,log ln 2ln 5ln10t t t a t b t c t ======，又ln 0,0ln 2ln 5ln10t ><<<，可得ln ln ln ln 2ln 5ln10t t t>>，所以a b c >>，故B 正确；对于选项C ：因为111log 2,log 5,log 10t t t a b c===，所以111log 2log 5log 10t t t a b c+=+==，故C 正确；对于选项D ：因为111a b c +=，即111c a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1144(4)1459b a a b c a b c c c a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b aa b=，即2a b =时，等号成立，所以49a b c +≥，故D 正确．故选：BCD.10.若直线()y kx k =∈R 与圆()()22:111C x y -+-=交于不同的两点,A B O ､为坐标原点，则（）A.当2k =时，AB =B.CA CB ⋅的取值范围为[]1,1-C.1OA OB ⋅=D.线段AB 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：求圆心()1,1C 到直线20x y -=的距离，结合垂径定理运算求解；对于B ：根据数量积可得cos CA CB ACB ⋅=∠uu r uu r，进而可得结果；对于C ：分析可得221OA OB OC r ⋅=-=，即可得结果；对于D ：分析可知点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆(除去,E F )，即可得结果.【详解】由题意可知：圆()()22:111C x y -+-=的圆心为()1,1C ，半径为1r =，且直线()y kx k =∈R 过定点0,0，设线段AB 中点为M ，对于选项A ：当2k =时，则直线为2y x =，即20x y -=，圆心()1,1C 到直线20x y -=的距离为55d CM ===，所以||2||AB AM ==A 正确；对于选项B ：因为cos cos CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⋅∠=∠，因为点,A B 不重合，所以cos 1ACB ∠<，故B 错误；对于选项C ：因为()()·OA OB OM MA OM MA⋅=+-()222222OM MA OC d r d =-=---221OC r =-=，所以1OA OB ⋅=，故C 正确；对于选项D ：因为线段AB 中点M 满足OM CM ⊥，设OC 的中点为N ，圆C 与x 、y 分别切于点E 、F ，可知圆N 过点E 、F ，且90ECF ∠=︒，可知点M 的轨迹是以OC 为直径的半圆（除去,E F ），所以轨迹长为1222ππ222⨯⨯=，故D 错误．故选：AC.11.若函数()cos 1cos ,Z f x nx n =-∈，则下列说法正确的是（）A.若2n =，则函数()f x 的最大值为2B.若3n =，则函数()f x 为奇函数C.存在Z n ∈，使得()sin 1sin f x nx =-D.若()()sin cos 2f x f x +=，则42,Z n k k =+∈【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ：整理可得[]2()22,1,1f x x x =-∈-，结合二次函数求最值；对于B ：举反例说明即可；对于C ：取1n =，代入检验即可；对于D ：根据题意结合诱导公式可得()πcos cos 2ππ,2n nx nx k k ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭Z ，进而可得π2ππ,2n k k =+∈Z ，运算求解即可.【详解】因为[]cos 1,1x ∈-，可知()f x 的定义域为[]1,1-，对于选项A ：当2n =时，2(cos )1cos 222cos f x x x =-=-，可得[]2()222,1,1f x x x =-≤∈-，当且仅当0x =时，等号成立，所以函数()f x 的最大值为2，故A 正确；对于选项B ：当3n =时，则()cos 1cos3f x x =-，令π2x =，则π3πcos cos022==，可得()010f =≠，所以函数()f x 不为奇函数，故B 错误；对于选项C ：当1n =时，(cos )1cos f x x =-，则[]()1,1,1f x x x =-∈-，且对任意R x ∈，则[]sin 1,1x ∈-，所以(sin )1sin f x x =-，故C 正确．对于选项D ：因为πππ(sin )cos 1cos 1cos 222n f x f x n x nx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若π(sin )(cos )1cos 1cos 22n f x f x nx nx ⎛⎫+=--+-= ⎪⎝⎭，可得()πcos cos cos 2ππ,Z 2n nx nx nx k k ⎛⎫-=-=--∈ ⎪⎝⎭，则π2ππ,Z 2n k k =+∈，解得42,Z n k k =+∈，故D 正确．故选：ACD.【点睛】关键点点睛：对于BC ：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，共15分．12.已知,a b 是两个单位向量，若()3a b b -⊥ ，则向量,a b 夹角的余弦值为______．【答案】13【解析】【分析】根据垂直条件及数量积运算律，再由夹角公式即可求解.【详解】由(3)a b b -⊥ ，得231a b b ⋅== ，则1cos ,3|||a b a b a b ⋅〈〉== ．故答案为：1313.若复数z 满足2,2z z z z +=⋅=，则2z z -=__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设出复数z 的代数形式，结合复数相等、共轭复数及模的意义计算得解.【详解】设i,,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，22z z a +==，解得1a =，由2z z ⋅=，得222a b +=，解得21b =，又23i z z a b -=-+，所以|2|z z -=.14.如图，设双曲线G22−22=1>0,>0的左焦点为F ，过F 作倾斜角为60o 的直线l 与双曲线C 的左支交于,A B 两点，若4AF FB =，则双曲线C的渐近线方程为__________.【答案】5y x =±【解析】【分析】利用双曲线定义，结合余弦定理求出,a b 的关系即可得解【详解】令双曲线的右焦点为F '，半焦距为c ，设||BF t =，则||4AF t =，由双曲线定义得||2BF t a '=+，||42AF t a '=+，由直线AB 倾斜角为60o ，得60120BFF AFF ⎧∠=⎨∠='⎩' ，由余弦定理得222222|||2|cos 60|||2|cos120BF BF FF BF FF AF AF FF AF FF ⎧=+''''''-⎪⎨=+-⎪⎩，即222222(2)42(42)1648t a t c tc t a t c tc ⎧+=+-⎨+=++⎩，整理得2222(2)22(42)a c t c a a c t c a ⎧+=-⎨-=-⎩，于是65ca =，5b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为5y x =±.故答案为：5y x =±【点睛】关键点点睛：求出双曲线渐近线方程，关键是由给定条件，结合余弦定理求出b a值.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知三棱锥,A BCD AD -⊥底面,,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===，点P 是AD 的中点，点Q 为线段BC 上一动点，点M 在线段DQ 上.（1）若PM ∥平面ABC ，求证：M 为DQ 的中点；（2）若Q 为BC 的中点，求直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）105【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可得//PM AQ ，即可得结果；（2）方法一：建系标点，利用空间向量求线面夹角；方法二：做辅助线，可证DN⊥平面ABC ，进而可得线面夹角；方法三：利用等体积法求D 到平面ABC 的距离，进而可得线面夹的正弦值.【小问1详解】连结AQ ，因为PM ∥平面,ABC PM ⊂平面ADQ ，平面ADQ 平面ABC AQ =，则//PM AQ ，又因为P 是AD 的中点，所以M 是DQ 中点.【小问2详解】方法一：因为AD ⊥底面,BCD BC CD ⊥，如图建立坐标系，则(2,0,0)D ，(0,2,0)B ，(2,0,2)A ，(0,1,0)Q ，可得(2,1,0)DQ =-uuu r，(2,0,2)CA = ，(0,2,0)CB = ，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则22020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =-，则0,1y z ==，可得(1,0,1)n =-，则cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅==⋅，因此直线DQ 与平面ABC所成角的正弦值为5；方法二：取AC 中点N，因为DA DC =，则DN AC ⊥，因为AD ⊥底面BCD ，⊂BC 底面BCD ，则AD BC ⊥，且BC CD ⊥，AD CD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，则⊥BC 平面ACD ，由DN ⊂平面ACD ，可得BC DN ⊥，且AC BC C = ，,AC BC ⊂平面ABC ，所以DN ⊥平面ABC ，可知DQN ∠即为直线DQ 与平面ABC 所成角，且DN DQ ==10sin5DN DQN DQ ∠===.所以直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值为5；方法三：设D 到平面ABC 的距离为d ，可得1242333A BCD BCD V AD S -=⋅=⨯=△，则12ABC S BC AC =⋅=△即1433A BCD D ABC ABC V V d S --==⋅==△，解得d =则DQ =所有直线DQ 与平面ABC 所成角的正弦值5d DQ ==.16.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos 2a cB c-=.（1）若π3A =，求B ；（2）若ABC V 是锐角三角形，且4c =，求b 的取值范围.【答案】（1）4π9B =（2）(【解析】【分析】（1）根据利用正弦定理结合三角恒等变换可得2B C =，结合π3A =即可得结果；（2）由锐角三角形可得ππ64C <<，利用正弦定理运算求解即可.【小问1详解】因为cos 2a cB c -=，由正弦定理可得sin sin cos 2sin A C B C-=，则2sin cos sin sin sin()sin sin cos sin cos sin C B A C B C C B C C B C =-=+-=+-，整理得sin sin cos sin cos sin()C B C C B B C =-=-，因为(),0,πB C ∈，则()π,πB C -∈-，则C B C =-，即2B C =，由π3A =，得23π3B C C +==，则2π9C =，4π9B =．【小问2详解】因为ABC V 是锐角三角形，则π22π32B C B C C ⎧=<⎪⎪⎨⎪+=>⎪⎩，解得ππ64C <<，则cos 2C <<由正弦定理得sin sin c bC B =，得sin 4sin 28cos sin sin c B C b C C C===，可得b <<b的取值范围为(.17.已知椭圆G22+22=1>>0的离心率为12e =，左、右顶点分别为,,A B O 为坐标原点，M 为线段OA 的中点，P 为椭圆上动点，且MPB △.（1）求椭圆E 的方程；（2）延长PM 交椭圆于Q ，若6BP BQ ⋅=，求直线PQ 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）1)y x =+【解析】【分析】（1）根据离心率和面积关系列式求,,a b c ，进而可得方程；（2）设直线()()1122:(1),,,,PQ y k x P x y Q x y =+，联立方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算求解即可，注意讨论直线的斜率是否存在.【小问1详解】由条件得12c e a ==，即2a c=，则b =，则12OM a c ==，()2max 13333()222BMP S b a c c =+==，解得2,1a b c ===，所以椭圆E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意可知：()()2,0,2,0A B -，则()1,0M -，且直线PQ与椭圆必相交，若直线PQ 的斜率不存在，可知1PQ x =-：，联立方程221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得32y =±，不妨取331,,1,22P Q ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则333,,3,22BP BQ ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，可得9279644BP BQ ⋅=-=≠ ，不合题意；若直线PQ 的斜率存在，设直线()()1122:(1),,,,PQ y k x P x y Q x y =+，则()112,BP x y =- ，()222,BQ x y =-，与椭圆联列方程得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()22223484120k x k x k +++-=，可得221212228412,3434k k x x x x k k-+=-=++，则212121212(2)(2)(2)(2)(1)(1)BP BQ x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++()()()()()()2222222212122214128212443434k k k kkx x k x x kkk k +--=++-+++=-++++2227634k k==+，可得26k =，解得k =所以直线PQ的方程为1)y x =+；综上所述：直线PQ 的方程为)1y x =+.【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解.18.已知函数()()ln 0f x x x x =>；（1）设函数()()()1g x f x f x =+-，求函数()g x 的极值；（2）若不等式()(),f x ax b a b ≥+∈R 当且仅当在区间[)e,+∞上成立；求ab 的最大值（3）实数,m n 满足0m n <<，求证：()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-．【答案】（1）极小值ln 2-，无极大值（2）e4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数()g x 的导函数并判断出其单调性，即可得出极值；（2）结合函数图象将不等式恒成立转化为图象之间位置关系，得出等量关系并求得ab 的表达式利用二次函数性质可求出结论；（3）分别对不等式左右两边利用作差法并构造函数，由导函数求得其单调性即可证明得出结论.【小问1详解】()()(1)ln (1)ln(1),01g x f x f x x x x x x =+-=+--<<，令()()()1ln ln 11ln ln 1x x x x g x +---=-=-'，令()0g x '=，得12x =，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，可得()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 有极小值1ln 22g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，无极大值．【小问2详解】()1ln 0f x x '=+=，得1ex =，易知()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即可得在[)e,+∞上()f x 单调递增；易知()f x 在()e,e 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；若不等式()(),f x ax b a b ≥+∈R 当且仅当在区间[)e,+∞上成立；结合()f x 及y ax b =+的图象可知，需满足(e)e e 2f a ba ==+⎧⎨≤⎩，可得e e b a =-，2a ≤．于是21e e (1)e 24ab a a a ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，易知当12a =时，取得最大值，故()maxe 4ab =．【小问3详解】先证明左边：作差()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n m m mm n m n m ---+-=--(ln ln )ln 1nn n m n m n n m m m-==--；因为0m n <<，令1n t m=>，则(ln ln )ln ln 111n n m t tt n m t t-==---；令()()ln 1,1ln 1ln h t t t t h t tt '=-+=+-=当1t >时，()0h t '>，函数()h t 在(1,)+∞上是增函数，所以()ln 1(1)0h t t t t h =-+>=，因此ln 1t t t >-，所以ln 11t tt >-，即()()ln 1f n f m m n m -->-，故()()ln 1f n f m m n m ->+-；对于右边()()ln ln ln ln ln f n f m n n m m n n m nn n m n m---+-=--(ln ln )1ln1m n m n n n m m m-==--令(ln ln )ln 1,11n m n m t t m n m t -=>=<--，令()ln 1t t φt =-+，则()1110φt t tt-=='-<恒成立；所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减，可得()()10t ϕϕ<=，即()ln 10t t t ϕ=-+<，所以ln 1t t <-，即ln 11tt <-，即()()ln 1f n f m n n m --<-，故()()ln 1f n f m n n m-<+-．综上得()()ln 1ln 1f n f m m n n m-+<<+-．【点睛】关键点点睛：在证明不等式时关键是先利用作差法再根据表达式特征，构造函数并利用导数求出函数单调性及其最值，即可得出结论.19.混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，假设在一个混沌系统中，用n x 来表示系统在第n 个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态值1n x +满足1()n n x f x +=，已知初始状态值0(0,1)x ∈，其中2()()f x ax ax a =-∈R ，这样每一时刻的状态值012,,,,n x x x x 构成数列{}()n x n ∈N .（1）若数列{}n x 为等比数列，求实数a 的取值范围；（2）若01,12x a ==-，证明：①11112n nx x +<-≤；②212(2)ni i n x n =+≤+∑.【答案】（1）1a <-；（2）①证明见解析；②证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列定义，结合0(0,1)x ∈求解即得.（2）①把1a =-代入，变形得11111n n nx x x +-=-，再探讨n x 的符号及数列{}n x 的单调性推理得证；②由已知结合累加法得21012nin i xx +==-∑，再由①结合累加法求得1124n x n +≥+即可推理得证.【小问1详解】由{}n x 是等比数列，得212n n n x x x ++=，且120,0n n n x x x a ++⋅⋅≠≠，依题意，21n n n x ax ax +=-，则22111(())n n n n n n x ax ax x ax ax +++-=-，于是1n n ax a ax a +-=-，即21n n n n x x ax ax +==-，整理得01n a x x a+==，因此101a a +<<，即110a-<<，解得1a <-，所以实数a 的取值范围是1a <-.【小问2详解】①由1a =-知，211)1111,11(n n n n n n n nx x x x x x x x ++=-+==+--，则11111n n n x x x +-=-，由210n n n x x x +-=-<，得数列{}n x 是递减数列，则011111,221n n n nx x x x x +≤=-=≤-；又110n n n x x x +=->，则1,n n x x +同号，有n x 与0x 同号，即0n x >，于是111111n n nx x x +-=>-，所以11112n nx x +<-≤．②由21nn n x x x +=-，得2101101(2)n nin n n n i i x x x x x x +++===-=-=-∑∑，由①知，1112n n x x +-≤，则10112(1)24n n n x x +≤++=+，又0n x >，因此1124n x n +≥+，所以210111122242(2)ni n i n x x n n +=+=-≤-=++∑.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.。

2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分）因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

浙江省绍兴市2024-2025学年高三上学期一模(11月选考科目诊断性考试)数学试题含答案

2024年11月绍兴市选考科目诊断性考试数学试题（答案在最后）本科试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共6页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、座位号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{60}A x x x =--<，{2,0,1,3}B =-，则A B = （）A.{0,1} B.{2,0,1}- C.{0,1,3}D.{2,0,1,3}-2.若11i 1z =--，则z =（）A.31i 22- B.31i 22+ C.13i 22- D.13i 22+3.已知1sin()2αβ+=，1sin()3αβ-=，则tan tan αβ=（）A.15 B.5C.15-D.5-4.已知向量(1,2)a =- ，(2,0)b = ，则a 在b上的投影向量是（）A.(2,0)- B.(2,0)C.(1,0)- D.(1,0)5.如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，AB ，CD 分别为该圆柱的上、下底面的直径，且AB CD ⊥，则三棱锥A BCD -的体积是（）A.24B.18C.12D.66.已知直线l 与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，过点O 作l 的垂线，垂足为(2,1)E ，则p =（）A.52B.32C.54D.347.已知函数2()()F x x f x =，且0x =是()F x 的极小值点，则()f x 可以是（）A.sin xB.ln(1)x + C.exD.1x -8.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m ，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k 号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min 内（含10min ）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k 的最小值是（）A.16B.17C.18D.19二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的100块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位：kg ），并整理得下表：亩产量[150,160)[160,170)[170,180)[180,190)[190,200)[]200,210频数5102540155则100块试验田的亩产量数据中（）A.中位数低于180kgB.极差不高于60kgC.不低于190kg 的比例超过15%D.第75百分位数介于190kg 至200kg 之间10.下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（）A.sin y x =与sin y x =-B.3y x =与3y x x =-C.2xy =与32xy =⋅ D.lg y x =与lg(3)x 11.在正三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，1PA =，Q 是底面ABC △内（含边界）一点，则下列说法正确的是（）A.点Q 到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值B.顶点A ，B ，C 到直线PQ 的距离的平方和为定值C.直线PQ 与该三棱锥三个侧面所成角的正弦值的和有最大值D.直线PQ 与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在二项式62x ⎛- ⎝的展开式中，常数项为________.13.若曲线eln y x =在点(e,e)处的切线与圆22()1x a y -+=相切，则a =________.14.已知数列{}n a 中，(1,2,,)i a i n = 等可能取1-，0或1，数列{}n b 满足10b =，1n n n b b a +=+，则50b =的概率是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC △三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin (cos 1)A a B =+.（1）求B ；（2）设CD 是ABC △的中线，若CD =，2a =，求b .16.（15分）已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当2a =时，求()f x 在区间[]0,1上的值域；（2）若存在01x >，当()00,x x ∈时，()0f x <，求a 的取值范围.17.（15分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，AB =PB =，6PC =，60BAD ∠=︒.（1）证明：PA PD =；（2）若二面角P AD B --的余弦值为13-，求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值.18.（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12.（1）求C 的方程；（2）过左焦点的直线交C 于A ，B 两点，点P 在C 上.（i ）若PAB △的重心G 为坐标原点，求直线AB 的方程；（ii ）若PAB △的重心G 在x 轴上，求G 的横坐标的取值范围.19.（17分）n 维向量是平面向量和空间向量的推广，对n 维向量()12,,,n n m x x x =（{0,1}i x ∈，1,2,,i n = ），记()112121n n f m x x x x x x =++++ ，设集合()(){n n n D m m f m =为偶数}.（1）求()2D m ，()3D m；（2）（i ）求()nD m中元素的个数；（ii ）记()1n n i i g m x ==∑，求使得()()2025n nn m D m g m ∈≤∑成立的最大正整数n .2024年11月绍兴市选考科目诊断性考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A 2.B3.B4.C5.D6.C7.C8.B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BC10.ACD11.ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6013.14.1981四、解答题：本题共5小题，共77分.15.（13分）解：（1sin (cos 1)A a B =+sin sin (cos 1)B A A B =+.又因为sin 0A >cos 1B B -=，即π1sin()62B -=.又因为ππ5π666B -<-<，所以ππ66B -=，即π3B =.（2）在BCD △中，由余弦定理2221cos 22BD BC CD B BC BD +-==⋅，可得2280BD BD --=，解得4BD =，即8c =.在ABC △中，由余弦定理可知2222cos 52b a c ac B =+-=.解得b =16.（15分）解：（1）因为()21xf x e x =--，所以()2xf x e '=-，所以当ln 2x <时，()0f x '<，当ln 2x >时，()0f x '>，所以()f x 在[0,ln 2)上递减，在[ln 2,1]上递增.因为(0)0f =，(1)3f e =-，(ln 2)12ln 2f =-，且30e -<，所以()f x 的值域是[12ln 2,0]-.（2）因为()e xf x a '=-.①若1a ≤，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f >=，不符合题意.②若1a >，当ln x a <时，()0f x '<：当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,ln )a 上递減，在[ln ,)a +∞上递增，要存在01x >，当0(0,)x x ∈，()0f x <，则只需(1)10f e a =--<，所以1a e >-.17.（15分）解：（1）取AD 中点E ，连接PE ，BE ，因为AB AD ==60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形，因为E 为AD 中点，所以AD BE ⊥.又因为2222236BC PB PC +=+==，所以PB BC ⊥.因为//BC AD ，所以AD PB ⊥，又BE PB B = ，所以AD ⊥面PBE .所以AD PE ⊥，又因为E 为AD 中点，所以PA PD =.解法1：（2）因为AD BE ⊥，AD PE ⊥，所以PEB ∠是二面角P AD B --的平面角，即1cos 3PEB ∠=-.在PEB △中，由余弦定理22229161cos 263BE PE PB PE PEB BE PE PE +-+-∠===-⋅⋅，解得3PE =.如图，以点E 为坐标原点，EA ，EB 分别为x ，y轴建立空间直角坐标系，则A ，(0,3,0)B，(C -，(0,1,P -，所以(BC =-，(AB =，PA =-，设平面ABP 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m AB m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30y y ⎧+=⎪+-=，令x =1y =，z =.所以m =，所以2cos ,2m BC m BC m BC⋅<>==，所以直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值为22.解法2：（2）因为AD BE ⊥，AD PE ⊥，所以PEB ∠是二面角P AD B --的平面角，即1cos 3PEB ∠=-.在PEB △中，22229161cos 263BE PE PB PE PEB BE PE PE +-+-∠===-⋅⋅，解得3PE =，所以AP =，所以PA AB =，且222PA AB PB +=，取PB 中点F ，连接AF ，DF ，在等腰直角三角形PAB中，AF =，同理DF =所以222AF DF AD +=，所以DF AF ⊥，又DF PB ⊥，所以DF ⊥平面PAB ，所以DAF ∠即为直线AD 与平面PAB 所成角，又2sin 2DAF ∠=，而//AD BC ，所以直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值为22.18.（17分）解：（1）由题意知12c e a ==，即22214a b a -=，又227a b +=，解得2a =，b =，1c =.所以C 的方程22143x y +=.（2）（i ）设直线AB 的方程为1x my =-，联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,P x y ，则122634m y y m +=+，122934y y m -=+.因为PAB △的重心为原点，所以1230y y y ++=，所以32634m y m -=+，又()()3121228234x x x m y y m =-+=-++=+，代入22143x y +=，可得()2221216134m m +=+，解得0m =，所以直线AB 的方程是1x =-.解法1：（ii ）设(),0G t ，由（i ）可知32634m y m -=+，()312283334x t x x t m =-+=++，代入22143x y +=，可得()222228312341434t m m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+，解得2222164303434m t t m m +-=++，所以()222434094t t m t +=-≥-.所以()()()3432320t t t t ++-≤，且23t ≠±，所以422,0,333t ⎡⎫⎡⎫∈--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.解法2：（ii ）设(),0G t ，由（i ）可知32634m y m -=+，()312283334x t x x t m =-+=++，代入22143x y +=，可得()222228312341434t m m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+，解得2222164303434m t t m m +-=++，①当0t <时，22912164334t m =-⨯+，令2344u m =+≥，则243t u +=-⨯在[4,)+∞上递增，所以42,33t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，②当0t ≥时，22912164334t m =⨯+，令2344u m =+≥，则241643t u =⨯在[4,)+∞上递增，所以20,3t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.综上可知422,0,333t ⎡⎫⎡⎫∈--⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.19.（17分）解：（1）()2{(1,0)}D m = ，()3{(1,0,0),(1,0,1),(1,1)}D m =.（2）（i ）设()nD m 中元素的个数为na ，由于()112121nnf m x x x x x x =++++为偶数，()()1223211nnf m x x x x x x =+++++，则11x =，且112n nn a a --=-.故121232322222n n n n n n n n a a a -------=-+=-+-=123432212222(1)2(1)2(1)1n n n n n n n -------=-+-++-⋅+-⋅+-⋅ 11(1)1(2)2(1)1(2)3n n n n -+⎡⎤-⋅--+-⎣⎦==--即12(1)3n n n a ++-=，故()n D m 中元素的个数为12(1)3n n ++-.（ii ）略。

安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题(含答案)

安徽省“皖江名校联盟”2025届高三上学期第一次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={x|x<2}，B={x|(x−1)2<4}，则A∪B=( )A. {x|x<2}B. {x|−1<x<2}C. {x|x<3}D. {x|−1<x<3}2.已知复数z满足z(2−i)=(1+i)2，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知平面向量a、b满足a=(1,3)，|a−b|=4，则|b|的取值范围是( )A. [2,6]B. [2,23]C. [23,6]D. [1,23]4.树人学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有( )A. 20种B. 40种C. 60种D. 80种5.有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它是次品的概率( )A. 0.054B. 0.0535C. 0.0515D. 0.05256.已知直线x+y−k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有|OA+OB|⩾3| AB|，则实数k的取值范围是( )A. (3,6)B. [2,6)C. [6,22)D. [6,23),g(x)=x2+ax+b，若方程g[f(x)]=0有且仅有5个不相等的整数解，7.已知函数f(x)={x+4x,x>0log2|x|,x<0则其中最大整数解和最小整数解的和等于( )A. −28B. 28C. −14D. 148.“三角换元思想”是三角函数中的基本思想.运用三角换元法可以处理曲线中的最值问题.譬如：已知x2 +y2=r2(r>0)，求x+y的最大值.我们令x=r cosθ，y=r sinθ，则x+y=r(cosθ+sinθ).这样我们就把原问题转化为三角函数最值问题.已知A(x,y)是曲线x3+y3−6xy=0(x>0,y>0)上的点，则x2+y2的最大值为( )A. 12B. 14C. 16D. 18二、多选题：本题共3小题，共15分。

内蒙古呼和浩特市2025届高三上学期第一次质量监测试题数学含答案

2025届高三年级第一次质量监测数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号写在答题卡上.2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在本试卷上，否则无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合210,{01}4A x x B x x ⎧⎫=-=<⎨⎬⎩⎭∣ ，则A B ⋂=（）A.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C.(]0,1 D.[]0,12.已知命题:,11p x x ∀∈+>R ；命题:q x ∃∈N N ，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q ⌝都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q 都是真命题3.已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，复数z 满足3i 1i z =+，则z =（）A.1C.24.已知平面向量()()1,3,1,2,4a x x b x a b =---=+⋅=- ，则2a b + 与b 的夹角为（）A.π4B.π3C.2π3D.3π45.若π1tan ,43αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭是第二象限角，则sin α=（）A.5B.5-C.5D.5-6.已知双曲线的两个焦点分别为()()4,0,4,0-，点()4,6-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）B.3C.27.当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的交点个数为（）A.2B.3C.4D.68.已知圆锥PO 的顶点为P ，其三条母线,,PA PB PC 则圆锥PO 的侧面积为（）B. C.6π2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某物理量的测量结果服从正态分布()211,N σ，下列选项中正确的是（）A.σ越大，该物理量在一次测量中在()10.8,11.2的概率越小B.该物理量在一次测量中小于11的概率小于0.5C.该物理量在一次测量中小于10.98与大于11.02的概率不相等D.该物理量在一次测量中落在()10.8,11.2与落在()10.9,11.3的概率不相等10.设函数()32694f x x x x =-+-，则（）A.()f x 有三个零点B.1x =是()f x 的极大值点C.曲线()y f x =为轴对称图形D.()2,2-为曲线()y f x =的对称中心11.如图，曲线33:30(0)C x y axy a +-=>过原点，其渐近线方程为:0l x y a ++=，则（）A.曲线C 关于直线y x =对称B.点(),a a 位于曲线C 围成的封闭区域（阴影部分）外C.若()00,x y 在曲线C 上，则003a x y a-<+ D.曲线C 在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为294a三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用0与1两个数字随机填入如图所示的3个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为__________.13.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .sin sin2C c B =，sin 2,A A ABC = 外接圆直径为4，则边c 的长为__________.14.若0x =是()()246e 23xf x ax x x =-+--的极小值点，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（13分）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，且2341,1,a a a --成等比数列.（1）求n a 和n S ；（2）若1n n b S =，求数列{}n b 的前20项和20T .16.（15分）某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：产品优质品非优质品更新前2416更新后4812（1）依据小概率值0.050α=的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？（2）如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败.①求经核查认定设备更新失败的概率p ；②根据p 的大小解释核查方案是否合理.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++()2aP x χ 0.0500.0100.001ax 3.841 6.63510.82817.（15分）如图1，在菱形ABCD 中，120,4,,(01)ABC AB AE AD AF AB ∠λλλ====<<，沿EF 将AEF 向上折起得到棱锥P BCDEF -.如图2所示，设二面角P EF B --的平面角为θ.（1）当λ为何值时，三棱锥P BCD -和四棱锥P BDEF -的体积之比为95；（2）当π1,22θλ==时，求平面PEF 与平面PFB 所成角ϕ的正弦值.18.（17分）已知函数()()()e ,ln 1ln2xf x x ag x x =++=++.（1）当0a =时，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）证明：当0a 时，()()f x g x >.19.（17分）设点P 从格点()1,1A 出发，沿格径以最短的路线运动到点()()*,B m n m n ∈N ､，即每次运动到另一格点时，横坐标或纵坐标增加1.设点P 经过的所有格点中两坐标乘积之和为S .（1）当4,3m n ==时，点A 沿格径以最短的路线运动到点B 的方案有多少种？（2）当4,2m n ==时，求S 的最大值；（3）当点P 从格点()1,1A 出发，沿格径以最短的路线运动到点()()*,B m n m n ∈N､且m n ，求S 的最大值.（参考公式：21(1)(21)6ni n n n i=++=∑）2025届高三第一次质量检测数学参考答案一､单选题12345678BDBAACCD二､多选题91011ADBDACD三､填空题12.38；13.14.[)1,∞+四､解答题15.（1）设()11n a n d =+-，由()()234211a a a -=-得()2(2)13d d d =+，所以1d =或0d =由于d 不为0，所以1d =所以，n a n =，()()1122n n n a a n n S ++==（2）由1n n b S =知：()21n b n n =+，故1121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，由1111111121223341n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以201140212121T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭.16.（1）假设0H ：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品优质率没有差异.由列联表可计算22100(24124816) 4.762 3.84140607228χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们可以推断0H 不成立，因此可以认为设备更新后能够提高产品优质率.（2）根据题意，设备更新后的优质率为0.8.可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互独立的.（1）设X 表示这5件产品中优质品的件数，则()5,0.8X B ~，可得()05142235552C 0.2C 0.80.2C 0.80.20.05792p P X =≤=⨯+⨯⨯+⨯⨯=.（2）实际上设备更新后提高了优质率.当这5件产品中的优质品件数不超过2件时，认为更新失败，此时作出了错误的判断，由于作出错误判断的概率很小，则核查方案是合理的.17.（1）由95P BCD BCD ABD P BDEF BDEF BDEF V S S V S S --=== 四边形四边形，得94ABD AEF S S = 所以23AE AD λ==；（2）因为菱形ABCD 的对角线互相垂直，设AC 与EF 的交点为O ，由12λ=可知O 点为线段EF 的中点，在翻折的过程中，始终有,PO EF OC EF ⊥⊥，所以二面角P EF B --的平面角为π2POC ∠θ==，以O 为坐标原点，,,OF OC OP 分别为x 轴､y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则(()(),1,0,0,P F B ，可得(()1,0,,PF FB ==，设平面PEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n PF x n FB x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令x =，则1,1y z =-=，可得)1,1n =-设平面PFB 的法向量为()0,1,0m =，由题意可得5cos cos ,5m n ϕ===，所以sin 5ϕ=.18.（1）当0a =时，()()e ,01xf x x f =+=()()e 1,02x f x f '=+='所以切线方程为()120y x -=-即21y x =+.（2）由题意知1x >-，设()()()21e 1xh x f x x x a=-+=--+则()e 1xh x '=-令()0h x '>得0x >，令()0h x '<得10x -<<故()h x 在()1,0-单调递减，在()0,∞+单调递增()()00h x h a ≥=≥所以()()21f x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立.设()()()()212ln 11ln2x x g x x x ϕ=+-=-++-则()121211x x x x ϕ'+=-=++令()0x ϕ'>得12x >-，令()0x ϕ'<得112x -<<-故()x ϕ在11,2⎛⎫--⎪⎝⎭单调递减，在1,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增()111ln 1ln2022x ϕϕ⎛⎫≥-=--+-= ⎪⎝⎭所以()21x g x +≥，当且仅当12x =-时，等号成立综上可得，()()21f x x g x ≥+≥，等号不能同时成立所以，()()f x g x >.得证.19.（1）25C 10=；（2）方案一：()()()()()23451,12,13,14,14,2A P P P P →→→→112131414218S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=方案二：()()()()()23451,12,12,23,24,2A P P P P →→→→112122324221S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=方案三：()()()()()23451,12,13,13,24,2A P P P P →→→→112122314218S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=方案四：()()()()()23451,11,22,23,24,2A P P P P →→→→111222324221S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以，S 的最大值为21.（3）设P 经过的点依次为()()1211,1,,,,,m n i P A P P B m n P +-=⋯=的坐标为(),i i x y ，则11m n i i i S x y +-==∑，要使S 最大，由直观，应使i i x y ､尽可能接近.猜想，如果()()()112211,,,,,,m n m n x y x y x y +-+-⋯使S 最大，则对任何,i i x m y n <<，有1i i x y -≤假设存在i ，使()1,,i i i i x y x m y n -><<，不妨设1i i x y ->.观察路径，发现一定有一个点(),t t t P x y ，满足这样的条件，即路径中存在这样连续三点()()()111111,,,t t t t t t t t t P x y P x y P x y ---+++､､，使得1t t P P -是横向边，1t t PP +是纵向边，且1t t x y ->，于是，用()1,1t t t Px y -+'代替(),t t t P x y 得到的路径仍合乎要求，又因为()()111t t t t t t t t x y x y y x x y -+=-+->，所以，经过变换路径后，坐标之积变大了.所以1i i x y -≤所以，综上所述，对路径中的任何一个点(),i i i P x y ，若i i x y ≠，则从(),i i i P x y 出发的边是唯一的，下一个点是将(),i i i P x y 的坐标中较小的一个增加1.而i i x y =时，则从(),i i i P x y 出发的边有两种选择，下一个点是将(),i i i P x y 的横坐标或纵坐标加1于是，1.当m n =时，()212max 11431(1)6n n i i n n n S i i i -==+-=++=∑∑.2.当m n >时，其路径为：()()21,12,1A P →或()()()2341,22,22,3P P P →→或()()()()()()452122113,23,3,1,2,,n n n m n P P P n n P n n P n n P m n -++-→→→→+→+→→ .此时，12max 111(1)()n n m ni i i S i i i n n i --====++++∑∑∑()221331.6n m n m =++-。

江西省多所学校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题(含答案)

江西省多所学校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.2. 某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：.则该组数据的中位数和平均数分别为（）A. 60，58 B. 60，60 C. 55，58 D. 55，603. 已知为实数，则（）A.B. 2C. 1D.4. 曲线在点处的切线方程为（）A B.C. D. 5. 已知锐角满足，则（）A.B.C.D. 6. 过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为.(){}lg 23,{1}M x y x N y y ==-=>∣∣M N ⋂=31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭31,2⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭35,30,50,90,70,85,60()i1ia z a +=∈+R 2i z z +=e sin2x y x =+()0,13220x y +-=2210x y -+=310x y -+=3220x y -+=,αβsin sin sin cos cos ααβαβ+=2αβ+=π2π3π4π()1,3P-l ()22:(2)123M x y x -+=≤≤l（）A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（）A.B.C.D.8. 如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知双曲线，则（）A. 的取值范围是B. 时，的渐近线方程为C. 的焦点坐标为D. 可以是等轴双曲线10. 下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是（）2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦2,43⎛⎤ ⎥⎝⎦2222:1(0)x y T a b a b+=>>F F l T ,A B AB M 20x y +=TABCD tan 7,5,BAD AB AD E ∠===BC 45AE DE ⋅=sin CDE ∠=7255131422:136x y C m m -=-+m ()6,3-1m =C y x =C ()()3,0,3,0-C {}n a 123,,a a a ()()()123,,f a f a f aA. B. C. D. 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（）A. 的图象关于点对称B. 是以8为周期的周期函数C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 二项式的展开式中的系数为__________.13. 已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________.14. 已知三个正整数和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间（单位：）与位移（单位：）之间的关系，得到如下表数据：2.8293 3.1322425293234画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系.（1）求出关于的线性回归方程；（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求前3项残差的和.的..()tan =f x x ()2log f x x =()2024f x x=()1lg1x f x x+=-R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f x ()()8g x g x +=20241(42)2025k f k =-=∑6()x y -42x y ()π2024sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π,6m ⎛⎫ ⎪⎝⎭m X X EX =x s y m x yx y y x ˆˆˆˆi i i i ie y y y bx a =-=--i y ˆi y ˆi e (),i i x y参考数据：，参考公式：.16. 已知的内角的对边分别为，且．（1）证明：；（2）若的周长．17. 已知直线交抛物线于两点，为的焦点，且．（1）证明：；（2）求的取值范围．18. 如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.（1）当时，求四棱锥的体积；（2）当直线与平面所成的角为时，求的值.19. 定义：若对于任意，数列满足：①；②，其中的定义域为，则称关于满足性质.（1）请写出一个定义域为的函数，使得关于满足性质；（2）设，若关于满足性质，证明：；（3）设，若关于满足性质，求数列的前项和.5521145.1,434.7ii i i i xx y ====∑∑1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nxybay bx xnx ==-==--∑∑ABC V ,,A B C ,,a bc 4cos 4c Ab a=-4cos b C =π,6C c ==ABC V :l x my n =+2:4C y x =,M N F C FM FN ⊥20m n +>n ABCD EFGH -CDHG CG θ11CD H G π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭P EF 112tan 3D PH ∠=11P CD H G -1DH 11CD H G π6cos θ*n ∈N {}{},n n x y n n x y ≠()()n n f x f y =()f x ,,n n D x y D ∈{}{},n n x y ()f x G R ()f x {}{},n n -()f x G ()(0,0)kg x x x k x=+>>{}{},n n x y ()g x G n n x y +>()()ππ22eesin x x h x x x +--=+-∈R {}{},n n x y ()h x G {}n n x y +n江西省多所学校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试卷答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】15【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）证明略（2）【17题答案】【答案】（1）证明略（2）或【18题答案】【答案】（1 （2【19题答案】【答案】（1）（注：所有定义域为的偶函数均符合题意）（2）证明略（3）的5π4π,63⎛⎤⎥⎝⎦97ˆ2752.2yx =-0.3-3+3n ≥+3n ≤-()2f x x =R πn -。

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高三年级第一次考试试题数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件、互斥，那么球的表面积公式如果事件、相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件其中表示球的半径恰好发生次的概率第Ⅰ卷 (选择题 60分)一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，且，则集合M 的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42. 不等式的解集为（A ）（B ）（C ）（D ） 3. 函数的反函数是（A ）（B ）（C ）（D ）4. 已知函数，则函数的大致图象是A B ()()()P A B P A P B +=+24S R π=A B R ()()()P A B P A P B ⋅=⋅A 343V R π=p n A R k ()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C P P k n -=-={1,2,3,4}M ⊆{1,2}{1,2}M=302x x -<+{|23}x x -<<{|2}x x <-{|23}x x x <->或{|3}x x>1)y x =≤21(10)y x x =--≤≤21(01)y x x =-≤≤21(01)y x x =-≤≤21(0)y x x =-≤2()log f x x =(1)y f x =-5. 已知，则（A ）（B ）（C ）（D ）6. 已知平面上三点A 、B 、C 满足则的值等于（A ）25 （B ）24 （C ）－25 （D ）－247. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为R 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，且该正三棱锥的体积是，则球的体积为（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）8.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量坐标可以是（Ａ）（2，4）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）9. 设函数的导函数则数列的前n 项的和为（A ）（B ）（C ）（D ）10. 若时，不等式恒成立，则实数m 的取值范围是（A ）（－2，1）（B ）（－4，3）（C ）（－1，2）（D ）（－3，4）11. 曲线与直线有两个公共点时，实数k 的取值范围是（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 12. 已知椭圆，椭圆左焦点为，为坐标原点，是椭圆上一点，点在线段上，且，，则点的横坐标为（A ）（B ）（C ）（D ）1cos 44πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin2α=31323132-7878-||3,||4,||5,AB BC CA ===AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅13π43π323π16π{}na n n S 210S =555S =(,)n P n a *()n N ∈(2,2)n Q n a ++*()n N ∈()1,1--1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭()pf x x qx =+()21,f x x '=+1{}()f n 1nn +1n n +1nn -21n n ++(,1]x ∈-∞-2()420x x m m -⋅-<1[2,2])y x =∈-(2)4y k x =-+50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦22194x y +=1F O A M 1AF 12OA OF OM +=2OM =A第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、已知的项展开式中的第5项的值等于5，则= . 14. 将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为 .15. 已知实数满足条件则的最大值为 .16. 若对于函数的定义域内的任一个的值，均有对于下列五个函数：①；②；③ ；④. 其中符合已知条件的函数序号为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设向量，向量（1）若向量，求的值；（2）求的最大值及此时的值。

18.（本小题满分12分）已知10件产品中有2件是次品.（1）任意取出4件产品作检查，求其中恰有1件是次品的概率；（2）为了保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，应至少抽取几件产品作检查？19.（本小题满分12分）如图甲，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，，点M 、N 分别在AB 、CD 上，且MN ⊥AB ，MC ⊥CB ，BC ＝2，MB ＝4，现将梯形ABCD 沿MN 折起，使平面AMND 与平面MNCB 垂直（如图乙）。

（1）求证：AB ∥平面DNC ；（2）当DN 的长为何值时，二面角D －BC－N 的大小为？61()x x ,x y 2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩24z x y =+-()f x x ()()(),2f x f x f x π=-=-+24cos cos y x x =-44sin cos y x x =-sin(2)cos(2)44y x x ππ=+++|tan |y x =(1)OM =-(cos ,sin )(0).ON αααπ=-<<OM ON ⊥tan α||MN α2DAB π∠=6π D20.（本小题满分12分）已知数列的各项均不为零，其中，且对于任意，均有，设.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n 项和为，求证：21.（本小题满分12分）设点M 、N 分别是不等边△ABC 的重心与外心，已知、，且. （1）求动点C 的轨迹E ；（2）若直线与曲线E 交于不同的两点P 、Q ，且满足，求实数的取值。

22.（本小题满分12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）曲线在点和处的切线都与轴垂直，若曲线在区间[m ，n]上与轴相交，求实数的取值范围。

参考答案及评分标准二、填空题（每题5分，共20分）13.(理科) (文科)3 14. 150 15. (理科)25 (文科)21 16. ②、③{}n a 11a =*n N ∈11620n n n n a a a a ++--=1n n b a ={}n b {}n a n T 2.n T <(0,1)A (0,1)B -MN AB λ=y x b =+0OP OQ =b 322()33(0)f x x ax a a a =--+>()f x ()y f x =(,())A m f m (,())()B n f n m n <y ()f x x a 14三、填空题（6个小题，共70分） 17、（第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵，，∴ …………2分若，则与上式矛盾，故，两边同除以化简，得. …………4分（2）∵…………7分又∵，∴. …………8分∴当，即时，…………10分18、（第（1）小题8分，第（2）小题4分）解：（理科）（1）可取1、3、5，…………1分时，第一次摸到1号球， …………2分时，第一次摸到2号球，第二次摸到1号球，…………4分时，第一次摸到2号球，第二次摸到3号球，…………6分∴的概率分布为：（2）由（1）得(1)OM =-(cos ,sin )ON αα=-OM ON ⊥3sin 0.OM ON αα=--=cos 0α=sin 1α=±cos 0α≠cos αtan α=(cos MN ==0απ<<4333πππα<+<32ππα+=6πα=max3.MN=ξ1ξ=1(1).2P ξ==3ξ=111(3).224P ξ===5ξ=111(5).224P ξ===ξ， …………10分，∴…………12分（文科）（1）记恰有1件是次品为事件A ， …………1分∴， …………4分（2）记抽取n 件产品检查为事件B ， …………5分， …………8分∴化简，得，由此得 …………11分答：至少抽取8件产品才能满足题意。

…………12分 19、（第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）∵MB ∥NC ，MB 平面DNC ，NC 平面DNC ，∴MB ∥平面DNC. …………2分同理MA ∥平面DNC ，又MA ∩MB ＝M 且MA 、MB 平面MAB ，∴平面MAB ∥平面NCD ， …………4分又AB 平面MAB ，∴AB ∥平面NCD. …………5分（2）过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ，连结DH ， …………6分 ∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN ∴DN ⊥平面MNCB ，从而DH ⊥BC ，∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角。

…………8分由BC ＝2，MB ＝4，MC ⊥CB ，知，∴…………10分由条件知：，11151352442E ξ=⨯+⨯+⨯=211119259244E ξ=⨯+⨯+⨯=222511()9.24D E E ξξξ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭31824108()15C C P A C ==228210()0.6n nC C P B C -=>8!310(2)!(10)!5!(10)!n n n n >---！(1)54n n ->8n≥⊄⊂⊂⊂60o MBC ∠=42cos60 3.oCN =-=3sin 60o NH ==tan DN NHD NH ∠==∴…………12分（如用向量法做，也按相应步骤给分）20、（第（1）小题6分，第（2）小题6分）解：（理科）（1）∵， ∴…………2分令，得…………3分当时，当时， ∴在上单调递减，在上单调递增， …………5分 ∴时，∴…………6分（2）由（1）得， …………7分…………9分…………12分（文科）（1）∵，且，∴，即. …………2分33333.2DN NH===()2f x x =/() 1.f x =/()0f x =x =0,x ⎛⎫∈ ⎝/()0f x <x ⎛⎫∈+∞⎪⎭/()0f x >()f x 0,⎛⎫ ⎝⎛⎫+∞⎪⎭x =min ()f x n a =22411n n b a n ==+2214112412121k k k k ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭1222211112311111112355721215232153n b b b n n n n ++⋅⋅⋅+=++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-+<11620n n n n a a a a ++--=0n a ≠11312n n a a +=-1132n n b b +=-∴， …………4分 ∴是以3为公比，为首项的等比数列，从而，∴. …………6分（2）由（1）得， …………7分…………8分…………10分…………12分21、（第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（１）设点，则△ABC 的重心，∵△ABC 是不等边三角形，∴ 再设△ABC 的外心. ∵已知，∴MN ∥AB ，∴. …………2分 ∵点N 是△ABC 的外心，∴化简整理得轨迹E 的方程是…………4分∴动点C 的轨迹E 是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）。