图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件

4.3 最短路问题
问题：求网络中一定点到其它点的最短路。
4.3.1 最短路问题的Dijstra解法 方法：给vi点标号[wi,vk] 其中：wi：vi点到起点vs的最短距离
vk: vi的前接点
14
方法：(1) 给起点vs标号[0，vs]。 （2）把顶点集v分为互补的两部分A和Ā
其中：A：已标号点集 Ā：未标号点集
v6:[3,v1]
(5)A={V1,V2,V4,V6}
[0，V1]
[2，V1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1，V110]
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
v8
4
8
[3，V1]
[3,v4]
考虑边(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7),(v6,v7)
计算 min { 2+6, 2+5, 1+2, 3+4}=min {8,7,3,7}=3 v7:[3,v4]
4
❖图的支撑树
2
若图G=(V,E)的子图 1
4
T=(V,E’)是树，则称T为
G的支撑树。
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
4.2.1 求解最小支撑树问题的破圈法
❖方法：去边破圈的过程。 ❖步骤：1）在给定的赋权的连通图上任找
一 个圈。 2）在所找的圈中去掉一条权数最
大的边。 3）若所余下的图已不含圈，则计
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
(6)A={V1,V2,V4,V6,V7}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
V1
V2
V3
1 [1,v1]10
5 [6,v7] 9
3
V4
7
V5
6
5
2
3
4
V6
V7
V8
4
8
[3,v1]
[3,v4]
考虑边(v2,v3),(v2,v5),(v7,v5),(v7,v8)
计算min {2+6, 2+5, v5:[6,v7]
（3）考虑所有这样的边[vi, vj],
其中vi ∈A,vj ∈ Ā
挑选其中与vs距离最短的点vj标号
[min{wi+cij},vi]
15
(4) 重复（3），直至终点vt标上号[wt,vk] ，则wt即为vs至vt的最短距。 反向追踪可求得最短路。
16
例：求v1至v8的最短路。
2
6
v1
v2
v3
1
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（边与边、点与点的关系）：
点v1与v2有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
(3)A={v1,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1
10
[1,v1]
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
v8 8
考虑边（v1,v2),(v1,v6),(v4,v2),(v4,v7)
计算 min{0+2, 0+3, 1+10, 1+2}=min {2,3,11,3}=2 v2:[2,v1]
算结束，余下的图即为最小支撑 树，否则返回 1）。
❖例：用破圈法求右图 的最小支撑树。
总权数=3+4+1=8
2 //
2
1
4
1
4
//
3
3
3 27
14
4
4
55
83
6
1
2
1
4
3
生成树1
生成树2
生成树3
12
网络的生成树和线性规划的关系
■网络的一个生成树对应于线性规划的一个基 ■生成树上的边对应于线性规划的基变量 ■生成树的弦对应于线性规划的非基变量 ■生成树的变换对应于线性规划单纯形法的进 基和离基变换
10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
v8 8
(1) v1:[0,v1]
[0,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
百度文库
v7
4
(2)A={v1}
v8 8
检查边（v1,v2),(v1,v4),(v1,v3)
计算min {0+2, v4:[1.v1]
0+1, 0+3}= min {2,1,3}=1
2
点边序列为G中的一条链。
如：μ ={(1,2),(3,2),(3,4)}
1
4
■圈（Circuit） 封闭的链称为圈
3
2
1
4
如：μ={(1,2),(2,4),(3,4),(1,3}
3
■连通图
任意两个节点之间至
2
少有一条链的图称为连
1
4
通图
3
5.网络
给图中的点和边赋以具
体的含义和权数（如距离、
2
50
第四章 图与网络分析
4.1 基本概念 4.2网络最小费用流问题 4.3网络最大流问题 4.4最短路径问题
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总体概述
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2
4.1 基本概念
1.图与子图
❖图G=(V,E),其中：V= v1,v2,……,vn
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
2 1
3 5
计算min { 2+6, 6+9, 6+4, 3+8}=min {8,15,10,11}=8 v3:[8,v2]
3+3, 3+8}=min {8,7,6,11}=6
(7)A={V1,V2,V4,V6,V7}
[0,V1]
[2,V1]
2
6
v1
v2
1
10
[1,V1]
5
9
[6,V7]
3
v4
7
v5
[8,v2] v3
6
5
2
3
4
v6
v7
v8
4
8
[3,V1]
[3,V4]
考虑边(v2,v3),(v5,v3),(v5,v8),(v7,v8)
❖子图
E= e1,e2,……,en
G1=(V1,E1),其中： V1,V ,E1 E
e22
v1
v2
e12
e'13 e13 e34
v3
e24
v5
e45
v4
❖多重边：两点之间有多于一条边。 ❖环：首尾相接的边 ❖简单图：无环、无多重边的图。 2.有向图与无向图 ❖有向图：有方向的图。 ❖无向图：无方向的图。