初中数学 26.1 二次函数 教案2

26.1二次函数

教学目标

1．知识与技能

能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质

2．过程与方法

经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.

3．情感、态度与价值观

在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．

教学重点难点

1．重点

函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质

2．难点

用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．

教与学互动设计

（一）创设情境导入新课

导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？、

导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？

导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？

（二）合作交流解读探究

1．函数y=ax2的图象画法及相关名称

【探究l】画y=x2的图象

学生动手实践、尝试画y=x2的图象

教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线

教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图26－1－1.

【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：

①形状是开口向上的抛物线 ②图象关于y 轴对称 ③由最低点，没有最高点.

结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.

2．函数y=ax 2的图象特征及其性质 【探究2】在同一坐标系中，画出y=

x 2

，y=2x 2的图象. 学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图26－1－2

比较图中三个抛物线的异同.

相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）. ②对称轴相同，都为y 轴

③开口方向相同，它们的开口方向都向上. 不同点：开口大小不同. 【练一练】画函数y=－x 2，y=－

x 2

，y=－2x 2的图象.（分析：仿照探究1的实施过程） 比较函数y=－x 2，y=－

x 2

，y=－2x 2的图象.找出它们的异同点. 相同点：①形状都是抛物线. ②顶点相同，其坐标都为（0，0）.

12

12

12

y=x 2

y

O x

图26-1-1

y=x 2

y

O x

图26-1-2

y=

x 2

y=2x 2

③对称轴相同，都为y轴

④开口方向相同，它们的开口方向都向下.

不同点：开口大小不同.

【归纳】y=ax2的图象特征：

(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点.

(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小

（三）应用迁移巩固提高

类型之一如何画好二次函数的图象

【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免.

【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7

组有代表性

．．．的对应值即可.

【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.

例1 图26－1－3是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.

解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.

图乙中有一个错误，其中有一个点（1，－2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.

图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性. 修改见图丙中虚线.

【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意. 类型之二 函数y=ax 2的图象特征的应用

例2（1）填空：函数的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴

是 ，开口方向是 .

（2）函数y=x 2，y=

，y=－2x 2图象如图26－1－4所示， 请指出三条抛物线的名称.

解：（1）可化为y=2x 2.它的图象

是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y 开口方向向上.

【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答， 避免发生错误.

(2)根据抛物线y=ax 2中，a 的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x 2， 中间的为y=

x 2

，x 轴下方的为y=－2x 2 【点评】抛物线y=ax 2中a>0时，开口向上.a<0时，开口向下.|a|越大，开口越小.

（四）总结反思 拓展升华

【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax 2的图象的画法.②二次函数y=ax 2的图象特征及其性质.

2.本节所用的方法：实践比较法

【反思】函数y=ax 2与y=－ax 2的图象之间有何关系？（它们关于x 轴对称） 【拓展】(见《全品新学案》P4例3)已知函数y=ax 2经过(1,2).求a 的值. （2）当x<0时，y 的值随x 的增大而变化的情况 解：(1)将x=1，y=2代入y=ax 2中，得2=a×12 ∴a=2.

(2)根据函数y=2x 2知x<0时y 随x 的增大而减小.

【点评】①通常用待定系数法函数y=ax 2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐

2

(2)y x =-2

12

x 2

(2)y x =-12

y=x 2

y O

x

图26-1-4

y=x 2

y=-2x 2