2019-2020学年四川省泸县第二中学高二下学期第一次在线月考数学(理)试题及答案

2019-2020学年四川省泸县第二中学高二下学期第一次在线月考数学（理）试题及答案一、单选题 110y +-=的倾斜角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【解析】由直线的一般式方程得到直线的斜率k ，再由tan θk求解倾斜角.【详解】10y +-=的斜率=ktan [0,180)o o k θθ∴==∈，∴120θ︒=. 故选：C 【点睛】本题考查了直线的一般式方程、直线的斜率和直线的倾斜角的关系，考查了学生转化，运算的能力，属于基础题. 2．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是（ ） A ．32,10x R x x ∀∈--> B ．32,10x R x x ∀∈--< C ．32,10x x x ∃∈-->R D ．32,10x R x x ∃∈--<【答案】C【解析】由全称命题的否定为特称命题，再判断即可得解. 【详解】解：命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“32,10x x x ∃∈-->R ”， 故选：C . 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的关系，重点考查了命题的否定，属基础题.3．“22am bm <”是“a b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由不等式的性质，结合充分必要性的判定即可得解. 【详解】解：由22::p am bm q a b <⇒<，但:q a b <时22:p am bm <不一定成立，例如当0m =，即“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件， 故选：A . 【点睛】本题考查了不等式的性质，重点考查了充分必要条件，属基础题.4．已知命题“设a 、b 、R c ∈，若22ac bc >，则a b >”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，命题“设a 、b 、Rc ∈，若22ac bc >，则a b >”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设a 、b 、R c ∈，若a b >，则22ac bc >”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选B ．【考点】四种命题的真假的判定．5．过抛物线28y x =的焦点作直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为4，则AB =（ ） A ．6 B ．8 C ．12 D ．16【答案】C【解析】利用焦半径公式可求AB.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，抛物线的焦点为F ，则()2,0F . 由焦半径公式可得122,2AF x BF x =+=+，故124AB AF BF x x =+=++，因为线段AB 的中点的横坐标为4，故128x x +=，故12AB =.故选：C. 【点睛】本题考查抛物线中焦点弦的长度计算，可借助焦半径公式来计算，一般地，抛物线()220y px p => 上的点()00,P x y 到焦点的距离为02px +；抛物线()220x py p =>上的点()00,P x y 到焦点的距离为02py +. 6．若圆22220x y x y m ++-+=m =（）A ．32-B ．-1C ．1D ．32【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出m 的值. 【详解】由题意，圆的方程可化为()()22112x y m ++-=-，=1m =-.故选：B. 【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7．已知圆221:2310C x y x y ++++=，圆222:43360C x y x y ++--=，则圆1C 和圆2C 的位置关系为（ ） A ．相切 B ．内含 C ．外离 D ．相交【答案】B【解析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心与半径，求出圆心距，再根据两圆的圆心距12C C 与半径和与差的关系，即可得到结论. 【详解】圆221:2310C x y x y ++++=，即()2239124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴131,2C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，132r =， 圆222:43360C x y x y ++--=，即()223169224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，∴232,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2132r =，∴两圆的圆心距12C C ==12313822r r +=+=，21133522r r -=-=， ∴11225r C r C =<-=，故两圆内含.故选：B. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题.8．若方程22148sin x y α+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】依题意可得关于α的三角不等式，根据正弦函数的性质解答. 【详解】解：因为方程22148sin x y α+=表示焦点在y 轴上的椭圆所以8sin 4α>即1sin 2α>，由正弦函数的性质可得52266k k πππαπ+<<+，k Z ∈又α为锐角62ππα∴<<即,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及正弦函数的性质，属于基础题.9．已知定点()3,0B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（ ） A ．22(1)1x y ++= B ．22(2)4x y -+= C ．22(1)1x y -+= D ．22(2)4x y ++=【答案】C【解析】设(),M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(),M x y ,则(),A A A x y 满足()3,,22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩ .故()23,2A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故()()2222(231)2411x y x y -++=⇒-+=.故选：C 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型. 10．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（ ） A ．24π B ．18π C ．10π D ．6π【答案】D【解析】由题意得外接球的直径等于2R ==,所以表面积为224π=π6πR =,选D.点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．11．若点在椭圆上，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先根据的几何意义是点到点的斜率，然后求解斜率的最小值即可.【详解】由题知椭圆的方程为，求的最小值即求点到点斜率的最小值，设过点和点的直线方程为，联立，知当时直线斜率取最小值，，故当时，斜率取最小值，即的最小值为.故选：D. 【点睛】本题主要考查了联立方程组求椭圆的切线，结合考查了的几何意义，属于一般题.12．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3近线在第一象限的交点为M ，若120MF MF ⋅=，则该双曲线的离心率是（ ） A 2B 21C ．133D ．53【答案】B【解析】先由120MF MF ⋅=，得12F MF ∠为直角，可得1212OM F F =，即可得(),M a b ，然后利用直线斜率公式求解即可. 【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±， 设点,b M m m a ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为120MF MF ⋅=，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角，所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上， 解得m a =，故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率2b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率3c e a ===. 故选：B . 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，重点考查了双曲线渐近线方程及直线的斜率公式，属中档题.二、填空题13．不等式2620x x +->的解集用区间表示为______.【答案】3,22⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由二次不等式的解法求解即可. 【详解】解：原不等式可化为2260x x --<，即()()2+320x x -<，即322x -<<， 即表达式的解集为3,22⎛⎫-⎪⎝⎭， 故答案为：3,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了运算能力，属基础题.14．抛物线24y x =的焦点坐标是___________．【答案】10,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标. 【详解】由24y x =得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴上，且112,4216p p ==，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,16⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.15．双曲线221916x y -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于9，那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】3或15【解析】通过双曲线方程求出a ，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果． 【详解】 解：双曲线的标准方程是221916x y -=，3a ∴=，5c =设点P 到另一个焦点的距离为x ，双曲线上一点P 到它的一个焦点的距离等于9，∴由双曲线定义知：|9|6x -=，解得15x =，或3x =．32c a >-=∴点P 到另一个焦点的距离是15或3．故答案为：3或15． 【点睛】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法，解题时要熟练掌握双曲线性质，属于基础题．16．已知点(0,2),(0,2),(3,2)A B C -，若动点(,)M x y 满足||||||||MA AC MB BC +=+，则点M的轨迹方程为__________.【答案】221(1)3x y y -=≤-【解析】根据||||||||MA AC MB BC +=+中||,||AC BC 为定值,故先化简,再分析M 满足的距离关系即可. 【详解】设(),M x y ,因为||||||||MA AC MB BC +=+,故||3||MA MB +=即||||2MA MB -=.故(),M x y 的轨迹是以(0,2),(0,2)A B -为焦点,22a =的双曲线的下支.此时1,2a c ==.故2223b c a =-=.故221(1)3x y y -=≤-.故答案为：221(1)3x y y -=≤-【点睛】本题主要考查了双曲线的定义,需要注意||||2MA MB -=为双曲线的下支,属于基础题型.三、解答题17．给定如下两个命题：命题:p “曲线2212x ym +=是焦点在y 轴上的椭圆，其中m 为常数”；命题:q “曲线2211y x m -=-是焦点在x 轴上的双曲线，其中m 为常数”．已知命题“p q ∧”为假命题，命题“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】(]1,2【解析】先求出,p q 为真时参数的取值范围，再分p 真q 假和p 假q 真两类讨论后可得实数m 的取值范围. 【详解】若命题p 为真命题，则2m >，若命题q 为真命题，则1m ， 由题知p 与q 一真一假，若p 真q 假，则21m m >⎧⎨<⎩，此时无解. 若p 假q 真，则21m m ≤⎧⎨>⎩，得12m <≤， 综上：实数m 的取值范围是(]1,2． 【点睛】对于p q∨为真，p q∧为假的问题，我们一般先求出p真时参数的范围，再求出q为真时参数的范围，通过p真q假和p假q真得到最终的参数的取值范围．18．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)4,4.50,0.5,0.5,1,...,[)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.【答案】（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力. 第（1）问，由高×组距=频率，计算每组的频率，根据所有频率之和为1，计算出a的值；第（2）问，利用高×组距=频率，先计算出每人月均用水量不低于3吨的频率，再利用频率×样本容量=频数，计算所求人数；第（3）问，将前6组的频率之和与前5组的频率之和进行比较，得出2.5≤x<3，再估计x的值.试题解析：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准． 【考点】 频率分布直方图 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力.在频率分布直方图中，第n 个小矩形的面积就是相应组的频率，所有小矩形的面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．19．已知动点P 到定点1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离比到定直线1x =-的距离小12，其轨迹为C .（1）求C 的方程（2）过点()1,0N 且不与坐标轴垂直的直线l 与C 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()0,0E x ，求0x 的取值范围.【答案】（1）22y x =（2）2,【解析】（1）由已知条件结合抛物线的定义即可得解； （2）先联立直线与抛物线方程求得AB 中点S 的坐标，然后求出线段AB 的中垂线的方程,再求出点E 的坐标即可得解. 【详解】解：（1）由题意知，动点P 到定直线12x =-的距离与到定点1,02的距离相等，由抛物线的定义可知，曲线C 的方程为：22y x =.（2）由题意知直线存在斜率，设直线l 的方程为()10x my m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()33,S x y ， 则由212x my y x =+⎧⎨=⎩得2220y my --=，所以1232y y y m +==，23311x my m =+=+， 则线段AB 的中垂线的方程为()21y m m x m⎡⎤-=--+⎣⎦，则202x m =+，又20,0m m ≠∴>，即02x >， 所以0x 的取值范围是2,.【点睛】本题考查了抛物线的定义，重点考查了中垂线方程的求法，属基础题.20．足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y与x 的线性相关性强弱.（已知：0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较）：（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2020年足球特色学校的个数（精确到个）. 参考公式和数据：()()niix x y y r --=∑()2110,ni i x x =-=∑()211.3,ni i y y =-=∑ 3.6056≈，()()()121ˆ,niii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 【答案】（1）0.998 ，y 与x 线性相关性很强（2）ˆ0.36724.76yx =-，244 【解析】（1）根据题意计算出r ，再比较即得解；（2）根据已知求出线性回归方程，再令x=2020即得解. 【详解】（1）由题得2016,x =1y =所以()()niix x y y r --=∑=3.60.9980.73.6056=≈>， ∴y与x 线性相关性很强.（2）()()()51521ˆi iiiix x y ybx x==--=-∑∑(2)(0.7)(1)(0.4)10.420.741014-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=++++0.36=，ˆˆa y bx=-120160.36=-⨯724.76=-，∴y关于x的线性回归方程是ˆ0.36724.76y x=-.当2020x=时，ˆ0.36724.76y x=- 2.44=，即该地区2020年足球特色学校有244个.【点睛】本题主要考查相关系数的应用，考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．如图，四棱锥P ABCD-中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，12AB BC AD==, E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)求二面角B PC D--的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）15【解析】(1)取PA的中点F,证明FE//=BC进而求得CE∥BF即可.(2) 在平面PAB内作PO AB⊥于O,建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】(1)取PA 的中点F ,连FE FB 、,E 是PD 的中点,∴FE //=12AD , 又BC //=12AD∴FE //=BC∴四边形EFBC 是平行四边形CE ∴∥BF又CE ⊄平面PAB ,BF ⊂平面PAB∴CE ∥平面PAB(2)在平面PAB 内作PO AB ⊥于O ,不妨令122AB BC AD ===,则4=AD由PAB ∆是等边三角形,则2PA PB ==,O 为AB 的中点,3PO =分别以AB 、PO 所在的直线为x 轴和z 轴,以底面内AB 的中垂线为y 轴建立空间直角坐标系, 则3)P ,(1,0,0)B ,(1,2,0)C ,(1,4,0)D -(1,2,3)PC ∴=,(0,2,0)BC =,(2,2,0)CD =-设平面PBC 的法向量为111(,,1)nx y =,平面PDC 的法向量为222(1,,)n y z =-,则1111111230302000n PC x y xn BC y y⎧⎧⋅=+-==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++==⎪⎪⎩⎩则1(3,0,1)n=22222221123022003yn PC y zn CD y z=-⎧⎧⋅=-+-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=++==-⎪⎪⎩⎩则2(1,1,3)n=---121212(3,0,1)(1,1,3)2315cos,2525n nn nn n⋅⋅----∴====-⋅⋅⋅经检验,二面角B PC D--的弦值的大小为15-【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型.22．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点是F（1，0），O 为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若直线l 绕点F任意转动，总有222OA OB AB+<，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）22 1.43x y+=（Ⅱ）15+，+∞）【解析】【详解】（1）设M N，为短轴的两个三等分点，MNF∆为正三角形，所以OF =，2123b =⋅，解得b 2214a b =+=， 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）设1122(,),(,).A x y B x y（ⅰ）当直线AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有． （ⅱ）当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my a b=++=代入 整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m -+=-=++ 因恒有222OA OB AB +<，所以AOB ∠恒为钝角， 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ⋅=⋅=+<恒成立． 2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y my my y y m y y m y y +=+++=++++ 2222222222222222222222(1)()210.m b a b b m m a b b a b a a b m a b m a b m +--+-+=-+=<+++ 又2220a b m +>，所以22222220m a b b a b a -+-+<对m R ∈恒成立， 即2222222m a b a b a b >+-对m R ∈恒成立，当m R ∈时，222m a b 最小值为0，所以22220a b a b +-<，2224(1)a b a b <-=，因为220,0,1a b a b a >>∴<=-，即210a a -->，解得a >或12a -<（舍去），即12a +>，综合（i）（ii），a的取值范围为1(,)+∞．2。