初中数学竞赛因式分解专题教学文稿
因式分解-第1讲竞赛班教师版
第一讲 因式分解综合教学内容：复习因式分解的基本方法、常用方法；学习对称式的分解方法。
一、 知识回顾（例1至例5，重点复习待定系数法和因式定理）回顾因式分解的基本方法：（1）提取公因式；（2）运用公式法；（3）分组分解法；（4）十字相乘法。
因式分解的其他常用方法回顾：（5）拆项、添项；（6）换元法；（7）双十字相乘法；（8）待定系数法；（9）利用因式定理分解。
二、 对称式、交代式和轮换式1． 对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。
如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母a ，b 的对称式。
2． 交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
3． 轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式。
如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等。
三、 对称式、交代式和轮换式的因式分解由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法。
因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解。
（具体见例6至例10）四、 例题例1. 分解因式66()()x y x y x y -+-《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P21，例4（2）提公因式和公式法例2. 分解因式32332a a a +++ 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P22，例6分组法，拆项添项法例3. 分解因式222()()()x p q x pq p q p q -+++-《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P23，例8十字相乘法例4. （92年四川初中联赛试题）分解因式22276212x xy y x y -++--《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P11，例8双十字，待定系数法例5. 分解因式4322928x x x x +--+ 《奥数教程》初二，P13，例7例6. 分解因式3333x y z xyz ++-《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P42，例1例7. （第六届莫斯科数学奥林匹克）分解因式333()()()b c c a a b -+-+-《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P12，例9例8. 分解因式()()()y z z x x y xyz ++++《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P45，习题六1例9. 分解因式333()()()a b c b c a c a b -+-+-《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P43，例4例10. 分解因式()()a b c ab bc ca abc ++++- 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P45，习题六3五、 因式分解的应用例11. 已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c == 《全国奥林匹克初二竞赛教材数学》P48，例7例12. （第9届莫斯科奥林匹克）证明：对于任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33：543223453515412x x y x y x y xy y +--++《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P22，例8例13. （1982年天津初中数学竞赛）已知在ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：2a c b +=《华罗庚数学奥林匹克教材初二年级》P23，例9例14. （基辅数学奥林匹克）证明对于任意整数n ，65222n n n n +--能被120整除22原式＝n(n+2)(n-1)(n+1)(n +1)=n(n+2)(n-1)(n+1)(n -4)+5(n-1)n(n+1)(n+2)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)(n+2)第一项为连续五个自然数相乘，必能被5！＝120整除；第二项中是连续四个整数的乘积的5倍，因此也能被120整除。
数学竞赛专题讲座---第一讲因式分解(一)
第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
第五讲1因式分解培优竞赛专题辅导
第五讲1因式分解培优竞赛专题辅导第五讲因式分解培优专题辅导初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
⽽在竞赛上，⼜有⼗字相乘法，分组分解法，换元法，拆项和添减项法，双⼗字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，求根公式法，余数定理法，长除法，除法等。
因式分解⼀些注意点：（1）必须分解到每个因式都不能为⽌，即分解要彻底；（2）结果应该是的形式，（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式；（4）最后结果只有⼩括号；（5）最后结果中多项式⾸项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）。
因式分解⼀般要遵循的步骤：“⼀提⼆⽤三分四查”即先考虑能否提公因式，再考虑能否运⽤公式或⼗字相乘法，最后考虑分组分解法．对于⼀个还能继续分解的多项式因式仍然⽤这⼀步骤反复进⾏．以上步骤可⽤⼝诀概括如下：“⾸先提取公因式，然后考虑⽤公式、⼗字相乘试⼀试，分组分解要合适，四种⽅法反复试，结果应是乘积式”．⼀、因式分解的定义把⼀个多项式公成⼏个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。
分解因式与整式乘法的关系：分解因式与整式乘法是的恒等变形。
例1：下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是?(1))11(22xx x x +=+; (2)3)1(4x 222+-=+-x x (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x(5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x⼆、因式分解的⽅法：（⼀）提公因式法：ab ＋ac ＝a (b ＋c)确定公因式的⽅法(1)系数公因式:应取多项式中各项系数为 ;（2）字母公因式:应取多项式中各项字母为 .常见的两个⼆项式幂的变号规律：①22()()n n a b b a -=-；②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）例2、把下列各式分解因式（1）)a 1(-)1(--n a m =（2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----=（3）32)2()2(2x y b y x a -+-=（4）32)3(25)3(15a b b a b -+-=（⼆）、公式法乘法公式逆变形（1）平⽅差公式：22b a -=（2）完全平⽅公式：222b ab a ++= 222-b ab a +=例3．1、如果2592++kx x 是⼀个完全平⽅式，那么k 的值是（）A 15B 15±C 30D 30±2、下列多项式，不能运⽤平⽅差公式分解的是（）A 、42+-mB 、22y x --C 、122-y xD 、()()22a m a m +-- 例4 ：利⽤平⽅差公式进⾏因式分解： ))((22b a b a b a -+=-（1）12-x = （2）2294-b a += （3)22)(16z y x +- =（4)221164a b -= （5)22)2()2(b a b a --+ =（6)4348x - =（7）117218-+-n n x x =（8）4()()2223362a b a b +-- =例5：利⽤完全平⽅公式进⾏因式分解：完全平⽅公式：222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- （1）442+-m m = （2）2269y xy x ++=（3)24x -9162+x = （4）36)(12)(2++-+b a b a =（5）225101x x -+-= （6）222212123m n m n m -+=（三）、***⼗字相乘法：对于⼆次项系数为1的⼆次三项式因式分解⼗字相乘法⼝诀：⾸尾分解，交叉相乘，求和凑中例6：利⽤⼗字相乘法进⾏因式分解：（1）892++x x = （2）、x 2－5x －6=（2）、x 2－5x ＋6= （4）8652-+x x =（5）3x 2－11xy －14y 2 = （6）6(x+y)2 －7(x+y)－3=（四）、***分组分解法：把⼀个多项式分成⼏组，先对各组分别分解因式，使其能够具有公因式或应⽤公式来分解.这种分解因式的⽅法叫分组分解法.（1）运⽤分组分解因式的关键是要能预见到分组之后能否进⼀步⽤其他⽅法（如提公因式法、公式法等）来分解，难点是恰当地分组.（2）分组分解法不是⼀种独⽴的分解因式的⽅法，⽽且适当的分组也没有固定的形式，但要掌运⽤分组分解法分解因式常⽤以下⼀些⽅法：①分组后能提取公因式；②分组后能运⽤公式；③重新分组例7：运⽤分组分解法分解因式：（⼀）分组后能直接提公因式分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（三）分组后能直接运⽤公式:分解因式：ay ax y x +--22 2222c b ab a -+-（五）、配⽅法对于某些不能利⽤公式法的多项式，可以将其配成⼀个完全平⽅式，然后再利⽤平⽅差公式，就能将其因式分解，这种⽅法叫配⽅法。
初中数学因式分解教案优秀范文
初中数学因式分解教案优秀范文一、教学目标1.理解因式分解的基本概念和方法；2.能够对简单的多项式进行因式分解；3.培养学生分析问题、解决问题的能力；4.提高学生的数学思维能力和应用能力。
二、教学重难点1.教学重点：因式分解的基本概念和方法；2.教学难点：应用因式分解解决实际问题。
三、教学过程1. 导入环节1.教师可以通过类比例子，让学生理解因式分解的基本概念。
例如：a2+2ab+b2可以理解为(a+b)2。
2.提问：“你们学过哪些多项式？”引导学生思考及讨论。
然后，由教师引导进入因式分解的概念，并结合例子加深理解。
2. 讲解环节1.教师先通过简单的例子让学生了解因式分解的方法，然后扩大讲解到多项式的因式分解。
示例：3x2y+6xy2可以因式分解为3xy(x+2y)。
2.对于难一些的多项式，可以先拆分简单的因子，然后再应用因式分解法。
示例：16x2+40y2+4xy可以拆分为4(4x2+10y2+xy)，再应用因式分解法。
3. 实践环节1.学生自己动手解决一些实际问题，例如：展开简单的式子，或者根据实际情况应用因式分解法。
2.针对实际问题的解决方法，可以通过教师给出一些思路和方法切入，或者小组合作学习之后交流解题方法，提高学生学习兴趣。
4. 总结环节1.教师让学生了解因式分解的方法和步骤，并在实践环节中发现问题，更好地理解因式分解的应用。
2.总结因式分解的关键之处，在学生中加深对知识的理解，并激发学生对知识的学习兴趣。
四、教师评价1.了解学生的产出，在教学评价中主要考察学生的应用能力。
2.采取多样化评价手段，在教学过程中多采用小组合作、答辩和作业等方式进行评价。
避免在一次考试中对学生进行测评，包括学生的参与度和表现在内。
五、教学反思1.引导学生提出问题并互相解决问题。
2.加强对复杂问题的解答经验，充分利用教师的勘误，不断改进教学方法，提高学生的兴趣。
3.鼓励学生自由思考、交流思想和解决问题，使学习成为主动而积极的过程。
数学竞赛中的因式分解问题.doc
数学竞赛中的因式分解问题市郊中心学校 李英1 引言因式分解是指把一个多项式分解为几个整式的积的形式，即和差化积.它是中学数学中最重要的恒等变形之一，被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好了基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法互为逆变形.因式分解的应用较为广泛，可应用于多项式除法、高次方程的求根以及分式的运算.因式分解在中学数学里占有十分重要的地位，它是学习其他知识的一座桥梁，在分式的运算中，它是通分和约分的基础知识；在解高次方程与不等式时，它又是一种重要的解法；在数的运算中，它是进行简便运算的重要方法；在代数式与三角式的恒等变形中，它又是一种重要的手段；它对整式的运算也起到巩固的作用；它是整式乘法的逆变形，对学生的逆向思维能力、观察能力的培养也起着积极的作用.在各类数学竞赛中，它是命题的热点.2 数学竞赛中常见的因式分解方法2.1 分组分解法[1]当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，然后再直接提公因式或运用公式进行因式分解.例如：要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，再把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到()()a mn b m n +++,又可以提出公因式()m n +，从而得到()()a b m n ++ .例1分解因式2222224y x 565x 24y 30y y y x x x --+-++-（全国“希望杯”数学竞赛题）分析 本题如是按照一般的分组分解方法难以进行，若将它整理成x 或y 的二次三项式再分组，问题就变得简单了.解 原式=()()()22224545645x y y x y y y x -++-+--+=()()22456y x y x -++-=()()()23245x x y y +--+2.2 待定系数法[2]待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n 个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数，从而把多项式因式分解.待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛.2.2.1用待定系数法解题的依据用待定系数法解题的依据主要是多项式恒等定理：（1） 多项式()()x g x f ≡的充要条件是两个多项式的同类项的系数对应相等.（2） 如果()()x g x f ≡，则对于任意一个值a ,都有()()a g a f ≡.2.2.2用待定系数法解题的一般步骤（1）用适当的待定系数表示问题的一般形式.（2）根据多项式恒等定理列出方程（组）.（3）解方程（组），确定待定系数的值.2.2.3待定系数法在数学竞赛中的应用例2分解因式：226136xy x y y x +-++-（第十届缙云杯初二数学竞赛） 解 由于原式是二元二次式，且只可能分解成两个二元一次式之积，考虑到226xy y x +-=()()y x y x 23-+ 故可设226136xy x y y x +-++-=()()b y x a y x +-++23=226xy y x +-()()32a b x b a y ab +++-+比较恒等式两边同类项系数，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231ab a b b a ②由于①、②解得,3,2=-=b a 代入③，适合.所以，226136xy x y y x +-++-=()()3223+--+y x y x说明 高次多项式的因式分解一般较难，如果能判定它含有某些因式后再分解就相对容易些.所以，在分解高次式之前，我们可以用因式定理“如果(),0=a f 则()x f 必含有因式a x =”来寻找()x f 的因式.例3 分解因式：()()()876321⨯⨯-+++x x x （1987，四川省初中数学竞赛） 解 设()=x f ()()()876321⨯⨯-+++x x x显然，().05=f由因式定理知()x f 有因式().5-x所以可设()()()⨯⨯-+++76321x x x 8= ()5-x ()b ax x ++2取,1-=x 得()b a +--=⨯⨯-16876；取,2-=x 得=⨯⨯-876().247b a +--解得.66,11==b a说明（1）有几个独立的待定系数，就必须列出几个独立的方程.当方程个数多余未知数的个数时，可选择其中适当的方程求解，而把多余的方程作检验用，当解得的未知数适合所有方程时，这些未知数的值即为所求.（2）在设多项式可能的分解形式时，应充分利用已知条件和多项式的有关性质，尽量减少待定系数的个数，这样可减少方程个数，降低解方程组的难度.（3）当分解后的可能形式不止一种而又不能确定哪一种正确时，就要逐个试探.在试探过程中，如能充分利用已知信息和解题经验，则可减少探索过程，少走弯路.2.3 换元法[3]换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并引入一个新的字母变量替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．达到简化原式结构的目的.有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果.换元法是一种重要的数学方法.注意:换元后勿忘还元.例4 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+71328123y x xy y x xy 的解是=x =y (第十一届‘五羊杯’初中数学竞赛题)分析 如果把已知方程两边都取倒数，那么可得,732,823=+=+xyy x xy y x 即,732,823=+=+xy x y 这就可以用换元法来解这个方程组.解 设,1,1v yu x == 则原方程可化为⎩⎨⎧=+=+732823u v v u 解这个方程组得⎩⎨⎧==21v u.21,1==∴y x2.4 十字相乘法[4]2.4.1q px x ++2的因式分解由乘法公式知:()()()2x a x b x a b x ab ++=+++令,,ab q b a p =+=则有q px x ++2=()()b x a x ++凡是如q px x ++2的形式的二次三项式，如果可以分解成两个一次因式，那么每个因式有两个项，它们的第一项都是x ，第二项a 和b 可以由一次项的系数p 和常数项q 确定.（1）确定a 和b 的符号：①如果q 是正数，p 也是正数，那么a 和b 都是正数；②如果q 是正数，p 是负数，那么a 和b 都是负数；③如果q 是负数，p 是正数，a 、b 中绝对值大的是正，小的是负； ④如果q 是负数，p 也是负数，a 、b 中绝对值大的是负，小的是正；（2）确定a 和b 的绝对值，可以先把q 得绝对值分解成所有可能的一对因数的积，然后看：①如果a 、b 同号的话，哪一对因数的和等于p 的绝对值，那么这一对因数就是a 和b 的绝对值；②如果a 、b 异号的话，哪一对因数的差等于p 的绝对值，那么这一对因数就是a 和b 的绝对值；2.4.2 n mx lx ++2的因式分解由乘法可以得到关于x 的两个二项式b ax +和d cx +相乘的结果：()()()bd x bc ad acx d cx b ax +++=++2.如果令,,,bd n bc ad m ac l =+==得公式：n mx lx ++2=()()d cx b ax ++. 具体步骤：（1）把l 分解成两个正因数a 和c （如果l 是负数，可以先提出公因式-1，这样括号里2x 项的系数就是正数3），把a 、c 分成上下行写在左列.（2）把n 的绝对值分解成两个因数b 和d ，分上下行写在右列.（3）交叉相乘，得到两个积ad 和bc 的值，如下式：（4）如果n 是正数，那么ad 和bc 的绝对值的和必须等于m 的绝对值才适合，如果n 是负数，那么ad 和bc 的绝对值的差必须等于m 才合适.（5）确定ad 和bc 的符号，而ad 的符号就是d 的符号，bc 的符号就是b 的符号.把符号补到竖式里去，最后把确定了的a 、b 、c 、d 分别填入两个因式()b ax +和()d cx +中去.例5 已知方程()222238213150a x a a x a a --+-+=（其中a 是非负整数）至少有一整数根，那么a =分析 考虑到151322+-a a =()()325--a a 且十字相乘之积的和正好等于一次项系数a a 832+-.解 原方程用十字相乘法对左端分解因式得()()523ax a ax a ----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，,32,5121ax a x -=-=∴ 要使1x 或2x 是整数，只要a =1， 3，5.答：a 可取1， 3，5.2.4.3 双十字相乘法[5]在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的方法，对于比较复杂的多项式，尤其是二次六项式，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图.（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这个两个因式在第二个十字中交叉之积等于原式中含y 的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x 的一次项.例6 分解因式224522-+++-y x y xy x .解 这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解，如下图：所以，原式=()()124--+-y x y x .2.5 对称式的因式分解[6]2.5.1对称多项式如果对换多项式()n x x x f ,...,,21的任意两个字母的位置，多项式恒不变，那么()n x x x f ,...,,21叫做n 元对称多项式.例如()333231321,.,x x x x x x f ++=，()221221323121,x x x x x x x x f +++=分别为三元，二元对称多项式，并且都是三次齐次式.三次齐次对称式的标准形为()()Cxyz x z x z yz z y xy y x B z y x A +++++++++22222223332.5.2对称式的因式分解根据对称多项式的特点和因式定理，可利用待定系数法对它进行因式分解. 例：分解因式Q =()()()()3333z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++解：由于交换x 、y 、z 之中的任意两个字母，原多项式不变，所以原式为对称式.设0x =，那么有()()()()33330.y z y z z y y z +-+----=由因式定理可知，Q 含有因式x ，又Q 是关于x 、y 、z 的对称式，所以它还有因式y 和z .又由于Q 是三次式，xyz 也是三次式，所以Q =A xyz （A ≠0），A 是待定系数. 确定A 的值，有两种方法：（1） 因为Q =A xyz 是恒等式，所以只要任取x 、y 、z 的一组值，就可以确定A 的值. 设x =1，y =-1， z =1，左边=-24，右边=-A ；∴A =24，即Q =24xyz .（2）因为Q =A xyz 是恒等式，所以只要求出Q 的展开式中xyz 的系数，就是A的值.()3z y x ++的展开式中，xyz 的系数是6，其余三个式子的展开式中xyz 的系数是-6，所以Q 的展开式中xyz 的系数是24，即A =24.3 因式分解在数学竞赛中的应用因式分解是初中代数中重要的一中恒等变形，其特点是把和差化积的形式.作为一种数学方法，它在解题中的应用较广，有些问题，若能恰当使用，可使解题过程显得简捷明了，收到事半功倍的效果.3.1 用于计算[7]例7 计算：19961995199519931995219952323-+-⨯-（北京市中学生数学竞赛初二赛题） 解 原式=()()2219952199319951995119961995--+-=()()22199311995199611995-- =19961993 例8 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211 （天津市初二数学竞赛题） 解 原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-10111011411411311311211211 =101110991098454334322321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =20113.2 用于求值[7]例9 若n 为正整数，且4216100n n -+是质数，那么n = （希望杯初二数学竞赛试题）解 原式=()4221610036n n n -+- =()2223610n n -+ =()()22610610n n n n ++-+ 因为()()22610610n n n n ++>-+， 所以()2610n n -+=1， 所以()230n -=，所以3n =.例10 已知：0=+bd ac ，则()()2222b a cd d c ab +++得值等于 （武汉市初中数学竞赛初二试题）解 原式 =2222cdb cda abd abc +++=()()bd ac ad bd ac bc +++=()()ac bd bc ad ++0=+bd ac ∴原式=03.3 用于解决有关方程问题[7]例11 若方程2214,28,xy y xy x y x ++=++=，则x y +的值为 （TI 杯全国初中数学竞赛试题）解 把两个方程左右两边分别相加得：22242,xy x y y x ++++=移项并整理得：()()2420x y x y +++-=方程左边因式分解得：()()670x y x y +-++=所以，7,6-=+=+y x y x 或.例12 已知方程()()22221120x y x y +-+-=，则y x 、的平方和是 （孝感市英才杯初中数学竞赛试题） 解 原方程变形得，()()01222222=-+-+y x y x ，()()2222340x y x y ∴+++-= 0322>++y x ，0422=-+∴y x ，∴422=+y x3.4 用于二次根的化简[7]例13 化简2356101528-+--+的结果是 （山东省初中数学竞赛试题） 解 原式=()()235352352-++-+==35+例14 化简=+++--+2115141021151410 （武汉、重庆市初中数学竞赛题）解 原式=()()()()753752753752++++-+= =3232+- =562-3.5 用于判断整除问题[8]例15 多项式1261x x -+除以21x -的余式是 （1993，全国初中数学竞赛）解 设商式为()x g .因为除式是二次式，则余式最多是一次式，故可设1261x x -+=()()21g x ax b x -++取,1=x 得b a +=1，取,1-=x 得b a +-=1.解得1,0==b a .所以，余式是1.例16 知多项式1323+++bx ax x 能被12+x 整除，且商式是13+x ，那么()b a -的值是 （第五届河南省初二数学竞赛）解 据多项式恒等式，得()()32231131x ax bx x x +++=++.取1=x 得84=++b a .取1-=x 得42-=--b a .解得3,1==b a .()()113-=-=-∴b a .3.6 用于确定大小关系[9]例17 知c b a >>，a c c b b a M 222++=，222ca bc ab N ++=，则M 与N 的大小关系是 （第十三届“希望杯”初二）解 为c b a >>，所以N M -=()()()22222b c a c b a b c bc -+-+-=()c b -()ab ac bc a --+2=()c b -()()0a c a b -->所以M N >.3.7 用于解不定方程[9]例18 足不等式2003200320032003=+--+xy y x y x y x 的正整数对()y x ,的个数是 2 (2003年全国初中数学联赛试题)解 m =n =,k =2003,则222n m km kn mnk m n k +--+=，所以()()20m n mn k mn m n k ++--+=，()()0k mn k m n -++=.因为0k m n ++>，所以0k mn -=，即=2003xy .由x 、y 都是正整数且2003是质数，易求x 与y 的值.3.8 其他应用[9]例19 个指教三角形的边长都是整数，它的面积与周长的数值相等，试确定这个直角三角形的三边的长.（2003年北京市中学生数学竞赛初中二年级复赛试题）解 两直角边分别为a 、b ，斜边为a bc >，由于a 、b 、c 全是正整数，所以b a ≠.依题意有++b a 22b a +=2ab . 移项，平方，整理得0242222=+--ab ab b a b a ， 因为ab 0≠，两边同除以abc ，得024=+--b a ab ， 可化为()()4281844⨯=⨯==--b a .因为a 、b 都为正整数，a b >，则⎩⎨⎧=-=-1484b a 或 ⎩⎨⎧=-=-2444b a 分别得a =12，b =5，c =13或a =8，b =6，c =10.答：三边长为12、5、13或8、6、10.例20 甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元;若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元.现购甲、乙、丙各一件，共需多少元？（1985，全国初中数学竞赛）解 购甲1件需x 元，乙一件需y 元，丙一件需z 元，则购甲、乙、丙各一件需()z y x ++元.由已知条件得：15.373=++z y x20.4104=++z y x设z y x ++()()z y x b z y x a +++++=10473()()()z b a y b a x b a +++++=10743比较等式两边同类项系数，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+11107143b a b a b a解得3=a ，2-=b .05.120.4215.33=⨯-⨯=++∴z y x .。
初中九年级数学教案-因式分解法-“衡水赛”一等奖
21.2.3因式分解法教学目标：1．应用分解因式法解简单的一元二次方程，体验简便方法，提高了解题速度和准确程度。
2．能根据具体一元二次方程的特征，正确使用因式分解。
3.体会因式分解“降次”化归思想与开方降次的区别。
教学重难点：【重点】正确应用分解因式法解一元二次方程。
【难点】理解降次思想。
教学方法：合作探究，总结式教学过程：一、温故知新1、（师导生答）我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?直接开平方法 )0(2≥=a a x配方法)0()2≥=+n n m x （ 公式法 ().04.2422≥--±-=ac b a ac b b x 2、（师导生答）什么叫分解因式?把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.问：分解因式的常见形式有那些?（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c)（2）公式法:二、合作探究课本实际问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m ）为 29.410x x -，根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到 0.01 s ）【探究策略】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的简便以及能够解方程的理论依据。
提示：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 ，即09.4102=-x x 师生共同观察，利用因式分解法解一元二次方程：（学生活动）议一议：1．两个因式乘积为 0，说明什么？2、能不能利用a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0达到降次的目的，把方程化为两个一次方程？ 010 4.90,x x =-= 或 a 2-b 2=(a+b)(a-b),a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 04.2491002≈=x ,01=x引入理论依据： 如果a · b = 0，那么 a = 0或 b = 0210 4.90x x -=010 4.90,x x =-= 或 ②老师点评：这种解法是不是很简单？师生共同发现： 以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的？ 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．师导：总结提示:1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0因式分解 ①)9.410(=-x x 0)9.410(=-x x ()09.410=-x x 04.2491002≈=x ,01=x三、能力提升分析：分解因式法解一元二次方程的步骤是:1.将方程化为一般式;2. 将方程左边因式分解;3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.解：（1）因式分解，得(x －2)(x ＋1)=0.于是得x －2＝0或x ＋1=0, x 1=2，x 2=－1.师：本题采用了什么方法解题？生：提取公因式法(2) 移项、合并同类项，得 师：可利用了什么公式因式分解？.4324125)2(;02)2()1(.322+-=--=-+-x x x x x x x 解下列方程例2410.x -=学生：平方差公式因式分解，得 ( 2x ＋1)( 2x －1 )=0.2x ＋1=0或2x －1=0,得师生共同步骤提炼：右化零，左分解，两因式，各求解1、强化练习： 012=+x x 、03222=-x x 、 24)12(33+=+x x x 、22)25()4(4x x -=-、学生先思考，自主完成，分组派代表上台板书过程2、多种方法求解：104)52(-=-x x x3、中考真题：0252=-x （惠安中考）学生先思考，自主完成，分组派代表上台板书过程1211,.22x x =-=四、课堂小结：（师生共同小结）分解因式法解一元二次方程基本步骤是:1.将方程化为一般式;2. 将方程左边因式分解;3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.解方程思想：因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程。
(完整)初中数学竞赛因式分解专题
初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．。
初中数学竞赛因式分解
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强,学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1)a2-b2=（a+b)(a-b);（2）a2±2ab+b2=(a±b）2；（3）a3+b3=(a+b）（a2-ab+b2)；(4）a3—b3=（a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式:（5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；(6)a3+b3+c3—3abc=(a+b+c)（a2+b2+c2-ab-bc—ca)；(7)a n—b n=(a—b）（a n-1+a n—2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；（8)a n—b n=(a+b）(a n-1-a n-2b+a n—3b2-…+ab n—2—b n-1），其中n为偶数;（9）a n+b n=(a+b)（a n—1—a n-2b+a n-3b2-…-ab n—2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：（1)-2x5n-1y n+4x3n—1y n+2—2x n—1y n+4；(2)x3—8y3—z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；（4）a7—a5b2+a2b5-b7．解（1)原式=—2x n—1y n(x4n-2x2n y2+y4)=—2x n-1y n［(x2n）2—2x2n y2+(y2）2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=—2x n—1y n(x n-y)2（x n+y）2．(2)原式=x3+（—2y)3+(-z）3—3x（—2y)（-Z）=(x-2y—z）（x2+4y2+z2+2xy+xz—2yz)．(3）原式=（a2—2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a—b）2+2c(a—b)+c2=(a-b+c）2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5），解法如下: 原式=a2+（-b)2+c2+2（—b）c+2ca+2a（—b）=（a—b+c)2(4）原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7）=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2—b2)(a5+b5)=(a+b）（a-b)(a+b)(a4—a3b+a2b2—ab3+b4）=（a+b）2(a—b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6）．分析我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=（a+b)3-3ab（a+b）．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3—3ab(a+b)+c3—3abc=[(a+b)3+c3]—3ab(a+b+c）=（a+b+c)[(a+b）2—c(a+b）+c2］-3ab（a+b+c)=（a+b+c)(a2+b2+c2-ab—bc—ca）．说明公式(6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论,例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3—3abc显然，当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是:有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n—b n来分解．解因为x16-1=(x—1）（x15+x14+x13+…x2+x+1）,所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x—1），再除以（x—1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3—9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成—1+9．原式=x3-9x—1+9=（x3-1)—9x+9=(x-1)(x2+x+1)—9(x—1)=(x-1)（x2+x-8）．解法2 将一次项—9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=（x3-x）+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)—8（x—1）=（x—1)(x2+x-8）．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3—9x+8=(9x3—9x）+(—8x3+8）=9x(x+1）（x—1）—8（x—1）（x2+x+1）=(x—1）（x2+x—8）．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3—9x+8=x3-x2+x2—9x+8=x2（x—1)+（x-8)（x—1）=(x-1)(x2+x-8）．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：（1)x9+x6+x3—3;(2）(m2-1)（n2—1)+4mn；（3）(x+1)4+(x2—1)2+(x-1）4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成—1-1—1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=（x9—1)+（x6—1)+（x3-1）=(x3—1）（x6+x3+1)+（x3—1)(x3+1)+（x3-1）=（x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)（x2+x+1)(x6+2x3+3）．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=（m2-1）(n2—1)+2mn+2mn=m2n2-m2—n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-（m2—2mn+n2）=（mn+1)2-（m—n）2=(mn+m—n+1)(mn-m+n+1)．（3）将（x2-1)2拆成2（x2-1）2—（x2-1)2．原式=(x+1）4+2(x2-1）2—（x2—1）2+（x-1）4=［(x+1）4+2(x+1)2(x-1）2+（x-1)4］-（x2-1)2=［（x+1)2+（x—1）2］2-(x2-1）2=(2x2+2）2-(x2—1）2=(3x2+1)（x2+3）．（4）添加两项+ab—ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab—ab=（a3b—ab3)+(a2-ab)+（ab+b2+1)=ab（a+b)(a-b)+a(a—b）+(ab+b2+1）=a（a—b）［b(a+b)+1］+（ab+b2+1）=[a(a—b）+1］（ab+b2+1)=(a2-ab+1）(b2+ab+1）．说明（4）是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab—ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合,找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1）（x2+x+2)-12．分析将原式展开,是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y,则原式=（y+1）(y+2)—12=y2+3y-10=(y—2）（y+5)=(x2+x-2）(x2+x+5)=(x-1)(x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)—90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=（x+1)(x+2）（2x+1)（2x+3）—90=［(x+1)(2x+3）］［(x+2）（2x+1）]—90=(2x2+5x+3)（2x2+5x+2）—90．令y=2x2+5x+2,则原式=y（y+1）-90=y2+y—90=（y+10）(y-9）=（2x2+5x+12)（2x2+5x—7）=(2x2+5x+12）(2x+7）(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y）的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=（y+2x）（y+x）=(x2+6x+8）(x2+5x+8）=（x+2）(x+4）（x2+5x+8）．说明由本题可知，用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式:6x4+7x3—36x2-7x+6．解法1 原式=6（x4+1）＋7x(x2—1）-36x2=6[（x4-2x2+1)+2x2]+7x（x2—1)—36x2=6［（x2-1）2+2x2］+7x(x2—1)—36x2=6(x2-1)2+7x（x2—1）—24x2=［2（x2—1）—3x］［3(x2—1）+8x］=(2x2—3x-2）（3x2+8x—3)=（2x+1）（x—2)（3x—1)（x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6（t2+2）+7t—36]=x2(6t2+7t-24）=x2（2t—3)(3t+8)=x2［2（x-1/x)-3][3(x-1/x)+8］=（2x2—3x-2）(3x2+8x-3)=（2x+1）(x—2)（3x—1）（x+3)．例10 分解因式：（x2+xy+y2)-4xy（x2+y2）．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy,用换元法分解因式．解原式=[（x+y)2—xy］2—4xy［（x+y)2—2xy］．令x+y=u，xy=v，则原式=（u2-v)2-4v(u2-2v）=u4-6u2v+9v2=（u2—3v）2=(x2+2xy+y2—3xy）2=（x2—xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5—2；(4)（x5+x4+x3+x2+x+1）2—x5．2．分解因式:（1）x3+3x2—4；（2)x4—11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；（4）x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2—3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；（3）(x+y)3+2xy(1—x—y)-1；(4)(x+3）(x2—1)(x+5）—20．第一讲因式分解(一）多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=（a+b)（a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3）a3+b3=（a+b）(a2-ab+b2）;（4)a3—b3=（a-b）（a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c）2；(6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c)（a2+b2+c2—ab—bc-ca)；(7）a n-b n=（a—b）(a n—1+a n-2b+a n—3b2+…+ab n—2+b n—1）其中n为正整数；(8）a n-b n=(a+b）（a n—1-a n—2b+a n—3b2—…+ab n—2—b n-1）,其中n为偶数；(9）a n+b n=（a+b）(a n—1—a n—2b+a n—3b2—…-ab n—2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1）-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4;(2）x3—8y3—z3—6xyz；（3）a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4）a7—a5b2+a2b5—b7．解（1）原式=—2x n—1y n(x4n—2x2n y2+y4)=—2x n-1y n［（x2n)2—2x2n y2+（y2）2］=—2x n—1y n(x2n-y2）2=—2x n—1y n(x n—y)2(x n+y）2．(2)原式=x3+（—2y)3+（-z)3-3x（-2y)（-Z）=（x—2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz）．(3)原式=（a2—2ab+b2)+（-2bc+2ca)+c2＝（a—b）2+2c（a—b）+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式（5),解法如下：原式=a2+（—b)2+c2+2（-b)c+2ca+2a(-b）=（a—b+c)2(4)原式=(a7-a5b2）+(a2b5-b7）=a5(a2-b2）+b5（a2-b2）=（a2—b2）(a5+b5）=（a+b）（a—b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a—b）(a4-a3b+a2b2-ab3+b4）例2 分解因式:a3+b3+c3—3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）．分析我们已经知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性,现将此公式变形为a3+b3=（a+b）3-3ab(a+b）．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b）3—3ab(a+b)+c3-3abc=[（a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c）[（a+b）2—c（a+b）+c2］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2—ab—bc-ca)．说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如:我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc ≥0,即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是:有16项，从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=（x—1）(x15+x14+x13+…x2+x+1），所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x—1），再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项,后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3—9x-1+9=（x3-1)—9x+9=(x-1）（x2+x+1)-9(x—1）=（x-1)（x2+x-8）．解法2 将一次项-9x拆成-x—8x．原式=x3—x-8x+8=(x3-x)+(—8x+8)=x(x+1)（x—1）—8（x-1)=(x-1）(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3—8x3-9x+8=（9x3-9x）+(-8x3+8）=9x(x+1)（x-1）—8(x-1）(x2+x+1）=(x-1）(x2+x-8)．解法4 添加两项—x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2—9x+8=x2（x-1)+(x-8)（x—1)=(x—1）（x2+x-8）．说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：（1)x9+x6+x3—3；(2）（m2—1）（n2—1)+4mn；(3）(x+1）4+(x2—1)2+（x—1)4；(4）a3b-ab3+a2+b2+1．解（1)将—3拆成—1-1—1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1）+（x6-1)+（x3—1）=（x3—1）（x6+x3+1)+(x3—1)（x3+1）+(x3—1）=(x3—1）（x6+2x3+3）=(x-1)（x2+x+1）（x6+2x3+3）．（2）将4mn拆成2mn+2mn．原式=（m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2—n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)—（m2—2mn+n2)=（mn+1)2-(m-n）2=（mn+m-n+1)（mn—m+n+1)．（3)将（x2-1)2拆成2（x2-1）2—（x2—1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［（x+1)4+2（x+1）2(x-1)2+（x-1)4]—(x2-1）2=［（x+1）2+（x-1）2]2-（x2-1）2=(2x2+2)2-(x2-1）2=（3x2+1)（x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b—ab3)+(a2—ab）+（ab+b2+1）=ab（a+b）（a-b）+a（a—b）+（ab+b2+1）=a（a—b)［b（a+b)+1］+(ab+b2+1）=［a（a—b）+1]（ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1）．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab—ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)（x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=（y+1)（y+2)-12=y2+3y—10=(y-2)(y+5）=（x2+x—2）（x2+x+5)说明本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：（x2+3x+2）（4x2+8x+3)—90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)（2x+3)—90=[(x+1)(2x+3）]［（x+2)(2x+1）］—90=（2x2+5x+3）（2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1）-90=y2+y—90=（y+10）(y—9)=（2x2+5x+12）(2x2+5x—7）=(2x2+5x+12）（2x+7)(x—1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y)的基础．例8 分解因式：（x2+4x+8)2+3x（x2+4x+8）+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=（y+2x)(y+x）=(x2+6x+8)（x2+5x+8）说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式．例9分解因式:6x4+7x3-36x2—7x+6．解法1 原式=6（x4+1）＋7x(x2-1)—36x2=6［（x4-2x2+1）+2x2］+7x（x2-1）—36x2=6［(x2-1)2+2x2]+7x（x2—1)—36x2=6（x2-1）2+7x(x2—1)—24x2=［2（x2—1）-3x］［3(x2—1）+8x］=（2x2—3x—2）(3x2+8x—3)=（2x+1）(x—2）(3x—1)（x+3）．说明本解法实际上是将x2—1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6（t2+2)+7t—36]=x2（6t2+7t-24)=x2（2t-3)（3t+8)=x2[2（x—1/x)-3］[3（x-1/x)+8]=(2x2—3x-2)（3x2+8x-3)=(2x+1）（x—2)（3x—1)（x+3)．例10 分解因式：（x2+xy+y2）—4xy（x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=［（x+y)2-xy］2-4xy［（x+y)2-2xy］．令x+y=u,xy=v，则原式=(u2-v）2—4v（u2-2v)=u4-6u2v+9v2=（u2—3v）2=（x2+2xy+y2-3xy）2=（x2—xy+y2）2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；（4）（x5+x4+x3+x2+x+1）2—x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4;（2）x4—11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4）x4-12x+323．3．分解因式：(1）（2x2—3x+1)2-22x2+33x—1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y）3+2xy(1-x-y)-1；（4)(x+3）(x2—1）（x+5）-20．。
初中数学竞赛专题辅导 因式分解(二)
初中数学竞赛专题辅导因式分解(二) 1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y 当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
初中数学竞赛精品标准教程及练习19因式分解
初中数学竞赛精品标准教程及练习19因式分解因式分解是数学中一个非常重要的概念和方法，它在初中数学竞赛中也是经常出现的题型之一、掌握因式分解的方法对于解题有很大的帮助。
下面是一篇关于因式分解的精品标准教程及练习，共1200字以上。
一、因式分解的概念因式分解是指将一个代数式写成若干个因式的乘积的过程。
通俗地说，就是找到一个式子的“因子”，使得式子能够被“因子”相乘得到。
例如，对于一个简单的算式12=2×2×3，我们可以将12写成2×2×3的形式，这就是因式分解的过程。
二、基本的因式分解方法基本的因式分解方法主要有两种：公因式提取和配方法。
1.公因式提取公因式提取是指将一个代数式中的公因式分解出来。
例如:将4x+12分解为4(x+3)4是4x和12的公因式，x+3是剩余部分。
2.配方法配方法是指将一个代数式按照指定的分法进行拆分，然后再将拆分后的各部分进行因式分解。
例如：将x²+3xy+2y²分解为(x+y)(x+2y)第一步，我们观察到第一项是x²，第二项是3xy，第三项是2y²，我们希望通过拆分得到两个相同的式子，这就需要把x²拆分成两个相同的项，即(x+y)(x+2y)。
三、因式分解的练习题练习1：将6x+9分解为3(2x+3)练习2：将x²-4y²分解为(x+2y)(x-2y)练习3：将3x³-27y³分解为3(x-3y)(x²+3xy+9y²)练习4：将x²+7xy+12y²分解为(x+4y)(x+3y)练习5：将6a²b²c-18a²b²分解为6a²b²(c-3)练习6：将x³+y³分解为(x+y)(x²-xy+y²)练习7：将16x²-40xy+25y²分解为(4x-5y)²练习8：将8x³y+12x²y²分解为4xy(2x²+3xy)以上就是因式分解的精品标准教程及练习，掌握了这些基本的方法和技巧，相信大家能够在初中数学竞赛中取得不错的成绩。
七年级数学《因式分解》的一等奖说课稿
七年级数学《因式分解》的一等奖说课稿1、七年级数学《因式分解》的一等奖说课稿一、说教材1、关于地位与作用。
本说课的内容是数学第二册7.1《因式分解》。
因式分解不言而喻，就整个数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。
就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。
它是继乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。
这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。
通过这节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。
因此，它起到了承上启下的作用。
2、关于教学目标。
根据因式分解一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，特制定如下教学目标：（一）知识与技能目标：①了解因式分解的必要性；②深刻理解因式分解的概念；③掌握从整式乘法得出因式分解的方法。
（二）体验性目标：①感受整式乘法与因式分解矛盾的对立统一观点；②体验由和差到积的形成过程，初步获得因式分解的经验。
3、关于教学重点与难点。
重点是因式分解的概念。
理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的灵魂，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，以及它们之间的'关系进行因式分解的思想。
理由是学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。
在前一章整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。
4、关于教法与学法。
教法与学法是互相联系和统一的，不能孤立去研究。
什么样的教法必带来相应的学法。
因此，我们应该重点阐述教法。
一节课不能是单一的教法，教无定法。
但遵循的原则——启发性原则是永恒的。
在教师的启发下，让学生成为行为主体。
正如新《数学课程标准》所要求的，让学生“动手实践、自主探索、合作交流”。
在上述思想为出发点，就本节课而言，不妨利用对比教学，让学生体验因式分解的必要性；利用类比教学，以概念的形曾成和同化相结合，促进学生对因式分解概念的理解；利用尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。
(完整)初中数学竞赛因式分解专题.doc
初中数学竞赛专题——因式分解多式的因式分解是代数式恒等形的基本形式之一，它被广泛地用于初等数学之中，是我解决多数学的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性，学些方法与技巧，不是掌握因式分解内容所必需的，而且于培养学生的解技能，展学生的思能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介了提取公因式法、运用公式法、分分解法和十字相乘法．本及下一在中学数学教材基上，因式分解的方法、技巧和用作一步的介．1．运用公式法在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，将其反向使用，即因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b2=(a+b)(a -b) ；(2)a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3)a 3 3 2 2 +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4)a 3 3 2 2 -b =(a -b)(a +ab+b ) ．下面再充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a -b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3b2+⋯ +ab n-2 +b n-1 ) 其中 n 正整数；(8)a n n n-1 n-2b+an-3 2 n-2n-1) ，其中 n 偶数；-b =(a+b)(a -a b -⋯ +ab -b(9)a n+b n=(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2 -⋯ -ab n-2+b n-1) ，其中 n 奇数．运用公式法分解因式，要根据多式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；(2)x 3-8y3-z3-6xyz ；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 57(4)a -a b +a b -b ．解(1) 原式 =-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1 y n[(x 2n) 2 -2x 2ny2+(y 2) 2]=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2n-1 nn 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( - Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz -2yz) ．(3) 原式 =(a 2 -2ab+b 2)+( -2bc+2ca)+c 21＝(a -b) 2+2c(a -b)+c 2=(a -b+c) 2．本小可以稍加形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( - b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a 7 5 2 2 5 7 -a b )+(a b -b )=a 5(a 2-b2)+b 5(a 2-b2) =(a 2-b2)(a 5+b5)=(a+b)(a4 3 2 2 3 4 - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )2 43 2 2 3 4=(a+b) (a - b)(a - a b+a b -ab +b )例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本上就是用因式分解的方法明前面出的公式(6) ．分析我已知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，将此公式形3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．个式也是一个常用的公式，本就借助于它来推．3 3解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= ［ (a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［ (a+b) 2 -c(a+b)+c 2] -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ．明公式 (6) 是一个用极广的公式，用它可以推出很多有用的，例如：我将公式 (6) 形3 3 3a +b +c -3abc3 3 3；当 a+b+c＞ 0 3 3 3 3 3 3然，当 a+b+c=0 ， a +b +c =3abc ， a +b +c -3abc ≥ 0，即 a +b +c ≥3abc，而且，当且当 a=b=c ，等号成立．如果令x=a3≥ 0， y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，有等号成立的充要条件是 x=y=z ．也是一个常用的．例 3 分解因式： x15 +x14+x13+⋯+x2+x+1．2分析个多式的特点是：有 16 ，从最高次 x15开始， x 的次数次减至 0，由此想到用公式 a n -b n 来分解．解因x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+⋯ x2+x+1) ，所以明在本的分解程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，一技巧在等式形中很常用．2．拆、添法因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运算，整理、化常将几个同合并一，或将两个符号相反的同相互抵消零．在某些多式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵消的，即把多式中的某一拆成两或多，或者在多式中添上两个符合相反的，前者称拆，后者称添．拆、添的目的是使多式能用分分解法行因式分解．例4 分解因式： x3 -9x+8．分析本解法很多，里只介运用拆、添法分解的几种解法，注意一下拆、添的目的与技巧．解法 1 将常数8 拆成 -1+9．33=(x -1) - 9x+92=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x +x-8) ．解法 2 将一次 -9x 拆成 -x-8x ．原式 =x3-x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次x3拆成 9x3-8x3．原式 =9x 3 3-8x -9x+8=(9x 3 3+8)- 9x)+( -8x2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x+x+1)2=(x -1)(x +x-8) ．3解法 4 添加两项 -x 2+x 2． 原式 =x 3 -9x+8322=x -x +x -9x+8 =x 2 (x - 1)+(x -8)(x -1) =(x -1)(x 2+x-8) ．说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规， 主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3-3；(2)(m 2-1)(n 2 -1)+4mn ；(3)(x+1)4+(x 2-1) 2+(x -1) 4；(4)a 3b-ab 3+a 2+b 2 +1．解 (1) 将 -3 拆成 -1-1-1．96 3原式 =x +x +x - 1- 1-1=(x 963-1)+(x -1)+(x -1)=(x 363333-1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x 3+3) ． (2) 将 4mn 拆成 2mn+2mn ．22原式 =(m -1)(n -1)+2mn+2mn2 222=mn -m-n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n)=(mn+1) 22-(m-n)=(mn+m-n+1)(mn -m+n+1)．(3) 将 (x 2-1) 2 拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式 =(x+1) 4+2(x 2222+(x -1) 4 -1) -(x -1)=［ (x+1) 422422+2(x+1) (x -1) +(x -1) ] - (x -1)=［ (x+1) 22222+(x - 1) ] -(x -1)22222+1)(x 2+3) ．=(2x +2) -(x - 1) =(3x (4) 添加两项 +ab-ab ．332 2原式 =a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b- ab 3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)42=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b+1)2=[a(a -b)+1](ab+b+1)=(a 2 2+ab+1) ．-ab+1)(b说明 (4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设 x2+x=y，则原式 =(y+1)(y+2)- 12=y2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将2看作一个整体，比如今2x +x+1 x +x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90．令y=2x2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例 8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x2+4x+8=y ，则5原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2 +5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式： 6x4+7x3-36x2-7x+6．解法 1 原式 =6(x 4+1) ＋ 7x(x 2 -1) -36x24 2 2 2 2=6［(x -2x +1)+2x ］ +7x(x -1) -36x=6[(x 2 2]+7x(x2 2 - 1)2+2x -1) -36x=6(x 2 2+7x(x2 2 -1) -1) -24x=[2(x 2- 1) -3x］［ 3(x 2-1)+8x]=(2x 2 -3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2说明本解法实际上是将 x -1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法 2原式 =x2 [6(t 2+2)+7t -36]=x2 (6t 2+7t -24)=x 2(2t - 3)(3t+8)=x2 [2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]2 2+8x-3)=(2x - 3x-2)(3x=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3)．例10 分解因式： (x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2 ) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解原式 =[(x+y) 2 2 2．令 x+y=u， xy=v ，则-xy] -4xy[(x+y) -2xy]2 2 2原式 =(u -v) -4v(u -2v)=u4-6u2v+9v22 2=(u -3v)6=(x 2+2xy+y 2 -3xy) 2=(x 22 2．-xy+y )7。
初中数学因式分解教案优秀范文
练习反馈：及时给予学生反馈，指出学生在练习中的不足之处，并给出相应的建议和指导。
归纳小结
回顾本节课的重和难点 总结因式分解的方法和技巧 强调因式分解在数学中的应用 布置相关练习题，巩固所学知识
评价与反馈
第七章
课堂表现评价
学生对因式分解的理解程度 学生的解题思路是否清晰 学生的课堂参与度与积极性 学生的作业完成情况与质量
掌握因式分解的基本方法和 技巧
过程与方法
通过观察、分析、 归纳等过程，让 学生掌握因式分 解的基本方法
通过例题讲解和 练习，让学生熟 练运用因式分解 解决实际问题
通过小组合作和 讨论，培养学生 的合作精神和探 究能力
通过课堂互动和 反馈，及时调整 教学策略，提高 教学效果
情感态度与价值观
激发学生的学习 兴趣和积极性
教学过程
第六章
导入新课
创设情境，激发学生的学习 兴趣
回顾旧知识，引入新课题
引导学生思考，提出新问题
展示教学目标，明确学习任 务
讲授新课
概念讲解：详细解释因式分 解的定义、性质和基本方法
导入新课：通过回顾旧知识 或提出新问题，引导学生进 入因式分解的学习
示例演示：通过具体例题的 演示，让学生了解因式分解
初中数学因式分解 教案优秀范文
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 教学目标 03 教学内容 04 教学重点与难点 05 教学方法与手段
06 教学过程
单击添加章节标题
第一章
教学目标
第二章
知识与技能
学会识别和分解不同类型的 多项式
掌握因式分解的基本概念和 原理
理解因式分解在数学中的应 用和重要性
七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)
初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。
下面再介紹两种方法1．添项拆项。
是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。
（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。
例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。
《因式分解》优秀教案一等奖
《因式分解》优秀教案一等奖1、《因式分解》优秀教案一等奖教学目标：1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题。
2、经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。
3、通过对公式的探究，深刻理解公式的应用，并会熟练应用公式解决问题。
4、通过探究平方差公式特点，学生根据公式自己取值设计问题，并根据公式自己解决问题的过程，让学生获得成功的体验，培养合作交流意识。
教学重点：应用平方差公式分解因式．教学难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．教学过程：一、复习准备导入新课1、什么是因式分解？判断下列变形过程，哪个是因式分解？2、我们已经学过的因式分解的方法有什么？将下列多项式分解因式。
x2+2xa2b-ab3、根据乘法公式进行计算：(1)（x＋3）(x－3)= (2)(2y＋1)(2y－1)= (3)(a＋b)(a－b)=二、合作探究学习新知(一) 猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？（1）= (2)= (3)=(二)想一想，议一议: 观察下面的公式:＝（a＋b）（a—b）（这个公式左边的多项式有什么特征：_____________________________________公式右边是__________________________________________________________ 这个公式你能用语言来描述吗？_______________________________________(三)练一练：1、下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？① ② ③ ④2、你能把下列的数或式写成幂的形式吗？(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)= ( ) (5) 36a4=( )2 (6) 0.49b2=( )2 (7) 81n6=( )2 (8) 100p4q2=( )2（四）做一做：例3 分解因式：(1) 4x2- 9 (2) (x+p)2- (x+q)2（五）试一试：例4 下面的式子你能用什么方法来分解因式呢？请你试一试。
因式分解-第1讲竞赛班学生版
第一讲 因式分解综合一、 知识回顾因式分解的基本方法：（1）提取公因式；（2）运用公式法；（3）分组分解法；（4）十字相乘法。
因式分解的其他常用方法：（5）拆项、添项；（6）换元法；（7）双十字相乘法；（8）待定系数法；（9）利用因式定理分解。
二、 对称式、交代式和轮换式1． 对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。
如a b +，22a ab b -+都是关于这两个字母a ，b 的对称式。
2． 交代式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
3． 轮换式：一个代数式中，如果把所有字母依次替换（即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，类推下去，最后一个字母换成第一个字母），式子不变，那么这个代数式叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式。
如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++-等。
三、 对称式、交代式和轮换式的因式分解由于对称多项式和轮换对称多项式的特殊性，它们的因式分解也有其特殊方法。
因为如果一个对称（或者轮换对称）多项式有一个次数较低的因式，那么与这个因式同类型的式子也是原多项式的因式，这样就可以借助因式定理和待定系数法进行因式分解。
四、 例题例1. 分解因式66()()x y x y x y -+-例2. 分解因式32332a a a +++例3. 分解因式222()()()x p q x pq p q p q -+++-例4. （92年四川初中联赛试题）分解因式22276212x xy y x y -++--例5. 分解因式4322928x x x x +--+例6. 分解因式3333x y z xyz ++-例7. （第六届莫斯科数学奥林匹克）分解因式333()()()b c c a a b -+-+-例8. 分解因式()()()y z z x x y xyz ++++例9. 分解因式333()()()a b c b c a c a b -+-+-例10. 分解因式()()a b c ab bc ca abc ++++-五、 因式分解的应用例11.已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例12. （第9届莫斯科奥林匹克）证明：对于任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33： 543223453515412x x y x y x y xy y +--++例13. （1982年天津初中数学竞赛）已知在ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a 、b 、c 是三角形三边的长），求证：2a c b +=例14.（基辅数学奥林匹克）证明对于任意整数n ，65222n n n n +--能被120整除六、 练习题1． 选择题（1）下列式子中，是轮换对称多项式的有（ ）○132x y z ++ ○2234432x y z x y z +++ ○32233xy y z z x ++ ○4333222x y z x y z ++--- A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2）若2222223()()x y xy y z yz z x zx xyz k x y z xy yz zx ++++++=++++，则k 的值是（ ）A ．12 B ．1 C ．3 D ．－1（3）将444222222222a b c a b b c c a ++---分解因式得（ ）A ．2222()a b c --B ．222222(2)(2)a b c bc a b c bc --+---C ．()()()()a b c a b c a b c a b c +--+++--D ．()()()()a b c b c a c a b a b c +-+-+-++2． 分解因式（1）222()()()a b c b c a c a b -+-+-（2）222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-（3）222333()()()()2x y z y z x z x y x y z xyz +++++-++-3． 若多项式32x ax bx ++能够被(5)x -和(6)x -整除，那么a=______；b=______；4． 已知0a b c d +++=，33333a b c d +++=，求证： （1）33()()0a b c d +++=；（2）()()1ab c d cd a b +++=。
(完整)初中数学竞赛因式分解专题
初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ；2 2 2(2) a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；3 3 2 2(3) a +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) ．下面再补充几个常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；3 3 3 2 2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b+c -ab-bc-ca) ；(7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+⋯+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8) a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-⋯+ab n-2-b n-1) ，其中n为偶数；(9) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-⋯-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例 1 分解因式：5n-1 n 3n-1 n+2 n-1 n+4(1) -2x y +4x y -2x y ；(2) x 3-8y3-z3-6xyz ；222(3) a +b +c -2bc+2ca-2ab；7 5 2 2 5 7(4) a -ab +a b -b ．解(1) 原式=-2x n-1y n(x 4n-2x2ny2+y4)n-1 n 2 2 2 2 2 2=-2x y [(x n) -2x ny +(y ) ]n-1 n 2 2 2=-2x y (x n-y )n-1 n n 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)( -Z)2 2 2=(x -2y-z)(x +4y +z +2xy+xz -2yz) ．22(3) 原式=(a 2-2ab+b2)+( -2bc+2ca)+c2＝(a-b) +2c(a -b)+c =(a -b+c)本小题可以稍加变形，直接使用公式(5) ，解法如下：2 2 2 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)5 2 2 5 2 2=a (a -b )+b (a -b)2 2 5 5=(a -b )(a +b)4 3 2 2 3 4=(a+b)(a - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b)=(a+b) 2(a - b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)例 2 分解因式：a+b+c -3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6) ．分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．33解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= [ (a+b)3+c 3] -3ab(a+b+c)22=(a+b+c) [ (a+b) -c(a+b)+c ] -3ab(a+b+c)222=(a+b+c)(a +b+c -ab-bc -ca) ．说明公式(6) 是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6) 变形为333a+b +c -3abc显然，当a+b+c=0 时，则a3 +b3+c3=3abc ；当a+b+c> 0 时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc ，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c 3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．例 3 分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为16 15 14 13 2x -1=(x -1)(x +x +x +⋯x +x+1) ，所以解法 4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+83 2 2=x -x +x -9x+82=x2(x - 1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x 2+x-8) ．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1) x 9+x6+x3-3；22(2) (m -1)(n -1)+4mn；(3) (x+1) 4+(x 2-1) 2+(x -1) 4；(4) a 3b-ab3+a2+b2+1．解(1) 将-3拆成-1-1-1．9 6 3 原式=x +x +x -1-1-1963=(x 9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)3 6 3 3 3 3=(x 3-1)(x 6+x3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)3=(x -1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) ．(2) 将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n 2-1)+2mn+2mn2 2 2 2=mn -m-n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(mn +2mn+1)-(m -2mn+n)22=(mn+1) -(m-n) =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3) 将(x 2-1) 2拆成2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式=(x+1) 4+2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2+(x -1) 44 2 2 4 2 2=[ (x+1) 4+2(x+1) 2(x -1) 2+(x -1) 4] -(x 2-1) 2 =[ (x+1) 2+(x - 1) 2] 2-(x 2-1) 2 =(2x 2+2) 2-(x 2- 1) 2=(3x 2+1)(x 2+3)．(4) 添加两项+ab-ab．3 3 2 2原式=a b-ab +a+b +1+ab-ab=(a 3b- ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)2=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b +1)2=a(a -b) [ b(a+b)+1]+(ab+b 2+1)2=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．2=[a(a -b)+1](ab+b 2+1)22=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1) ．说明(4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．22例 6 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y ，则2原式=(y+1)(y+2) - 12=y2+3y -1022=(y -2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)2=(x -1)(x+2)(x 2+x+5) ．22说明本题也可将x2+x+1 看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：22(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3) -90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)] -9022=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90 ．令y=2x2+5x+2 ，则2原式=y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)22=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)22说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．2解设x2+4x+8=y ，则原式=y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)22=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)2 =(x+2)(x+4)(x2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．4 2 2解法 1 原式=6(x 4+1) ＋7x(x 2-1) -36x24 2 2 2 2 =6[(x -2x +1)+2x ] +7x(x -1) -36x2 2 2 2=6[(x 2- 1)2+2x 2]+7x(x 2-1) -36x22 2 2 2=6(x 2-1) 2+7x(x 2-1)-24x222=[2(x 2- 1) -3x][ 3(x 2-1)+8x]22=(2x 2-3x-2)(3x 2+8x-3) =(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．说明本解法实际上是将x2-1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法222原式=x2[6(t 2+2)+7t -36]=x2(6t 2+7t -24)=x 2(2t -3)(3t+8)2=x2[2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]22=(2x 2- 3x-2)(3x 2+8x-3) =(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2 2 2 2例10 分解因式：(x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．2 2 2解原式=[(x+y) -xy] -4xy[(x+y) -2xy] ．令x+y=u，xy=v ，则2 2 2原式=(u -v) -4v(u -2v)4 2 2=u-6u v+9v22=(u -3v)22=(x +2xy+y -3xy)2 2 2 =(x 2-xy+y 2) 2．说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1) ，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．3例 4 分解因式：x* 2 3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法 1 将常数项8拆成-1+9．3原式=x3-9x-1+93=(x -1) - 9x+9=(x -1)(x 2+x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．解法 2 将一次项-9x 拆成-x-8x ．原式=x3-x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．解法 3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+833=(9x 3- 9x)+( -8x3+8)2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x 2+x+1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．。
初中数学因式分解教案优秀范文
初中数学因式分解教案优秀范文初中数学因式分解教案优秀范文1教学目标1、知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力、2、过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性、3、情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值、重、难点与关键1、重点：利用平方差公式分解因式、2、难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性、3、关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来、教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的'牵引下，推进自己的思维、教学过程一、观察探讨，体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式、（1）（a 5）（a—5）；（2）（4m 3n）（4m—3n）、【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演、（1）（a 5）（a—5）=a2—52=a2—25；（2）（4m 3n）（4m—3n）=（4m）2—（3n）2=16m2—9n2、【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律、1、分解因式：a2—25；2、分解因式16m2—9n、【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1）a2—25=a2—52=（a 5）（a—5）、（2）16m2—9n2=（4m）2—（3n）2=（4m 3n）（4m—3n）、【教师活动】引导学生完成a2—b2=（a b）（a—b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解、平方差公式：a2—b2=（a b）（a—b）、评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）、二、范例学习，应用所学【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（1）x2—9y2；（2）16x4—y4；（3）12a2x2—27b2y2；（4）（x 2y）2—（x—3y）2；（5）m2（16x—y）n2（y—16x）、【思路点拨】在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解、【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演、【学生活动】分四人小组，合作探究、解：（1）x2—9y2=（x 3y）（x—3y）；（2）16x4—y4=（4x2 y2）（4x2—y2）=（4x2 y2）（2x y）（2x —y）；（3）12a2x2—27b2y2=3（4a2x2—9b2y2）=3（2ax 3by）（2ax—3by）；（4）（x 2y）2—（x—3y）2=[（x 2y）（x—3y）][（x 2y）—（x—3y）]=5y（2x—y）；（5）m2（16x—y）n2（y—16x）=（16x—y）（m2—n2）=（16x—y）（m n）（m—n）、初中数学因式分解教案优秀范文2一、教学目标【知识与技能】了解运用公式法分解因式的意义，会用平方差分解因式；知道提公因式法分解因式是首先考虑的方法，再考虑用平方差分解因式。
初中九年级数学教案-因式分解法-“江南联赛”一等奖
1.2一元二次方程的解法（6）——因式分解法教学目标1.会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；2.能利用一元二次方程解决具体实际问题。
教学重点会用因式分解法解一元二次方程。
教学难点将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解。
教学准备多媒体教学方法讲授法教学过程一、创设情境连连看：你能将左边的方程与右边的解连起来吗？问：你这样连的依据是什么？依据：若A·B=0，则A=0或B=0。
二、探究新知如何解方程x x =2？解：移项，得：02=-x x0)1(=-∴x x ，此时x 和1-x 两个因式中必有一个为0，即0=x 或01=-x ，1,021==∴x x ．总结：这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．问： 到底什么样的方程可以用因式分解法呢？三、获取新知如果一个一元二次方程的一边为0 ，另一边能分解成两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可用因式分解法来求解．四、典型例题例1 用因式分解法解一元二次方程x x =23)1( 04)1()2(2=--x（学生根据前面所讲的题目仿照完成）总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把一元二次方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的积；（3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．例2 把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，场地面积增加了三倍，求小圆形场地的半径．分析：此题考查学生对于一元二次方程的简单应用，需要学生了解圆的面积公式，以及能利用因式分解法解一元二次方程。
可以让学生短暂思考后完成。
解：设小圆形场地的半径为xm.则224)5(r r ππ=+ 224)5(r r =+04)5(22=-+r r0)25)(25(=-+++r r r r0)5)(53(=-+r r05053=-=+∴r r 或5),(3521=-=∴r r 舍去 答：小圆形场地的半径为5m 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛因式分解专题初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．。