高中数学选修1-2《推理与证明》

第二章 推理与证明

一、合情推理

12→⎫⎬→⎭、归纳推理：个别一般（结论不一定正确）、类比推理：特殊特殊

例1、推导等差数列通项公式。

解：

33332123________.n +++

+=例、求 解：

二、演绎推理

()()()()123⎧⎪→⎨⎪⎩大前提：M 是P 三段论小前提：S 是M

一般特殊结论正确结论：S 是P

例：“自然数是整数，4是自然数，所以4是整数”。

233243123(1)n a a d

a a d a a d a a n d =+⎫⎪=+⎪⎪=+↓⎬⎪⎪=+-⎪⎭

个别一般3233233323333222111

1293123=36=++

11+2+3++(123)(1)4n n n n ⎫==⎪⎪+==⎪⎪++↓⎬⎪⎪⎪=+++

+=+⎪⎭特殊（123）一般

三、直接证明

1→→、综合法：条件结论

2、分析法：结论条件

(

)(

),,,0,+=+,12,a b c d a b c d ab cd a b c d >>>-<->例：设且证明：

若若

(

)221,,,a b c d a b c d ab cd ab cd ab cd ⎫>⎪⎪>⎪⎪+>+⎬+=+>⎪⎪>⎪⎪>>⎭证明：只要证，即，分析法

因为所以只要证，只要证因为成立. (

)22222,()()()4()4,a b c d a b c d a b ab c d cd a b c d ab cd ⎫-<--<-⎪+-<+-⎪⎬+=+>⎪⎪>⎭若，

即，

综合法因为所以，

由（1

四、间接证明

反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

210.x m n x mn x m x n ++≠≠≠例、若-()，则且

2==0x m x n x m x n x m x n x m n x mn x m x n ≠≠--++≠∴≠≠证：假设且不成立，

则且，

所以()()=0与-()矛盾,

故假设不成立，

且成立.

22例、证明是无理数

.

2222222222=,

=24,

2,

2q p q p

p q q q q k k p k p k p p p q ∴=∴∴∴=∴=∴∴∴证明：假设是有理数，则（、互质的整数）,2是偶数，

是偶数，

可设（为整数）,

2是偶数，

也是偶数，

与、互质矛盾，则假设不成立，

是无理数.

五、数学归纳法

*00*0()=(,)1n an n N n k k n k N n k ∈≥∈=+步骤：①：（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立.

②：（归纳递推）假设时命题成立,证明当时命题成立.

例1、

例2、