四川省高二上学期数学调研试卷
四川省高二上学期期末教学质量检测理科数学试题(解析版)
期末教学质量检测 数学试题卷（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名.准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求.1. 平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）αβ,a b αβ⊂⊂a b A. 平行 B. 平行或异面C. 平行或相交D. 平行或相交或异面【答案】B 【解析】 【分析】利用平面∥平面，可得平面与平面没有公共点，根据，可得直线，没有公共αβαβ,a b αβ⊂⊂a b 点，即可得到结论．【详解】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点 //αβαβ∵，，∴直线，没有公共点 a α⊂b β⊂a b ∴直线，的位置关系是平行或异面， a b 故选：B.2. 双曲线的左、右焦点坐标分别是 ，虚轴长为4，则双曲线的标准方程是( )()()123,03,0F F -，A.B.22154x y -=22154y x -=C.D.221134x y -=221916x y -=【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的几何性质即可求解的值.,,a b c 【详解】由题意，双曲线的左、右焦点坐标分别是，所以， 12(3,0),(3,0)F F -3c =又虚轴长为，则，所以，所以，424b =2b =a = 所以双曲线的标准方程为， 22154x y -=故选：A.3. 已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是 ,m n αA. 若,则 B. 若,则 ,m n ααA A m n A ,m n αα⊥∥m n ⊥C. 若,则 D. 若，则,m m n α⊥⊥n α⊥,m n m α⊥∥n αA 【答案】B 【解析】【分析】根据直线与平面的位置关系，可判定A ，利用线面垂直的性质，可判定B ；根据线面垂直的性质和直线与平面的位置关系，可判定C 、D ，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若,则与相交、平行或异面，所以不正确； ,m n ααA A m n 对于B 中，若,根据线面垂直的性质可知是正确的； ,m n αα⊥∥m n ⊥对于C 中，若,则与平行、相交或在平面内，所以不正确； ,m m n α⊥⊥n α对于D 中，若，则与的位置关系不确定，所以不正确，故选B.,m n m α⊥∥n α【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中线面位置关系的判定定理和线面垂直的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4. 在空间直角坐标系中，已知，则的中点关于平面的对称点坐标()()1,0,2,3,2,4M N --MN Q xOy 是（）A. B.C.D.()1,1,1-()1,1,1--()1,1,1--()1,1,1【答案】D 【解析】 【分析】由中点坐标公式可得点，再由关于平面对称的点的特征即可得解. ()1,1,1Q -xOy 【详解】因为，所以的中点，()()1,0,2,3,2,4M N --MN ()1,1,1Q -所以点关于平面的对称点坐标是. Q xOy ()1,1,1故选：D.5. 已知椭圆的两个焦点是，点在椭圆上，若，则的面积是22142x y +=12F F 、P 12||||2PF PF -=12PF F ∆A.B.C.D.1+1+【答案】D 【解析】【详解】，可得，2212+1,4,242x y PF PF c =∴+== 122PF PF -= 123,1PF PF ==，是直角三角形，的面积故选(2219+= 21PF F ∴∆12PF F ∴∆21211122PF F F ⨯=⨯⨯=D.6. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A. 32B. 16+C. 48D. 16+【答案】B 【解析】【详解】由题意知原几何体是正四棱锥，其中正四棱锥的高为2，底面是一个边长为4的正方形，过顶点向底面做垂线，垂线段长是2，过底面的中心向长度是4的边做垂线，连接垂足与顶点，得到直角三角形，得到斜高是2，所以四个侧面积是，底面面积为，所以该四棱锥的表面积是16+，故选B ．点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，做此题型的关键是正确还原几何体及几何体的棱的长度.7. 已知为椭圆上的点，点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为1P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>P 28，则椭圆的离心率为（ ） A.B.C.D.35455453【答案】B 【解析】【分析】根据点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18，列出a ,c 的方程组，进而解出a ,c ，最P 2后求出离心率.【详解】因为点到椭圆焦点的距离的最小值为，最大值为18， P 2所以，210188a c a a c c -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩所以椭圆的离心率为：. 45c e a ==故选：B.8. 在长方体中，，，为的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -12AB AA ==1AD =E 1CC 1BC AE 所成角的余弦值为 （ ）A .B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量的数量积即可求解.【详解】解：由题意，在长方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系D由题知，，为的中点,则12AB AA ==1AD =E 1CC ，，， ()1,0,0A ()1,2,0B ()10,2,2C ()0,2,1E 所以，()1,2,1AE =- ()11,0,2BC =-设直线与所成角为，则1BC AE α11cos AE BC AE BC α⋅====所以直线与 1BC AE 故选：B .9. 已知矩形，，，将矩形沿对角线折成大小为的二面角ABCD 4AB =3BC =ABCD AC θ，则折叠后形成的四面体的外接球的表面积是B ACD --ABCD A. B.C.D. 与的大小有关9π16π25πθ【答案】C 【解析】【详解】由题意得，在二面角内的中点O 到点A,B,C,D 的距离相等，且为，所以点O 即D B AC --AC 522AC =为外接球的球心，且球半径为，所以外接球的表面积为．选C ． 52R =24=25S R ππ=10. 已知点P 是抛物线上的-个动点，则点P 到点A(0, 1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小214x y =值为 A. 2 B.C.D.11+【答案】C 【解析】【详解】抛物线，可得：y 2=4x ，抛物线的焦点坐标（1，0）． 214x y =依题点P 到点A （0，1）的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值，就是P 到（0，1）与P 到该抛物线准线的距离的和减去1．由抛物线的定义，可得则点P 到点A （0，1）的距离与P 到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，．1故选C ．11. 已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于，O C 2213y x -=F l F C M 两点，若，，则直线的斜率为（ ）N 2OM ON OA +=8OA OF ⋅=l k A. B.C.D.2±±3±【答案】B 【解析】【分析】根据点差法，结合平面向量坐标表示公式、斜率的公式进行求解即可.【详解】设，，，由题可知，是线段的中点，()11,M x y ()22,N x y ()00,A x y ()2,0F A MN ，∴，∵，分别是双曲线右支上的点，∴两式相减并整理得028OA OF x ⋅== 04x =M N 221122221,31,3y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，∴，即， ()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=002203y k x⋅-=0403y k⋅-=又，∴，∴. 00022AF y yk k x ===-0y =±k =故选：B【点睛】关键点睛：应用点差法，结合平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.12. 已知是椭圆上一点，，是椭圆的左，右焦点，点是的内心，延长交M 2212516x y +=1F 2F I 12MF F ∆MI线段于，则的值为（ ）12F F N MI INA.B.C.D.53354334【答案】A 【解析】【分析】如图，点是椭圆上一点，过点M 作BM 垂直直线于点，过点作垂直直M 2212516x y +=12F F B I IA 线于点，设的内切圆半径为，则，由得：12F F A 12MF F ∆r IA r =121212MF F MF I MIF IF F S S S S =++A A A A 12112211112222F F MB r MF r F F r MF ⋅=++又，故得：，所以，由椭圆方程122MF MF a +=111222222c MB r a r c ⋅=⋅+⋅IA c MB a c =+得：，，，所以由与相似，可2212516x y +=5a =4b =3c ==38IA c MB a c ==+MNB A INA A 得：,令，则,可求得：，问38IA INMBMN ==3IN m =8MN m =383IN IN m IM MN IN m m ===--35题得解．【详解】如图，点是椭圆上一点，过点M 作BM 垂直直线于点，过点I 作垂直直M 2212516x y +=12F F B IA 线于点，设的内切圆半径为，则，由三角形面积相等即：12F F A 12MF F ∆r IA r =得：121212MF F MF I MIF IF F S S S S =++A A A A 12112211112222F F MB r MF r F F r MF ⋅=++又，故得：，所以，由椭圆方程122MF MF a +=111222222c MB r a r c ⋅=⋅+⋅IA c MB a c =+得：，，，所以由与相似，可2212516x y +=5a =4b =3c ==38IA c MB a c ==+MNB A INA A 得：,令，则,可求得：，故38IA INMBMN ==3IN m =8MN m =383IN IN m IM MN IN m m ===--35选A ．【点睛】本题主要是利用三角形相似将所求的比值转化成三角形相似比问题，即构造两个三角形相似来处理，对于内切圆问题通常利用等面积法列方程．即：即：=++（其中是ABC S A IBC S A IAC S A IAB S A I ABC A 的内切圆圆心），从而解决问题． ⇔1()2ABC S r a b c =++A 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷中的相应位置.13. 若抛物线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，则___________. 22y px =(1,0)=1x -p =【答案】 2【解析】【分析】直接由抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的定义可得，解得. 12p=2p =故答案为：2.14. 已知直线与圆相切，则a 的值为_____________. 340x y a ++=221x y +=【答案】 5±【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离，直接求的值.d r =a【详解】由题意可知圆心到直线的距离，d r =1d ∴==解得：. 5a =±故答案为：5±【点睛】本题考查直线与圆的位置相切，求参数，属于简单题型.15. 设点，分别为椭圆C ：的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得1F 2F 2214x y +=P C 成立的点恰好是4个，则实数的一个取值可以为_________．12PF PF m ⋅=m 【答案】0（答案不唯一） 【解析】【分析】当时，说明椭圆上存在4点满足条件. 120PF PF ⋅=【详解】当时，，则,0m =120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥由椭圆方程可知，，，，因为，所以以为直径的圆与椭圆有4个交点，使24a =21b =23c =c b >12F F 得成立的点恰好有4个，所以实数的一个取值可以为0.120PF PF ⋅=m 故答案为：0（答案不唯一）16. 在长方体中，已知底面为正方形，为的中点，，1111ABCD A B C D -ABCD P 11A D 2AD =，点为正方形所在平面内的一个动点，且满足，则线段的长度的1AA =Q ABCD QC =BQ 最大值是________. 【答案】 6【解析】【分析】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设，由，可得ABCD (,)Q x y QC =，进而可得出结果.22(2)4x y ++=【详解】在正方形所在平面内建立平面直角坐标系，设， ABCD (,)Q x y 则有，， 2223(1)PQ x y =++-222(2)(2)QC x y =-+-因为，所以，QC =2222(2)(2)622(1)x y x y -+-=++-整理得，22(2)4x y ++=所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， Q (2,0)-2所以线段长度的最大值为. BQ 2226⨯+=故答案为6【点睛】本题主要考查点线面间的距离计算，以及立体几何中的轨迹问题，常用坐标系的方法处理，属于常考题型.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. C O ()4,0x （1）求圆的方程；C （2）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为的方程. l ()1,2l C l 【答案】（1）()2224x y -+=（2）或. 10x -=34110x y +-=【解析】【分析】（1）设圆的方程为，再利用待定系数法求出，即可得解；C ()()2220x a y rr -+=>,a r （2）分类讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，结合弦长公式及点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】依题意，设圆的方程为，C ()()2220x a y rr -+=>则有，解得， ()22224a r a r⎧=⎪⎨-=⎪⎩224a r =⎧⎨=⎩所以圆的方程为； C ()2224x y -+=【小问2详解】由弦长公式知，解得，==1d =即圆心到直线的距离为1，()2,0C l当直线斜率不存在时，即符合题意，l 1x =当直线斜率存在时，设直线方程为，即，l 2(1)y k x -=-20kx y k --+=，解得， 1=34k =-所以直线的方程为，即， l 32(1)4y x -=--34110x y +-=综上，直线的方程为或.l 10x -=34110x y +-=18. 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.C ABED -ABED ,G F ,EC BD（1）求证：;//GF ABC 平面（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说BC H GFH ∥ACD H 明理由.【答案】（1）见证明；(2)见解析【解析】【分析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用ABED AE BD F GF AC A 线面平行的判定定理，即可得到面；GF A ABC （2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面,G H ,CE CB GH EB AD ∥∥GH A ，由面面平行的判定定理，即可得到证明.ACD 【详解】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点ABED AE BD F 故GF AC A ∵面GF ⊄ABC ∴面GF A ABC （2）线段上存在一点满足题意，且点是中点BC H H BC理由如下：由点分别为中点可得：,G H ,CE CBGH EB AD A A ∵面GH ⊄ACD ∴面GH A ACD 由（1）可知，面GF A ACD 且GF GH G ⋂=故面面GFH A ACD 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力． 19. 如图，在多面体中，矩形，矩形所在的平面均垂直于正方形所在ABCDEFG ADEF CDEG ABCD 的平面，且.2,3AB AF ==（1）求多面体的体积；ABCDEFG （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.BFG ADEF【答案】（1）10（2【解析】【分析】（1）利用补形法和体积差减去三棱锥的体积即可；B FHG -（2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面与平A ,,AB AD AF ,,x y z BFG 面的法向量，，求出，并结合立体图形判定二面角为锐角，从ADEF 21,1,3m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0,0n = ,m n 而进一步求出二面角余弦值即可.【小问1详解】平面，同理均与平面垂直，故可将多面体补成如图所示的,AF AD AF ⊥∴⊥ ABCD ,ED GC ABCD 长方体，此长方体体积为，三棱锥的体积为，故此ABCD FHGE -22312⨯⨯=B FHG -12323⨯⨯=多面体的体积为10；【小问2详解】以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则A ,,AB AD AF ,,x y z ，()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,3,2,2,3A B D F G ，设平面的法向量为，()()2,0,3,2,2,0BF FG ∴=-= BFG (),,m x y z =则，令得， 230220x z x y -+=⎧⎨+=⎩1x =21,1,3m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又为正方形，，故平面，ABCD AB AD ∴⊥AB ⊥ADEF 为平面的一个法向量，()1,0,0n∴= ADEF ，cos ,m n ==故平面与平面BFG ADEF 20. 已知在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过焦点的直xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>12(1,0)F 线与椭圆交于两点.l ,A B （1）求椭圆的标准方程；C （2）从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立：①；②直线的斜率满足：. 415=AB l k 214k =【答案】（1） 22143x y +=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的性质求解，（2）联立直线与椭圆方程公式，由弦长公式与韦达定理化简求解，【小问1详解】依题意，有：，则，121c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆的标准方程为：· 22143x y +=【小问2详解】选①作为已知：当直线斜率不存在时，与椭圆交点为，此时，不合题意， :1l x =3(1,2±41215=≠AB 当直线斜率存在时，设，联立，有：， :l y kx k =-22::143l y kx k x y C =-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222(43)84120k x k x k +-+-=，22222(8)4(43)(412)169(1)∆=--+-=⋅+k k k k 则， 22211243+=-==⋅+k AB x k 令，则有：， 154AB =22221511220151616443+=⋅⇒+=++k k k k 解得， 214k =选②作为已知：依题意，，则直线， 12k =±1:(1)2=±-l y x 联立，有， ()22112:143y x x y C ⎧=±-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩242110x x --=，2(2)44(11)180∆=--⨯⨯-=则， 2154AB x =-==即 415=AB 21. 如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，1111ABCD A B C D -ABCD 11A ADD ⊥ABCD ，.2AD =11AA A D =（1）求证：； 1A D AB ⊥（2）若直线与平面，求的长度. AB 11A DC 1AA 【答案】（1）证明见解析（2）12AA =【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； AB ⊥11AA D D （2）取的中点，连接，证明出平面，以点为坐标原点，、、AD O 1AO 1A O ⊥ABCD O AB AD 1OA 的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得x y z 1A O a =0a >出关于的方程，求出的值，即可求得棱的长.a a 1AA 【小问1详解】证明：因为四边形为正方形，则，ABCD AB AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， 11A ADD ⊥ABCD 11 A ADD ABCD AD =AB ⊂ABCD 平面，AB ∴⊥11AA D D 平面，所以，.1A D ⊂Q 11AA D D 1AB A D ⊥【小问2详解】解：取的中点，连接，AD O 1AO，为的中点，则，11AA A D = O AD 1A O AD ⊥因为平面平面，平面平面，平面， 11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ⋂ABCD AD =1AO ⊂11AA D D 所以，平面，1A O ⊥ABCD 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标O AB AD 1OA x y z 系，设，其中，1A O a =0a>则、、、、，()0,1,0A -()2,1,0B -()10,0,A a ()12,2,C a ()0,1,0D ，，，()2,0,0AB = ()112,2,0A C =u u u u r ()10,1,A D a =- 设平面的法向量为，则，取，则， 11A C D (),,m x y z = 1112200m A C x y m A D y az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ x a =(),,1m a a =-- 由题意可得cos ,AB m AB m AB m ⋅<>====⋅，解得，则.0a > a =12AA == 22. 已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切. P P A l 12x =-F A 221(1)4x y -+=（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；P C （Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、C x M N MN x l 1M ，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且1N l x A 1AMM ∆AMN ∆1ANN ∆1S 2S 3S 22134S S S =，证明：直线过定点.MN 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.24y x =【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，点到直线的距离与到的距离相等，由抛物线的定义可得解； P =1x -(1,0)F （Ⅱ）设、，用坐标表示、、，利用韦达定理，代入即得解. 111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭1S 2S 3S 【详解】（Ⅰ）设，半径为，则，，所以点到直线的距离(,)P x y P A R 12R x =+1||2PF R =+P =1x -与到的距离相等，故点的轨迹方程为.(1,0)F P C 24y x =（Ⅱ）设，，则、 ()11,M x y ()22,N x y 111,2M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭21,2N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线：（）代入中得MN x ty n =+0t ≠24y x =2440y ty n --=，124y y t +=1240y y n =-<∵、 1111122S x y =+⋅3221122S x y =+⋅∴ 131********S S x x y y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 12121122ty n ty n y y ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22121211422t y y n t y y n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2221144422nt t n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 221242t n n ⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又212111222S n y y n =+⋅-=+∴ ()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222131114842222S S S nt n t n n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴直线恒过 MN 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
2022-2023学年四川省成都市高二上册期末数学(理)质量检测试题(含解析)
2022-2023学年四川省成都市高二上册期末数学（理）质量检测试题一、单选题1．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②，那么完成上述2项调查应采用的抽样方法是A ．①用随机抽样法，②用系统抽样法B ．①用分层抽样法，②用随机抽样法C ．①用系统抽样法，②用分层抽样法D ．①用分层抽样法，②用系统抽样法【正确答案】B【分析】调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法．【详解】对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本所以选B本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样，属于基础题．2．下面命题正确的是（）A ．“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为真命题；B ．命题“若任意的1x <，则21x <”的否定是“存在1x ≥，则21x ≥”；C ．设,R x y ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件；D ．设,a b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件．【正确答案】D【分析】对于A ，写出其否命题，判断其真假即可；对于B ，写出其否定即可判断；对于C ，D ，根据充分条件和必要条件的概念判断即可.【详解】对于A ，“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为“若0ab =，则0a =”，否命题显然是假命题，故A 不正确；对于B ，命题“若任意的1x <，则21x <”的否定是“存在1x <，则21x ≥”，故B 不正确；对于C ，由2x ≥且2y ≥能够推出224x y +≥，由224x y +≥不能够推出2x ≥且2y ≥，所以“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ，由0a ≠不能够推出0ab ≠，由0ab ≠能够推出0a ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 正确.故选：D3．直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（）A ．3πB ．3π-或3πC ．3π或23πD ．6π或56π【正确答案】C【分析】根据垂径定理求出直线斜率，再求倾斜角得选项.【详解】因为2222|233|4()(),321k k k-+=+∴=±+，因此直线的倾斜角为3π或23π，故选：C本题考查垂径定理以及斜率与倾斜角关系，考查基本分析求解能力，属基础题.4．执行下面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =A ．1B ．32C ．53D ．52【正确答案】C【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件3K >，跳出循环，计算输出S 的值．【详解】由程序框图知：输入3N =时，1K =，0S =，T 1=，第一次循环1T =，1S =，2K =；第二次循环12T =，13122S =+=，3K =；第三次循环16T =，1151263S =++=，4K =；满足条件3K >，跳出循环，输出53S =，故选C ．本题主要考查了循环结构的程序框图，当循环的次数较少时，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法，当循环次数较多时，寻找其规律，注意循环的终止条件是解题的关键，属于基础题．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x=±【正确答案】A【分析】依题意2c a=，再根据222c a b =+，即可得到223b a =，从而求出渐近线方程；【详解】解：因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，即2c e a ==，又222c a b =+，所以2222222214c a b b e a a a +===+=，所以223b a =，所以b a =C 的渐近线方程为y =；故选：A6．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A ．至少有一个白球与都是红球B ．恰好有一个白球与都是红球C ．至少有一个白球与都是白球D ．至少有一个白球与至少一个红球【正确答案】B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A ，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A 错误；对于B ，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B 正确；对于C ，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C 错误；对于D ，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D 错误.故选：B.7．已知点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是（）A ．1[2,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，B ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】根据不等式组作出可行域，根据1yz x =+的几何意义:可行域内的点(,)x y 与(1,0)-连线的斜率求解即可.【详解】由约束条件212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩作出可行域如图:1yz x =+的几何意义是可行域内的点(,)x y 与(1,0)-连线的斜率，由可行域可知，当取点(0,2)B 时，连线斜率最大，所以z 的最大值为20201z -==+，当取点(1,1)A 时，连线斜率最小，所以z 的最小值为101112z -==+，则1y z x =+的取值范围是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选:C.本题主要考查了简单线性规划问题中的目标函数范围问题，属于中档题，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.8．变量x 与y 的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.8y x =-，则缺少的数值为（）x2223242526y2324▲2628A ．24B ．25C ．25.5D ．26【正确答案】A【分析】可设出缺少的数值，利用表中的数据，分别表示出x 、y ，将样本中心点()x y 带入回归方程，即可求得参数.【详解】设缺少的数值为a ，则2223242526245x ++++==，2324262810155a ay +++++==，因为回归直线方程经过样本点的中心，所以101 1.224 3.85a+=⨯-，解得24a =.故选：A ．9．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，AB l ⊥于B ，若π3FAB ∠=，则AF =（）A ．4B ．12CD ．【正确答案】B【分析】结合抛物线定义，ABF △为正三角形，即可解决.【详解】由题知抛物线C ：212y x =，开口向右，6P =，记准线l 与x 轴交于点D ，因为AB l ⊥，根据抛物线定义有：AF AB =，因为π3FAB ∠=，所以ABF △为正三角形，所以ππ,33AFB AFx ∠=∠=，所以π3BFD ∠=因为焦点到准线的距离为6P =，所以12BF =，所以12AB AF ==，故选：B10．设集合{}|2,0A x a x a a =--<，命题p ：1A ∈，命题q ：2A ∈，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则a 的取值范围是（）A ．01a <<或2a >B ．01a <<或2a ≥C ．12a <≤D ．12a ≤≤【正确答案】C【详解】试题分析：p q ∨ 为真命题，p q ∧为假命题∴当p 真q 假时有21{122a a a a --⇒≤≤＜＜＜，当p 假q 真时有，故1{22a a a a ≤⇒∈∅--＜＜综上：12a ≤＜故答案为12]（，．复合命题的真假性判断和应用11．已知O 为坐标原点，双曲线C ：()222104x y b b-=>的右焦点为F ，以OF 为直径的圆与C 的两条渐近线分别交于与原点不重合的点A ，B ，若OA OB +=，则ABF △的周长为（）A ．6B ．C ．4+D ．4+【正确答案】B【分析】结合双曲线图像对称性，可得AB x ⊥轴，根据圆的性质和双曲线a ，b ，c 的关系可计算出||AF ，|BF |，||AB 的长度，进而求出ABF △的周长.【详解】设AB 与x 轴交于点D ，由双曲线的对称性可知AB x ⊥轴，||||OA OB =，2AB AD =，又因为OA OB +=，所以OA =，即2AD OA =，所以60AOF ∠=︒，因为点A 在以OF 为直径的圆上，所以OA AF ⊥，OA 所在的渐近线方程为by x a=，点(c,0)F 到渐进线by x a=距离为bc a AF b ==，所以2OA a ==，所以tan 60AF BF OA ==︒=sin 60AD BD OA ==︒，所以ABF △的周长为AF BF AD BD +++=故选：B12．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，且满足AP BP <，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈ ，29λμ=，则该椭圆的离心率为A ．35B ．1213C ．35或1213D ．45【正确答案】A【详解】分析：根据向量共线定理及29λμ=，AP BP < ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得a ，b ，c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈∴1λμ+=又∵29λμ=∴1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵AP BP < ∴2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）∴2(,)b P c a ，2(,b B c a-∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点∴直线1l 的方程为为1x ya b+=-∴()(,)a c bA c a+∵2133OP OA OB =+ ∴222()1()33b a c b b a a a+=⋅+⋅-，即2b a c =+.∴22224()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=.∴25230e e +-=∵(0,1)e ∈∴35e =故选A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．二、填空题13．抛物线28y x =的焦点到准线的距离是______.【正确答案】116【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离【详解】抛物线28y x =化为标准方程为抛物线218x y =，则其焦准距为116=p ，即焦点到准线的距离是116.故11614．执行下面的程序后输出的第3个数是______．【正确答案】2【分析】运行程序，执行循环语句，即可求解.【详解】由题意，运行程序：第一次输出的数是1，第二次输出的数是13122x =+=，第三次输出的数是31222x =+=，故2.15．在定圆上随机取三点A 、B 、C ，则ABC 是锐角三角形的概率等于______．【正确答案】14##0.25【分析】根据题意，设,,A B C ∠∠∠对应的弧度数分别为,,πx y x y --，得到试验的全部结果构成事件：}{(,)0π,0π,0πB x y x y x y =<<<<<+<，再根据记“ABC 是锐角三角形”为事件A ，πππ(,)0,0,π222A x y x y x y ⎧⎫=<<<<<+<⎨⎬⎭⎩，作图，可得其概率的值.【详解】设,,A B C ∠∠∠对应的弧度数分别为,,πx y x y --，则试验的全部结果构成事件：}{(,)0π,0π,0πB x y x y x y =<<<<<+<，记“ABC 是锐角三角形”为事件A ，则πππ(,)0,0,π222A x y x y x y ⎧⎫=<<<<<+<⎨⎬⎭⎩，如下图阴影部分，结合图像，ABC 是锐角三角形的概率为1()4P A =.故1416．已知直线y kx =与椭圆C ：222212x y b b +=交于A ，B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法中正确的命题有______．①椭圆C 的离心率为：2；②12AE k k =；③12AE BE k k ⋅=-；④以AE 为直径的圆过点B ．【正确答案】②③④【分析】根据椭圆C 的方程得到：222a b =，22c b =，即可求得椭圆的离心率；由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称，设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0D x -，结合斜率公式可以判断②；设(),E m n ，联立直线()0:2k AE y x x =+和椭圆222212x y C b b+=:，得到：()222222002240k x k x x k x b +++-=，根据根与系数的关系和E 在直线AE 上得到1BE k k=-，即可判断③和④.【详解】由题意得：222a b =，则2222c a b b =-=，所以椭圆的离心率2c e a =，所以①错误；又由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称，设()00,A x y ，则()00,B x y --，()0,0D x -，由斜率公式得：002AD y k x =，000022AB y y k k x x ===，由题知0k ≠则12AD k k =，所以②正确；由上得直线AE 的方程为()02k y x x =+，设(),E m n ，则()02k n m x =+，则()000000022BE k m x y n y y k k m x m x m x +++===++++，联立直线AE 和椭圆C 得：()222222002240k x k x x k x b +++-=，因为直线AE 经过点D ，点D 在椭圆C 内，则0∆>，所以200222k x x m k -+=+，将其代入002BE y k k m x =++，又00k y x =，所以220202212222BE k k k k k y k x k k ⎛⎫++=+⨯-=-=- ⎪⎝⎭，则1BE AB k k ⋅=-，即BE AB ⊥，所以以AE 为直径的圆过点B ，所以④正确；又1122AE BE k k k k ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以③正确；故②③④.三、解答题17．已知圆C 上有两个点A ()2,3，B ()4,9，且AB 为直径．(1)求圆C 的方程；(2)已知P ()0,5，求过点P 且与圆C 相切的直线方程．【正确答案】(1)()()223610x y -+-=(2)35y x =-+【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心C 坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；（2）先判断点P 在圆C 上，再求得直线PC 的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.【详解】（1）因为圆C 的直径为AB ，故其圆心为C ()3,6，其半径为12AB ，故圆C 的方程为：()()223610x y -+-=．（2）因为()()22035610-+-=，故P 在圆C 上，连接PC ，而直线PC 的斜率：561033PC k -==-，故圆C 在P 处的切线的斜率为3k =-，故所求切线的方程为：35y x =-+．18．某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.【正确答案】（1）0.006；（2）76；（3）310.【分析】(1)由频率分布直方图的各小矩形的面积和为1可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a +⨯+++⨯=，解之可得答案；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m ，列出方程()()0.004 0.006 0.023210 700.0280.5m ++⨯+-⨯=，解之可得答案；(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数和评分在[50，60)内的人数，再运用列举法可求得概率.【详解】(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a +⨯+++⨯=，解得a =0.006；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m ，故可得()()0.004 0.006 0.023210 700.0280.5m ++⨯+-⨯=，解得m =76，所以这50名问卷评分数据的中位数为76.(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数为0.004 50100.00610505⨯⨯+⨯⨯=(人)，评分在[50，60)内的人数为0.00650103⨯⨯=(人)，设分数在[40，50)内的2人为12,a a ，分数在[50，60)内的3人为123,,b b b ，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况，其中分数在在[50，60)内的2人有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，有3种情况，所以概率为P =310.本题考查频率直方图的识别和计算，以及运用列举法求古典概率的问题，属于中档题.19．已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为3y x =．(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于A ，B 两点，求||AB ．【正确答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）焦点在x 轴上，设方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>根据题意求出,a b 即可（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可【详解】（1）因为焦点在x 轴上，设双曲线C 的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意得24c =，所以2c =，①又双曲线C的一条渐近线为3y x =，所以b a =，②又222+=a b c ，③联立上述式子解得a =1b =，故所求方程为2213x y -=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立2211213y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得213604x x +-=，由2134((6)1504∆=-⨯⨯-=>，所以1212x x +=-，1224x x =-，即AB ===20．某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：单价/元1819202122销量/册6156504845由数据知，销量y 与单价x 之间呈线性相关关系．(1)求y 关于x 的回归直线方程；附：()()()121ni i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-$$．(2)预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？【正确答案】(1) 4132y x =-+(2)21.5元【分析】（1）根据表中数据求得x 和y ，再求得b和 a ，即可得到y 关于x 的回归直线方程；（2）由题意得获得的利润241721320z x x =-+-，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）由表格数据得1819202122205x ++++==，6156504845525y ++++==．则()()5140i i i x x y y =--=-∑，()52110i i x x=-=∑，则40410b -==- ， ()52420132a y bx =-=--⨯= ，则y 关于的回归直线方程为 4132y x =-+.（2）获得的利润()()210413241721320z x x x x =--+=-+-，对应抛物线开口向下，则当()17221.524x =-=⨯-时，z 取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P 到一个焦点的距离的最小值为1)-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【正确答案】（1）221189x y +=；（2）过定点(0,3)，理由见解析.【分析】（1）利用2c a =，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3a c -=，求解a ，c ，得到b ，即可求出椭圆方程；（2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为22(1)16x y ++=．当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=，求出两个圆的交点坐标，即可得到猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ．对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221218y kx x y =-⎧⎨+=⎩利用韦达定理，通过数量积证明TA TB ⊥．即可得到结论．【详解】（1）由题意2c a =，故a ，又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=-，解得3c =，a =，所以2229b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=；(2)当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=．当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=，联立2222(1)169x y x y ⎧++=⎨+=⎩解得0x =，3y =，即两圆过点(0,3)T ．猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ．对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221218y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=，所以121222416,1212k x x x x k k +==-++．因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y =--=+-++ 121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k -+-+=-+=+=+++，所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查定值定点问题，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S.（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标.【正确答案】（1）2，=1x -；（2）1()2,0G .【分析】(1)由焦点坐标确定p 的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得12S S 的最小值和点G 的坐标.【详解】(1)由题意可得12p =，则2,24p p ==，抛物线方程为24y x =，准线方程为=1x -.(2)设()()1122,,,A x y B x y ，设直线AB 的方程为()1,0y k x k =->，与抛物线方程24y x =联立可得：()2222240k x k x k -++=，故：1212242,1x x x x k+=+=，()12121242,4y y k x x y y k +=+-==-⨯=-，设点C 的坐标为()33,C x y ，由重心坐标公式可得：1233G x x x x ++=321423x k ⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，1233G y y y y ++=3143y k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令0G y =可得：34y k =-，则233244y x k ==.即222144123382G k x k k ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎝=⎭=，由斜率公式可得：131322311313444AC y y y y k y y x x y y --===-+-，直线AC 的方程为：()33134y y x x y y -=-+，令0y =可得：()()231331331334444Q y y y y y y y y y x x -+-+=+=+=-，故()11112218121323118223G F y S x x y y k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⨯=⨯- ⎪=⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝=⨯⎭⎣⎦，且()()32213311822423Q G y y y S x x y k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯-⨯-=---⎢⎥⎣⎦，由于34y k=-，代入上式可得：12222833y S k k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由12124,4y y y y k+==-可得1144y y k -=，则12144y k y =-，则()()()2211122121112281233222284433y y S y S y y k k k y k -==⎛⎫-+--⎛⎫⨯- ⎭ ⎪⎝⎭⎪⎝()212142488168y y =--++-21≥=当且仅当21214888y y-=-，即218y =+1y =.此时12144y k y ==-281223G x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，则点G 的坐标为()2,0G .直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
四川省成都市2019-2020学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题及答案
成都市2019~2020学年度上期期末高二年级调研考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分：第Ⅰ卷（选择题）1至3页，第Ⅱ卷（非选择）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某同学在7天内每天阅读课外书籍的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图所示，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数。
则该同学这7天每天阅读课外书籍的时间（单位：分钟）的中位数为（ ） A.72 B.74 C.75 D.762.命题“x ∀∈R ，220x x ++>”的否定是（ ）A. 0x ∃∈R ，20020x x ++B. 0x ∃∈R ，20020x x ++<C. 0x ∃∈R ，20020x x ++>D. x ∀∈R ，220x x ++≤3.双曲线2219y x −=的渐近线方程为（ ） A. 19y x =± B. 13y x =± C. 3y x =± D. 9y x =±4.在空间直角坐标系Oxyz 中，y 轴上一点M 到点P （1，0，2）和点Q （1，-3，1）的距离相等，则点M 的坐标为(A.（0，-2，0）B.（0，-1，0）C.（0，1，0）D.（0，2，0）5.圆22(3)(4)16x y +++=与圆224x y +=的位置关系为（ ） A.相离 B.内切 C.外切 D.相交6.如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图.已知该样本容量为300，根据此样本的频率分布直方图，估计样本数据落在[10，18）内的频数为（ ）A.36B.48C.120D.1447.若m 为实数，则“12m <<”是“曲线C ：2212x y m m +=−表示双曲线”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件8.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为（ ） A.14 B. 13 C. 23 D. 349.某校学生会为了解高二年级600名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名学生最多参加7场）.随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：则以下四个结论中正确的是（ ） A.表中m 的数值为10B.估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为108人C.估计该年级参加中华传统文化活动场数不低于4场的学生约为216人D.若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二600名学生中抽取容量为30的样本，则分段间隔为1510.设点A （4，5），抛物线28x y =的焦点为F ，P 为抛物线上与直线AF 不共线的一点，则△PAF 周长的最小值为（ ）A.18B.13C.12D.711.某中学在每年的春节后都会组织高一学生参加植树活动.为保证树苗的质量，在植树前都会对树苗进行检测.现从某种树苗中随机抽测了10株树苗，测量出的高度i x （i=1，2，3，…，10）（单位：厘米）分别为37，21，31，20，29，19，32，23，25，33.计算出抽测的这10株树苗高度的平均值27x =，将这10株树苗的高度i x 依次输入程序框图进行运算，则输出的S 的值为（ ）A.25B.27C.35D.3712.设椭圆C ：222149x y b +=（0<b<7）的左，右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点若212MF F F =，且174||MF MN =，则椭圆C 的短轴长为（ ）A.5B.C.10D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.一支田径队共有运动员112人，其中有男运动员64人，女运动员48人.采用分层抽样的方法从这支田径队中抽出一个容量为28的样本，则抽出的样本中女运动员的人数为________.14.同时投掷两枚质地均匀的骰子，则这两枚骰子向上点数之和为5的概率是________.15.某射击运动员在一次训练中连续射击了两次。
四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学(理)试题
四川省成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线28y x =的准线方程是（ ）A ．2x =-B ．4x =-C ．2y =-D ．4y =-2．从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是A ．中位数为62B ．中位数为65C ．众数为62D ．众数为643．命题“0200,2x x R x ∃∈≤”的否定是 A ．不存在0200,2x x R x ∈>B ．0200,2x x R x ∃∈>C ．2(100)(80)7644x x x --+=D ．2,2x x R x ∀∈>4．容量为100的样本，其数据分布在[2]18,，将样本数据分为4组：[2,6),[6,10),[10,14),[14,18]，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．样本数据分布在[6,10)的频率为0.32B ．样本数据分布在[10,14)的频数为40C ．样本数据分布在[2,10)的频数为40D ．估计总体数据大约有10%分布在[10,14)5．“46k <<”是“22164x y k k +=--为椭圆方程”是( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数2()log (3)f x x =+，若在[2,5]-上随机取一个实数0x ，则0()1f x ≥的概率为（ ） A ．37B ．47C ．57D ．677．在平面内，已知两定点,A B 间的距离为2，动点P 满足||||4PA PB +=.若060APB ∠=，则APB ∆的面积为A ．2B C ．D ．8．在2021年3月15日，某物价部门对本市5家商场某商品一天的销售额及其价格进行调查，5家商场的价格x 与销售额y 之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售额y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是3.2ˆˆy x a =-+，则ˆa =（ ）A ．24-B ．35.6C ．40D ．40.59．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为E ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于不同的两点,A B ，若ABE ∆为锐角三角形，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,3]D ．[2,3)10．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a 的取值范围是( )A ．56a ≤≤B ．56a <<C ．56a <≤D ．56a ≤<11．已知椭圆22:11612x y C +=的右焦点为F ，点(),P x y 在椭圆C 上.若点Q 满足1QF =且0QP QF ⋅=，则PQ 的最小值为( )A ．3B ．125CD ．112．设抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过点()2,0M 的直线与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，与抛物线C 的准线相交于N 点，且3BF =，记ANF 与BNF 的面积分别为1S ，2S ，则12S S =( ) A ．710B ．45C ．47D ．23二、填空题13．若直线()0y kx k =>为双曲线221x y -=的一条渐近线，则k =____________. 14．我校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 . 15．如图所示的程序框图的算法思路源于宋元时期数学名著《算法启蒙》中的“松竹并生”问题.若输入的a ，b 的值分别为7，3，则输出的n 的值为____________.16．若经过坐标原点O 的直线l 与圆22430x y y +-+=相交于不同的两点A ，B ，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为____________.三、解答题17．甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球. (1)从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率； (2)从甲，乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率.18．已知命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根，则－3＜m ＜－1；命题q ：若关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，则t ＜－2. (1)写出命题p 的否命题r ，并判断命题r 的真假； (2)判断命题“p 且q”的真假，并说明理由． 19．阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：(Ⅰ)求输入的x 的值分别为1-，2时，输出的()f x 的值．(Ⅱ)根据程序框图，写出函数()()f x x R ∈的解析式，并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围．20．已知以坐标原点O 为圆心的圆与抛物线C ：22(0)y px p =>相交于不同的两点,A B ，与抛物线C 的准线相交于不同的两点,D E ，且4AB DE ==.（1）求抛物线C 的方程；（2）若不经过坐标原点O 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点,M N ，且满足OM ON ⊥.证明直线l 过x 轴上一定点Q ，并求出点Q 的坐标.21．一网站营销部为统计某市网友2021年12月12日在某网店的网购情况，随机抽查了该市60名网友在该网店的网购金额情况，如下表：若将当日网购金额不小于2千元的网友称为“网购达人”，网购金额小于2千元的网友称为“网购探者”.已知“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3.（1）确定,,,x y p q 的值，并补全频率分布直方图；（2）试根据频率分布直方图估算这60名网友当日在该网店网购金额的平均数和中位数；若平均数和中位数至少有一个不低于2千元，则该网店当日被评为“皇冠店”，试判断该网店当日能否被评为“皇冠店”.22．已知动点M 到定点()F 的距离和它到直线:3m x =-M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线11:l y kx t =+与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，直线()2212:l y kx t t t =+≠与曲线C 相交于不同的两点D ，E ，且AB DE =，求以A ，B ，D ，E 为顶点的凸四边形的面积S 的最大值.参考答案1．A【解析】抛物线28y x =,满足22y px =，所以4p =，则22p=. 所以准线方程是22px =-=-. 故选A. 2．C 【解析】∵由茎叶图得到所有数据从小到大排为53,55,62,62,64,65,71,72,73 ∴中位数为64，众数为62 故选C 3．D 【解析】 命题0200,2x x R x ∃∈≤的否定是2,2x x R x ∀∈>故选D 4．D 【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果． 【详解】对于A ，由图可得样本数据分布在[)6,10的频率为0.0840.32⨯=，所以A 正确． 对于B ，由图可得样本数据分布在[)10,14的频数为()1000.1440⨯⨯=，所以B 正确． 对于C ，由图可得样本数据分布在[)2,10的频数为()1000.020.08440⨯+⨯=，所以C 正确.对于D ，由图可估计总体数据分布在[)10,14的比例为0.140.440%⨯==，故D 不正确． 故选D ． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．5．B 【解析】若22164x y k k +=--表示椭圆，则60,40k k ->->，且64k k -≠- ∴45k <<或者56k故46k <<是22164x y k k +=--为椭圆方程的必要不充分条件故选B 6．D 【解析】令()1f x ≥得32x +≥，即1x ≥-，由几何概型性质可知概率()()516527P --==-- 故选D 7．B 【解析】在平面内，已知两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足4PA PB +=， 所以动点P 在以A,B 为焦点的椭圆上，其中24,22,2,1a c a c ==∴== 由余弦定理可得：22222()3AB PA PB PAPB cos APB PA PB PAPB =+-∠=+-，整理得:4163PA PB =-，解得：4PAPB =.则APB 的面积为11422PAPBsin APB ∠=⨯=故选B. 8．C 【解析】 由题可知89.51010.512105x ++++==121086485y ++++==∵ 3.2ˆy x a=-+ ∴ 3.2 3.2ˆ10840ax y =+=⨯+= 故选C点睛：本题看出回归分析的应用，本题解题的关键是求出样本中心点，根据样本中心点代入求出ˆa的值，本题是一个基础题；求回归直线方程的一般步骤：①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；②求回归系数；③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明. 9．A 【解析】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右顶点为E ，左焦点为F ，EF a c =+，过点F 作垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,A B 两点，则212b AB a= ∵若EAB ∆为锐角三角形，只要FEA ∠为锐角，即12AB EF < ∴2b a c a<+，即222c a a ac -<+即220e e --< ∴()1,2e ∈ 故选A点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 10．D 【解析】 执行程序：0,1,01,2,2S i S i a ===+=≤； 3,3,3S i a ==≤； 6,44S i a ==≤，；10,5,5S i a ==≤； 15,6,6S i a ==>，共执行了5次循环体，结束循环，所以56a ≤<. 故选D. 11．C 【解析】根据题意得：()2,0F ,由0QP QF ⋅=，得QP QF ⊥，所以PQ PF ==又因为422PF ≥-=.所以4PQ ≥-=故选C. 12．A 【解析】抛物线22y x =的焦点为F (12,0),准线方程为x =−12, 分别过A . B 作准线的垂线，垂足分别为D .E ，连结AD 、BE 、AF .genju设()()1122,,A x y B x y 、、,直线AB 的方程为()2y k x =-,与22y x =联立消去y ，得()22224240k x k x k -++=,所以212122424k x x x x k++==，，∵|BF |=2,∴根据抛物线的定义,得|BF |=|BE |=2x +12=3,解得2x =52. 由此可得12485x x ==,所以|AD |=1x +12=2110， ∵△CAD 中,BE ∥AD ,∴1221710310S AN AD S BN BE ====.故选A.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若()00,P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出,本题212y y p =-就是由韦达定理得到；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 13．1 【解析】∵双曲线221x y -= ∴1,1a b == ∴渐近线方程为by x x a=±=± ∵直线(0)y kx k =>为双曲线221x y -=的一条渐近线∴1k = 故答案为1 14．150 【解析】试题分析：该校教师人数为2400×160150160-＝150(人)．考点：分层抽样方法. 15．3 【解析】输入7,3,1a b n ===进入循环，21,2622a a ab b =+===，不满足a b ≤ 执行循环，6312,,21224a n n a ab b =+==+===，不满足a b ≤ 执行循环，18913,,22428a n n a ab b =+==+===，满足a b ≤，输出3n = 故答案为316．()2231122x y y ⎛⎫+-=<≤⎪⎝⎭【解析】设当直线l 的方程为()()1122,,y kx A x y B x y =、、， 与圆联立方程组,消去y 可得：()221430k xkx +-+=，由()22164130k k=-+⨯>,可得23k>.由韦达定理,可得12241kx x k +=+， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为2222121k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,其中23k >， ∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：()2211x y +-=,其中322y <≤. 故答案为()22311(2)2x y y +-=<≤. 点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．（4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．17．(1) 从甲袋中任取两球，取出的两球颜色不相同的概率为12;(2) 从甲，乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同的概率为512. 【解析】试题分析：（1）先求出取出两球的种数，再根据分类和分步计数原理求出一只黑球一只红球的种数，根据概率公式计算即可；（2）分为同是黑色，红色，根据分类和分步计数原理即可求出取得两球颜色相同的种数，根据概率公式计算即可．试题解析：（1）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b .从甲袋中任取两球，所有可能的结果有{}{}{}{}{}{}123121323,,,,,,,,,,,a b a b a b b b b b b b 共6种.其中两球颜色不相同的结果有{}{}{}123,,,,,a b a b a b 共3种.记“从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同”为事件A ，则()3162P A == ∴从甲袋中任取两球，取出的两球的颜色不相同的概率为12. （2）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为123,,,a b b b ，将乙袋中的2只黑球，1只红球分别记为121,,A A B 从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有{}{}{}{}{}{}121111211,,,,,;,,,,,;a A a A a B b A b A b B{}{}{}212221,,,,,;b A b A b B {}{}{}313231,,,,,b A b A b B 共12种.其中两球颜色相同的结果有{}{}{}{}{}12112131,,,,,,,,,a A a A b B b B b B 共5种 记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同”为事件B ，则()512P B = ∴从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球的颜色相同的概率为512. 18．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）若命题p 为真命题，解得实数m 的取值范围，对其求补集.（2）命题“p 且q”为真，需要p ，q 都是真命题，当p ，q 一真一假或都假时，则“p 且q”为假．【详解】(1)命题p 的否命题r ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，则m≤－3或m≥－1.∵关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0有实数根，∴Δ≥0.∵Δ＝(2m)2－4×(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12≥0，化简，得m 2＋4m ＋3≥0. 解得m≤－3或m≥－1. ∴命题r 为真命题．(2)对于命题p ：若关于x 的方程x 2＋2mx －4m －3＝0无实数根， 则Δ＝(2m)2－4×(－4m －3)＝4m 2＋16m ＋12＜0. 化简，得m 2＋4m ＋3＜0.解得－3＜m ＜－1. ∴命题p 为真命题．对于命题q ：关于x 的方程x 2＋tx ＋1＝0有两个不相等的正实数根，有240t t ⎧->⎨->⎩，解得t＜－2.∴命题q 为真命题． ∴命题“p 且q”为真命题． 【点睛】本题考查四种命题关系及复合命题真假的判断，属于基础题. 19．（1）见解析（2）(0,1). 【解析】试题分析：（1）根据框图中条件语句，判断变量执行哪个函数，计算求解即可；（2）由框图可知()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩，分析分段函数的单调性，进而可得解. 试题解析：(1)当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==. 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+=.(2)根据程序框图，可得()22,02,021,0x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩， 当0x <时，()2xf x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥.结合图象，知当关于x 的方程()0f x k -=有三个不同的实数解时，实数k 的取值范围为()0,1.20．（1）24y x =；（5.2) 直线l 过定点()4,0Q .【解析】试题分析：（1）由AB DE =，得,A B 两点所在的直线方程为2px =，进而根据长度求得p ；（2）设直线l 的方程为()0x my n n =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，与抛物线联立得2440y my n --=，由OM ON ⊥得12120x x y y +=，进而利用韦达定理求解即可.试题解析：（1）由已知，4AB DE ==，则,A B 两点所在的直线方程为2p x = 则24AB p ==，故2p = ∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意，直线l 不与y 轴垂直，设直线l 的方程为()0x my n n =+≠，()()1122,,,M x y N x y .联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y my n --=.∴216160m n ∆=+>，124y y m +=，124y y n =-，∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=又2211224,4y x y x ==，∴22121216y y x x =∴222121212124016y y x x y y y y n n +=+=-=解得0n =或4n =而0n ≠，∴4n =（此时216160m n ∆=+>） ∴直线l 的方程为4x my =+， 故直线l 过x 轴上一定点()4,0Q .点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21．(1)见解析（2）见解析 【解析】试题分析：(1)由频数之和为60，“网购达人”与“网购探者”人数的比例为2：3，列出关于,x y 的方程组，由此能求出,,,x y p q 的值，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图分别计算平均数和中位数，再与题设条件做比较，即可判断.试题解析：(1)由题意，得3915186018239153x y y x +++++=⎧⎪+⎨=⎪+++⎩化简，得1523x y x y+=⎧⎨=⎩，解得9,6x y == ∴0.15,0.1p q ==补全的频率分布直方图如图所示：（2）设这60名网友的网购金额的平均数为x ，则0.250.050.750.15 1.250.15 1.750.25 2.250.3 2.750.1 1.7x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）又∵0.050.150.150.35++=，0.150.30.5=， ∴这60名网友的网购金额的中位数为1.5+0.3=1.8（千元） ∵平均数1.72<，中位数1.82<，∴根据估算判断，该网店当日不能被评为“皇冠店”.22．（1）曲线C 的方程为2214x y +=；（2）四边形ABDE 的面积S 的最大值为4. 【解析】试题分析：（1）设(),M x y ，根据题意，动点M的轨迹为集合{|MF P M d==，=，化简求解即可；（2）联立122440y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩消去y ，得()22211148440k x kt x t +++-=，利用两点距离公式及韦达定理求得AB=，同理可得DE =，由AB DE =得120t t +=，设两平行线,AB DE 间的距离为r =S AB r =⋅代入求解即可.试题解析：（1）设(),M x y ，动点到直线m：3x =-的距离为d ， 根据题意，动点M的轨迹为集合{|MF P M d==2=化简，得2214x y +=∴曲线C 的方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y 联立122440y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩消去y ，得()22211148440kxkt x t +++-=.∴()221112221122164108144414k t kt x x k t x x k ⎧∆=-+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=-⎪+⎩， ∴AB ==同理可得DE =∵AB DE =，∴2212t t =又12t t ≠，∴120t t +=由题意，以,,,A B D E 为顶点的凸四边形为平行四边形 设两平行线,AB DE 间的距离为r ，则 ∵120t t +=，∴r =则S AB r =⋅==∵()2221124128414kt t S k -+=≤=+（当且仅当221142k t +=时取等号，此时满足21160t ∆=>），∴四边形ABDE 的面积S 的最大值为4.。
2023-2024学年四川省成都市高二上学期期末调研考试数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二上学期期末调研考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2214y x -=的渐近线方程为（）A.12y x =±B.14y x =±C.2y x=± D.4y x=±【正确答案】C【分析】根据给定双曲线方程直接求出其渐近线方程即可.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为.2y x=±故选：C2.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(4,1,9)P 到点(2,4,3)Q 的距离为（）A.5B.6C.7D.8【正确答案】C【分析】根据空间两点的距离坐标公式即可.【详解】根据空间两点的距离坐标公式可得.7PQ ==故选：C3.在一次游戏中，获奖者可以获得5件不同的奖品，这些奖品要从编号为1-50号的50种不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法为获奖者抽取奖品编号，则5件奖品的编号可以是（）A.3，13，23，33，43B.11，21，31，41，50C.3，6，12，24，48D.3，19，21，27，50【正确答案】A【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.【详解】依题意，组距为50105=，所以A 选项符合，BCD 选项不符合.故选：A4.命题“0m ∀∈≤N ”的否定是（）A.00m ∃∉≥NB.00m ∃∈>NC.00m ∃∈≤ND.0m ∀∈>N 【正确答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题0m ∀∈≤N 是全程量词命题，所以其否定是存在量词命题，即00m ∃∈>N ，故选：B5.若,,a b c ∈R ，则“a b >”是“a c b c +>+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充要条件的定义即可判断.【详解】根据不等式的性质可得a b a c b c >⇔+>+，∴“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件.故选：C6.已知直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0），则下列说法中错误的是（）A.当0B =时，直线l 总与x 轴相交B.当0C =时，直线l 经过坐标原点OC.当0A C ==时，直线l 是x 轴所在直线D.当0AB ≠时，直线l 不可能与两坐标轴同时相交【正确答案】D【分析】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，直线:0l Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）.A 选项，当0B =时，0A ≠，直线方程可化为C x A=-，此时直线l 总与x 轴有交点，A 选项正确.B 选项，当0C =时，直线方程为0Ax By +=，此时直线l 经过原点O ，B 选项正确.C 选项，当0A C ==时，0B ≠，直线方程可化为0y =，此时直线l 是x 轴所在直线，C 选项正确.D 选项，当0AB ≠时，如10x y -+=，直线l 过点()()1,0,0,1-，即直线l 与两坐标轴同时相交，D 选项错误.故选：D.7.执行如图所示的程序语句，若输入5x =，则输出y 的值为（）INPUTx IF x<0THEN y=-x+1ELSE y=-x^2+3END IF PRINTy ENDA.4B.7C.22-D.28-【正确答案】C【分析】分析程序框图的运行过程知，本题的功能为计算并输出分段函数21,03,0x x y x x -+<⎧=⎨-+≥⎩的值，因为输入5x =，所以执行的是23y x =-+，进而可得解.【详解】由算法语句知，该程序的功能是计算并输出分段函数21,03,0x x y x x -+<⎧=⎨-+≥⎩的值，当5x =时，满足0x ≥，∴执行23y x =-+，∴输出的y 值为22-．故选：C8.已知F 是抛物线24y x =的焦点，M 是抛物线上一点，且满足120OFM ∠=︒（O 为坐标原点），则FM 的值为（）A.4B.3C. D.2【正确答案】A【分析】设FM t =，求得M 点坐标并代入抛物线方程，从而求得t ，也即求得FM .【详解】依题意，()1,0F ，设FM t =，由于120OFM ∠=︒，不妨设M 在第一象限，则()1cos60,sin 60M t t +︒︒，即11,22M t ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，将M 点坐标代入24y x =得2314142t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()()238160,4340t t t t --=-+=，由于0t >，所以4t =，即4FM =.故选：A9.已知圆221:(2)(1)9O x y -+-=和直线:10l x y -+=.若圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆2O 的方程为（）A.22(3)9x y -+=B.22(3)9x y +-=C.22(2)(3)9x y -+-=D.22(3)(2)9x y -+-=【正确答案】B【分析】求出圆1O 的圆心关于直线l 的对称点，即为圆2O 的圆心坐标，进而可得圆2O 的方程．【详解】圆2O 与圆1O 关于直线l 对称，则圆心()12,1O 与圆()2,O a b 关于:10l x y -+=对称可得211022112a bb a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，化简得3030a b a b -+=⎧⎨+-=⎩，解得0,3a b ==又两圆半径相等，故圆2O 的方程为22(3)9x y +-=故选：B10.已知13,22m ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，命题2:2320p m m --≤，命题22:1623x y q m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆.则下列命题中为真命题的是（）A.p q ∧B.p q∨ C.p q⌝∨ D.p q⌝∧【正确答案】B【分析】首先判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真假性判断即可.【详解】解：由22320m m --≤，即()()2120m m +-≤，解得122m -≤≤，因为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以命题p 为真命题，则p ⌝为假命题，若方程221623x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则60230623m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得332m <<，又13,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p q ⌝∨为假命题，p q ⌝∧为假命题.故选：B11.在平面直角坐标系xOy 内，对任意两点()11,A x y ，()22,B x y ，定义A ，B 之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-，记到点O 的曼哈顿距离小于或等于1的所有点(,)x y 形成的平面区域为Ω.现向221x y +=的圆内随机扔入N 粒豆子，每粒豆子落在圆内任何一点是等可能的，若落在Ω内的豆子为M 粒，则下面各式的值最接近圆周率的是（）A.N MB.2N MC.3N MD.4N M【正确答案】B【分析】设(),P x y ，根据1OP ≤得1x y +≤，作出平面区域Ω，根据几何概型计算求解即可.【详解】设(),P x y ，则|1|P y O x =+≤，当0,0x y ≤≥时，1x y +≤；当0,0x y ≥<时，1x y -≤；当0,0x y <≥时，1x y -+≤；当0,0x y <<时，1x y --≤.则平面区域Ω为下图中的四边形ABCD 及其内部，其面积为2S ==，根据几何概型公式可得：2πM N =，2πN M∴=.故选：B12.已知有相同焦点1F ，2F 的椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点为A ，若2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，则abmn的值为（）A.2+B.2C.22D.22+【正确答案】A【分析】根据已知图形特征结合椭圆，双曲线中,a b c ，关系及公交点求解即可.【详解】2AOF △（O 为坐标原点）是等边三角形，260°AOF ∠=且21OA OF OF ==，则2190°F AF ∠=，且122F F c =，则21,AF c AF ==，))121221,21,a AF AF c m AF AF c =+==-=-)22222212c b a c c ⎛⎫+⎪=-=-= ⎪⎝⎭，)22222212c n c m c ⎛⎫-⎪=-=-= ⎪⎝⎭所以22b n =，即得b n =，所以112423222cab a a mn m m++=====+故选：A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.椭圆22110036x y +=上一点P 与它的一个焦点的距离等于6，那么点P 与另一个焦点的距离等于______.【正确答案】14【分析】设左、右焦点为12,F F ,利用椭圆的定义即得解.【详解】设左、右焦点为12,F F ,设1||6PF =，由题得10,a =因为12||||2210=20PF PF a +==⨯，所以2||14PF =.所以点P 与另一个焦点的距离等于14.故1414.为了解某校高三学生的数学成绩，随机地抽查了该校100名高三学生的期中考试数学成绩，得到频率分布直方图如图所示.请根据以上信息，估计该校高三学生数学成绩的中位数为______.（结果保留到小数点后两位）【正确答案】71.67【分析】依据频率分布直方图，计算0.5p =时对应的数值，即为中位数.【详解】解：()0.0050.04100.450.5+⨯=< ，()0.0050.040.03100.750.5++⨯=> ，所以中位数在[)70,80之间，设中位数为m ，则有700.03100.50.4510m -⨯⨯=-，所以57071.673m =+≈故答案为.71.6715.甲，乙两人下棋，若两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，则乙获胜的概率是______.【正确答案】512【分析】利用互斥事件概率加法公式直接求解．【详解】解：甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是13，甲获胜的概率是14，∴乙获胜的概率11134512P =--=．故512．16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点为1F ，2F ，经过1F 斜率为22的直线l 与双曲线的左支相交于P ，Q 两点.记12PF F △的内切圆的半径为a ，则双曲线的离心率为______.21或212+【分析】分两种情况求解离心率，设内切圆圆心为T ，分别与三边相切于,,M N H ，连接1TF ，计算得到212HF HF c +=，1HF c a =-，得到1tan a TF H c a ∠=-，根据二倍角公式得到212e e e-=-解得答案.【详解】当P 点在第二象限时，设内切圆圆心为T ，分别与三边相切于,,M N H ，连接1TF，2121212PF PF NF MF HF HF a -=-=-=，又212HF HF c +=，1HF c a =-，则1tan aTF H c a∠=-，直线1PF的斜率为221ac a a c a -=⎛⎫- ⎪-⎝⎭，整理得到：212e e e -=-1e =+或212e =-（舍去）.当P 点在第三象限时，同理设内切圆圆心为T ，分别与三边相切于,,M N H ，连接1TF，2121212PF PF NF MF HF HF a -=-=-=，又212HF HF c +=，1HF c a =-，则1tan aTF H c a∠=-，直线1PF的斜率为221a c a a c a --=⎛⎫- ⎪-⎝⎭，整理得到：212e e e -=-12e =+或1e =.1+或212+三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点(4,2)P -，直线:3450l x y --=.（1）求经过点P 且与直线l 平行的直线的方程；（2）求经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程.【正确答案】（1）34200x y -+=（2）43100x y ++=【分析】（1）设出所求平行直线的方程，利用P 点坐标求得正确答案.（2）利用点斜式求得所求直线的方程.【小问1详解】设经过点P 且与直线l 平行的直线的方程为340x y C -+=，将()4,2P -代入得1280,20C C --+==，所以所求直线方程为34200x y -+=【小问2详解】直线:3450l x y --=的斜率为34，与直线l 垂直的直线的斜率为43-，所以经过点P 且与直线l 垂直的直线的方程为()4243y x -=-+，即43100x y ++=.18.甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图：（1）判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由；（2）从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，求至多有一天的次品数超过1件的概率.【正确答案】（1）乙机床更稳定，理由见解析；（2）910【分析】（1）计算甲、乙两种机床的生产次品的平均数和方差，说明稳定性；（2）分别计算从五天中任意抽取两天的方法种数和这两天中至多有一天次品数超过1的方法种数，利用古典概型公式计算概率即可.【小问1详解】甲机床的次品数为0,1,0,2,2，平均数为1，方差为()()()()()22222101110121210.85⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；乙机床的次品数为.1，平均数为1，方差为()()()()()22222111011121110.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；∴甲、乙两个机床生产的次品的平均数相等，甲机床次品数的方差大于乙机床次品数的方差，所以乙机床性能更稳定.【小问2详解】设从五天的数据中抽取两天，至多有一天的次品数超过1件为事件A ，则从甲机床这五天的数据中任意抽取两天的数据，抽取的方法有25C 10n ==种，至多有一天的次品数超过1件()211332C C C 9n A =+=，则()910P A =.19.已知圆22:60A x y x +-=与直线32x =相交于M ，N 两点.（1）求||MN 的长；（2）设圆C 经过点M ，N 及(2,2)B .若点P 在圆C 上，点Q 在圆A 上，求||PQ 的最大值.【正确答案】（1）（2）7+【分析】（1）根据圆的方程确定圆心与半径，求圆心到直线的距离，结合直线与圆相交弦长公式求解即可得||MN 的长；（2）根据圆C 经过点M ，N ，可得圆心在圆心C 在x 轴上，设(),0C a ，半径为1r ，即可求得圆C 的方程，再根据两圆上动点距离最值即可得||PQ 的最大值.【小问1详解】圆22:60A x y x +-=化成标准方程为()2239x y -+=，则圆心为()3,0A ，半径3r =，圆A 与直线32x =相交于M ，N 两点，则圆心A 到直线32x =的距离为33322d =-=，所以MN ===【小问2详解】由于圆A 与直线32x =相交于M ，N 两点，所以333333,2222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或333333,2222N M ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，又圆C 经过点M ，N ，则圆心C 在x 轴上，设(),0C a ，半径为1r ，则1CM CB r==，1r ==，解得11,a r =-=则圆()22:113C x y ++=，若点P 在圆C 上，点Q 在圆A 上，所以max 1||437PQ AC r r =++=++=+.20.某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x （单位：个）1719202123售卖出的产品件数y （单位：万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，（1）求2022年售卖出的产品件数y （单位：万件）关于销售网点数x （单位：个）的线性回归方程；（2）根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式：()()()112211ˆn ni i i i i i n n i i i i x x y y x y nxyb x x x nx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-.【正确答案】（1）167.ˆyx =-；（2）约57万件.【分析】（1）由参考公式可算出销售网点数x （单位：个）的线性回归方程；（2）将40x =代入由（1）算得的回归方程可得答案.【小问1详解】由题，可得1719202123205x ++++==，2122252730255y ++++==，51172119222025212723302532i i i x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5222222117192021232020i i x==++++=∑.则22532520253216202020520ˆ.b-⨯⨯===-⨯，2520167.ˆa =-⨯=-.故回归方程为.167.ˆyx =-【小问2详解】将40x =代入回归方程，则64757ˆy=-=.故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约57万件.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点12⎫⎪⎭，离心率为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设经过右焦点2F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点.求四边形ACBD 的面积的最小值.【正确答案】（1）2214x y +=（2）3225【分析】（1）依题意得到关于a 、b 、c 的方程组，解得即可；（2）首先求出右焦点坐标，当直线AB 的斜率不存在或为0时直接求出四边形的面积，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线(:AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出AB ，同理得到CD ，最后由面积公式及基本不等式计算可得.【小问1详解】依题意可得22222311432a b c e a c a b ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】由（1）可知)2F ，当直线AB 的斜率不存在或为0时，1141222ACBDS AB CD =⋅=⨯⨯=，其中通径为221b a =，当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线(:AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线(1:CD y x k =-，由(2214y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩消去y 得()2222141240k x x k +-+-=，()()()()222224141241610k k k ∆=--+⨯-=+>，所以212214x x k+=+，212212414k x x k -=+，所以AB =()224114k k +==+，同理可得()2222141414114k k CD k k ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==+⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭，所以()()222281121414ACBD S k k k kAB CD =⋅+⨯⨯++=+，因为()()()()()222222214425114424k k k k k ⎡⎤++++⎢⎥++≤=⎢⎥⎣⎦，所以()()22221322525148ACBD S k k +≥=⨯+，当且仅当1k =±时等号成立，综上可得四边形ACBD 的面积的最小值为3225.22.已知点(1,0)F ，经过y 轴右侧一动点A 作y 轴的垂线，垂足为M ，且||||1AF AM -=.记动点A 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点(1,0)B -的直线与曲线C 相交于P ，Q 两点，经过点(1,)((0,2)D t t ∈，且t 为常数）的直线PD 与曲线C 的另一个交点为N ，求证：直线QN 恒过定点.【正确答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析【分析】（1）设()(),0A x y x >，根据距离公式得到方程，整理即可；（2）设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,N x y ，表示出直线PQ 的方程，由点()1,0B -在直线PQ 上，代入可得124y y =，同理可得()13231y y ty y y ++=，再表示出直线QN ，代入可得()()()131441y y ty y x +-=-，即可得到直线QN 过定点坐标.【小问1详解】解：设()(),0A x y x >，则()0,M y ，因为||||1AF AM -=1x -=，又0x >1x =+，整理得()240y x x =>.【小问2详解】证明：设()11,P x y 、()22,Q x y 、()33,N x y ，所以121222*********PQ y y y y k y y x x y y --===-+-，所以直线PQ 的方程为()11124y y x x y y -=-+，因为点()1,0B -在直线PQ 上，所以()111241y x y y -=--+，即21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭，解得124y y =①，同理可得直线PN 的方程为()11134y y x x y y -=-+，又()1,D t 在直线PN 上，所以()111341t y x y y -=-+，易得1y t ≠，解得()13231y y ty y y ++=②，所以直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+，即()23234y y y x y y +=+③，将②式代入③式化简得()1311234y y ty y x y y y +=+，又124y y =，即()131344y y ty y x y +=+，即()()()131441y y ty y x +-=-，所以直线QN 恒过定点41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
四川省德阳市绵竹市南轩中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷
四川省德阳市绵竹市南轩中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．已知复数13i24iz -=+（i 是虚数单位），则z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）A ．98B ．99C ．99.5D ．1003．设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题为真命题的是（）A ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥B ．若m αβ⋂=，//n α，//n β，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则v/D ．若αβ⊥，//m α，//n β，则m n⊥4．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a=，AD b = ，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（）A ．1122a b c-+ B ．1122a b c+-C ．1122-++a b c D ．1122a b c --+5．某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（）A ．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B ．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%C ．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D ．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多6．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，1b =则sin sin sin a b cA B C++=++（）A ．B C D 7．如图，电路中A 、B 、C 三个电子元件正常工作的概率分别为()13P A =，()12P B =，()35P C =，则该电路正常工作的概率为（）A ．415B ．815C ．715D ．7128．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.5D ．中位数为3，方差为2.8二、多选题9．已知向量()()2,1,1,1,,2a x b y ==-，则（）A ．若1,24x y ==-，则//a b r r B ．若1,1x y ==，则a b⊥C ．若1,12x y ==，则cos ,a b = D ．若1,12x y ==，则向量a 在向量b 上的投影向量112,,333c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10．已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有两个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和小于4”，事件B =“抽取的两个小球标号之积为偶数”，事件C =“抽取的两个小球标号之积大于3”，则（）A ．事件A 发生的概率为12B ．事件A B 发生的概率为23C ．事件A ，C 是互斥事件D ．事件B ，C 相互独立11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AD ，1DD ，CD 的中点，则下列说法正确的有（）A ．直线1A G 与直线1C E 共面B ．113D BEF V -=C ．二面角11D AC B --的平面角余弦值为13D ．过点B ，E ，F 的平面，截正方体的截面面积为9三、填空题12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是11,,DD BD BB 的中点．则EF 与CG 所成角的余弦值为．13．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率34，乙中靶的概率为m ，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为720，则m =.14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记(0CM BN a a ==<<，当MN 的长最小时，平面MNA 与平面MNB 夹角的正弦值为.四、解答题15．甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.16．某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；70,80三层中抽取一个容量(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从50,60，60,70，[)为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率.-中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥17．如图，在四棱锥P ABCD底面ABCD，M是PD的中点．(1)求证：AM⊥平面PCD；(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．-中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，18．如图，在四棱锥P ABCD且PA PD(1)求证：//(2)求证：平面PAB⊥平面PDC；(3)求直线EF与平面ABCD所成角的大小．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =.P 为1B C 上一动点，记11B P B C λ= .(1)求线段PA 的最小值；(2)当PA 取最小值时，求三棱锥C APB -的体积；(3)当1A P //平面1ACD 时，求λ的值.。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考数学试题
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
3
三、填空题
四、解答题
(1)求证：AM ⊥平面BDM
(2)求直线AM 与平面MBC 所成角的余弦值.
21．已知圆的方程2216x y +=,(2,0)A -,(2,0)B ，抛物线过,A B 两点，且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C 的方程；
(2)已知(4,0)P ， 设x 轴上一定点(,0)(44)T t t -<<， 过T 的直线交轨迹C 于 ,M N 两点（直线MN 与x 轴不重合），求证：MP NP k k ⋅为定值.
22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ， 过F 的直线l 交于,A B 两点， 过F 与l 垂直的直线交于,D E 两点，其中,B D 在y 轴左侧，
,M N 分别为,AB DE 的中点，且直线
M N 过定点(0,3). (1)求抛物线2:2(0)C x py p =>的方程； (2)设G 为直线 AE 与直线BD 的交点; （i ）证明G 在定直线上； （ii ）求MGN V 面积的最小值.。
四川高二数学上册第一次抽考调研检测试卷
四川高二数学上册第一次抽考调研检测试卷高中是重要的一年，大伙儿一定要好好把握高中，查字典数学网小编为大伙儿整理了四川高二数学上册第一次月考调研检测试题，期望大伙儿喜爱。
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.在棱柱中( )A.只有两个面平行B.所有的棱都平行C.所有的面差不多上平行四边形D.两底面平行，且各侧棱也互相平行2.已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如右图所示，则那个组合体的上、下两部分分别是()A.上部是一个圆锥，下部是一个圆柱B.上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱C.上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱D.上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱3.下列说法中正确的是()A.互相垂直的两条直线的直观图仍旧是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图可能是平行四边形4.下列命题正确的是()A.通过三点确定一个平面B.通过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在同一球面上，则那个球的表面积是( )A. B. C. D.都不对6.下列命题中，正确的个数为( )①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行;②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变;③过空间四边形的顶点引的平行线段，则是异面直线与所成的角;④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形A.0B.1C.2D.37.将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体的侧视图(或称左视图)为( )8.下列命题中正确的个数是()若直线上有许多个点不在平面内，则.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.假如两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与那个平面平行.若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.A. B.1C.2D.39.已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的射影在底面中心) 的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.10.已知平面，是平面外的一点，过点的直线与平面分别交于两点，过点的直线与平面分别交于两点，若，则的长为( )A.24B.14C.D.2011.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是( )A.B.C.三棱锥的体积为定值D.异面直线所成的角为定值12.连结球面上两点的线段称为球的弦。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期九月校级联考调研考试数学试卷
2023～2024学年度上期高中2022级九月调研考试
数学
考试时间120分钟，满分150分
2023.9.27注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
平面的对称点的坐标为（
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；
全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2r EM BN。
四川省高二上学期数学期中调研考试试卷
四川省高二上学期数学期中调研考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)1. （1 分） (2020 高二下·宜宾月考) 已知命题，则 为________2. （1 分） (2020 高一上·沧县月考) 已知 不充分条件，则 的最大值为________.实数 x 满足；.若 是 的必要3. （1 分） (2015 高二上·常州期末) 抛物线 x2=﹣8y 的焦点坐标为________．4. （1 分） (2019 高一上·上海月考) 命题“”的否命题是________.5. （1 分） (2020·鄂尔多斯模拟) 双曲线 ：， 是 右支上的一点，与 轴交于点 ，若，则 的离心率为________.的左、右焦点分别为、的内切圆在边上的切点为 ，6. （1 分） (2016 高二上·青岛期中) 若直线 2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆 x2+y2+2x﹣4y+1=0 的圆心，则的最小值是________．7. （1 分） (2020 高二上·新疆期中) 若实数满足，则的最大值是________.8. （1 分） (2018 高二下·陆川月考) 双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为________.9. （1 分） (2017·广安模拟) 设抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点为 F，点 A 在 C 上，若|AF|= AF 为直径的圆经过点 B（0，1），则 p=________．，以线段10. （1 分） (2018 高二上·阳高月考) 过原点的直线与圆 点 M 的轨迹方程为________相交于 A、B 两点，则弦 AB 中11. （1 分） (2019 高三上·安徽月考) 点是抛物线上的两点， 是抛物线 的焦点，若， 中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则第 1 页 共 15 页的最大值为________.12. （1 分） (2019 高一上·兴平月考) 设 U＝R，已知集合 A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁UA)∪B＝R，则实 数 a 的取值范围是________．13. （1 分） (2018 高三上·连云港期中) 椭圆分别作与 垂直的直线交椭圆 与，若的两个顶点 ，则椭圆的离心率________.过 A,B14. （1 分） (2019 高一上·济南期中) 已知直线经过点，则的最小值为________.二、 解答题 (共 6 题；共 55 分)15. （10 分） (2020 高二上·百色期末) 已知命题 对任意，不等式恒成立，命题 方程表示焦点在 轴上的双曲线，则（1） 若 为真命题，求实数 的取值范围；（2） 若“ 或 ”为真，“ 且 ”为假，求实数 的取值范围.16. （10 分） (2016 高二上·延安期中) 若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0 的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1） 解不等式 2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2） b 为何值时，ax2+bx+3≥0 的解集为 R．17. （10 分） 函数 （Ⅰ）求集合 A 及 A∩B； （Ⅱ）若 C⊆ A，求 a 的取值范围．的定义域为集合 A，B=[﹣1，6），C={x|x＜a}．18. （10 分） (2018·银川模拟) 已知点满足.两点分别在 轴和 轴上运动，且，若动（I）求出动点 P 的轨迹对应曲线 C 的标准方程；（Ⅱ）一条纵截距为 2 的直线 与曲线 C 交于 P，Q 两点，若以 PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程.19.（10 分）(2020 高一下·江阴期中) 燕山公园计划改造一块四边形区域米，百米，，，草坪内需要规划 4 条人行道第 2 页 共 15 页铺设草坪，其中百以及两条排水沟，其中分别为边的中点．（1） 若 （2） 当，求排水沟 的长； 变化时，求 4 条人行道总长度的最大值．20. （5 分） (2020·长春模拟) 已知点 （Ⅰ）求点 的轨迹方程；，若点满足.（Ⅱ）过点的直线 与（Ⅰ）中曲线相交于最大值及此时直线 的方程.两点， 为坐标原点， 求△面积的第 3 页 共 15 页一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析：第 4 页 共 15 页答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、第 5 页 共 15 页考点：解析： 答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点：第 6 页 共 15 页解析： 答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、 考点： 解析：第 7 页 共 15 页答案：11-1、 考点： 解析：第 8 页 共 15 页答案：12-1、 考点：解析： 答案：13-1、 考点： 解析：第 9 页 共 15 页答案：14-1、 考点：解析：二、 解答题 (共 6 题；共 55 分)答案：15-1、第 10 页 共 15 页答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。
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四川省高二上学期数学调研试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共8题；共16分)
1. （2分） (2020高一上·北京期中) 已知集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）设全集为R,函数的定义域为M,则为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2020高一下·郧县月考) 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ，若A∶B∶C ＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于（）
A . 1∶2∶3
B . 2∶3∶4
C . 3∶4∶5
D . 1∶ ∶2
4. （2分）下面有关抽样的描述中，错误的是（）
A . 在简单抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第n次抽样有关，先抽到的可能性较大
B . 系统抽样又称为等距抽样，每个个体入样的可能性相等
C . 分层抽样为了保证每个个体入样的可能性相等必须每层等可能性抽样
D . 抽样的原则是“搅拌均匀”且“等可能地抽到每个个体”
5. （2分） (2019高二上·南充期中) 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（）
A . 7.2
B . 7.16
C . 8.2
D . 7
6. （2分） (2019高三上·西安月考) 设，则（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2018·浙江学考) 甲、乙几何体的三视图分别如图 图 所示，分别记它们的表面积为，体积为，则（）
A . ,
B . ,
C . ,
D . ,
8. （2分）下列各命题中正确的命题是
①“若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则都不是奇数”；
② 命题“”的否定是“” ；
③ “函数的最小正周期为” 是“”的必要不充分条件；
④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是．
A . ②③
B . ①②③
C . ①②④
D . ③④
二、多选题 (共4题；共12分)
9. （3分） (2020高一下·江阴期中) 已知直线，则下列结论正确的是（）
A . 直线的倾斜角是
B . 若直线则
C . 点到直线的距离是
D . 过与直线平行的直线方程是
10. （3分） (2020高三上·福州期中) 已知函数（），若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则下列结论中不正确的是（）
A .
B . 是图象的一个对称中心
C .
D . 是图象的一条对称轴
11. （3分） (2020高三上·海南月考) 函数的定义域为R，且与都为奇函数，则（）
A . 为奇函数
B . 为周期函数
C . 为奇函数
D . 为偶函数
12. （3分）(2020·济宁模拟) 线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且 .则（）
A . DF//平面BCE
B . 异面直线BF与DC所成的角为30°
C . △EFC为直角三角形
D .
三、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2020高一下·西安期末) 已知向量与满足，，与的夹角为，
，则 ________．
14. （1分） (2019高一上·辽宁月考) 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________，________．
15. （1分）设函数f（x）（x∈R）是以4为周期的周期函数，且f（﹣x）+f（x）=0，若x∈[0，2]时f（x）=（x﹣1）2 ，则f（3）=________．
16. （1分） (2018高三上·凌源期末) 已知直线截圆所得的弦长为
，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为________．
四、解答题 (共6题；共70分)
17. （10分）(2020·金华模拟) 已知函数满足．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设，且，求sin2α．
18. （15分） (2019高二下·黑龙江期末) 为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关，随机抽取了男、女学生各50人进行调查，根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.
（1）求所调查学生日均玩游戏时间在分钟的人数；
（2）将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”，已知“游戏迷”中女生有6人；
①根据已知条件，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系；
非游戏迷游戏迷合计男
女
合计
②在所抽取的“游戏迷”中按照分层抽样的方法抽取10人，再在这10人中任取9人进行心理干预，求这9人中男生全被抽中的概率.
附：（其中为样本容量）.
0.150.100.050.0250.010
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635
19. （10分） (2016高二上·鞍山期中) 已知四棱锥P﹣ABCD，其三视图和直观图如图所示，E为BC中点．
（Ⅰ）求此几何体的体积；
（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE．
20. （10分） (2016高一下·昆明期中) 已知函数f（x）=asin（x+ ）﹣b（a＞0）的最大值为2，最小值为0．
（1）求a、b的值；
（2）利用列表法画出函数在一个周期内的图象．
21. （10分） (2015高三上·驻马店期末) 在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r= ．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．
22. （15分） (2019高三上·珠海月考) 已知函数，其中且 .
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数取值范围；（3）若方程存在两个异号实根，，求证：
参考答案一、单选题 (共8题；共16分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、
考点：
解析：
二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、
考点：
解析：
答案：10-1、考点：
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答案：11-1、
考点：
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答案：12-1、考点：
三、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
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答案：14-1、
考点：
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答案：15-1、考点：
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答案：16-1、考点：
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四、解答题 (共6题；共70分)
答案：17-1、
考点：
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答案：18-1、
答案：18-2、
考点：解析：
答案：19-1、考点：
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答案：20-1、
答案：20-2、考点：
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答案：21-1、答案：21-2、。