第五章 图与网络PPT课件

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案例【药品分类】
海州制药公司的一仓库要存放7种药品， 其中第一种不能和第二、四种，第二种不 能和第一、三、五、七种，第三种不能和 第二、四、六种，第四种不能和第一、三、 五、七种，第五种不能和第二、四、六、七种，第六种不能 和第五、七种，第七种不能和第二、四、五、六种放在一起， 因为相互之间可能引起化学或药物反应导致危险，所以必须 把仓库分成若干区，各区之间相互隔离，问至少应把仓库分 成多少隔离区才能确保安全？
d(v3) 4
任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍，
且次数为奇数的顶点必为偶数个
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图的分类
图的分类一
无向图：由点集和边集构成 有向图：由点集和弧集构成
在一个网络图中， 从一个顶点到另 一个顶点之间有 边连接
简单图：不含圈和平行边的图 图的分类二
有向图：不含圈、含有平行边的图
图的分类三
连通图：任意两点之间都有通路的图
或用边的两个顶点记为( v i , v j ) 圈：某一条边的两个顶点相同，则称 v 1
e1
这条边为圈（或环）
e5 e3
v
平行边（或多重边）：若两点之间有多条边，
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则称这些边为平行边（或多重边）
e4 v2 e2
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引例【生产流程】
在“西气东输”工程中，天然气管道从 甲
城市经乙城或丙城都可到达丁城市，而且 乙城和丙城之间也有管道相通，如下图所 示，试将城市间的管道连接用图表示
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解 用 v1,v2,……,v7 分别表示第一、二、……七种药品
则根据题意，不能放在一起的药品分别记为：
v1,v2， v1,v4， v2,v3， v2,v5， v2,v7， v3,v4 v3,v6， v4,v5， v4,v7， v5,v6， v5,v7， v6,v7
将各种药品作为顶点，把不能存放在一起的药品用 边相连，就构成一个图，如图
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几何图形与这类图形的区别与联系
几何图形： 点的个数；点与点的位置关系；线的条数； 点与线的对应关系、位置关系；线的形状
图（网络图）： 点的个数；线的条数；点与线的对应关系
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定义
只关注图形中点的个数和点与点之间连线情况的图
称为网络图，简称为图.
图中的点称为顶点（或节点），记为v i
图中点与点之间的连线称为边，记为 e i
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引例【公司业务】
浙江省内有甲、乙、丙、丁、戊5家物流公司，其中甲、 丙两公司都和另4家公司都有业务往来，而乙、丁两公司 和除戊以外的3家公司有联系，戊公司和甲、丙两公司有 业务关系.试用一个图形来反映这5家物流公司的业务往 来关系
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引例【工作分配】
海门模具公司的某车间现在有五个工人，四项工作需要 他们去完成，其中甲只能胜任A , B 两项工作，乙能胜任 A , C 两项工作，丙和丁都只能做 B 工作，戊能做 C , D 两项工作， 如何用一个图形准确、简单地说明这些关系?
不连通图：存在两个顶点，它们之间没有通路
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定义
回路：
若从一个顶点通过边能回到该起点，则称这条路 为一条回路
欧拉回路：
如果一个图中存在经过每一条边一次且仅一次的 回路，则该回路称为欧拉回路。
欧拉图：
如果一个图中存在欧拉回路，则该图称为欧拉图
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定理
一个无向图为欧拉图的充分必要条件是该图是 连通图而且所有顶点均为偶点。
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设想把仓库分成若干个隔离区，分别用（Ⅰ）、（Ⅱ）、 （Ⅲ）、…来代表，根据题意，图中各边的两个顶点表示 不能存入在同一区内的药品. 为决定分区，要对药品进行 分区编号，规则如下：
（1） 各边的两个顶点不能编在同一区内；
（2） 为节省分区，从（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）、…顺次 编号，且尽量使用小的编号．
第五章 图与网络
5.1 图与网络的概念 5.2 最短路问题 5.3 最小生成树问题 5.4 最大流问题
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整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
第五章 图与网络
图与网络的概念
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引例【七桥问题】
18世纪初，喜欢郊游的哥尼斯堡人为了出游方便，想解决 一个有趣的问题：哥尼斯堡有一条穿城而过的河流（普雷 格尔河），河上有七座连结河两岸与河中央两个小岛的桥 梁，如图。有人想找到一条从 A,B,C,D 中任一地点出发， 不重复、不遗漏地走遍七座桥，最后再回到起点的路线， 但行走多次都没有成功。
解
不能！！
他必须在某些路段走重复路，因为该图中 有些顶点不是偶点
v2，v4，v6，v8都是奇点，所以该图不是欧 拉图，因此他无法做到每一边一次且仅一 次就完成所有信件的投递工作.
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第五章 图与网络
最短路问题
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引例【行驶路网】
在浙江省的8个城市 v0，v1,……,v7之间
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定义
在图中，若边的端点 v i , v j 有顺序（即边上有箭头），
称为有向图，在有向图中，我们称点与点间的连线为弧.
次 数:以顶点 v 为端点的边数叫做顶点 v 的次数
孤立点:次数为0的顶点 奇 点:次数为奇数的点 偶 点:次数为偶数的点
注意:环的次数要算两次 10
例 下列两个图是否为相同的图形？
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任取一个顶点，如 v 1 编入（Ⅰ）区；因 v 2 与 v 1 有边相连， 所以把 v 2 编入（Ⅱ）区；v 3 与 v 2 有边相连，但与 v 1 无边相连， 因此把 v 3 编入（Ⅰ）区；…，以此类推，最后一点 v 7 与第
（Ⅰ）、（Ⅱ）区内的顶点都有边相连，所以不能编入 （Ⅰ）、（Ⅱ）内，只好编入（Ⅲ）区，从而这7种药品可 用3个隔离区存放，每个区存放的药品分别为
（Ⅰ）区： v1, v3 , v5
（Ⅱ）区： v2 , v4 , v6
（Ⅲ）区： v 7 19
案例【信件投递】
邮递员小明要负责如图所示街道信件的投递工作，他想
从邮局（ v 1 点）出发，经过图中的每一边一次且仅一次就
完成所有信件的投递工作，试问他可以做到吗？
v1
v8
v2
v9
v3
v4
v7 v6
v5
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v1Leabharlann v3v5u1
u2
u6
u3
v2
v4
v6
u5
u4
解 由于网络图只关心点的个数，点与点之间的连线
的条数，而点与点之间的位置关系，线与线之间 的位置关系，线的形状则是无关紧要的。
因此，两个图是相同的 11
例 试计算图中各顶点的次数
v2
v1
v3
解 d (v1) 3 d(v2) 4
d (v4) 1 d(v5) 0